勾股定理专题复习及题型讲解

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3.1勾股定理(七大题型)(解析版)

（苏科版）八年级上册数学《第3章勾股定理》3.1 勾股定理●勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.◆1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形；◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边.◆3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，则a 2 + b 2 = c 2、 a 2 = c 2 - b 2、b 2 = c 2 - a 2；22b a c +=、22b c a -=、22a c b -=.【拓展】◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边，则a 2+b 2＞c 2.◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边，则a 2+b 2＜c 2.●通过拼图证明勾股定理的思路：（1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变.（2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式.（3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论.●下面列举几种证明方法：◆1、“赵爽弦图”证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．◆2、我国数学家邹元治的证明方法证明：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+12ab×4，化简得：a2+b2＝c2．◆3、美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+12c2，化简得：a2+b2＝c2．【例题1】在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，则斜边的长为．【分析】根据勾股定理直接求出斜边的长即可．【解答】解：∵在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，=15．故答案为：15．【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式1-1】已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．【分析】（1）利用勾股定理计算c=（2）利用勾股定理计算b=【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：c==＝25；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：b==＝5．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．【变式1-2】（2022秋•东方期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD 平分∠BAC ，则AD 等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD ⊥BC ，BD ＝DC =12BC ＝6，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝DC =12BC ＝6，在Rt △ABD 中，AD 8，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式1-3】（2022秋•新泰市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则点C 到直线AB 的距离是（）A ．185B ．3C ．125D ．2【分析】作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=5，∵AC⋅BC2=AB⋅CD2，∴3×42=5CD2，解得CD＝2.4，故选：C．【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．【变式1-4】（2021春•连州市期中）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于（）A．10B．12C．24D．48【分析】本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE＝∠DEC＝60°∴∠AEB＝∠CDE＝30°∵30°所对的直角边是斜边的一半∴AE＝6，DE＝8又∵∠AED ＝90°根据勾股定理∴AD ＝10．故选：A ．【点评】解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．【变式1-5】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长为．【分析】根据勾股定理可以求得AB 的长，然后根据线段垂直平分线的判定方法可以得到MN 为线段AB 的垂直平分线，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CD 的长．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ==5，连接NA ，NB ，MA ，MB ，如图所示，∵分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，∴NA ＝NB ，MA ＝MB ，∴直线MN 垂直平分AB ，∵直线MN 交AB 于点D ，∴点D 为AB 的中点，∴CD 为Rt △ACB 斜边上的中线，∴CD =12AB =52，故答案为：52．【点评】本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-6】（2022春•河北区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．【分析】根据勾股定理求出BC即可；根据勾股定理求出AD，求出AB即可．【解答】解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△CDB中，由勾股定理得：BC=15，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=16，∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．答：AB的长为25，BC的长为15．【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是对定理的掌握和运用．【变式1-7】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，CE是AB边上的中线，CD是AB边上的高，且AE＝5．（1）求CD的长；（2）求DE的长．【分析】（1）先证明三角形ABC是直角三角形，再根据等面积法即可求解；（2）根据勾股定理求出BD的长即可求解．【解答】解：（1）∵CE是AB边上的中线，∴AE＝BE＝5，∴AB＝10，又∵AC＝8，BC＝6，∴AC2+BC2＝82+62＝100＝AB2，∴△ABC是直角三角形，又∵CD是△ABC的高，∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=4.8；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD=3.6，∴DE＝BE﹣BD＝5﹣3.6＝1.4．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【例题2】勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法．如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△ABC+S△ABD＝S△AFG+S△AEFB．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEFC．S△BDH＝S△FGHD．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF+S△FGH【分析】通过用两种方法计算梯形BCEF的面积即可证明勾股定理．【解答】解：∵矩形ACBD旋转得出矩形AGFE，∴△ABC≌△FAE，∴AB＝AF，∠BAC＝∠AFE，∵∠AFE+∠EAF＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形，由题意知：S梯形BCEF =12（a+b）•（a+b）=12(a+b)2=12a2+ab+12b2，S△ABC+S△ABF+S△AEF=12ab+12ab+12c2=ab+12c2，∴12a2+ab+12b2=ab+12c2，∴a2+b2＝c2，故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定，表示出图形面积的不同表达形式，建立等量关系是解题的关键．【变式2-1】（2022春•三门峡期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A 、大正方形的面积为：c 2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+（b ﹣a ）2＝a 2+b 2，∴a 2+b 2＝c 2，故A 选项能证明勾股定理；B 、大正方形的面积为：（a +b ）2，也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a 2+b 2+2ab ，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ，∴B 选项不能证明勾股定理．C 、大正方形的面积为：（a +b ）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab ×4+c 2＝2ab +c 2，∴（a +b ）2＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2，故C 选项能证明勾股定理；D、梯形的面积为：12（a+b）（a+b）=12（a2+b2）+ab，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：12ab×2+12c2＝ab+12c2，∴12（a2+b2）+ab＝ab+12c2，∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式，熟练掌握内弦图、外弦图是解题的关键．【变式2-2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．3【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，∴4×12ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．【变式2-3】（2022春•高安市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【分析】根据勾股定理和大正方形面积为25，可以判断①；根据小正方形面积为1，可以判断②；根据大正方形面积为25，小正方形面积为1，可以得到四个直角三角形的面积，从而可以得到ab的值，即可判断③；根据完全平方公式可以判断④．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2＝25，故①正确；∵小正方形面积为1，∴小正方形的边长为1，∴a﹣b＝1，故②正确；∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴12ab＝（25﹣1）÷4，解得ab＝12，故③正确；∵a2+b2＝25，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴a+b＝7，故④正确；故选：D．【点评】本题考查勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．【变式2-4】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A ．36B ．76C ．66D ．12【分析】由题意∠ACB 为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC 延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，则x 2＝122+52＝169，所以x ＝13，所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．故选：B ．【点评】此题考查了勾股定理的证明，本题是勾股定理在实际情况中的应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．【变式2-5】用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c 2＝a 2+b 2．（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AC ＝4，BC ＝3，求CD 的长度；（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a +b ）2的值（a ＜b ）．【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法求解即可；（2）根据直角三角形的面积公式求解即可；（3）根据小正方形的为1得出2ab ＝12，再结合c 2＝13即可求解．【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积＝c 2＝4×12ab +(b ―a )2，整理得，c2＝a2+b2；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=5，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB=125；（3）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，∴c2＝13，（b﹣a）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，即（a+b）2的值为25．【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键．【变式2-6】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF 与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．【解答】证明：如图，连接BF，∵AC ＝b ，∴正方形ACDE 的面积为b 2，∵CD ＝DE ＝AC ＝b ，BC ＝a ，EF ＝BC ＝a ，∴BD ＝CD ﹣BC ＝b ﹣a ，DF ＝DE +EF ＝a +b ，∵∠CAE ＝90°，∴∠BAC +∠BAE ＝90°，∵∠BAC ＝∠EAF ，∴∠EAF +∠BAE ＝90°，∴△BAE 为等腰直角三角形，∴四边形ABDF 的面积为：12c 2+12（b ﹣a ）（a +b ）=12c 2+12（b 2﹣a 2），∵正方形ACDE 的面积与四边形ABDF 的面积相等，∴b 2=12c 2+12（b 2﹣a 2），∴b 2=12c 2+12b 2―12a 2，∴12a 2+12b 2=12c 2，∴a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用拼图的方法，再利用面积相等证明．【例题3】如图，当正方形B的面积为64，正方形C的面积为100时，正方形A的面积为（）A．36B．25C．16D．6【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．【解答】解：由图可知，△DEF是直角三角形，∴DE2+DF2＝EF2，∵正方形B的面积＝DF2，正方形C的面积＝EF2，正方形A的面积＝DF2，正方形B的面积为64，正方形C的面积为100，∴正方形A的面积＝100﹣64＝36．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．【变式3-1】（2022秋•渠县期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（）A．8B．9C．10D．12【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：由勾股定理，得正方形E的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积，正方形E的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积，则正方形B的面积＝18﹣6﹣4＝8，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-2】（2022秋•南京期末）如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（）A．8B．4C．2D．【分析】由等腰三角形的性质及勾股定理可求解AC＝CB＝2，进而可求得S△ACB＝2，再利用阴影部分的面积＝以AC为直径的圆的面积+△ACB的面积﹣以AB为直径的半圆的面积计算可求解．【解答】解：在等腰Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝∴AC 2+BC 2＝AB 2＝8，∴AC ＝CB ＝2，∴S △ACB =12AC •BC ＝2，∴S 阴影＝π（AC 2）2+S △ACB ―12π（AB 2）2＝π+2﹣π＝2，故选：C ．