数值分析期末复习知识点

第一章（有效数字位数）
1、经四舍五入取近似值，其绝对误差限不超过末尾数字的半个单位。

2、设X*为准确值，X为近似值，称e=X*-X为近似值X的绝对误差，简称误差（显然e可正可负，准确值X*未知，因此e的准确值无法求出）
3、|e|=|X-X*|≤ŋ，则称ŋ为近似值X的绝对误差限，简称误差限。

4、e r=e/X*称为相对误差，由于准确值X*总是未知的，所以也把e r*=e/X称为近似值X的相对误差
5、|e r*|=|e/X|≤ŋ*，则称ŋ*为近似值X的相对误差限
6、设X是X*的近似值，如果|X*-X|≤1/2×10-k,则称用X近似值表示X*时准确到小数点后第k位，并称从小数点后第k位起，直到最左边的非零数字之间的所有数字为有效数字，称有效数字的位数为有效数位。

7、设X是X*的近似值，X=±10m×0.a1a2…,其中a i（i=2，3…）是0到9之间的自然数，a1≠0，m为整数，如果|X*-X|≤1/2×10m-n，那么称近似值有n位有效数字。

8、四舍五入所得到的数均为有效数字，但并不是说非四舍五入所得到的数不能为有效数字。

第二章、非线性方程求根（不动点迭代、牛顿法、弦截法、快速弦截法、局部收敛、全局收敛、收敛阶）
1、不动点迭代法（迭代法）（单根区间求解方法）：将非线性方程f（x）=0化为一个同解方程x=ø（x），若要求f（x*）=0，则x*=ø（x*），称x*为f（x）的零点，为ø（x）的一个不动点。

2、定理：设迭代函数ø（x）在【a，b】上连续，且满足（1）当x∈【a，b】时，a≤ø（x）≤b，（2）存在一正数L，满足0<L<1,且∀x∈【a，b】,有|ø/（x）|≤L<1。

则1、方程x=ø（x）在【a，b】内有唯一解x*。

2、对于任意初值x0∈【a，b】,迭代法
x k+1=ø（x k）均收敛x*
3、设ø（x）有不动点x*，如果存在x*的一个邻域 S:|X*-X|< ŋ,对任意初值x0∈S,迭代过程x k+1=ø（x k）均收敛，则称迭代过程在根x*邻近局部收敛。

4、设x*为ø（x）的不动点，ø/（x）在x*的邻域S连续，|ø/（x*）|<1，则迭代法局部收敛。

5、若存在实数p≥1和c≠0（c为常数）满足lim k→∞|e k+1|/|e k|p=c，则称迭代法p阶收敛，p=1为线性收敛，p=2为平方阶收敛。

6、定理：如果迭代法迭代函数ø（x）在根x*附近满足:(1)ø（x）存在p阶导数且连续，（2）ø/（x*）=ø//（x*）=…=ø（p-1）（x*）=0，而ø(p)（x*）≠0，则迭代法x k+1=ø（x k）收敛阶是p
7、牛顿迭代法（将非线性方程线性化，利用泰勒公式），迭代公式：x k+1=x k-f(x k)/ f/(x k)
8、牛顿法在单根附近至少平方阶收敛（f（x）=（x-x*）g（x）且g（x*）≠0）当x*是方程m重根时（m>1）则牛顿迭代法是线性收敛的。

