高二数学选修2-2导数12种题型归纳
人教课标版(B版)高中数学选修2-2第一章 导数及其应用导数
感悟高考
由 g′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝2. 所以当 x∈(－∞， 1)时， g′(x)＜0， g(x)在(－∞， 1)上为减函数；
当 x∈(1，2)时，g′(x)＞0，g(x)在(1，2)上为增函数； 当 x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(2，＋∞)上为减函数； 1 所以，当 x＝1 时，g(x)取得极小值 g(1)＝ ，当 x＝2 时函数取 e 3 得极大值 g(2)＝ 2. e 函数 y＝k 与 y＝g(x)的图象的大致形状如上， 1 3 由图象可知，当 k＝ 和 k＝ 2时，关于 x 的方程 f(x)＝kex 恰有两 e e 个不同的实根．
1 1 ①当 x∈－2，0时，h′(x)>0，∴h(x)在－2，0上单调递增．
②当 x∈(0，＋∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
1 1 1－2ln 2 ∴当 x∈－2，0时，h(x)>h－2＝ . 4
g（3）<0， 即a＋4－2ln 2<0， 解得 2ln 3－5≤a<2ln 2－4. g（4）≥0， a＋5－2ln 3≥0，
综上所述，a 的取值范围是[2ln 3－5，2ln 2－4)． 2 方法二 ∵f(x)＝2ln(x－1)－(x－1) ，
∴f(x)＋x2－3x－a＝0 x＋a＋1－2ln(x－1)＝0， 即 a＝2ln(x－1)－x－1， 令 h(x)＝2ln(x－1)－x－1， 3－x 2 ∵h′(x)＝ －1＝ ，且 x>1， x－1 x－1 由 h′(x)>0，得 1<x<3；由 h′(x)<0，得 x>3. ∴h(x)在区间[2，3]上单调递增，在区间[3，4]上单调递减．
高中数学选修2-2知识点总结
2019-2020学年江苏省徐州市第一中学高三英语一模试卷及答案第一部分阅读（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项ACanadais one of the most beautiful countries in the world. Here are 4 attractive places worth your visit.ChurchillChurchill is a town with the nickname "Polar Bear Capital of the World”, where tourists can safely view polar bears from special vehicles in the autumn and winter. Thousands of beluga whales, which move into the warmer waters of theChurchill Riverduring July and August, are a major summer attraction. Churchill is also a destination for bird watchers from late May until August.Niagara FallsNiagara Fallsis a group of three waterfalls, crossing the border betweenCanadaand theUnited States. The largest of the three is Horseshoe Falls, also known asCanadian Falls. Niagara Falls illumination（彩灯）is a must for any visitor! Every night of the year, the three waterfalls are illuminated in color1 s creating an attractive scene that can be viewed from near and far.VancouverVancouverisCanada's third-largest city, always named as one of the top five worldwide cities for its comfortable environment and quality of life.Vancouverhas an active nightlife scene, whether its food and dining, or bars and nightclubs. From mid-June to early July, the Vancouver International Jazz Festival features 300 concerts, including a free opening Downtown Jazz Weekend.OttawaThe capital ofCanadais situated on the banks of theOttawa Riverand has a lot ofEnglish buildings in it. It is a beautiful city which has the Parliament buildings on the banks and English influenced houses and parks around. There are museums and art galleries that will give you a complete knowledge of the English culture there. It is really the heart ofCanada. So if you are a history and art loverOttawais the best choice for your visit inCanada.1. If you want to watch birds, which place will you choose to visit?A. Churchill.B.Niagara Falls.C. Vancouver.D.Ottawa.2. What is the best season for visitingVancouver?A. Spring.B. Summer.C. Autumn.D. Winter.3. What doNiagara FallsandVancouverhave in common?A. They are both famous for natural scenery.B. The best visiting time are both at nights.C. They are both located inCanadaentirely.D. The tickets there are both free at weekends.BEveryone can be angry. But if you take the time to actually examine your anger instead of just “feeling” angry, you’ll have a better understanding of yourself. Knowing why you feel so angry can provide you with some surprising answers. These answers can enable you to suddenly grow spiritually and mentally.I can give you a personal example. I went to a meeting once and I was verbally attacked over an application I supported at my workplace. Various people went on and on about how terrible this system was and that it never worked. That didn’t bother me that much. I was used to that but one of the comments that was said was, “Your job is pointless.” This really upset meand at the time, I was ly furious(发怒地) with that comment.I was so angry and upset that they would treat me that way. Once I took the time to think about what was really making me so mad. I learned a lot. I realized that the comment was more truethan I wanted to admit. In the big scheme of things, my job was pointless. It wasn’t what I really wanted to be doing with my life and this was what frustrated me the most. Here I was pouring part of my heart and soul into a job I didn’t even really want to do. I was using it as a crutch(拐杖) because I didn’t have the confidence in myself to take the scary road towards what I really wanted to do. As soon as I realized that, a lot of my anger just melted away. I also realized that I needed to start focusing on what I really wanted to do.I now consider this incident as a great gift It got me back on track to moving in the direction I wanted to go with my life. I probably wouldn’t be where I am today if I hadn’t taken the time to figure out why I was really so angry.4. What made the author angry at the meeting?A. The system of the company was terrible.B. Someone said his job is insignificant.C. The policy of the company didn’t work.D. The application he supported was of no effect.5. What brought down the anger of the author?A. The apology someone made at the meeting.B. The crutch he used to take the scary road.C. His awareness of the fact that the comment was true.D. The courage he had to overcome the challenges.6. Why did the author consider the incident as a gift?A. It brought him back on track to the goal.B. It helped him get promoted to a higher position.C. It helped him change his character since then.D. It provided him with confidence in his career.7. What can be the best title of the passage?A. How to Cope with Verbal Attack in a CompanyB. Avoid Being Pointless at WorkC. Anger Is Harmful to HealthD. Understanding