【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，理清阴影部分的面积＝以AC 为直径的圆的面积+△ACB 的面积﹣以AB 为直径的半圆的面积是解题的关键．【变式3-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A ＝4，S B ＝2，S c ＝2，S D ＝1，则S ＝（）A ．25B ．20C ．9D ．5【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【解答】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可知：S＝S F+S G＝S A+S B+S C+S D＝4+2+2+1＝9；即S＝9；故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-4】如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S2．如果S2+S1﹣S3＝18，则阴影部分的面积为　．【分析】由勾股定理得出S2﹣S3＝S1，再根据S2+S1﹣S3＝18即可得出S1的值，即为图中阴影部分的面积．【解答】解：由勾股定理得，BC2﹣AC2＝AB2，即S2﹣S3＝S1，∵S2+S1﹣S3＝18，∴S 1＝9，由图形可知，阴影部分的面积=12S 1，∴阴影部分的面积=92，故答案为：92．【点评】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出S 2﹣S 3＝S 1，是解题的关键．【变式3-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 cm 2．【分析】如图根据勾股定理有S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形3，S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形3，S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2，∴S 正方形C +S 正方形D +S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1＝162＝256（cm 2）．故答案为：256．【点评】本题考查了勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式3-6】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；（2）①根据AAS可以证明结论成立；②根据S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECB，AC=CB∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S 梯形ADEB ＝S △ADC +S △ACB +S △CEB ，∴(a b )(a b )2=ab 2+c 22+ab 2，化简，得：a 2+b 2＝c 2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【例题4】（2022秋•门头沟区期末）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．求BC 边上的高的长．【分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据等腰三角形的性质求出BD =12BC ＝4，根据勾股定理求出AD 的长即可．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD =12BC ＝4，∴AD==3，即BC 边上的高的长为3．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理是解题的关键．【变式4-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E两点，若BE＝5，CE＝3，则AC的长为．【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：连接AE，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝5，∵∠C＝90°，CE＝3，∴AC==4，故答案为：4．【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式4-2】（2021春•齐齐哈尔月考）已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长．【分析】作AD⊥BC，得∠ADC＝∠ADB＝90°，根据勾股定理和直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半计算即可．【解答】解：作AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠C＝30°，∴AD=12AC＝1，在Rt△ACD，根据勾股定理得，CD=∵∠B＝45°，∴∠DAB＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝1，则BC＝1∴AB=【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理和直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，这两个定理的应用是解题关键．【变式4-3】（2022春•阳新县期末）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（）A．14B．4C．14或4D．以上都不对【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC＝BD+DC＝9+5＝14；（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．【变式4-4】如图，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．连接CD，在点D的运动过程中，当△ACD 为等腰三角形时，AD 的长为．【分析】分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质，分别求解即可解决问题．【解答】解：①当AD ＝AC 时，△ACD 为等腰三角形，∵AC ＝15，∴AD ＝AC ＝15．②当CD ＝AD 时，△ACD 为等腰三角形，∵CD ＝AD ，∴∠DCA ＝∠CAD ，∵∠CAB +∠B ＝90°，∠DCA +∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ，∴CD ＝BD ＝DA ＝12.5；③当CD ＝AC 时，△ACD 为等腰三角形，如图，作CH ⊥BA 于点H ，则12×AB ×CH =12×AC ×BC ，∵AC ＝15，BC ＝20，AB ＝25，∴CH ＝12，在Rt △ACH 中，AH =9，∵CD ＝AC ，CH ⊥BA ，∴DH ＝HA ＝9，∴AD ＝18，综上所述：AD 的值为15或12.5或18．故答案为：15或12.5或18．【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【例题5】如图，阴影部分表示以Rt △ABC 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S 1和S 2．若S 1+S 2＝7，AB ＝6，则△ABC 的周长是（）A ．12.5B ．13C ．14D ．15【分析】根据勾股定理得到AC 2+BC 2＝AB 2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，∵S 1+S 2＝7，∴12×π×（AC 2）2+12×π×（BC 2）2+12×AC ×BC ―12×π×（AB 2）2＝7，∴AC ×BC ＝14，∴（AC +BC ）2＝AC 2+BC 2+2AC •BC ＝62+2×14＝64，∴AC +BC ＝8（负值舍去），∴△ABC 的周长＝AB +AC +BC ＝8+6＝14，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式5-1】如图，三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，DE⊥AB于E，已知CD=3，BD=5，求三角形ABC的周长．【分析】根据角平分线的性质得到DE=CD=3，根据勾股定理求出BE的长，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，AC=AE，∵DE⊥AB，DE=3，BD=5，根据勾股定理得，BE=4，∴AC2+82=（AE+4）2，解得AE=6，则AC=6，∴三角形ABC的周长=AC+AB+BC=24．【点评】本题考查的是角平分线的性质和勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式5-2】如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，则△BED周长为（）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，可求出BE，再利用勾股定理列式求出BC，最后根据三角形的周长列式计算即可得解．【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADDC=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE＝6，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，由勾股定理得，BC==8，∴△BDE的周长＝BE+BD+CD＝BE+BD+CD＝BE+BC＝4+8＝12（cm）．故选：B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．【变式5-3】在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，点E为AC的中点，连接BE，DE．若DE=132，BC＝12，则△ABE的周长为．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边得到AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，再利用勾股定理求出AB＝5即可得到答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，∴AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，∵BC＝12，∴AB=5，∴△ABE的周长为AE+BE+AB=5+2×132=18，故答案为：18．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【例题6】（2022春•范县期中）如图，正方形ABCD中，AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，则阴影部分的面积是（）A．13B．15C．18D．19【分析】利用正方形的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积．【解答】解：∵AE⊥BE，且AE＝3，AB＝5，∴BE=4，∴S△ABE=12AE⋅BE=12×3×4=6，∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴S正＝5×5＝25，∴S阴影＝S正﹣S△ABE＝25﹣6＝19．故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质与勾股定理，解题的关键是用割补法求阴影部分的面积．【变式6-1】如图，在△ABC中，AC＝BC＝17，AB＝16，求△ABC的面积．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理，以及三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∵AC＝BC＝17，AB＝16，∴AD＝BD=12AB＝8，∵AD2+CD2＝AC2，∴CD=15，∴S△ABC =12AB•CD=12×16×15=120．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式6-2】（2022春•桐城市期末）如图2，在△ABC 中，AC ＝8，AB ＝4，∠BAC ＝120°，求△ABC 的面积．【分析】过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，由勾股定理求出CD 的长，利用三角形面积公式可求出答案．【解答】解：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴∠ACD ＝30°，∵AC ＝8，∴AD =12AC ＝4，∴CD =∴S △ABC =12AB •CD =12×=【点评】此题主要考查了勾股定理，三角形面积公式，求得出AB ，CD 的长是解题的关键．【变式6-3】如图在四边形ABCD 中，∠ABC ＝120°，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝5，求该四边形的面积．【分析】延长DA 和CB 交于O ，求出∠O ＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出OB 和OD ，根据勾股定理求出OA 和OC ，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：延长DA 和CB 交于O ，∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，∴∠DAB ＝∠C ＝∠OAB ＝90°，∵∠D ＝60°，∴∠O ＝30°，∵AB ＝4，DC ＝5，∴OB ＝2AB ＝8，OD ＝2DC ＝10，由勾股定理得：OA ==OC =∴四边形ABCD 的面积是:S △OCD ﹣S △OAB =12×OC ×CD ―12×OA ×AB =12×5―12×【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式6-4】如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝4，BD ＝10，BC ＝8，求四边形ABCD 的面积．【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，利用勾股定理和角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝6，再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △BCD 可求出四边形ABCD 的面积．【解答】解：过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，如图所示．∵∠BCD＝90°，BD＝10，BC＝8，∴BD=6，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝6，∴S四边形ABCD ＝S△ABD+S△BCD，=12AB•DE+12BC•CD，=12×4×6+12×8×6，＝36．【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．【例题7】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE+CD．【分析】（1）根据勾股定理AB2+BC2＝AC2，得出AB2+BC2＝2AB2，进而得出AB＝BC；（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE＝BF，进而证明结论．【解答】证明：（1）连接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC．（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE与△CBF中∴∠AEB=∠BFC ∠BAE=∠CBF AB=BC，∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE＝BF．∴BE＝BF+EF＝AE+CD．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解决问题的关键．【变式7-1】已知AD是△ABC的中线，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，试说明AC2＝AE2﹣BE2．【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理可得AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2，从而证明结论．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD．∵∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴AE2﹣BE2＝（AD2﹣DE2）﹣（BD2﹣DE2）＝AD2﹣BD2＝AD2﹣CD2＝AC2．故AC2＝AE2﹣BE2．【点评】考查了直角三角形的性质和勾股定理，注意线段相互间的转化．【变式7-2】已知，如图，△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高，M是AD边上任意一点．求证：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．。