（f（x）=（x-x*）m g（x）且g（x*））9、弦截法：牛顿迭代公式中f/（x k）用f（x k）-f（x0）/x k-x0代替，公式为x k+1=x k- （x k-x0）/ （f（x k）-f（x0））*f（x k）
10、快速弦截法：牛顿迭代公式中f/（x k）用f（x k）-f(x k-1)/x k-x k-1代替
第三章、线性方程组的迭代法{范数（向量范数、矩阵范数）、谱半径、严格对角占优、迭代法收敛的充分条件、迭代法收敛的充要条件、雅可比迭代法、高斯赛德尔迭代法}
1、常用向量范数
（1）||x||2=（|x1|2+|x2|2+…+|x n|2）1/2
（2）||x||1=|x1|+|x2|+…+|x n|
(3) ||x||∞=max|x i|（1≤i≤n）
（4）||x||p=(|x1|p+|x2|p+…+|x n|p)1/p
2、矩阵范数
（1）设A=(a ij)∈R n*n,则（1）||A||1=max1≤j≤n∑i=1~n|a ij|，A的每列绝对值之和的最大值，称为A的列范数
（2）||A||∞，A的每行绝对值之和的最大值，称为A的行范数
（3）||A||2=√λmax（A T A）, λmax（A T A）为A T A的特征值的绝对值的最大值
3、设A∈R n*n的特征值为λ1，λ2，λ3，…λn,称ρ（A）=max{|λ1|，|λ2|，…|λn|}为矩阵A的谱半径
4、严格对角占优：主对角线元素绝对值>同行其他元素绝对值之和
5、迭代法收敛的充分条件:迭代矩阵A的某种范数<1
6、迭代法收敛的充要条件：（1）ρ（A）<1、（2）矩阵符合严格对角占优
7、雅可比迭代法（迭代矩阵，迭代公式）
8、高斯赛德尔迭代法（迭代矩阵，迭代公式）
第五章、拉格朗日插值与插值余项定理、牛顿插值与差商、分段线性插值（插值区间的选取）
拉格朗日插值
1、线性插值：p1（x）=l0（x）y0+l1（x）y1
记l0=（x-x1）/x0-x1 l1=（x-x0）/x1-x0
2、抛物插值公式
P2（x）= l0（x）y0+l1（x）y1+l2（x）y2
记l0（x）=（x-x1）（x-x2）/ （x0-x1）（x0-x2） l1（x）=（x-x0）（x-x2）/ （x1-x0）（x1-x2） l2=（x-x0）（x-x1）/（x2-x0）（x2-x1）
3、p n(x)=Σi=0·n y i l i(x)
插值余项定理 R n （x ）=f （x ）-P n （x ）={f （n+1）（ξ）/（n+1）！}*∏j=0·n （x-x j ） ξ∈（a ，b ） 牛顿插值
1、 线性插值
P 1（x ）=p 0（x ）+c 1（x-x 0）
记c 1={f （x 1）-f （x 0）}/（x 1-x 0）
2、 牛顿插值公式
P n （x ）=f （x 0）+f[x 0,x 1](x-x 0)+…+f[x 0,x 1,…x n ](x-x 0)…(x -x n-1)
差商
1、一阶差商：f[x 0,x 1]=f(x 1)-f(x 0)/x 1-x 0
2、二阶差商：f[x 0,x 1,x 2]=f[x 1,x 2]-f[x 0,x 1]/x 2-x 0
3、n 阶差商：f[x 0,x 1,…,x n ]=f[x 1,x 2,…x n ]-f[x 0,x 1,…x n-1]/x n -x 0
差商性质
f[x 0,x 1,…x n ]=f (n)(ξ)/n!
分段线性插值（插值区间的选取）
第六章（代数精度、求积公式{左矩形、右矩形、中矩形、梯形、辛普生、复化梯形、复化辛普生、变步长梯形}、求积余项）
1、代数精度：m 次准确成立，m+1次不准确，则称此求积公式具有m 阶代数精度
2、求积公式
左矩形：∫f （x ）dx b
a
=f （a ）（b-a ） 右矩形：∫f （x ）dx b a
=f （b ）（b-a ） 中矩形：∫f （x ）dx b a
=f （a+b/2）（b-a ） 梯形求积公式：∫f （x ）dx b a
=（b-a ）*[f(a)+f(b)]/2 (1次代数精度) 辛普生求积公式：∫f （x ）dx b a
=（b-a ）[f(a)+4f(a+b/2)+f(b)]/6 复化梯形公式：∫f （x ）dx b a
=h/2（f （a ）+2Σk=1·（n-1）f （x k ）+f （b ）） h=b-a/n 复化辛普生公式： ∫f （x ）dx xn x0
=h/6（f （a ）+4Σk=0·n-1f （x k+1/2）+2Σk=1·n-1f （x k ）+f （b ））
变步长梯形求积公式h=b-a/n。