椭圆中有关顶点在原点的三角形面积问题

椭圆中有关顶点在原点的三角形面积问题近几年高考中的很多解析几何试题的背景是圆锥曲线的性质，对这些性质采用特殊化的处理可命制出鲜活的高考题.由于以椭圆中顶点在原点的三角形面积为背景的试题往往与图形的本质特性和运动不变性有关，涉及定值、最值、轨迹等问题，所以这类问题常成为解析几何中的热点.在2011年山东卷（理科）、2013山东卷（文科）、2014年全国卷（新课标Ⅰ理科）和2015年山东卷（理科）中均有考察.本文将针对这类问题进行探究.问题提出： 例1已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点3(1,)2M . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆交于不同两点A 、B ，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．例2（2014年全国卷（新课标Ⅰ理科））已知点A(0，－2)，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．例3（2015年山东卷（理科））平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． (ⅰ)求OQ OP的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．说明：本题中3ABQ OAB S S ∆∆=,可先求△OAB 面积.例4（2013山东卷（文科））在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为4的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP ＝tOE ，求实数t 的值．例5（2011年山东卷（理科））已知直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y ,Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积S=其中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明x 12+x 22和y 12+y 22均为定值（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点D,E,G ，使得S △ODE =S △ODG =S △OEG. 若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.以上题目均涉及到椭圆中顶点在原点的三角形面积的求解问题，例1中给出了直线l 的斜率，例2中给出了直线l 在y 轴上的截距，例3中的直线为y=kx+m ，例4、例5均以三角形的面积值作条件.那么该类问题如何求解，是否存在通法，三角形的面积表示是否存在统一的表达式，其形式又是怎样的呢？探究一：为解决上面提出的问题，我们从一般性出发，给出下面的问题：已知不过原点O 的直线:(0)l y kx m m =+≠与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于11(,),A x y 22(,)B x y 两不同点. 求三角形OAB 的面积S ∆OAB .解：由22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=.2222224()a b a k b m ∆=+-当>0时，222212122222222(),a km a m b x x x x a k b a k b --+=⋅=++，2222(0,1)m a k b∈+.12x x ∴-==. 1212OABS m x x ∆∴=⋅-12m ==.利用上面的结果，例1、例2中三角形面积的最大值可用均值不等式求得，即22222222+12m m a k b a k b ab⎛⎫- ⎪++⎝⎭≤=12ab ，当且仅当22221=2m a k b +时三角形面积取得最大值.但在例3中222214m a k b ≤+,用均值不等式求解时等号不成立，无法求得三角形面积的最大值.为了解决例3中均值不等式失效的问题，设2222m a k b λ=+,由题意可求得10,4λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.所以三角形OAB 的面积S ∆OAB 1)λ==<<，当且仅当1=4λ三角形面积取得最大值. 我们不难发现，令2222m a k b λ=+是求解顶点在原点的三角形面积最值及取值范围的通法，它可将三角形面积最值及取值范围问题转化为求解2222m a k b λ=+的取值范围问题，二者通过S ∆OAB =1)λ=<<……(*)建立等量关系.补充说明一点，当不过原点O 的直线l 的斜率不存在时，可设直线l 的方程为(0)x n n =≠,记22,n aλ=上述(*)式仍然成立.同样利用(*)式，例4中的三角形面积可转化为3144λλ==或，例5中的三角形面积可转化为12λ=. 至此，每个例题中的三角形面积问题得以完美求解和转化,但新的问题又出现了，在这么完美的换元方式背后，2222m a k bλ=+是否存在几何意义呢，它又是怎样的呢？ 探究二：受益于例4这道高考试题的启发，我得到提出如下问题：已知不过原点O 的直线:(0)l y kx m m =+≠与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>交于11(,),A x y 22(,)B x y 两不同点.设线段AB 的中点为P,射线OP 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>于点Q ，求22OPOQ的值. 解：由22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=.2222224()a b a k b m ∆=+-当>0时，222212122222222(),a km a m b x x x x a k b a k b --+=⋅=++，2222(0,1)m a k b ∈+. 