初中数学解题模型专题讲解29---勾股定理知识点与常见题型总结

例 5.如图有两棵树，一棵高 8 cm ，另一棵高 2 cm ，两树相距 8 cm ，一只小鸟从一棵树
的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
m
A
E
D
B
C
分析：根据题意建立数学模型，如图 AB = 8 m ，CD = 2 m ，BC = 8 m ，过点 D 作 DE ⊥ AB ，垂足为 E ，则 AE = 6 m ， DE = 8 m 在 Rt∆ADE 中，由勾股定理得 AD = AE2 + DE2 = 10 答案：10 m
8/8
一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一： 4S∆
初中数学解题模型专题讲解
一．知识归纳
专题 29 勾股定理复习
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a2 + b2 = c2
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代
把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进
+ S正方形EFGH
=
S正方形ABCD
，
4
×
1 2
ab
+
(b
−

勾股定理知识归纳与题型突破(十一类题型清单) (学生版)-2024-2025学年八年级数学上册单元

第一章勾股定理知识归纳与题型突破（十一类题型清单）一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）二、勾股定理的逆定理a b 、c 222a b c +=01 思维导图02 知识速记1.勾股定理的逆定理　如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若时，△ABC 是锐角三角形；若时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t 为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.四、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．题型一　用勾股定理解三角形例题1．若一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边长是（）A ．6B ．7C ．8D ．10巩固训练a b c 、、222a b c +=c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、a b c 、、at bt ct 、、a b c 、、a b c <<2a b c =+272903 题型归纳2．在直角ABC V 中，∠B=90°，3AB =，4AC =，则BC 的长为（）A ．5BC ．5D ．53．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，2BC =，则222AC AB BC ++的值为（）A ．8B ．2C ．4D ．4．如图所示，已知ABC V 中，6AB =，9AC =，AD BC ^于D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于．题型二　勾股定理逆定理勾股数例题5．下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（）A ．5，12，14B ．6，8，9C ．7，24，25D ．8，13，15巩固训练6．由下列条件不能判定ABC V 为直角三角形的是（）A ．A C BÐ+Ð=ÐB ．13a =，14b =，15c =C ．()()2b a b a c +-=D ．5:::3:2A B C ÐÐÐ=7．在下列四组数中，属于勾股数的是（）A ．0.3，0.4，0.5B ．3，4，5C ．2，8，10D ．18．下列各组数中，是勾股数的是（）．A ．1，2，3BCD ．9，12，15题型三　勾股定理及其逆定理解三角形解答题例题9．（1）如图，在ABC V 中，AD BC ^，求证：2222AB AC BD CD -=-；（2）在ABC V 中，8AB =，5AC =，BC 边上的高4AD =，求边BC 的值．巩固训练10．如图，已知等腰ABC V 的底边25cm BC =，D 是腰AB 上一点，连接CD ，且24cm 7cm CD BD ==，．(1)求证：BDC V 是直角三角形；(2)求AB 的长．11．如图，已知在ABC V 中，CD AB ^于点D ，20AC =，15BC =，9DB =，(1)求DC 、AB 的长；(2)求证：ABC V 是直角三角形．12．已知在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，9AC =，15AB =，5BD =，过点D 作DH AB ^于点H ．(1)求CD 的长；(2)求DH 的长．题型四　勾股定理逆定理拓展性质例题13．下列由三条线段a 、b 、c 构成的三角形：①2a mn =，22b m n =-，()220c m n m n =+>>，②21a n =+，2221b n n =++，()2220c n n n =+>，③3a k =，4b k =，()50c k k =>，2=，其中能构成直角三角形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个巩固训练14．以下四组代数式作为ABC V 的三边：①345n n n ，，（n 为正整数）；②12n n n ++，，（n 为正整数）；③22121n n n +-，，（2n ³，n 为正整数）；④22222m n mn m n -+，，（m n >，m ，n 为正整数）．其中能使ABC V 为直角三角形的有（）A ．0组B ．1组C ．2组D ．3组15．下列命题①如果a b c 、、为一组勾股数，那么444a b c 、、仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、7，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边a b c 、、，（ab c >=），那么222::2:1:1a b c =，其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④题型五　勾股定理与数轴上的实数例题16．如图，在数轴上点A 表示的实数是（）A B C D 巩固训练17．如图，OA OB =，(1)写出数轴上点A 表示的数；(2)比较点A 表示的数与 1.5-的大小；(3)18．如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点为B ，且点B 表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论．(1)点B 表示的数为_________；得出的结论是：_________与数轴上的点是一一对应的．(2)若将图中数轴上标的A ，C ，D 3和p -对应起来，则点A 表示的实数为_________，点C 表示的实数为_________，点D 表示的实数为_________．题型六　网格问题例题19．如图，ABC V 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ^于点D ，则BD 的长为（）A B C D ．45巩固训练20．如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（）A ．B ．C ．D ．21．如图所示，在44´的正方形网格中，ABC V 的顶点都在格点上，下列结论错误的是（）A ．60CBA Ð=°B ．5AB =C ．90ACB Ð=°D ．BC =题型七　以直角三角形三边为边长的面积问题例题22．如图，图中的三角形为直角三角形，已知正方形A 和正方形B 的面积分别为25和9，则正方形C 的面积为．巩固训练23．如图，1S 、2S 、3S 分别是以Rt ABC △的三边为直径所画半圆的面积，其中110S p =，26S p =，则3S = ．24．如图，五个正方形放在直线MN 上，正方形A 、C 、E 的面积依次为3、5、4，则正方形B 、D 的面积之和为（）A ．11B ．14C ．17D ．2025．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E 的面积是（）A ．11B ．47C ．26D ．3526．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和D ¢，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（）A ．2B ．4C ．8D ．16题型八　求线段的平方和或差例题27．已知a ，b ，c 是ABC V 中A Ð，B Ð，C Ð的对边，下列说法正确的有（）个①若90C Ð=°，则2a +22b c =；②若90B Ð=°，则222a c b +=；③若90A Ð=°，则2b +22c a =；④总有2a +22b c =．A ．1B ．2C ．3D ．4巩固训练28．在Rt ABC △中，斜边2BC =，则222AB AC BC ++的值为（）A ．4B ．6C ．8D ．无法计算29．如图，ABC V 中，90BAC Ð=°，点A 向上平移后到A ¢，得到A BC ¢V ．下面说法错误的是（）A ．ABC V 的内角和仍为180°B ．BAC BAC ¢Ð<ÐB ．C ．222AB AC BC +=D ．222A B A C BC ¢¢+<30．如图，在ABC V 中，AB AC >，AH BC ^于H ，M 为AH 上异于A 的一点，比较AB AC -与MB MC -的大小，则AB AC -（）MB MC -．A ．大于B ．等于C ．小于D ．大小关系不确定题型九　勾股定理的证明方法例题31．我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．巩固训练32．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（）A．函数思想B．数形结合思想C．分类思想D．方程思想33．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（）A ．B ．C ．D ．34．如图，在四边形ABDE 中，AB DE ∥，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC CDE ≌△△；②A C C E ^；③四边形ABDE 的面积是222121b ab a ++；④()2221112222a b c ab +-=´；⑤222+=a b c ．其中正确的结论个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5题型十　勾股定理的应用例题35．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，断落的木杆与地面形成45°角，则木杆原来的长度是（　）A ．8米B ．(8+米C ．16米D ．24米巩固训练36．如图，AC BC ^，一架云梯AB 长为25米，顶端A 靠在墙AC 上，此时云梯底端B 与墙角C 距离为7米，云梯滑动后停在DE 的位置上，测得AE 长为4米，则云梯底端B 在水平方向滑动的距离BD 为（）A ．4米B ．6米C ．8米D ．10米37．如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度x （罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（）A ．1213x ≤≤B ．1215x ££C ．512x ££D ．513x ££38．如图所示，ABCD 是长方形地面，长20AB =，宽10AD =，中间整有一堵砖墙高2MN =，一只蚂蚁从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（）A ．20B ．24C ．25D ．2639．某会展中心在会展期间准备将高5m 、长13m 、宽2m 的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元．40．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠站A 的距离为300米，与公路上另一停靠站B 的距离为400米，且CA CB ^，如图，为了安全起见，爆破点C 周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．41．某条道路限速80km /h ，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m 的C 处，过了2s ，小汽车到达B 处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m ．(1)求BC 的长；(2)这辆小汽车超速了吗？题型十一　折叠问题例题42．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边9cm AC =，12cm BC =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合．(1)求EB 的长；(2)求CD 的长．巩固训练43．如图，在长方形ABCD 中，将长方形沿EF 折叠，使点C 的对应点与点A 重合，点D 的对应点为点G ．(1)求证：AE AF =；(2)若48AB BC ==，，求ABE V 的面积．44．如图，在ABC V 中，9068ACB AC BC Ð=°==，，．(1)如图（1），把ABC V 沿直线DE 折叠，使点A 与点B 重合，求BE 的长；(2)如图（2），把ABC V 沿直线AF 折叠，使点C 落在AB 边上G 点处，请直接写出BF 的长．45．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点P 在矩形的边CD 上由点D 向点C 运动.沿直线AP 翻折ADP D ，形成如下四种情形，设DP x =，ADP D 和矩形重叠部分（阴影）的面积为y .（1）如图4，当点P 运动到与点C 重合时，求重叠部分的面积y ；（2）如图2，当点P 运动到何处时，翻折ADP D 后，点D 恰好落在BC 边上？这时重叠部分的面积y 等于多少？46．如图，在ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF Ð=°，连接CF ．(1)请判断CF与BC的位置关系，并说明理由；=，求线段AD的长；(2)若8BC=，4CD BC(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF△沿线段DF翻折，使点A与点E重合，连接CE，求线段CE的长．。

