直线和圆基础习题附答案(经典题)

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综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力． 【典型例题】

[例1]（1）直线x ＋y=1与圆x 2＋y 2－2ay=0(a ＞0)没有公共点，则a 的取值范围是 （ ） A ．（0， 2 －1） B ．（ 2 －1， 2 ＋1）

C ．（－ 2 －1， 2 －1）

D ．（0， 2 ＋1

（2）圆（x －1)2＋(y ＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是 （ ） A ．x －y=0 B ．x ＋y=0 C ．x=0 D ．y=0

（3）“a =b ”是“直线2

2

2()()2y x x a y b =+-++=与圆相切”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件

（4）已知直线5x ＋12y ＋a=0与圆x 2＋y 2－2x=0相切，则a 的值为 ．

（5）过点（1， 2 ）的直线l 将圆（x －2)2＋y 2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k= ．

[例2] 设圆上点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程．

[例3] 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2＋y 2=1,动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于λ（λ＞0）．求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

[例4] 已知与曲线C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1=0相切的直线l 叫x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA|=a,|OB|=b(a ＞2,b ＞2)． (1)求证：（a －2)(b －2)=2；

(2)求线段AB 中点的轨迹方程； （3）求△AOB 面积的最小值．

【课内练习】

1．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋5

2=0相切的直线的方程为（）

A．y=－3x 或y=1

3x B．y=3x 或y=－

1

3x

C．y=－3x 或y=－1

3x D．y=3x 或y=

1

3x

2．圆(x－2)2＋y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为

( ) A．(x＋2)2＋y2=5 B．x2＋(y－2)2=5

C．(x－2)2＋(y－2)2=5 D．x2＋(y＋2)2=5

3．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是（）

A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点轴对称D．关于y=x轴对称4．直线l1：y=kx＋1与圆x2＋y2＋kx－y－4=0的两个交点关于直线l2：y＋x=0对称，那么这两个交点中有一个是（）

A．（1，2）B．（－1，2）C．（－3，2）D．（2，－3）

5．若直线y=kx＋2与圆（x－2)2＋(y－3)2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是．6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则 ＝.

7．直线l1：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是．

8．求直线l1：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程．

9．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3=0

（1）若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；

（2）从圆C外一点P（x1,y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．

10．由动点P引圆x2＋y2=10的两条切线PA，PB，直线PA，PB的斜率分别为k1,k2．

(1)若k1＋k2＋k1k2=－1,求动点P的轨迹方程；

（2）若点P在直线x＋y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．

11．5直线与圆的综合应用

A 组

1．设直线过点（0，a ），其斜率为1，且与圆x 2＋y 2=2相切，则a 的值为 （ ） A ．±2 B ．±2 C ．±2 2 D ．±4

2．将直线2x －y ＋λ＝0，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2+y 2+2x －4y=0相切，则实数λ的值为 A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10 D ．1或11 3．从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A ．π B ． 2π C ． 4π D ． 6π

4．若三点A （2，2），B （a,0)，C （0，b)（a ，b 均不为0）共线，则

11

a b

+的值等于 ．

5．设直线ax －y ＋3=0与圆（x －1)2＋(y －2)2=4有两个不同的交点A ，B ，且弦AB 的长为2 3 ，则a 等于 ．

6．光线经过点A （1，7

4

），经直线l ：x ＋y ＋1=0反射，反射线经过点B （1，1）．

（1）求入射线所在的方程； （2）求反射点的坐标．

7．在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1=0,∠A 的平分线所在直线方程为y=0,若B 点的坐标为（1，2），求点A 和点C 的坐标．

8．过圆O ：x 2＋y 2=4与y 轴正半轴的交点A 作这个圆的切线l ，M 为l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，当点M 在直线l 上移动时，求△MAQ 垂心H 的轨迹方程．

B 组

1．已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （ ）

A ．π

B ．4π

C ．8π

D ．9π

2．和x 轴相切，且与圆x 2＋y 2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ） A ．x 2=2y ＋1 B ．x 2=－2y ＋1 C ．x 2=2y －1 D ．x 2=2|y|＋1

