中考数学基础知识_纯理论_完整版

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考

数

学

基础知识纯理论完整版

代

数

部

分

基础知识完整版

有理数

有理数：整数和分数统称为有理数。有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，所有形如

(m, n

为互质的整数，n≠0)的数都是有理数。

(1)整数和分数统称为有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；

(2)有理数的分类: ① ?????????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???

?

?????

??????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数

数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；

(2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数.

绝对值：数轴上表示某数的点离开原点的距离；

(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；

(2) 绝对值可表示为：?????<-=>=)

0a (a )0a (0)0a (a

a 或???<-≥=)0a (a )

0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论；

有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.

互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a

1；若ab=1? a 、

b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 有理数乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .

有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0

a

.

有理数乘方的法则：

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n

=-a n

或(a -b)n

=-(b-a)n

, 当n 为正偶数时: (-a)n

=a n

或 (a-b)n =(b-a)n

.

乘方的定义：

（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；

科学记数法：把一个大于10的数记成a 310n

的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 小数的科学记数法：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示为10

n

a -?的

形式，其中a 是整数数位只有一位的正数，n 是正整数。这种形式不仅便于记数，而且便于比较数的大小。 近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.

实数

无理数：无限不循环小数叫做无理数，无理数不能表示成分数的形式。如：π， ，- ，-

……。

实数：有理数和无理数统称为实数。 我们一般用下列两种情况将实数进行分类：

实数与数轴上的点是一一对应的。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之数轴上的每一个点又都表示一个实数。

实数的相反数：如果a 表示一个正实数，-a 就表示一个负实数。又如果a 表示一个负实数，则-a 表示一

个正实数。a 与-a 互为相反数。0的相反数仍是0。如π与-π， 与- ，m 与-m…均互为相反数。 实数的绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 例如，|- |= ，|-π|=π，| |= ，| - |=-( - )= - … 注意：-a(a<0)是正数，

平方根：①如果一个正数X 的平方等于A ，那么这个正数X 就叫做A 的算术平方根。②如果一个数X 的平方等于A ，那么这个数X 就叫做A 的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A 的平方根运算，叫做开平方，其中A 叫做被开方数。

立方根：①如果一个数X 的立方等于A ，那么这个数X 就叫做A 的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。③求一个数A 的立方根的运算叫开立方，其中A 叫做被开方数。 二次根式

二次根式的意义

形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式。二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实

数范围内没有意义。如：)0(2

),

1(1,2≥-≥+a a x x 等都是二次根式。

最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 二次根式的主要性质

（1）（a 2

)=a )0(≥a 。

（2）??

???<-=>==)0()0(0)

0(2

a a a a a a a

(3) ).0,0(≥≥?=

b a b a ab （4）

a

b a

b =

)0,0(≥≥a b

二次根式的运算

（1）因式的外移和内移

如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。 （2）有理化因式与分母有理化

两个含有二次根式的代数式相乘，若它

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （3）二次根式的加、减法

先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。 （4）二次根式的乘、除法

二次根式相乘（除），把被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。

（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。 根式

)0,0(>≥a b a

b 的化简方法

（1）把

a

b 化为

,a

b 然后分母有理化为

.a

ab

（2）运用积的算术平方根的性质[)0,0(,ab ≥≥?=

b a b a ],二次根式的性质[)0(2≥=a a a ]及

因式分解等知识化简二次根式K （K 的值为大于或等于零的整式）。注意：K 是多项式时要先分解因式，K 为整数时要先分解质因数

（4）利用（a ）a =2给多项式在实数范围内分解因式。如：))((2

b a b a b a -+

=-（b 为大于零

的常数）

分母有理化的方法与技巧

分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为：①根据（a ）a =2

)0(≥a 可知a 的有理化因

式是;a ±②根据平方差公式，可知b ±a 的有理化因式为b a ，y b x a ±的有理化因式是

y b x a

整式

单项式：如100t 、6a 2

、2.5x 、vt 、-n ，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

例如：单项式100t 、vt 、-n 的系数分别是100、1、-1。

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如：在单项式100t 中，字母t 的指数是1，100t 是一次单项式；在单项式vt 中，字母v 与t 的指数的和是2，vt 是二次单项式。 多项式：如2x-3，3x+5y+2z ，