设OP OQ μ=，3344(,),(,)P x y Q x y ，则OP =33(,)x y ，OQ =44(,)x y.33(,)x y =μ44(,)x y =44(,)x y μμ，∴3434,x x y y μμ==.∴21232222x x a km x a k b +-==+，233222b my kx m a k b =+=+.∴22222233222222222211x y a km b m a b a a k b b a k b ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2222222222222()()a k mb m a k b a k b =+=++2222m a k b +.……①又224422x y a b+=1， ∴()()22222244223344222222x y x y x y a b a b a b μμμμ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.……② 由①，②知22222m a k bμ=+又OP OQ μ=，∴2222222OPm a k b OQμ==+.解：由22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=.2222224()a b a k b m ∆=+->0，2222(0,1)m a k b λ∴=∈+. 又222212122222222(),a km a m b x x x x a k b a k b--+=⋅=++. 12x x ∴-==. 1212OABS m x x ∆∴=⋅-12m ==1)λ==<<.结论2：设线段AB 的中点为P ,射线OP 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>于点Q ，则22OP OQλ=. 证明：设OP OQ μ=，3344(,),(,)P x y Q x y ，则OP =33(,)x y ，OQ =44(,)x y.33(,)x y =μ44(,)x y =44(,)x y μμ，∴3434,x x y y μμ==.由结论1的证明知，21232222x x a km x a k b +-==+，233222b my kx m a k b=+=+. 所以22222233222222222211x y a km b m a b a a k b b a k b ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2222222222222()()a k mb m a k b a k b =+=++2222m a k b λ=+. 224422x y a b +=1，∴()()22222244223344222222x y x y x y a b a b ab μμμμ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭=λ.又OP OQ μ=，∴2222222OPm a k b OQμ==+.解：（1）略，E 的方程为2214x y +=. (2) 当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2．2441k λ=+，∴由结论1知S △OPQ==≤1(01)λ<<，当且仅当λ＝12，即k ＝±72时等号成立. 所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.1.两个结论，揭示本质已知不过原点O 的直线:(0)l y kx m m =+≠与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>交于11(,),A x y 22(,)B x y 两不同点，设2222m a k bλ=+. 结论1：三角形OAB的面积1)S λ∆=<<OAB .证明：由22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=.2222224()a b a k b m ∆=+->0，2222(0,1)m a k b λ∴=∈+.又222212122222222(),a km a m b x x x x a k b a k b--+=⋅=++. 12x x ∴-==. 1212OABS m x x ∆∴=⋅-12m ==1)λ=<<.结论2：设线段AB 的中点为P,射线OP 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>于点Q ，则22OP OQλ=. 证明：设OP OQ μ=，3344(,),(,)P x y Q x y ，则OP =33(,)x y ，OQ =44(,)x y.33(,)x y =μ44(,)x y =44(,)x y μμ，∴3434,x x y y μμ==.由结论1的证明知，21232222x x a km x a k b +-==+，233222b my kx m a k b =+=+. 所以22222233222222222211x y a km b m a b a a k b b a k b ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2222222222222()()a k m b m a k b a k b =+=++2222m a k b λ=+. 224422x y a b +=1，∴()()22222244223344222222x y x y x y a b a b ab μμμμ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭=λ.又OP OQ μ=，∴2222222OPm a k b OQμ==+. 2.