中考数学复习考点知识与题型专题讲解18---勾股定理(解析版)

中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题18 勾股定理【知识要点】知识点一直角三角形与勾股定理直角三角形三边的性质：1、直角三角形的两个锐角互余。

2、直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。

3、直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。

勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=变式：1）a ²=c ²-b ²2）b ²=c ²-a ²适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．c ba HG FEDC B A b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证222a b c +=知识点二勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等扩展：用含字母的代数式表示n 组勾股数：1）221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2）2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）3）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。

勾股定理复习与常见题型总结

勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 22222mn m n m n -+，，（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D CBA ADB CCDA题型一：直接考查勾股定理例1. 在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例3. 如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =，2.5BD =，求AC 的长21EDCBA例4. 如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5. 如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6. 已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例7. 三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8. 已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =例题9 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41=那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？题型六：关于翻折问题例10.如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E 为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BD=4,求BC’的长.题型七：旋转问题：例11．△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△AC P′重合，若AP=3，求PP′的长。

专题10 勾股定理的综合探究题型(解析版)

专题10 勾股定理的综合探究题型（解析版）题型一探究直角三角形的边和高之间的关系典例1（湖州模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，设AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，CD ＝h ，有下列四种说法：①a •b ＝c •h ；②a +b ＜c +h ；③以a +b 、h 、c +h 为边的三角形，是直角三角形；④1a 2+1b 2=1ℎ2．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路引领：①根据三角形面积公式即可求解；②证明（a +b ）2＜（c +h ）2；③直角三角形，证明（a +h ）2+h 2＝（c +h ）2；④只需证明h 2（1a 2+1b 2）＝1，从左边推导到右边．解：①∵Rt △ABC 的面积为：12ab 或12ch ，∴ab ＝ch ，故①正确；②∵c 2＜c 2+h 2，a 2+b 2＝c 2，∴a 2+b 2＜c 2+h 2，∵ab ＝ch ，∴a 2+b 2+2ab ＜c 2+h 2+2ch ，∴（a +b ）2＜（c +h ）2，∴a +b ＜c +h ，故②正确；③∵（c +h ）2＝c 2+2ch +h 2，h 2+（a +b ）2＝h 2+a 2+2ab +b 2，∵a 2+b 2＝c 2，（勾股定理）ab ＝ch （面积公式推导）∴c 2+2ch +h 2＝h 2+a 2+2ab +b 2，∴（c +h ）2＝h 2+（a +b ）2，∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，③正确；④∵ab＝ch，∴（ab）2＝（ch）2，即a2b2＝c2h2，∵a2+b2＝c2，∴a2b2＝（a2+b2）h2，∴a2b2a2b2=h2，∴a2b2a2b2=1ℎ2，∴a2a2b2+b2a2b2=1ℎ2，∴1a2+1b2=1ℎ2，故④正确．故选：D．总结提升：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题，在证明过程中，注意面积关系式ab＝ch的应用．题型二“手拉手”全等或旋转构造手拉手全等模型典例2（2022•卧龙区校级开学）如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，下列结论：①△AED≌△AEF；②BF＝CD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2＝DE2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个思路引领：根据∠DAF＝90°，∠DAE＝45°，得出∠FAE＝45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；可证△ABF≌△ACD，于是BF＝CD，判定②正确；先由∠BAC＝∠DAF＝90°，得出∠CAD＝∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD＝BF，又①知DE＝EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C＝∠ABF＝45°，进而得出∠EBF＝90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2＝EF2，等量代换后判定④正确．解：①∵∠DAF＝90°，∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠DAF﹣∠DAE＝45°．在△AED与△AEF中，AD=AF∠DAE=∠FAE=45°，AE=AE∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠FAB＝∠CAD，在△ABF与△ACD中，AF=AD∠FAB=∠CAD，AB=AC∴△ABF≌△ACD（SAS），∴BF＝CD，②正确；③∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD＝∠BAF．在△ACD与△ABF中，AC=AB∠CAD=∠BAF，AD=AF∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD＝BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE＝EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；由③知△ACD≌△ABF，∴∠C＝∠ABF＝45°，∵∠ABE＝45°，在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2＝EF2，∵BF＝DC，EF＝DE，∴BE2+DC2＝DE2，④正确．所以正确的结论有①②③④．故选：D．总结提升：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，熟练运用这些知识点是解题的关键．典例3 （2020•滨州模拟）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB 绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数．思路引领：首先证明△BPQ为等边三角形，得∠BQP＝60°，由△ABP≌CBQ可得QC＝PA，在△PQC 中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出∠PQC＝90°，可求∠BQC的度数，由此即可解决问题．解：连接PQ，由题意可知△ABP≌△CBQ则QB＝PB＝4，PA＝QC＝3，∠ABP＝∠CBQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠PBQ＝∠CBQ+∠PBC＝60°，∴△BPQ为等边三角形，∴PQ＝PB＝BQ＝4，又∵PQ＝4，PC＝5，QC＝3，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，∵△BPQ为等边三角形，∴∠BQP＝60°，∴∠APB ＝∠BQC ＝150°总结提升：本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．针对练习1．（洪山区期中）如图，∠AOB ＝30°，P 点在∠AOB 内部，M 点在射线OA 上，将线段PM 绕P 点逆时针旋转90°，M 点恰好落在OB 上的N 点（OM ＞ON ），若PM ON ＝8，则OM ＝．思路引领：连接MN ，作NH ⊥OA 于H ，如图，根据旋转的性质得∠MPN ＝90°，PN ＝PM判断△PMN 为等腰直角三角形，则MN =＝Rt △OHN 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得NH =12ON ＝4，OH =＝Rt △MNH 中根据勾股定理计算出MH ＝2，由此得到OM ＝OH +HM ＝+2．解：连接MN ，作NH ⊥OA 于H ，如图，∵线段PM 绕P 点逆时针旋转90°，M 点恰好落在OB 上的N 点，∴∠MPN ＝90°，PN ＝PM =∴△PMN 为等腰直角三角形，∴MN =＝在Rt △OHN 中，∵∠NOH ＝30°，ON ＝8，∴NH =12ON ＝4，OH＝在Rt△MNH中，∵NH＝4，MN＝∴MH==2，∴OM＝OH+HM＝+2．故答案为2．总结提升：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．2．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，在△AOB与△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝BO，CO＝DO，连接CA，BD．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）连接BC，若OC＝1，AC BC＝3①判断△CDB的形状．②求∠ACO的度数．思路引领：（1）由题意可得∠AOC＝∠BOD，且AO＝BO，CO＝DO，即可证△AOC≌△BOD；（2）①由全等三角形的性质和勾股定理的逆定理可得∠BDC＝90°，即可得△CDB是直角三角形；②由全等三角形的性质可求∠ACO的度数．证明：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，且AO＝BO，CO＝DO，∴△AOC≌△BOD（SAS）（2）①如图，∵△AOC≌△BOD∴∠ACO＝∠BDO，AC＝BD=∵CO＝DO＝1，∠COD＝90°∴CD=ODC＝∠OCD＝45°∵CD2+BD2＝9＝BC2，∴∠CDB＝90°∴△BCD是直角三角形②∵∠BDO＝∠ODC+∠CDB∴∠BDO＝135°∴∠ACO＝∠BDO＝135°总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．