Yourself Better Through AngerCWhile the start of a new school year is always exciting, this year was even more so for some elementary school students inAuckland,New Zealand. They became the world’s first kids to be “taught” by a digital teacher.Before you start imagining a human-like robot walking around the classroom, Will is just an avatar that appears on the student’s desktop, or smartphone screen, when ordered to come.The autonomous animation platform has been modeled after the human brain and nervous system, allowing it to show human-like behavior. The digital teacher is assigned to teach Vector’s “Be sustainable with energy”— a free program forAucklandelementary schools.Just like the humans it replaced, Will is able to instantly react to the students’ responses to the topic. Thanks to a webcam and microphone, the avatar not only responds to questions the kids may have, but also picks up non-verbal cues. For instance, if a student smiles at Will, he responds by smiling back. This two-way interaction not only helps attract the students’ attention, but also allows the program’s developers to monitor their engagement, and make changes if needed.Nikhil Ravishankar believes that Will-like avatars could be a novel way to catch the attention of the next generation. He says, “I have a lot of hope in this technology as a means to deliver cost-effective, rich, educational experience in the future.”The program, in place since August 2018, has been a great success thus far. Ravishankar says, “ What was fascinating to me was the reaction of the children to Will. The way they look at the world is so creative anddifferent, and Will really captured their attention.” However, regardless of how popular it becomes, Will is unlikely to replace human educators any time soon.8. What was special for some elementary school students inAuckland?A. A digital teacher taught them.B. They first saw something digital.C. This was the start of a new school year.D. They could get close to smartphone screen.9. What is the benefit of this two-way interaction?A. It can smile back.B. It can use microphone.C. It can talk any topic for free.D. It can change if necessary.10. What’s Ravishankar’s attitude to Will’s replacing Human educators soon?A. Optimistic.B. Doubtful.C. Unclear.D. Disapproving.11. What might be the best title for the passage?A. New High-tech Contributes to EducationB. The World’s First Digital Teacher Appears in Classroom.C. The World’s First Digital Teacher, a Help to StudentsD.New ZealandWill Replace Teachers in ClassroomsDBertha von Suttner received the Nobel Peace Prize in 1905—she was the first woman to receive it, and also the inspiration for the creation of the Nobel Prize.She met Alfred Nobel, a rich millionaire, by answering hisnewspaper ad for a secretary. Although she only worked for him for a few weeks, she remained good friends with Alfred Nobel for the next 20 years. When she became involved in the peace movement inEurope, she promised to keep Nobel informed of its progress. When Alfred Nobel died in 1896, his will included the establishment of a peace prize, thanks to Bertha von Suttner’s influence.Bertha von Suttner was born in an aristocratic (贵族) military family, but she spent the second half of her life working for peace. She wrote books, attended peace conferences, gave lectures and helped organize peace societies inAustria,GermanyandHungary, as well as the International Peace Bureau inSwitzerland. Her novel Lay Down your Arms, was one of the most influential anti-war books of all time, and helped to make her a leader ofthe peace movement in Europe. Its end to war theme was both the ambition (抱负) and the most important goal in the life of this great woman.Bertha von Suttner worked so hard for peace because she believed that a terrible war would break out inEuropeif nations didn’t work hard to establish lasting peace institutions. She made many major achievements for a more peaceful world, but two months after she died, World War I broke out. A hundred years after she won the Nobel Peace Prize, nations still seem to view war as a choice to work out their problems. But like Bertha von Suttner did, many today are working hard around the world to help strengthen peace institutions and spread the idea that it’s time to put an end to war.12. Which of the following is true about Bertha von Suttner?A. She worked for Alfred Nobel for 20 years.B. She helped Alfred Nobel draw up his will.C. She persuaded Alfred Nobel to join the peace movement.D. She inspired Alfred Nobel to establish the Nobel Peace Prize.13. Paragraph 3 is mainly about Bertha von Suttner’s _____________.A. efforts and contributions to the peace movement.B. family background and work experiences.C. writing career and life experiences.D. ambition and goals in life.14. What do we know aboutLay Doun Your Arms?A. It was based on a true story.B. It recorded Bertha von Suttner’s daily life.C. It was about an aristocratic military family.D. It showed Bertha von Suttner’s wish for peace.15. What can we infer about Bertha von Suttner from the last paragraph?A. Her fight for peace is still shared by many.B. She failed to found peace institutions.C. She successfully predicted awar.D. She lost her life in World War I.第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）阅读下面短文，从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。
人教A版高中数学选修2-2课件导数小结与复习.pptx
分析：f(x)在x=1处有极小值-1，意味着f(1)=-1 且f`(1)=0，故取点可求a、b的值，然后根据求 函数单调区间的方法，求出单调区间 。
f (1) 1
略解：
f
' (1)
0
a
1 3
,
b
1 2
单增区间为（-∞，-1/3）和（1，+∞） 单间区间为（-1/3，1）
练习巩固： 设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在 原点相切，若函数的极值为-4 （1）、求a、b、c的值 （2）、求函数的单调区间
所以解4 得 a 1 6.