三年高考，提炼通法例1（2014年全国卷（新课标Ⅰ理科））已知点A(0，－2)，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：（1）略，E 的方程为2214x y +=. (2) 当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2．2441k λ=+，∴由结论1知S △OPQ2=≤1(01)λ<<，当且仅当λ＝12，即k ＝±72时等号成立. 所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.例2（2015年山东卷（理科））平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． （i ）求OQ OP的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．解：（Ⅰ）略，椭圆C 的方程为22 1.4x y += （Ⅱ）（i ）略，OQ OP的值为2.（ii ）椭圆E 的方程为221164x y +=.22(01),164m k λλ=<<+∴由结论1知S △OAB ==.（不可用均值不等式）将直线y=kx+m 代入椭圆C 的方程，可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，由△2≥0可得m 2≤1+4k 2，所以221.1644m k λ=≤+所以S △OAB ≤当且仅当λ＝14等号成立.由（i ）知，△ABQ 的面积为3S △OAB ，即△ABQ 面积的最大值为点评：通过例1和例2的解答可知在用常规方法得到△OPQ 与△OAB 的面积表达式之后可统一采用换元法，即令2222m a k bλ=+，可转化为结论1中的二次函数配方求解. 例3（2013山东卷（文科））在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）A ，B 为椭圆C 上满足△AOB的面积为4E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP ＝tOE ，求实数t 的值．解：（Ⅰ）略,椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1.（Ⅱ）当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝n，由题意＜n ＜0或0＜n将x ＝n 代入椭圆方程22x ＋y 2＝1，得|y|所以S △AOB ＝=.解得n 2＝32或n 2＝12. 又OP ＝tOE ＝()12t OA OB +＝12t (2n,0)＝(nt,0)，且P 为椭圆C 上一点，所以22nt ()＝1.由①②得t 2＝4或t 2＝43.又因为t ＞0，所以t ＝2或t.当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m.由结论1知S △OAB=解得3144λλ==或.由结论2知λ=222221=.OE OE t OP tOE = 所以t 2＝4或t 2＝43.又因为t ＞0，所以t ＝2或t.综上所得t ＝2或t＝3.点评：通过例3的解答可知△AOB 的面积为43144λλ==或，再用结论2中λ的几何意义求解.，而换元法正是解决这类问题的通法.文中参数λ与三角形面积取值范围之间的相互转化是解决这类问题的关键，希望大家复习中要引起足够的重视.同时也提醒我们要加强对高考试题的研究，提炼通法.最后作一点说明,当不过原点O 的直线l 的斜率不存在时，可设直线l 的方程为(0)x n n =≠,记22,n aλ=结论1和结论2仍然成立.已知椭圆：的离心率为，右焦点为(，0)．(1) 求椭圆的方程；(2) 过原点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于，两点，求证：点到直线的距离为定值； (3) 在（2）的条件下，求面积的最大值．C )0(12222>>=+b a by a x 362C O A B O AB OAB ∆解：（1） ………………………… 3分（2） 设，，若k 存在，则设直线AB ：y ＝kx ＋m.由，得 ……………………………5分 △ ＞0， ……………………………6分 有OA ⊥OB 知x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(k x 1＋m ) (k x 2＋m )＝(1＋k 2) x 1x 2＋k m (x 1＋x 2)＝0 ………………………8分代入，得4 m 2＝3 k 2＋3原点到直线AB 的距离d. ………………9分当AB 的斜率不存在时，,可得，依然成立． 所以点O 到直线的距离为定值……………………………10分 说明：直接设直线OA 的斜率为K 相应给分（3）＝ ＝≤4 …………………12分当且仅当，即时等号成立. ……………………………13分 当斜率不存在时，经检验|AB |＜2.所以≤综合得：面积的最大值为 ………………………14分1322=+y x 11()A x y ，22()B x y ，2233y kx m x y =+⎧⎨+=⎩222(13)6330k x kmx m +++-=12221226133313km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩=11x y =12x d ==AB 22222221222633(1)()(1)()41313km m AB k x x k k k ⎡⎤-=+-=+-⨯⎢⎥++⎣⎦42242423(9101)123961961k k k k k k k ++=+++++22123196k k+++2219k k =k =OAB S ∆122⨯=OAB ∆23已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，离心率(1)求椭圆标准方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m ，直线与(1)中的椭圆有两个不同的交点M 、N ，求m 的取值范围； （3）直线：与(1)中的椭圆有两个不同的交点，当的面积取到最大值时，求直线的方程。