题型三倍长中线构造全等三角形典例4（2022•苏州模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，DE，DF分别交AC于点E，交BC于点F，且DE⊥DF．（1）如果CA＝CB，连接CD．①求证：DE＝DF；②求证：AE2+BF2＝EF2；（2）如图2，如果CA＜CB，探索AE，BF和EF之间的数量关系，并加以证明．思路引领：（1）①根据等腰直角三角形的性质可知，∠DCE＝∠DBF＝45°，∠CDB＝90°，CD＝BD．由DE⊥DF，可证明∠CDE＝∠BDF．即可利用“ASA”证明△DCE≌△DBF，即得出DE＝DF；②由全等三角形的性质可知BF＝CE，结合题意可求出AE＝CF．在Rt△ECF中，再由勾股定理，得CF2+CE2＝EF2，即得出AE2+BF2＝EF2；（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接AM，EM．易证△ADM≌△BDF（SAS），得出AM＝BF，∠MAD＝∠B，从而判断AM∥BC，即证明∠MAE＝∠ACB＝90°．再根据线段垂直平分线的判定和性质可知EF＝EM．最后在Rt△AEM中，由勾股定理，得AE2+AM2＝EM2，即得出AE2+BF2＝EF2．（1）①证明：∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵点D是AB的中点，∴∠DCE＝∠DBF＝45°，∠CDB＝90°，CD＝BD．又∵DE⊥DF，∴∠EDF＝∠CDB＝90°，∵∠CDE＝∠EDF﹣∠CDF，∠BDF＝∠CDB﹣∠CDF，∴∠CDE＝∠BDF．在△DCE与△DBF中，∠DCE=∠DBFCD=BD，∠CDE=∠BDF∴△DCE≌△DBF（ASA），∴DE＝DF；②证明：由①可知△DCE≌△DBF，∴BF＝CE，∵CA＝CB，∴CA﹣CE＝CB﹣BF，即AE＝CF．在Rt△ECF中，由勾股定理，得CF2+CE2＝EF2，∴AE2+BF2＝EF2；（2）解：结论：AE2+BF2＝EF2．理由如下：如图，延长FD至点M，使DM＝DF，连接AM，EM．∵点D为AB中点，∴AD＝BD，∵∠ADM＝∠BDF，DM＝DF，∴△ADM≌△BDF（SAS），∴AM＝BF，∠MAD＝∠B，∴AM∥BC，∴∠MAE＝∠ACB＝90°．又∵DE⊥DF，DM＝DF，∴DE是FM的垂直平分线，∴EF＝EM，在Rt△AEM中，由勾股定理，得AE2+AM2＝EM2，∴AE2+BF2＝EF2．总结提升：本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及平行线的性质等知识．掌握三角形全等的判定条件和正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．题型四以两个直角三角形的公共边或等边为桥梁运用双勾股典例5 [阅读理解]如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长．解：设BD＝x，则CD＝7﹣x．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2．又∵AB＝4，AC＝6，∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2．解得x＝，∴BD＝．∴AD＝＝．[知识迁移]（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D．i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；ii）若AD＝12，求线段BC的长．（2）如图2，在△ABC中，AB＝，AC＝，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ABD′，连接CD′，若AD＝，求线段CD′的长．思路引领：（1）i）利用勾股定理得出AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，进而建立方程求BD，即可得出结论；ii）先利用勾股定理求出BC＝5，CD＝9，再分两种情况．即可得出结论；（2）先利用勾股定理求出BD，CD，再利用面积求出DN，进而求出DD'，再用勾股定理得出D'H2＝D'D2﹣HD2＝D'B2﹣HB2，进而建立方程求出HB，即可得出结论．解：（1）i）设BD＝x，则CD＝14﹣x，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝13，AC＝15，∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，∴x＝5，∴BD＝5，∴AD＝＝＝12；ii）在Rt△ABD中，BD＝＝＝5，在Rt△ACD中，CD＝＝＝9，当∠ABC为锐角时，如图1﹣1，BC＝BD+CD＝5+9＝14，当∠ABC为钝角时，如图1﹣2，BC＝BD﹣CD＝9﹣5＝4；（2）如图2，连接DD'交AB于点N，则DD'⊥AB，过点D'作D'H⊥BD于H，在Rt△ABD中，BD＝＝＝；在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∵AB垂直平分DD'，∴D'B＝DB＝，D'D＝2DN，＝AD•BD＝，∵S△ABD∴＝•DN，∴DN＝，∴D'D＝2DN＝5，设HB＝m，则HD＝HB+BD＝m+，∵D'H2＝D'D2﹣HD2＝D'B2﹣HB2，∴（5）2﹣（m+）2＝（）2﹣m2，∴m＝，∴HB＝，∴HC＝HB+BD+CD＝++4＝15，D'H＝＝＝5，∴D'C＝＝＝5．总结提升：此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，直角三角形的构造，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D．若AC＝3，AB＝5，则CD的长为（）A．B．C．D．思路引领：如图，作DH⊥AB于H．首先证明AC＝AH，DC＝DH，AC＝AH＝3，设DC＝DH＝x，在Rt△BDH中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．解：如图，作DH⊥AB于H．∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，∴∠CAD＝∠HAD，∠C＝∠AHD＝90°，∵AD＝AD，∴△ADC≌△ADH（AAS），∴AC＝AH＝3，CD＝DH，设CD＝DH＝x，∵AB＝5，∴BH＝AB＝AH＝5﹣3＝2，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，在Rt△HBD中，则有（4﹣x）2＝x2+22，∴x＝，∴CD＝，故选：A．总结提升：本题考查勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．AC＝17，AD＝15，BC＝28，则AE的长等于．思路引领：利用勾股定理可得DC和AB的长，由角平分线定理可得EG＝ED，证明Rt△BDE≌Rt△BGE （HL），可得BG＝BD，设AE＝x，则ED＝15﹣x，根据勾股定理列方程可得结论．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵AD＝15，AC＝17，∴DC＝，∵BC＝28，∴BD＝28﹣8＝20，由勾股定理得：AB＝，过点E作EG⊥AB于G，∵BF平分∠ABC，AD⊥BC，∴EG＝ED，在Rt△BDE和Rt△BGE中，∵，∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），∴BG＝BD＝20，∴AG＝25﹣20＝5，设AE＝x，则ED＝15﹣x，∴EG＝15﹣x，Rt△AGE中，x2＝52+（15﹣x）2，x＝，∴AE＝．故答案为：．总结提升：本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．题型五勾股定理解决折叠问题典例6（2022•东莞市校级二模）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC＝5，CM＝2，则EF＝（）A．3B．4C D思路引领：作FH⊥AD，结合折叠性质：EF⊥AM，证∠POF＝∠AOH＝∠AMD＝∠FEH，再证△ADM ≌△FHE得EF＝AM，根据勾股定理即可求出结果．解：由折叠的性质得EF⊥AM，过点F作FH⊥AD于H，交AM于O，则∠ADM＝∠FHE＝90°，∴∠HAO+∠AOH＝90°、∠HAO+∠AMD＝90°，∴∠POF＝∠AOH＝∠AMD，又∵EF⊥AM，∴∠POF+∠OFP＝90°、∠HFE+∠FEH＝90°，∴∠POF＝∠FEH，∴∠FEH ＝∠AMD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ＝FH ＝5，在△ADM 和△FHE 中，∠ADM =∠FHE ∠AMD =∠FEH AD =FH，∴△ADM ≌△FHE （AAS ），∴EF ＝AM =故选：D ．总结提升：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．针对训练1．如图，将一张长方形纸片沿着AE 折叠后，点D 恰好与BC 边上的点F 重合，已知AB ＝6 cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长度．解：由题意可知△ADE ≌△AFE ，所以AF ＝AD ＝10 cm ，EF ＝DE ．在Rt △AFB 中，根据勾股定理得BF 8(cm)，所以FC ＝BC －BF ＝2(cm)．设EC ＝x cm ，DE ＝DC －EC ＝(6－x )cm ，即EF ＝(6－x )cm ，在Rt △EFC 中，根据勾股定理有EF 2＝FC 2＋EC 2，即(6－x )2＝22＋x 2，解得x ＝83，所以EC ＝83cm ．题型六勾股定理在平面直角坐标系背景下的应用典例7（2017春•武昌区校级月考）如图，A （0，m ），B （n ，0）+n 2﹣10n +25＝0（1）求点A ，点B 的坐标；（2）点P是第二象限内一点，过点A作AC⊥射线BP，连接CO，试探究BC，AC，CO之间的数量关系并证明．（3）在（2）的条件下，∠POC＝∠APC，PA＝PB的长．思路引领：（1）利用非负数的性质求得m、n的值，易得点A、B的坐标；（2）如图1，作OD⊥OC交PB于D，证△OAC≌△OBD（ASA）（提示AO，BC八字形），得证等腰Rt△OCD，故BC﹣AC＝CD=；（3）作OM⊥OP交AC延长线于M，作AN⊥OP于N，连接PM．易证△OPB≌△OMA（ASA），故PB ＝MA，且得证等腰Rt△OPM，又∠APO＝∠APC+∠OPC＝∠POC+∠OPC＝∠OCB＝45°，所以∠APM＝45°+45°＝90°，易求出OP＝PN+ON＝4+3＝7，（Rt△ANO，等腰Rt△APN），Rt△APM中，MA解：（1+n2﹣10n+25＝0，∴|m﹣5|+（n﹣5）2＝0∴m﹣5＝0且n﹣5＝0，则m＝5，n＝5，故A（0，5）B（5，0）；（2）如图1，作OD⊥OC交PB于D，∵AO⊥BO，∴∠AOC＝∠BOD（同角的余角相等）．又AC⊥PB，∠1＝∠2，∴∠OAC＝∠OBD（等角的余角相等）．在△OAC与△OBD中，∠AOC=∠BODOA=OB，∠OAC=∠OBD∴△OAC≌△OBD（ASA），∴OC＝OD，∴CD，∴BC﹣AC＝CD=；（3）作OM⊥OP交AC延长线于M，作AN⊥OP于N，连接PM．易证△OPB≌△OMA（ASA），∴PB＝MA，且得证等腰Rt△OPM，又∠APO＝∠APC+∠OPC＝∠POC+∠OPC＝∠OCB＝45°，∴∠APM＝45°+45°＝90°，易求出OP＝PN+ON＝4+3＝7．在Rt△APM中，由勾股定理得到：MA=即PB总结提升：考查了三角形综合题，涉及到了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，非负数的性质和配方法的应用，难度较大，难点是作出辅助线，构建全等三角形．针对训练1．（2022秋•莲湖区校级期中）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B的坐标为（3，0），A(1 )．（1）求线段AB的长；（2）若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，请你求出点P的坐标．思路引领：（1）利用两点间得距离公式可求AB；（2）分当AP＝AB时，当BP＝AB时，当BP＝PA时，结合等腰三角形的性质和两点间的距离公式即可求解．解：（1）∵点A，点B的坐标为（3，0），A(1，∴AB=（2）如图所示：当AP＝AB时，根据对称性，3﹣1＝2，1﹣2＝﹣1，∴P1（﹣1，0），同理当BP＝AB时，P20)，P3(3+0)，当BP＝PA时，设P4（x，0），则(x−1)2+2=(3−x)2，解得：x=5 4，∴P4(54，0)，综上所述：点P坐标为（﹣1，0），0)，(3+0)，(54，0)．总结提升：本题考查了点的坐标的求法，综合运用了等腰三角形的定义，两点间的距离公式．。