5 a 7.
故a的取值范围是[5，7].
例2 已知 f (x) ax3 3x2 x 在1R上是减函数，求a的取值范 围.
解：函数f(x)的导数：f (x) 3ax2 6x 1.
（Ⅰ）当 f (x) 0（ x R ）时， f(x)是减函数.
（ln
x）
1 x
（exx
log a
e
， （ax） ax ln a
Ⅲ、求导法则
Ⅳ、复合函数求导 Ⅴ、导数的几何意义
函数 y f（x）在点x0处的导数 f（ x0），
就是曲线 y f（x）在点P x0 ，f（x0）处
的切线的斜率． Ⅵ、导数的应用 1．判断函数的单调性2．求函数的极值
3．求函数的最值
例2：用公式法求下列导数：
（1）y= x 2(3x 1)2
（2）y= e2x cos x
（3）y=ln(x+sinx)
（4）y= log 3 (x 2 1)
高中数学选修2-2_2-3知识点、考点、典型例题
高中数学选修2----2知识点第一章 导数及其应用 知识点：一．导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆知识点：二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln xf x a a '= 6 若()xf x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算 ★1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =★2、若()sin x f x e x =，则()'f x =★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（ ） ° ° ° °★★5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x = 三.导数在研究函数中的应用 知识点：1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤（1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题 考点：1、导数在切线方程中的应用 2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一：导数在切线方程中的运用★1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）★2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43二、题型二：导数在单调性中的运用★1.(05广东卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)★2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数★★3．(05江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．三、导数在最值、极值中的运用：★1.（05全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2 B. 3C. 4★2．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） , - 15 , 4 4 , - 15 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值－2.（1）试求a 、c 、d 的值；（2）求)(x f 的单调区间和极大值；★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-，已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。
高中数学选修2-2知识点、考点、典型例题
高中数学选修2–2知识点第一章 导数及其应用一．导数概念1.导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆。
导数的物理意义：瞬时速率。
2．导数的几何意义：通过图像可以看出当点n P 无限趋近于P 时，割线n PP 趋近于稳定的位置直线PT ，我们说直线PT 与曲线相切。
割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3．导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1．若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2. 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3. 若()sin f x x =, 则()cos f x x '= 4 . 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5. 若()x f x a =, 则()ln x f x a a '=6. 若()x f x e =,则()xf x e '=7. 若()log a f x x =, 则1()ln f x x a'= 8. 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'=3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x gx '''=∙ 三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.(2).已知函数的单调性求参数的取值范围:“若函数单调递增，则()0f x '≥；若函数单调递减，则()0f x '≤”.注意公式中的等号不能省略，否则漏解. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x ' ; (3)求方程()f x '=0的根;(4)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.4.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用. 2.导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用.4、导数在恒成立问题中的应用5.定积分(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰(2)定积分几何意义：①baf (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积.②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数.(3)定积分的基本性质： ①bbaakf (x)dx=k f (x)dx ⎰⎰②b b b1212aaa[f (x)f (x)]dx=f (x)dx f (x)dx ±±⎰⎰⎰③b c baacf (x)dx=f (x)dx+f (x)dx ⎰⎰⎰(4)求定积分的方法：①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本公式ab f(x)F(b)-F(a),F x f x =⎰’其中（）=()第二章推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
高中数学选修2-2知识点、考点、典型例题
高中数学选修2–2知识点第一章 导数及其应用一．导数概念1.导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆。
导数的物理意义：瞬时速率。
2．导数的几何意义：通过图像可以看出当点n P 无限趋近于P 时，割线n PP 趋近于稳定的位置直线PT ，我们说直线PT 与曲线相切。
割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3．导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1．若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2. 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3. 若()sin f x x =, 则()cos f x x '= 4 . 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5. 若()x f x a =, 则()ln x f x a a '=6. 若()x f x e =,则()xf x e '=7. 若()log a f x x =, 则1()ln f x x a'= 8. 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'=3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x gx '''=∙ 三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.(2).已知函数的单调性求参数的取值范围:“若函数单调递增，则()0f x '≥；若函数单调递减，则()0f x '≤”.注意公式中的等号不能省略，否则漏解. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x ' ; (3)求方程()f x '=0的根;(4)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.4.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用. 2.导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用.4、导数在恒成立问题中的应用5.定积分(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰(2)定积分几何意义：①baf (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积.②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数.(3)定积分的基本性质： ①bbaakf (x)dx=k f (x)dx ⎰⎰②b b b1212aaa[f (x)f (x)]dx=f (x)dx f (x)dx ±±⎰⎰⎰③b c baacf (x)dx=f (x)dx+f (x)dx ⎰⎰⎰(4)求定积分的方法：①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本公式ab f(x)F(b)-F(a),F x f x =⎰’其中（）=()第二章推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