2

1ab-πr 2

，它们都可以看作几个单项式的和，像这样几个单项式的和叫做

多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

例如：在多项式2x-3中，2x 和-3是它的项，其中-3是常数项。 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

例如：在多项式2x-3中，次数最高的项是一次项2x ，这个多项式的次数是1；在多项式x 2

+2x+18中，次数最高的项是二次项x 2

，这个多项式的次数是2。 整式：单项式与多项式统称为整式。

例如：单项式100t 、vt 、-n ，以及多项式2x-3，3x+5y+2z ，

2

1ab-πr 2

等都是整式。

同类项：在单项式3ab 2

与-4 ab 2，它们都含有字母a ，b 并且a 都是一次，b 都是二次，像3ab 2

与-4 ab

2

这样，所含字母相同，并且相同字母指数也相同的项想叫做同类，几个常数项也叫做同类项。把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项。

我们可以运用交换律、结合律、分配率把多项式中的同类项进行合并。

整式的加减

(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：去括号 合并同类项

(2)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号． (3)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变．

整式的乘除

同底数幂的乘法：m n m n

a a a += ，（m,n 都是整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

幂的乘方：()m n

mn

a a

=，（m,n 都是整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方：()n n

n

ab a b =，（n 为整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

整式的乘法：（1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。可用下式表示：m (a +b +c )=ma +mb +mc (a 、b 、c 都表示单项式)

（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 整式的除法：m n m n

a a a -÷=，（0a ≠，m ，n 都是正整数，并且m n >），即同底数幂相除，底数不变，

指数相减。

（1）0

1(0)a a =≠，任何不等于0的数的0次幂都等于1.

（2）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

（3）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

分式

分式：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B

叫做分式。其中A 叫做分子，

B 叫做分母。

分式的意义：当A 和B 都表示有理数且B 不等于0时，则式子

A B

表示一个分数。由于字母可以表示不同

的数，所以分式比分数更具有一般性。由于分式中的分母表示除数，而除数不能为0，所以分式中的分母不能为0 ，即当B ≠0时，分式

A B

才有意义。

分数的基本性质：分数的分子或分母同时乘以或除以一个不为0 的数 分数的值不变。

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变。 用式子表示为

A A C B

B C

=

，

A A C B

B C

÷=

÷（C ≠0），其中A ，B ，C 是整式。

分式的约分与最简分式：与分数的约分类似，我们利用分式的基本性质，约去22x x x

-的分子和分母的公

因式x ，不改变分式的值，使

2

2x x x

-化为

12

x -，这样的分式变形叫做分式的约分。经过约分后的分式

12

x -，其分子与分母没有公因式，像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。分式的约分，

一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果化为最简分式或整式。

分式的通分与最简公分母：与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。 分式的运算：

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

a c a c ac

b d b d bd == a

c a

d a d

b d b

c b c

÷=?=

在分式的计算中，运算结果应化为最简分式，分子、分母是多项式时，先分解因式便于约分。 根据乘方的意义和分式乘法的法则，可得： 分式的乘方：一般地，当n 是正整数时，()n n

n

a

a b

b

=

即分式的乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母分式相加减：先通分，变为同分母分式，再加减。

a b a b c

c

c

±±

=

a c a d

b

c a d

b c

b

d

b d

b d

b d

±±

=

±

=

式与数有相同的运算法则：先乘方，再乘除，然后加减。 负数整数幂的意义；一般地，当n 是正整数时，1(0)n

n

a

a a -=

≠，这就是说，n a -(0)a ≠是n a 的倒数。

乘法公式 乘法公式：（1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的

平方差”，即用字母表示为：(a +b )(a －b )=a 2－b 2

；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差. （2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a +b )2

=a 2

+2ab +b 2

；(a －b )2

=a 2

－2ab +b 2

；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab ，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a 、b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x +y －2)2

＝(3x +y )2

－23(3x +y )32+22

＝9x 2

+6xy －12x +y 2

－4y +4，或者(3x +y －2)2

＝(3x )2

+233x (y －2)+ (y －2)2＝9x 2

+6xy －12x +y 2

－4y +4.前者是把3x +y 看成是完全平方公式中的a ，2看成是b ；后者是把3x 看成是完全

平方公式中的a ，y －2看成是b .