专题2.7 勾股定理的应用【八大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)

专题2.7 勾股定理的应用【八大题型】【浙教版】【题型1 勾股定理之大树折断模型】 (1)【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】 (3)【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】 (5)【题型4 勾股定理之方向角问题】 (8)【题型5 勾股定理之梯子问题】 (12)【题型6 勾股定理之范围影响问题】 (14)【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】 (18)【题型8 勾股定理应用之其他问题】 (21)【题型1 勾股定理之大树折断模型】【例1】（2022春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高50m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上　24　米处折断．【分析】根据题意设出从底部向上x米处折断，则由题意可知另外两边分别为50﹣x，10．利用勾股定理列出方程进行求解．【解答】解：设从底部向上x米处折断，则另外两边分别为50﹣x，10故102+x2＝（50﹣x）2解得x＝24（米）故烟囱应从底部向上24米处折断．故答案为24．【变式1-1】（2022春•高安市月考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B 处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（）A．10米B．12米C．14米D．16米【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，∴BC=10（m），∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．故选：D．【变式1-2】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，故x2＝42+（x﹣1）2，解得：x＝8.5，答：绳索AD的长度是8.5m．【变式1-3】（2022春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．【分析】首先构造直角三角形，进而求出BD的长，进而求出AC的长，即可得出答案．【解答】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，故BD5（m），即AD＝9m，则AC=15（m），故AC+AB＝15+4＝19（m）．答：这棵树原来的高度是19米．【题型2 勾股定理之风吹荷花模型】【例2】（2022春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是　13　尺．【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．【解答】解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即芦苇长13尺．故答案是：13．【变式2-1】（2022春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，故x2＝42+（x﹣1）2，解得：x＝8.5，答：绳索AD的长度是8.5m．【变式2-2】（2022•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（1）开始时，船距岸A的距离是　12　m；（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动　（12―．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长；（2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴AB=12（m），故答案为：12；（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，∴CD＝8（m），∴AD m），∴BD＝AB﹣AD＝（12m．故答案为：（12―【变式2-3】（2022•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC15（cm），所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．【题型3 勾股定理之蚂蚁行程模型】【例3】（2022春•璧山区期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为10cm，=5（cm）．则AD＝10×12又因为CD＝AB＝12cm，所以AC=13（cm）．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．故选：B．【变式3-1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【解答】解：将台阶展开，如下图，因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，所以AB2＝AC2+BC2＝169，所以AB＝13（cm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．，高为5，【变式3-2】如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为6π则蚂蚁爬行的最短距离为　13　．【分析】将圆柱侧面展开得到一个矩形，根据两点之间线段最短，求出对角线长即可．=12，高为5，【解答】解：因为圆柱底面圆的周长为2π×6π所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，13．故蚂蚁爬行的最短距离为13．【变式3-3】（2022春•东湖区校级期中）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．（cm B cm C cm D cm【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4，第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，三种情况比较而言，第二种情况最短．故选：C．【题型4 勾股定理之方向角问题】【例4】（2022•未央区校级期中）如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（）A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝8海里，OB＝6海里，∴AB=10（海里）．故选：B．【变式4-1】（2022春•白水县期末）如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A 出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？【分析】根据题意可得∠BAC＝90°，分别求出2小时两辆海舰走过的路程AB和AC，然后利用勾股定理求得两艘海舰的距离BC的长度．【解答】解：由题意知，∠BAC＝90°，AB＝2×120＝240，AC＝2×90＝180，由勾股定理得BC300，答：此时两艘海舰相距300海里．【变式4-2】（2022春•合肥期末）某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行15海里到达B岛，然后沿某方向航行20海里到达C岛，最后沿某个方向航行了25海里回到港口A，判断此时△ABC的形状，该船从B岛出发到C是沿哪个方向航行的，请说明理由．【分析】利用勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，再利用直角三角形的性质可求解∠CBD＝32°，进而可求解．【解答】解：该船从B岛出发到C是沿西偏南32°方向航行的．理由：由题意得：AB＝15海里，BC＝20海里，AC＝25海里，∵152+202＝252，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，由题意得∠BAD＝32°，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣32°＝58°，∴∠CBD＝90°﹣58°＝32°，故该船从B岛出发到C是沿西偏南32°方向航行的．【变式4-3】（2022春•潮南区期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由．（2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里．他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而解答即可；（2）过点A作AD⊥PE于D，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）∵OA＝16×1.5＝24，OB＝12×1.5＝18，AB＝30，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，∵“远航”号沿东北方向航行，∴∠AON＝45°，∴∠BON＝90°﹣45°＝45°，∴“海天”号沿西北方向航行；（2）过点F作FD⊥PE于D，OF＝16×2＝32，∵∠NOF＝60°，∴∠FOD ＝90°﹣60°＝30°，∴FD =12OF =12×32=16，∴16÷80＝0.2（小时），∵0.2＜0.5，∴能在半小时内回到海岸线．【题型5 勾股定理之梯子问题】【例5】（2022春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 2.2　米．【分析】先根据勾股定理求出AB 的长，同理可得出BD 的长，进而可得出结论．【解答】解：在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，BC ＝0.7米，AC ＝2.4米，∴AB 2＝0.72+2.42＝6.25（米2），∵AB ＞0，∴AB ＝2.5（米），在Rt △A ′BD 中，∠A ′DB ＝90°，A ′D ＝2米，A 'B ＝AB ＝2.5米，∴BD 2+A ′D 2＝A ′B 2，即BD 2+22＝2.52（米2），∵BD ＞0，∴BD ＝1.5（米），∴CD ＝BC +BD ＝0.7+1.5＝2.2（米），故答案为：2.2．【变式5-1】（2022•花溪区校级期末）一个长度为5米的梯子的底端距离墙脚2米，这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头吗？【分析】根据勾股定理，求出梯子顶端到地面的垂直高度（距离），再和墙的高度作比较．