3．设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、 B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ）

A ．20

B ．19

C ．18

D ．16

4．设直线0132=++y x 和圆0322

2

=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 . 5．已知圆M ：（x ＋cosθ)2＋(y －sinθ)2=1，直线l ：y=kx ，下面四个命题 A ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 都相切； B ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点；

C ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切；

D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切． 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 6．已知点A ，B 的坐标为（－3，0），（3，0），C 为线段AB 上的任意一点，P ，Q 是分别以AC ，BC 为直径的两圆O 1，O 2的外公切线的切点，求PQ 中点的轨迹方程． 7．已知△ABC 的顶点A （－1，－4），且∠B 和∠C 的平分线分别为l BT ：y ＋1=0,l CK :x ＋y ＋1=0,求BC 边所在直线的方程．

8．设a,b,c,都是整数，过圆x 2＋y 2=（3a ＋1)2外一点P （b 3－b,c 3－c)向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点）．

11．5直线与圆的综合应用

【典型例题】

例1 （1）A ．提示：用点到直线的距离公式． （2）C ．提示：依据圆心和半径判断．

（3）A ．提示：将直线与圆相切转化成关于ab 的等量关系．

（4）－18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况． （5）

2

2

．提示：过圆心（2，0）与点（1， 2 ）的直线m 的斜率是－ 2 ，要使劣弧所对圆心角最小，只需直线l 与直线m 垂直．

例2、设圆的方程为（x －a)2＋(y －b)2=r 2, 点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y=0上，a ＋2b=0，又（2－a)2＋(3－b)2=r 2,而圆与直线x －y ＋1=0

相交的弦长为2 2 ，，故r 2－

)2

=2,依据上述方程解得：

｛

b 1=－3a 1=6r 12=52

或｛

b 2=－7a 2=14r 22=244

∴所求圆的方程为（x －6)2＋(y ＋3)2=52，或（x －14)2＋(y ＋7)2=224．

例3、设切点为N ，则|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，设M （x,y),

则λ2－1）（x 2＋y 2)－4λx ＋(1＋4λ2）=0 当λ=1时，表示直线x=5

4

；

当λ≠1时，方程化为2222

222213()1(1)x y λλλλ+-+=--，它表示圆心在222(,0)1

λλ-，

的一个圆．

例4、（1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于1，化减即得；

（2）设AB 中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入（a －2)(b －2)=2，得（x －1)(y －1)=1

2 (x ＞1,y ＞

1)；

(3)由（a －2)(b －2)=2得ab ＋2=2(a ＋b)≥4ab ,解得ab ≥2＋ 2 （ab ≤2－ 2 不合，舍去），当且仅当a=b 时，ab 取最小值6＋4 2 ，△AOB 面积的最小值是3＋2 2 ． 【课内练习】

1．A ．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率． 2．D ．提示：求圆心关于原点的对称点．

3．C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律． 4．A ．提示：圆心在直线l 2上．

5．0＜k ＜4

3 ．提示：直接用点到直线的距离公式或用△法．

6．2

1

-

．提示：求弦所对圆心角． 7．2x ＋y －10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在已知直线上．

8．2x ＋11y ＋16=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l 的对称点，用两点式写l 2的方程；或直接设l 2上的任意一点，求其关于l 的对称点，对称点在直线l 1上．求对称点时注意，一是垂直，二是平分． 9．（1）提示：∵切线在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1．分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x ＋y －3=0, x ＋y ＋1=0, x －y ＋5=0, x －y ＋1=0．

(2)将圆的方程化成标准式（x ＋1)2＋(y －2)2=2，圆心C （－1，2），半径r= 2 ， ∵切线PM 与CM 垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2， 又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x 1－4y 1＋3=0．

|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P 点到直线2x 1－4y 1＋3=0

． 从而解方程组22

11119202430

x y x y ?+=

???-+=?，得满足条件的点P 坐标为（－310 ，35 ）

．

10．（1）由题意设P （x 0,y 0)在圆外,切线l ：y －y 0=k(x －x 0)