苏教版高二数学选修2-2 导数及其应用.复习题 教案
板块一：导数的概念与几何意义【题1】若000(2)()lim13x f x x f x x ∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）A ．23B ．32C ．3D ．2【答案】B【题2】将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n ∈N ，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞= ．【答案】1【题3】 已知某物体的运动方程是3199s t t =+，则当3t =s 时的瞬时速度是_______．【答案】12【题4】若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）AB． C ．23 D ．23或0【答案】A【题5】 若0y =是曲线3y x bx c =++的一条切线，则32()()32b c+=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【题6】⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____．⑵曲线32242y x x x =--+过点(13)-，的切线方程是_________．【答案】⑴520x y +-=；⑵520x y +-=或21490x y +-=．【题7】已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程是（ ） A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+【答案】A【题8】设函数1()()f x ax a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =．导数及其应用⑴求()y f x =的解析式；⑵证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；⑶证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【答案】⑴1()1f x x x =+-；⑵(11)，；⑶2板块二：导数的运算【题9】设函数()()()()f x x a x b x c =---，（a 、b 、c 是两两不等的常数），则='+'+')()()(c f cb f b a f a ． 【答案】0【题10】 函数2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【题11】 已知函数2()(1)f x x x =-，若00()f x x '=，则0x =_______．【答案】0或1板块三：导数的应用【题1】 设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A.【答案】B【题2】 已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 ．【答案】[3)-+∞，【题3】 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．若函数()f x 在区间(11)-，上不单调．．．，求a 的取值范围． 【答案】115122⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【题4】 设a ∈R ，函数()()()()2121ln 1f x x a x =--+-+．⑴若函数()f x 在点()()00f ，处的切线方程为41y x =-，求a 的值； ⑵当1a <时，讨论函数()f x 的单调性．【答案】⑴2a =；⑵当0a ≤时，()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，()f x 在(1-，上为减函数、在)+∞上为减函数；()f x 在(上为增函数．【题5】 函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ．【答案】13a =，4b =-．【题6】 设()323()1312f x x a x ax =-+++． ⑴若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围；⑵若函数()f x 在x a =处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性．【答案】⑴[)4,a ∈+∞；⑵3a =，()f x 在()1,3内单调递减，在[)3,4内单调递增．【题7】 设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； ⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． ⑶若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，时的最大值为1，求a 的值． 【答案】⑴1a =；⑵a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．⑶54a =．【题8】 已知函数()()1ln 1af x x ax a x-=-+-∈R ． ⑴ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；⑵ 设()224g x x bx =-+．当14a =时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．【答案】⑴当0a ≤时，函数()f x 在()01，和()1+∞，上单调递减； 当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减；当102a <<时，函数()f x 在()01，和11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增； ⑵b 的取值范围是178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．板块四：导数与其它知识综合【题1】 设函数()32()f x x bx cx x =++∈R ，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数．⑴求b 、c 的值．⑵求()g x 的单调区间与极值．⑶若()g x m =有三个不同的实根，求m 的取值范围．【答案】⑴3,0b c ==；⑵(-∞-，和)+∞是函数()g x 的单调递增区间；(是函数()g x 的单调递减区间；()g x 在x =()g x 在x =-⑶(m ∈-．【题2】 已知函数()()32f x x ax b a b =-++∈R ，． ⑴若1a =，函数()f x 的图象能否总在直线y b =的下方？说明理由？ ⑵若函数()f x 在()02，上是增函数，求a 的取值范围．⑶设123x x x ，，为方程()0f x =的三个根，且()110x ∈-，，()201x ∈，，()()311x ∈-∞-+∞，，，求证：1a>．【答案】⑴略；⑵[)3a ∈+∞，；⑶略．【题3】 已知函数32()f x x x ax b =+++．⑴ 当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；⑵ 若函数()f x 的图象与直线y ax =只有一个公共点，求实数b 的取值范围．【答案】⑴()f x 的单调递增区间为1(1)()3-∞-+∞，，，，单调递减区间为1(1)3-，．⑵0b >或427b <-．【题4】 32()3(1)3(2)1f x mx m x m x =-++++，其中m ∈R ．⑴若0m <，求()f x 的单调区间；⑵在⑴的条件下，当[]11x ∈-，时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围；⑶设32()(32)34ln 1g x mx m x mx x m =-+++++，问是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【答案】⑴()f x 在21m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭，单调递减，在211m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递增，在(1)+∞，上单调递减． ⑵403⎛⎫- ⎪⎝⎭，；⑶存在，5m =或84ln2m =-．【题5】 已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点(1(1))f ，处的切线方程为1y x =-． ⑴用a 表示出b ，c ；⑵若()ln f x x >在[]1∞，上恒成立，求a 的取值范围；⑶证明：11111ln(1)()232(1)n n n n n ++++>+++≥． 【答案】⑴112b a c a=-⎧⎨=-⎩；⑵a 的取值范围为12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．⑶略．【题6】 已知函数()2ln pf x px x x=--． ⑴若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；⑵若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；⑶设函数2()eg x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围．【答案】⑴22y x =-；⑵p 的取值范围是[1,)+∞；⑶p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭．【题7】 设函数()sin ()f x x x x =∈R ．