（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。

乘法公式的几种常见的恒等变形有：(证明方法：左右展开计算，对比)

（1）．a 2

+b 2

＝(a +b )2

－2ab ＝(a －b )2

+2ab .

（2）．ab ＝21

［(a +b )2－（a 2+b 2

）］＝41

［(a +b )2－(a －b )2

］＝2

222??

? ??--??? ??+b a b a .

（3）．(a +b )2+(a －b )2＝2a 2+2b 2

. （4）．(a +b +c )2

=a 2

+b 2

+c 2

+2ab +2bc +2ca .

利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果.

因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。

常用的因式分解方法：

（1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。

i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂。

（2）公式法：（1）常用公式：平方差公式： )b a )(b a (b a 2

2-+=-

完全平方公式： 2

22)b a (b 2ab a ±=+±

（2）常见的两个二项式幂的变号规律：

①22()

()n

n a b b a -=-；②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）

（3）十字相乘法：ⅰ 二次项系数为1的二次三项式q px x ++2

中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成

()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++2

2 ⅱ 二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2

中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的

积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：

()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。

步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；

（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；

（3）将原多项式分解成))((q x p x ++的形式。

关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项的系数

二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式

（4）分组分解法

ⅰ 定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22

a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

22

a b a b -+-=2

2

()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

ⅱ 原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

ⅲ 有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

方程

方程的概念：

（1）含有未知数的等式叫方程.

（2）在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的方程叫一元一次方程.

等式的基本性质：

（1）等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式.若a=b ，则a+c=b+c 或 a –c=b –c.

（2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.若a=b ，则ac=bc 或

c

b c

a =

（3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式.若a=b ，则b=a. （4）传递性：如果a=b ，且b=c ，那么a=c ，这一性质叫等量代换.

解方程

移项的有关概念：

把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项.这个法则是根据等式的性质1推出来的，是解方程的依据.要明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边，移动的项一定要变号. 解一元一次方程的步骤： (1)去分母 等式的性质2

注意拿这个最小公倍数乘遍方程的每一项，切记不可漏乘某一项，分母是小数的，要先利用分数的性质，把分母化为整数，若分子是代数式，则必加括号. (2)去括号 去括号法则、乘法分配律

严格执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，减号后去括号，括号内各项的符号一定要变号.

(3)移项 等式的性质1

越过“=”的叫移项，属移项者必变号；未移项的项不变号，注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边，已知数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动过来的项改变符号写在后面 (4)合并同类项 合并同类项法则

注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变. (5)系数化为1 等式的性质2

两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数），切不可分子、分母颠倒. (6)检验

分式方程

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

解分式方程的思路：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。

注意：一般的解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

二元一次方程组 有关概念

含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程叫做二元一次方程

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 消元

由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含有另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

一元二次方程：

1、只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02

=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．

。 2、把02

=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。

3、解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为n

m x 2

2

)(=

+的形式。

②公式法 a

ac

b b x 242-±-=

（注意在找a 、b 、c 时须先把方程化为一般形式）

③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

4、根与系数的关系：当b 2

-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；

当b 2

-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当b 2

-4ac<0时，方程无实数根。 5、韦达定理：如果一元二次方程02

=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2，则有：

a

c x x a

b x x =

?-

=+2121。 6、一元二次方程的根与系数的关系的作用：

（1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值，特别注意以下公式：

①212

212

22

12)(x x x x x x -+=+ ②

2

121

211

1x x x x x x +=+ ③212

212

214)()(x x x x x x -+=- ④21221214)(||x x x x x x -+=

- ⑤||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+

⑥)(3)(21213

213

23

1x x x x x x x x +-+=+ ⑦其他能用21x x +或21x x 表达的代数式。 （3）已知方程的两根x 1、x 2，可以构造一元二次方程：0)(2122

1=++-x x x x x x

（4）已知两数x 1、x 2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程0)(2122

1=++-x x x x x x

的根

不等式 不等关系

1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.

2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.

3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.