=4.5，所以这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头．【变式5-2】（2022•广南县校级期中）某同学不小心把衣服从教学楼4楼掉落在离地面高为2.3米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为2.5米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干1.5米远，另一位同学爬上梯子去拿衣服．问这位同学能拿到衣服吗？如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，问此时这位同学能拿到衣服吗？【分析】根据梯子的长和距离树干的距离求出树干的高度和2.3米比较即可得到答案．【解答】解：由题意得，梯子顶端距离地面的距离为：2（米），2米＜2.3米，故这位同学不能拿到衣服；1.5﹣0.8＝0.7（米），2.4（米），2.3米＜2.4米，故如果再把梯子底端向树干靠近0.8米，此时这位同学能拿到衣服．【变式5-3】（2022•泉港区期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．【解答】解：（1）根据勾股定理：=24米；（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，根据勾股定理得：25解得CC′＝8．即梯子的底端在水平方向滑动了8米．【题型6 勾股定理之范围影响问题】【例6】（2022春•雁塔区校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．【解答】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，=120（m），∴CD=150×200250∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED50（m），∴EF＝100（m），∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【变式6-1】（2022春•孝南区月考）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．【分析】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰三角形的性质可得CD的长，从而求出时间．【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H，∵∠O＝30°，OA＝80米，OA＝40米，∴AH=12∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，由（1）知AH＝40米，∴CH=30（米），∴CN＝2CH＝60（米），∴t＝60÷5＝12（秒），∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒．【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（）A．12海里B．13海里C．14海里D．15海里【分析】根据题意得出∠AOB＝90°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：由题意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°，故∠AOB＝90°，∴AB=15（海里），答：甲、乙两渔船相距15海里，故选：D．【变式6-3】（2022春•綦江区期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（3）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED100（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，（小时）．∴200÷28=507小时．答：台风影响该海港持续的时间为507【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】【例7】（2022春•启东市期中）如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：设CE＝x，则DE＝20﹣x，由勾股定理得：在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2，在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，由题意可知：AE＝BE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3所以，E应建在距C点13.3km，即CE＝13.3km．【变式7-1】（2022•市北区期末）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是　312.5　米．【分析】过点A作AB⊥l于B，根据勾股定理解答即可．【解答】解：过点A作AB⊥l于B，则AB＝300m，AD＝500m．∴BD=400m，设CD＝xm，则CB＝（400﹣x）m，根据勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002，x2＝160000+x2﹣800x+3002，800x＝250000，x＝312.5．答：商店与车站之间的距离为312.5米，故答案为：312.5．【变式7-2】（2022•牡丹区期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高　7.5　米．【分析】首先设树的高度为x米，用x表示BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，再利用勾股定理就可求出树的高度．【解答】解：设树的高度为x米．∵两只猴子所经过的距离相等，BC+AC＝15，∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，在Rt△ACD中根据勾股定理得，CD2+AC2＝AD2，x2+100＝（20﹣x）2，x＝7.5，故答案为：7.5．【变式7-3】（2022•和平区三模）如图，某校A距离笔直的公路l为3km，与该公路上某车站D的距离为km　．5km，现要在公路旁建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，则BC＝　78【分析】根据题意，AC＝CD，∠ABD＝90°，由AB、AD的长易求BD，设CD＝x米，则AC＝x，BC＝BD﹣x．在直角三角形ABC中运用勾股定理得关系式求解即可．【解答】解：根据题意得：AC＝CD，∠ABD＝90°．在直角三角形ABD中，∵AB＝3km，AD＝5km，∴BD4km设CD＝AC＝x米，BC＝（4﹣x）km，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即x2＝32+（4﹣x）2，解得：x=258，∴BC＝BD﹣CD＝4―258=78km．故答案为：78km．【题型8 勾股定理应用之其他问题】【例8】（2022•龙岗区校级月考）如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．【分析】根据题意得出EF的长，进而得出EH的长，即可得出答案．【解答】解：∵车宽1.6米，∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．在Rt△OEF中，由勾股定理可得：EF=0.6（m），EH＝EF+FH＝0.6+2.3＝2.9＞2.5，∴卡车能通过此门．【变式8-1】（2022•洛宁县期末）为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A60m的C处，过了4s 后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处，已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速？【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案．【解答】解：超速．理由如下：在Rt△ABC中，AC＝60m，AB＝100m，由勾股定理可得BC=80m，∴汽车速度为80÷4＝20m/s＝72km/h，∵72＞60，∴这辆小汽车超速了．【变式8-2】（2022春•合肥期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB．【分析】直接构造直角三角形进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C，则在Rt△ABC中，AC＝40+40＝80（米），BC＝70﹣20+10＝60（米），故终止点与原出发点的距离AB==100（米），答：终止点B与原出发点A的距离AB为100m．【变式8-3】（2022•广陵区二模）如图①，老旧电视机屏幕的长宽比为4：3，但是多数电影图象的长宽比为2.4：1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子．（1）若图①中电视机屏幕为20寸（即屏幕对角线长度）：①该屏幕的长＝　16　寸，宽＝　12　寸；②已知“屏幕浪费比=黑色带子的总面积电视机屏幕的总面积”，求该电视机屏幕的浪费比．（2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了．如图②，这种屏幕（矩形ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为4：3的屏幕（矩形EFGH）与2.4：1的屏幕（矩形MNPQ）．求这种屏2.2，结果精确到0.1）【分析】（1）①根据电视机屏幕的长宽比为4：3，设长为4x，则宽为3x，再由勾股定理求出x的值，进而可得出结论；②设在该屏幕上播放长宽比为2.4：1的视频时，视频的宽为a寸（长为16寸），求出a的值，得出黑色带子的宽度，进而得出其比值；（2）根据题意得出PQBC =12.4，EFFG=34，得PQ=512BC，FG=43EF．再由S矩形EFGH＝S矩形MNPQ即可得出BC2EF2=165，进而可得出结论．【解答】解：（1）①∵电视机屏幕的长宽比为4：3，∴设长为4x ，则宽为3x ，∵电视机屏幕为20寸，∴（4x ）2+（3x ）2＝202，解得x ＝4，∴4x ＝16，3x ＝12，∴该屏幕的长为16寸，宽为12寸；故答案为：16；12．②设在该屏幕上播放长宽比为2.4：1的视频时，视频的宽为a 寸（长为16寸）．∵162.4=a 1，解得 a =203．∴黑色带子的宽的和＝12―203=163．∴屏幕浪费比=163×1616×12=49；（2）由题意：PQ BC =12.4，EF FG =34，得：PQ =512BC ，FG =43EF ．∵S 矩形EFGH ＝S 矩形MNPQ ，∴BC •512BC ＝EF •43EF ．∴BC 2EF 2=165，∴BCEF 1.8．答：这种屏幕的长宽比约为1.8．。