⑴证明(2π)()2πsin f x k f x k x +-=，其中为k 为整数；⑵设0x 为()f x 的一个极值点，证明420020[()]1x f x x =+；⑶设()f x 在(0)+∞，内的全部极值点按从小到大的顺序排列12n a a a ，，，，， 证明：1ππ (12)2n n a a n +<-<=，，【题8】 已知a 是给定的实常数，设函数2()()()x f x x a x b e =-+，b ∈R ，x a =是()f x 的一个极大值点．⑴求b 的取值范围；⑵设1x ，2x ，3x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x ∈R ，使得1x ，2x ，3x ，4x 的某种排列1i x ，2i x ，3i x ，4i x （其中1234{}{1234}i i i i =，，，，，，）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．【答案】⑴b 的取值范围是()a -∞-，；⑵存在b ，当3b a =--时，4x a =±；当b a =-时，4x a =b a =-时，4x a =．【题9】 已知函数322()(1)52f x x k k x x =--++-，22()1g x k x kx =++，其中k ∈R ．⑴设函数()()()p x f x g x =+．若()p x 在区间(03)，上不单调．．．，求k 的取值范围； ⑵设函数(),0()(),0g x x q x f x x ⎧=⎨<⎩≥，是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非零实数221()x x x ≠，使得21()()q x q x ''=成立？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】⑴()52k ∈--，；⑵存在，5k =．板块五：微积分与定积分的应用【题1】 求定积分10)x dx ⎰．【答案】π24-【题2】 121(||)x x dx -+=⎰ ．【答案】1【题3】 已知函数0()sin d a f a x x =⎰，则π2f f⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．1 B ．1cos1-C ．0D ．cos11-【答案】B【题4】 如图，求曲线1xy =及直线y x =，2y =所围成的图形的面积S ．【答案】ln 22-。
高中数学选修2-2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标] 1.能根据定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.知识点一 几个常用函数的导数思考 (1)函数f (x )＝c ，f (x )＝x ，f (x )＝x 2的导数的几何意义和物理意义分别是什么？ (2)函数f (x )＝1x导数的几何意义是什么？答案 (1)常数函数f (x )＝c ：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y 轴，斜率为0；当y ＝c 表示路程关于时间的函数时，y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.一次函数f (x )＝x ：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，当y ＝x 表示路程与时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动；一般地，一次函数y ＝kx ：导数y ′＝k 的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为k ，|k |越大，函数变化得越快.二次函数f (x )＝x 2：导数y ′＝2x ，几何意义为函数y ＝x 2的图象上点(x ，y )处的切线斜率为2x ，当y ＝x 2表示路程关于时间的函数时，y ′＝2x 表示在时刻x 的瞬时速度为2x . (2)反比例函数f (x )＝1x ：导数y ′＝－1x 2，几何意义为函数y ＝1x 的图象上某点处切线的斜率为－1x2. 知识点二 基本初等函数的导数公式思考 由函数y ＝x ，y ＝x 2的导数，你能得到y ＝x α(α∈Q *)的导数吗？如何记忆该公式？ 答案 因y ＝x ，得y ′＝1；y ＝x 2，得y ′＝2x ，故y ＝x α的导数y ′＝αx α－1，结合该规律，可记忆为“求导幂减1，原幂作系数”.题型一 运用求导公式求常见的基本初等函数的导数 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝1x 5；(2)12log y x =；(3)y ＝cos π4；(4)y ＝22x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 5′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6； (2)y ′＝1x ln 12＝－1x ln2；(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos π4′＝0； (4)y ′＝(22x )′＝(4x )′＝4x ·ln 4.反思与感悟 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x；(3)y ＝x x ；(4)y ＝13log x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2； (3)∵y ＝x x ＝32x ，∴y ′＝3212x ；(4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.题型二 利用导数公式求曲线的切线方程例2 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程. 解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是： y ′|6x π=＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6， 即2x ＋3y －32－π3＝0. 反思与感悟 导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，两条直线互相垂直时，其斜率之积为－1(在其斜率都存在的情形下). 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程. 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1. 又∵f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4).∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2).又∵切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2).整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1. 当x 0＝2时，f ′(x 0)＝1，此时所求切线方程为x －y －4＝0；当x 0＝1时，f ′(x 0)＝0，此时所求切线方程为y ＋2＝0. 故经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为 x －y －4＝0或y ＋2＝0.在利用求导公式时，因没有进行等价变形出错例3 求函数y ＝3x 2的导数. 错解 ∵y ＝3x 2，∴y ＝32x ， 故y ′＝3212x .错因分析 出错的地方是根式化为指数幂，没有进行等价变形，从而导致得到错误的结果. 正解 ∵y ＝3x 2＝23x ，∴y ′＝2313x -.防范措施 准确把握根式与指数幂的互化：nx m＝m nx ，1nxm＝m nx-.1.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 D解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义，可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1. 又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B.0 C.12xD.32 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.3.给出下列结论：①⎝⎛⎭⎫cos π6′＝－sin π6＝－12； ②若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －3；③若f (x )＝3x ，则[ f ′(1)]′＝3； ④若y ＝5x ，则y ′＝155x .其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 cos π6＝32为常数，则⎝⎛⎭⎫cos π6′＝0，所以①错误；y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以②正确；因为f (x )＝3x ，所以f ′(x )＝3，所以[ f ′(1)]′＝0，所以③错误；y ′＝(5x )′＝15()x '＝1545x -，所以④错误. 4.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 . 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.5.求下列函数的导数： (1)y ＝1x3；(2)y ＝3x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －3－1＝－3x －4. (2)y ′＝(3x )′＝13()x '＝13113x -＝1323x -.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y ＝1－2sin 2 x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2 x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.一、选择题1.设直线y ＝12x ＋b －1是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( )A.1－ln 2B.12ln 2 C.ln 2 D.2答案 C解析 设切点为(x 0，y 0)，根据导数几何意义，得 12＝y ′|0x x =＝1x 0， 解得x 0＝2，代入曲线方程得y 0＝ln 2.