非负数 <=> 大于等于0(≥0) <=> 0和正数 <=> 不小于0 非正数 <=> 小于等于0(≤0) <=> 0和负数 <=> 不大于0 4. 不等式的基本性质：掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:

(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:

如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.

(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,

c b c a >

.

(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:

如果a>b,并且c<0,那么ac

c

b c

a <

6、 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式)

一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;

如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果ab <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a a-b<0

(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了)

7. 不等式的解集:

1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.

2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.

3. 不等式的解集在数轴上的表示:

用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: ①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; ②方向:大向右,小向左 8. 一元一次不等式:

1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.

2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.

3. 解一元一次不等式的步骤:

①去分母; ②去括号; ③移项;

④合并同类项;

⑤系数化为1(不等号的改变问题)

4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax

①当a>0时,解为a

b x >

;

②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数; 当a=0时,且b ≥0,则无解; ③当a<0时, 解为a

b x <

;

9、一元一次不等式组

把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。

几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。 对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。解一元一次不等式组时。一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。

列方程解应用题

1、列方程解应用题的一般步骤： （1）将实际问题抽象成数学问题；

（2）分析问题中的已知量和未知量，找出等量关系； （3）设未知数，列出方程； （4）解方程； （5）检验并作答.

核心：在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x ；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。

不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)

列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:

①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不

小于”等含义;

②设: 设出适当的未知数;

③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集

;

⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.

函数

变量与函数：在一个变化过程中，有两个变量（如x 、y ），对于自变量（x ）的每一个确定值，函数（y ）都有唯一确定的值与它对应，这时，y 就是x 的函数，常量：在变化过程中，始终保持不变的量；变量：在变化过程中，可以取不同数值的量；通常在表达时，等式左边的是函数，等式右边的是自变量。

一次函数:若两个变量x 、y 之间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 是函数）．正比例函数y=kx （k ≠0）?是一次函数y=kx+b （k ≠0）特例． 一次函数的图像：1、一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象是一条直线，我们只要确定两个点，?再过这两个点作直线就可以作出一次函数的图象，它也称为直线y=kx+b ．直线y=kx+b （k ≠0）可以看着由直线y=kx （k ≠0）上下平移│b │个单位长度而得到．当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移．

画函数图象的一般步骤：一、列表（一次函数只用列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值），二、描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点），三、连线（依次用平滑曲线连接各点）。 一次函数的性质：

待定系数法求一次函数的解析式的步骤：

设出函数解析式；②根据条件确定解析式中未知的系数（把两点带入函数一般式列出方程组，求出待定系数，把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式）；③写出解析式．

反比例函数

定义：一般地，形如x

k y =

（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x

k y =

还可以写成kx

y =1

-

反比例函数解析式的特征：

⑴ 等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中

含有自变量x ，且指数为 1.⑵比例系数0≠k ，⑶自变量x 的取值为一切非零实数。⑷函数y 的

取值是一切非零实数。 反比例函数的图像 （1）、图像的画法：描点法

① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵、反比例函数的图像是双曲线，x

k y =

（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双

曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶、反比例函数的图像既是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是x y =或

x y -=）。 ⑷、反比例函数x

k y =

（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x

k y =

（0≠k ）上任意引x 轴

y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出） “反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数x

k y =

中的两

个变量必成反比例关系。

一次函数与一元一次方程的关系。

由y=kx+b ，当y 取一个确定的值时，可以将y 值代入y=kx+b 得到一元一次方程，从而求出x 的值。特别的，y=0时，一元一次方程的解就是一次函数与x 轴的交点坐标的横坐标的值。 一次函数与二元一次方程组的关系。

一元一次方程的解就是一次函数与x 轴的交点坐标的横坐标的值。二元一次方程组的解可以把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解。 一次函数与不等式的关系：

可以借助函数图象解决一元一次不等式的有关问题。 函数图像的交点

利用多个不同的函数解析式可以建立方程组，若方程组有解，则这些函数有交点，交点坐标即为方程组的解。

函数值的大小比较

当两个或两个以上的函数图像同时在坐标系中时，当选定X 的值时，若某一个函数图像在其余函数图像上方，则该函数值在此x 值时大于其余函数值，依据此方法可以确定X 的取值范围。