=

∴（x 02－10)k 2－2x 0·y 0k ＋y 02－10=0

由k 1＋k 2＋k 1k 2=－1得点P 的轨迹方程是x ＋y±2 5 =0．

（2）∵P （x 0,y 0)在直线x ＋y=m 上，∴y 0=m －x 0,又PA ⊥PB ，∴k 1k 2=－1,202

010

110

y x -=--,即：x 02＋y 02=20,将y 0=m －x 0代入化简得,2x 02－2mx 0＋m 2－20=0

∵△≥0,∴－210 ≤m≤210 ,又∵x 02＋y 02＞10恒成立，∴m ＞2,或m ＜－2 5 ∴m 的取值范围是[－210 ，－2 5 ]∪（2 5 ，210 ]

11．5直线与圆的综合应用

A 组

1．B ．提示：用点到直线的距离公式或用△法．

2．A ．提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式． 3．B ．提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角．

4．1

2 ．提示：由三点共线得两两连线斜率相等，2a ＋2b=ab ，两边同除以ab 即可．

5．0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解．

6．（1）入射线所在直线的方程是：5x －4y ＋2=0；（2）反射点（－23 ，－1

3 ）．提示：用入

射角等于反射角原理．

7．点A 既在BC 边上的高所在的直线上，又在∠A 的平分线所在直线上，由

???x －2y ＋1=0y=0

得A （－1，0） ∴k AB =1

又∠A 的平分线所在直线方程为y=0 ∴k AC =－1

∴AC 边所在的直线方程为 y=－（x ＋1） ① 又k BC =－2,

∴BC 边所在的直线方程为 y －2=－2（x －1） ② ①②联列得C 的坐标为（5，－6）

8．设所求轨迹上的任意一点H （x,y)，圆上的切点Q （x 0,y 0)

∵QH ⊥l,AH ⊥MQ,∴AH ∥OQ,AQ ∥QH ．又|OA|=|OQ|，∴四边形AOQH 为菱形． ∴x 0=x,y 0=y －2．

∵点Q （x 0,y 0)在圆上，x 02＋y 02=4

∴H 点的轨迹方程是：x 2＋（y －2）2=4（x≠0)．

B 组

1．B ．提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2为半径的圆．

2．D ．提示：设圆心（x,y)

||1y +

3．C ．提示：考虑斜率不相等的情况．

4．0323=--y x ．提示：弦的垂直平分线过圆心．

5． B ，D ．提示：圆心到直线的距离

d =

=|sin(θ＋?）

|≤1． 6．作MC ⊥AB 交PQ 于M ，则MC 是两圆的公切线．|MC|=|MQ|=|MP|，M 为PQ 的中点．设M （x,y),则点C ，O 1，O 2的坐标分别为（x,0),(－3＋x 2 ,0),( 3＋x 2

,0)

连O 1M ，O 2M ，由平面几何知识知∠O 1MO 2=90°．

∴|O 1M|2＋|O 2M|2=|O 1O 2|2，代入坐标化简得：x 2＋4y 2=9(－3＜x ＜3)

7．∵BT,CK 分别是∠B 和∠C 的平分线，∴点A 关于BT,CK 的对称点A′，A″必在BC 所在直线上，所以BC 的方程是x ＋2y －3=0．

8．线段OP 的中点坐标为（12 （b 3－b),12 (c 3－c)),以OP 为直径的圆的方程是[x －1

2 （b 3－

b)]2＋[y －12 (c 3－c)]2=[ 12 （b 3－b)]2＋[1

2

(c 3－c)]2……①

将x 2＋y 2=（3a ＋1)2代入①得：（b 3－b)x ＋(c 3－c)y=（3a ＋1)2

这就是过两切点的切线方程．

因b 3－b=b(b ＋1)(b －1)，它为三个连续整数的乘积，显然能被整除． 同理，c 3－c 也能被3整除．

于是（3a ＋1)2要能被3整除，3a ＋1要能被3整除，因a 是整数，故这是不可能的． 从而原命题得证．