故切点为(2，ln 2)，将该点坐标代入直线方程得 ln 2＝12×2＋b －1，解得b ＝ln 2，故选C.2.过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 C.⎝⎛⎭⎫－12，－2 D.⎝⎛⎭⎫12，－2 答案 B解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3.已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A.4 B.－4 C.5 D.－5 答案 A解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4， ∴a ＝4.4.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A.1条B.2条C.3条D.不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处有斜率为1的切线.所以有2条切线.5.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B.－1eC.－eD.e答案 D解析 y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.6.已知f (x )＝2x ，g (x )＝ln x ，则方程f (x )＋1＝g ′(x )的解为( ) A.1 B.12 C.－1或12 D.－1答案 B解析 由g (x )＝ln x ，得x ＞0，且g ′(x )＝1x .故2x ＋1＝1x ，即2x 2＋x －1＝0， 解得x ＝12或x ＝－1.又因x ＞0，故x ＝12(x ＝－1舍去)，选B.7.某质点的运动方程为s ＝1t 4(其中s 的单位为米，t 的单位为秒)，则质点在t ＝3秒时的速度为( ) A.－4×3－4米/秒 B.－3×3－4米/秒 C.－5×3－5米/秒D.－4×3－5米/秒答案 D解析 由s ＝1t4得s ′＝⎝⎛⎭⎫1t 4′＝(t －4)′＝－4t －5.得s ′|t ＝3＝－4×3－5，故选D. 二、填空题8.曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是 .答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为 y －3＝－(x －3)，即x ＋y －6＝0. 9.若曲线y ＝12x -在点(a ，12a-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝ . 答案 64 解析 ∵y ＝12x-，∴y ′＝－1232x -，∴曲线在点(a ，12a-)处的切线斜率k ＝－1232a -，∴切线方程为y －12a-＝－1232a - (x －a ).令x ＝0得y ＝3212a -；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·3212a -＝9412a ＝18，∴a ＝64. 10.点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为 . 答案22解析 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图.则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|0x x =＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1).利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 三、解答题11.求下列函数的导数： (1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝35()x '＝35315x -＝3525x -＝355x 2 . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2.12.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 017(x ). 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2 017(x )＝f 1(x )＝cos x .。
高二人教版数学选修2-2课件：1.3.4 函数与导数综合问题
►变式训练 1．已知函数 f(x)＝mx3＋nx2 (m、n∈R，m≠0)，函数 y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与 x 轴平行． (1)用关于 m 的代数式表示 n； (2)求函数 f(x)的单调增区间． 解析：(1)由已知条件得 f′(x)＝3mx2＋2nx， 又 f′(2)＝0，所以 3m＋2 求过点(1，－1)与曲线 f(x)＝x3－2x 相切的直线方 程．
分析：点(1，－1)不一定是切点，故设出切点坐标(x0，y0)， 求出 f′(x0)．写出切线方程，利用点(1，－1)在切线上求 x0， 从而求出切线方程．
解析：设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝y′|x＝x0＝ 3x20－2.
f′(x)＝1x－x22＋1＝x2＋xx2－2＝（x＋2）x（ 2 x－1） 令 f′(x)＝0⇒x＝1 或 x＝－2，
所以 f(x)有极大值点 x＝－2，极小值点 x＝1.
1．3.4 函数与导数综合问题
研题型 学方法
题型一 利用导数求函数的单调性
例 1 已知 a 是实数，函数 f(x)＝ x(x－a)，求函数 f(x) 的单调区间．
解析：函数的定义域为[0，＋∞)， f′(x)＝ x＋x2－xa＝32x－xa(x>0)． 若 a≤0，则 f′(x)>0， 所以 f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)．
故切线方程为 y－y0＝(3x20－2)(x－x0)．① ∵(x0，y0)在曲线上， ∴y0＝x30－2x0.② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)． 解得 x0＝1 或 x0＝－12. 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y＋1＝－54(x－1)， 即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0.
【苏教版】高二数学(选修2-2)讲义：第1章 1.2.1 常见函数的导数(含答案)
_1.2导数的运算1.2.1常见函数的导数几个常见函数的导数已知函数(1)f(x)＝c，(2)f(x)＝x，(3)f(x)＝x2，(4)f(x)＝1x，(5)f(x)＝x.问题1：函数f(x)＝x的导数是什么？提示：∵ΔyΔx＝f(x＋Δx)－f(x)Δx＝x＋Δx－xΔx＝1，∴当Δx→0时，ΔyΔx→1，即x′＝1.问题2：函数f(x)＝1x的导数是什么？提示：∵ΔyΔx＝f(x＋Δx)－f(x)Δx＝1x＋Δx－1xΔx＝x－(x＋Δx)x(x＋Δx)Δx＝－1x2＋x·Δx，∴当Δx→0时，ΔyΔx→－1x2，即⎝⎛⎭⎫1x′＝－1x2.1．(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；2．C′＝0(C为常数)；3．(x)′＝1；4．(x2)′＝2x；5．(x3)′＝3x2；6.⎝⎛⎭⎫1x′＝－1x2；7．(x)′＝12x.基本初等函数的导数公式1．(x α)′＝αx α－1(α为常数)； 2．(a x )′＝a x ln_a (a >0，且a ≠1)；3．(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a (a >0，且a ≠1)；4．(e x )′＝e x ； 5．(ln x )′＝1x ；6．(sin x )′＝cos_x ； 7．(cos x )′＝－sin_x .函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a ，当a ＝e 时，上述公式就变形为(ln x )′＝1x ，即f (x )＝ln x 是函数f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x与f (x )＝e x .[对应学生用书P7]求函数的导数[例1] (1)y ＝x 8； (2)y ＝1x 3；(3)y ＝x x ； (4)y ＝log 2x .[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 8)′＝8x 7； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3·x －4＝－3x 4； (3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32·x 12＝3x 2；(4)y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 的导数是________． 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ，所以y ′＝－sin x . 答案：－sin x2．下列结论中不正确的是________． ①若y ＝3，则y ′＝0； ②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3； ③⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x； ④若y ＝x ，则y ′＝1.解析：①正确；②sin π3＝32，而(32)′＝0，不正确；对于③，⎝⎛⎭⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x－32＝12x x，正确；④正确． 答案：②3．求下列函数的导函数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝log 12x ；(3)y ＝4x 3；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1. 