二次函数

二次函数的定义:一般地，形如

2y ax bx c

=++（a b c ，

，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.这里需要强调：和一元

二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

二次函数的三种形式

一般式

y=ax 2;+bx+c(a≠0,a、b 、c 为常数)，顶点坐标为(-b/2a ，4ac-b 2

/4a) ； 顶点式

y=a(x-h)２

+k(a≠0,a、h 、k 为常数) 顶点坐标为（h ，k ）对称轴为x=h 交点式

y=a(x-x 1)(x-x 2) [仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线] ； 二次项系数a 决定抛物线的开口方向：

当0a >时?抛物线开口向上；当0a <时?抛物线开口向下

a

决定抛物线的开口大小：

a

越大，抛物线开口越小；

a

越小，抛物线开口越大.

注：抛物线y=a(x-h)２

+k(a≠0,a、h 、k 为常数)与y=ax ２

(a≠0,a 为常数)形状相同，位置不同， 把抛物

线y=ax ２ 向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x-h)２

+k ，平移的方向、距离要根据h ，k 的

值来决定，抛物线y=a(x-h)２

+k(a≠0,a、h 、k 为常数) 顶点坐标为（h ，k ）对称轴为x=h 。

用待定系数法求函数的表达式

二次函数的表达式2

y ax bx c =++（a b c

，，为常数，0a ≠）中有三个量a 、b 、c ，因此需要知

道三个点的确定坐标，将点的坐标代入表达式中得到一个三元一次方程组，再利用消元法解出a 、b 、c 。得到二次函数的表达式，这种方法称之为待定系数法。

二次函数的特性 轴对称

抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a 。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0） 顶点

抛物线有一个顶点P ，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b 2

/4a )

当-b/2a=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2

;-4ac=0时，P 在x 轴上。 决定对称轴位置的因素

一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。 当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a 要大于0，所以a 、b 要同号 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a 要小于0，所以a 、b 要异号

可简单记忆为左同右异，即当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时 （即ab ＜ 0 ），对称轴在y 轴右。 决定抛物线与y 轴交点的因素

常数项c 决定抛物线与y 轴交点。 抛物线与y 轴交于（0，c ） 二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax 2

+bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2

+bx+c=0（a ≠0）的根。 抛物线y=ax 2

+bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2

+bx+c=0

24b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； 24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点

注意：二次函数y=ax 2

+bx+c 通过移项后可以变成ax 2

+bx+c-y=0，因此的y （纵坐标）值确定并且该点在二次函数的的图像上时，可以借助ax 2

+bx+c-y=0来求得x （横坐标）。

实际应用

1、实际问题模型

（1）日历上数字排列的规律是：横行每整行排列7个连续的数，竖列中，下面的数比上面的数大7.日历上的数字范围是在1到31之间，不能超出这个范围. （2）几种常用的面积公式：

长方形面积公式：S=ab ，a 为长，b 为宽，S 为面积；正方形面积公式：S = a 2

，a 为边长，S 为面积； 梯形面积公式：S =

h b a )(2

1+，a ，b 为上下底边长，h 为梯形的高，S 为梯形面积；

圆形的面积公式：2

r S π=，r 为圆的半径，S 为圆的面积；

三角形面积公式：ah S 2

1=

，a 为三角形的一边长，h 为这一边上的高，S 为三角形的面积.

（3）几种常用的周长公式： 长方形的周长：L=2（a+b ），a ，b 为长方形的长和宽，L 为周长. 正方形的周长：L=4a ，a 为正方形的边长，L 为周长. 圆：L=2πr ，r 为半径，L 为周长.

（4）柱体的体积等于底面积乘以高，当体积不变时，底面越大，高度就越低.所以等积变化的相等关系一般为：变形前的体积=变形后的体积. （5）工程问题 基本关系式：

工作总量＝工作效率3工作时间 工作时间=

工作效率工作总量 工作效率=工作时间

工作总量

合作效率=甲的效率+乙的效率

（6）关于销售问题：①进价，成本价，售价，定价，标价的意义；

②单件利润=售价-进价，总利润=销量3单件利润；

③利润率=

利润进价

3100%。

（7）关于储蓄中的一些概念：本金：顾客存入银行的钱；利息：银行给顾客的酬金；

本息：本金与利息的和；期数：存入的时间； 利率：每个期数内利息与本金的比； 利息=本金3利率3期数； 本息=本金+利息.