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学习好资料欢迎下载勾股定理复习一、要点精练（一）勾股定理

1、(填空题)

已知在Rt△ABC中，∠C=90°。①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________； ③若a=6，c=10，则b=_______； ④若c=25，b=15，则a=________。 2、(填空题) 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。 3、下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）

（A）1,2,3 （B）2,3,4 （C）3,4,5 （D）4,5,6 4、直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）（A）22dSd （B）2dSd

（C）222dSd （D）22dSd 解:设两直角边分别为,ab,斜边为c,则2cd,12Sab. 由勾股定理,得222abc. 所以222222444abaabbcSdS. 所以22abdS.所以abc222dSd. 故选（C） 5、直角三角形的三边是,,abaab,并且,ab都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( ) （A）61 （B）71 （C）81 （D）91

解:因为abaab.根据题意,有222ababa.

整理,得24aab.所以4ab. 所以3,5abbabb. 即该直角三角形的三边长是3,4,5bbb. 因为只有81是3的倍数. 学习好资料欢迎下载故选（C） 6、在RtABC中,3,5ac,则边b的长为______.

7、直角三角形的三边是,,abaab,并且,ab都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( ) （A）61 （B）71 （C）81 （D）91

（二）勾股定理的验证及其验证过程的相关应用 1、下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.

①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？ ④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案 ①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形. ②图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2. ③图中（1）（2）面积之和为a2+b2. ④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积. 因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个Rt△ABC的面积. 由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.

2、（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？学习好资料欢迎下载参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC=4，BC=3, S正方形ABED=S正方形FCGH－4SRt△ABC

=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB2=25，又AC=4，BC=3， AC2+BC2=42+32=25 ∴AB2=AC2+BC2 （2）如图（图见题干中图）

S正方形ABED=S正方形KLCJ－4SRt△ABC=(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+72 3、如图2，以三角形ABC的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____.

解:根据题意，有123SSS，即

222111222222abc







整理,得222abc. 故此三角形为直角三角形. 4、如图4，已知ABC中，90ACB，以ABC的各边为边在ABC外作三个

正方形，123,,SSS分别表示这三个正方形的面积，1281,225SS，则3_____.S

解：由勾股定理，知222ACBCAB，即123SSS，所以3114S． 5．如图5,已知，RtABC中，90ACB，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,210ADBE，则斜边AB之长为______.

解： AD、BE是中线，设,BCxACy，由已知，

图5 学习好资料欢迎下载 5,25ADBE，所以222240,25.22yxxy两式相加，得225654xy，所以2252213.ABxy （三）勾股定理的应用 1、在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（）（A）30 （B）40 （C）50 （D）60

解：由勾股定理知，另一条直角边的长为2213125，所以这个直角三角形的面积为1125302. 2、如图1,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( ) (A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米

解:依题设112.5,0.7ABABBC.在RtABC中,由勾股定理,得

22222.50.72.4ACABBC

由12.4,0.4ACAA, 得112.40.42ACACAA. 在11RtABC中, 由勾股定理,得 222211112.521.5BCABAC

所以111.50.70.8BBBCBC 故选(C) 3、如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米. 解：由勾股定理，知最短距离为

222288210BDACABCD.

4、（四）直角三角形的判别

图1 学习好资料欢迎下载 1、下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是 A、a=2，b=3,c=4 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5

2、如果一个三角形的一条边是另一边的2倍，并且有一个角是30，那么这个三角形的形状是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 3、

4、如图，在等腰直角ABC的斜边上取异于CB,的两点FE,,使,45EAF求证：以CFBEEF,,为边的三角形是直角三角形。

略(提示:分别以AE,AF为轴,将AEFAFC向和AEB内部翻转180)

5、如果一个三角形的三边长分别为，则这三角形是直角三角形

分析：验证三边是否符合勾股定量的逆定理证明：∵ ∴ ∵∠C＝

6、已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13求

四边形ABCD的面积

分析：我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形，所以将四边形分割为两个三角形，只要求出这两个三角形的面积，四边形的面积就等于这两个三角形的面积和．

（五）利用勾股定理求最短路线 1、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入学习好资料欢迎下载一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒最长应有多长？

2、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

勾股定理中的常见题型例析勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探究开放题例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……．（1）记正方形ABCD的边长为1a＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为2a，3a，4a，…，na，求出2a，3a，4a的值．（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长na的表达式．分析：依次运用勾股定理求出a2，a3，a4，再观察、归纳出一般规律．解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．

由勾股定理，得AC＝222ABBC，

图1