解：(1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10； (2)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2；(3)∵y ＝4x 3＝x 34，∴y ′＝(x 34)′＝34x －14＝344x ；(4)∵y ＝(sin x 2＋cos x2)2－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .求函数在某一点处的导数[例2] 求函数f (x )＝16x 5在x ＝1处的导数．[思路点拨] 先求导函数，再求导数值． [精解详析] ∵f (x )＝16x 5＝x －56，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －56′＝⎝⎛⎭⎫－56x －116， ∴f ′(1)＝－56.[一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．4．若函数f (x )＝3x ，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23，∴f ′(1)＝13.答案：135．若函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x . ∴f ′(6π)＝cos 6π＝1. 答案：1 6．已知f (x )＝1nx 且f ′(1)＝－12，求n .解：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1n x －n ＋1n ，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－12得－1n ＝－12，得n ＝2.求切线方程[例3](1)曲线在点A(1,1)处的切线方程；(2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路点拨](1)点A在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[精解详析](1)y′＝2x，当x＝1时，y′＝2，故过点A(1,1)的切线方程为y－1＝2(x －1)，即2x－y－1＝0.(2)∵B(3,5)不在曲线y＝x2上，∴可设过B(3,5)与曲线y＝x2相切的直线与曲线的切点为(x0，y0)．∵y′＝2x，∴当x＝x0时，y′＝2x0.故切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)．又∵直线过B(3,5)点，∴5－x20＝2x0(3－x0)．即x20－6x0＋5＝0.解得x0＝1或x0＝5.故切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.[一点通](1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况：①求曲线在点P处的切线方程，P为切点，在曲线上；②求过点P与曲线相切的直线方程，P不一定为切点，不一定在曲线上．(2)求曲线上某点(x0，y0)处的切线方程的步骤：①求出f′(x0)，即切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简切线方程．(3)求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：①设出切点坐标为(x0，y0)；②写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；③代入点P的坐标，求出方程．7．已知直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝ln x 相切，则a 的值为________．解析：设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，由题意得1x 0＝1，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,0)，把点P 的坐标代入直线y ＝x ＋a ，得a ＝－1.答案：－18．求曲线y ＝2x 2－1的斜率为4的切线的方程．解：设切点为P (x 0，y 0)，y ′＝4x ，由题意知，当x ＝x 0时，y ′＝4x 0＝4， 所以x 0＝1.当x 0＝1时， y 0＝1，∴切点P 的坐标为(1,1)． 故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.1．对公式y ＝x n 的理解：(1)y ＝x n 中，x 为自变量，n 为常数；(2)它的导数等于指数n 与自变量的(n －1)次幂的乘积．公式中n ∈Q ，对n ∈R 也成立． 2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化．(2)对于公式(ln x )′＝1x 和(e x )′＝e x 很好记，但对于公式(log a x )′＝1x log a e 和(a x )′＝a x lna 的记忆就较难，特别是两个常数log a e 与ln a 很容易混淆．[对应课时跟踪训练(三)]一、填空题1．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是________． 解析：∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1， ∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4. ∴α＝4. 答案：42．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1x 20＝－4.所以x 0＝±12，所以P ⎝⎛⎭⎫12，2或P ⎝⎛⎭⎫－12，－2. 答案：⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 3．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 解析：由导数公式可知f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解之得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－134．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a ＝－1.∴ln a ＝－1，即a ＝1e .答案：1e5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)．即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，知x 0＝e.∴k ＝1e .答案：1e二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝lg 2； (2)y ＝2x ； (3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝(lg 2)′＝0； (2)y ′＝(2x )′＝2x ln 2； (3)y ′＝(x 32)′＝32x 12；(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .7．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则当x ＝x 0时，y ′＝2x 0. 又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14， ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.8．求曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2解得交点为(1,1)．∵y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2， ∴曲线y ＝1x 在(1,1)处的切线方程为y －1＝－x ＋1，即y ＝－x ＋2. 又y ′＝(x 2)′＝2x ，∴曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.y ＝－x ＋2与y ＝2x －1和x 轴的交点分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫12，0.∴所求面积S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.。
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导数题型分类解析（中等难度） 一、变化率与导数 函数)(0xfy在x0到x0+x之间的平均变化率，即)('0xf=0limxxy=0limxxxfxxfΔ)()Δ(00，表示
函数)(0xfy在x0点的斜率。注意增量的意义。 例1：若函数()yfx在区间(,)ab内可导，且0(,)xab则000()()limhfxhfxhh 的值为（ ） A．'0()fx B．'02()fx C．'02()fx D．0 例2：若'0()3fx，则000()(3)limhfxhfxhh（ ） A.3 B．6 C．9 D．12
例3：求0limhhxfhxf)()(020 二、“隐函数”的求值 将)('0xf当作一个常数对)(0xf进行求导，代入0x进行求值。
例1：已知232fxxxf，则2f 例2：已知函数xxfxfsincos4，则4f的值为 . 例3：已知函数)(xf在R上满足88)2(2)(2xxxfxf，则曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线方程为（ ） A. 12xy B. xy C. 23xy D. 32xy 三、导数的物理应用 如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s′（t）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。 例1：一个物体的运动方程为21tts其中s的单位是米，t的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。
例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（ ）
四、基本导数的求导公式 ①0;C（C为常数） ②1;nnxnx ③(sin)cosxx; ④(cos)sinxx; ⑤();xxee ⑥()lnxxaaa; ⑦1lnxx; ⑧1lglogaaoxex.