（8）行程类应用题基本关系：

路程=速度3时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度

相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程＋乙走的路程＝总路程。

追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程＝前者走的路程＋两地间的距离。

甲、乙同向同地不同时，则：追者走的路程＝前者走的路程

航行（飞行）问题

飞行（航行）问题、基本等量关系：

①顺风（顺水）速度＝无风（静水）速度＋风速（水速） ②逆风（逆水）速度＝无风（静水）速度－风速（水速） ∴顺风（水）速度－逆风（水）速度＝23风（水）速 （9）在一些复杂问题中，可以借助 表格分析 复杂问题中的数量关系，找出若干个较直接的等量关系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关系.在行程问题中，可将题目中的数字语言用“线段图”表达出来，分析问题中的数量关系，从而找出等量关系，列出方程.

2、处理问题的过程可以进一步概括为： 解答检验

求解

方程抽象分析问题

→→ 3、一元二次方程实际应用问题归纳

“连续变化”问题 → 特征:始量a 经过两次连续增加（或降低）且百分率是相同（x ）. （第一阶段）→ 开始量a

（第二阶段）→ 变化第一次为：a ±a.x 或a(1±x)

（第三阶段）→ 变化第二次为：a(1±x)+a(1±x).x 或a(1±x)2

.

???→如果告诉第三阶段的量b ,则得方程：a(1±x)2=b

面积问题：在一个图形中切除另外一个图形

注意在切除过程中的面积变化及每个图形的面积表达式。

动点问题：1、明确变化的量

2、建立变量与已知条件的联系。

2、构造方程求解。

数字问题：注意每个数字变化时数位的特点。并找到等量关系

一元二次方程实际应用问题解题步骤：

1、做题时必须把题读懂，弄清哪些量是已知的、哪些量是未知的。

2、找出各量之间的等量关系和各量的对应关系，能作合理选择；

3、设好未知数，建立方程；

4、准确求解，最后合理作答。

总结：做题时必须把题读懂：（1）弄清哪些量是已知的、哪些量是未知的；（2）找出各量之间的等量关系，能作合理选择；（3）设好未知数，建立方程；（4）准确求解，最后合理作答。

图形的基本概念

①几何图形：我们把从实物中抽象出来的各种图形统称为几何图形。

②立体图形：有些几何图形（如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，它们是立体图形。

③平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一个平面内，它们是平面图形。

④常常用从不同方向看到的平面图形来表示立体图形。（主视图，俯视图，，左视图）。

主（正）视图---------从正面看

几何体的三视图侧（左、右）视图-----从左（右）边看

俯视图---------------从上面看

⑤有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

点，线，面，体

①几何体也简称体。

②包围着体的是面。面有平面和曲面两种。

③面和面相交的地方形成线。（线有直线和曲线）

④线和线相交的地方是点。（点无大小之分）

⑤点动成线，线动成面，面动成体。

⑥几何图形都是由点，线，面，体组成的，点是构成图形的基本元素。

⑦点，线，面，体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界。

直线，射线，线

①经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

②两点确定一条直线。

③当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。

④射线和线段都是直线的一部分。

⑤把线段分成相等的两部分的点叫做中点。

线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，

线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

⑥两点的所有连线中，线段最短。（两点之间，线段最短）

⑦连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

⑧线段的比较：1.目测法 2.叠合法 3.度量法

角

①角也是一种基本的几何图形。

②有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。

③把一个周角360等分，每一分就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。

④角的度，分，秒是60进制的，这和计量时间的时，分，秒是一样的。

⑤以度，分，秒为单位的角的度量制，叫做角度制。

角的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1做60.

⑥从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

角平分线的作法

角平分线定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

角平分线逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

余角和补角

①两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。

②两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。

③同角或等角的补角相等。④同角或等角的余角相等。

角的比较与运算

相交和平行

在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。

互为邻补角：

（1）定义：如果两个角有一条公共边且有一个公共顶点，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

（2）性质：从位置看：互为邻角；