s t O A． s t O s t O s t O
B． C． D． 例1：下列求导运算正确的是 ( ) A．2111xxx B．x2log=2ln1x C．exx3log33 D． xxxxsin2cos2 例2：若Nnxfxfxfxfxfxfxxfnn,,,,sin112010，，则xf2005 五、导数的运算法则 常数乘积：.)(''CuCu 和差：(.)'''vuvu
乘积：.)('''uvvuuv 除法：vu2''vuvvu 例1：（1）函数32logyxx的导数是 （2）函数12xnex的导数是 六、复合函数的求导 [()]()*()fxfx，从最外层的函数开始依次求导。
例1：（1）3(1cos2)yx （2）21sinyx 七、切线问题 （曲线上的点求斜率） 例1：曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
._________1,y21,nnnnSnnaaxxxyn项和为的前数列则轴的交点的纵坐标为处的切线与在设曲线例：对正整数
（曲线外的点求斜率） 例1：已知曲线2yx，则过点(1,3)P，且与曲线相切的直线方程为 .
例2：求过点（-1，-2）且与曲线32yxx相切的直线方程. （切线与直线的位置关系） 例1：曲线3()2fxxx在0p处的切线平行于直线41yx，则0p点的坐标为（ ）
A．(1,0) B．(2,8) C．(1,0)和(1,4) D．(2,8)和(1,4) 例2：若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（ ） A．430xy B．450xy C．430xy D．430xy 八、函数的单调性 （无参函数的单调性）
例1：证明：函数ln()xfxx在区间（0，2）上是单调递增函数. （带参函数的单调性） 例1：已知函数2()ln(2)fxxaxax，讨论l()xfxx的单调性；
例2：已知函数),()(23Rbabaxxxf，讨论)(xf的单调性； 例3：已知axxxfln，讨论xfy的单调性. 九、结合函数单调性和极值求参数范围 例1：已知函数32()321fxxx在区间0,m上是减函数，则m的取值范围是 .
例2：已知函数323mfxxxxmR，函数fx在区间2,内存在单调递增区间，则m的取值范围 .
例3：已知函数321fxxaxxaR，若函数fx在区间21,33内单调递减，则a的取值范围 . 例4：已知函数3211()(2)(1)(0).32fxxaxaxa若()fx在[0，1]上单调递增，则a的取值范围 . 例5：已知函数3()fxxax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
例6：已知函数xaxxfln2，若xxfxg2在,1上是单调函数，求实数a的取值范围 例7：如果函数21281002fxmxnxmn，在区间122，单调递减，则mn的最大值为（ ） （A）16 （B）18 （C）25 （D）812 十、函数的极值与最值 （无参函数的极值与最值）
例1：函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x）有极值. （1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值. （含参函数的极值与最值）
例1：已知函数f(x)=axex2(a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.
例2：已知axxxfln，求函数在［1，2］上的最大值. 十一、函数图像 例1：f（x）的导函数 )(/xf的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）
（A） （B） （C） （D） 例2：函数14313xxy的图像为( ) 例3：函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点 个数为 . 例4：已知函数)(xfxy的图象如图所示（其中 )(xf是函数)(xf的导函数），下面四个图象中)(xfy的图象大致是 ( )
例5：已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如右，则( ) A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点
B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点 C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点 D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点
例6：函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 ( ) ＜)2(f＜)3(f＜f(3)-f(2)＜)3(f＜f(3)-f(2) ＜)2(f ＜f(3)＜)2(f＜f(3)-f(2)＜f(3)-f(2)＜)2(f＜)3(f 十二、积分 （代数形式）
例1：22)cos(sinππdxxx的值为（ ） B. 4π 例2：函数||)(xexf，则42)(dxxf
x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y y 4 -4 2 4 -4
2
-2 -2
6 6 6 6 y
x -4 -2 o 4 2
2 4
abx
y)(xfy?
O 例3：定积分102])1(1[dxxx等于（ ） A. 42π B. 12π C. 41π D. 21π （面积形式） 例1：由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（ ） A.121 B.41 C. 31 D. 127
例2：求由抛物线342xxy与它在点A（0,-3）和点B（3,0）的切线所围成的区域面积。
例3：如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ） A.41 B.51 C. 61 D. 71
例4：如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线)0(sinπxxy与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（ ）
A. π1 B. π2 C. 4π D. π3 练习题 1.（西安一中2015~2016高二下学期期中）若1Δ)()Δ2(lim000Δxxfxxfx，则)('0xf等于（ ） A. 2 B. -2 C. 21 D. 21 2.（西安一中2015~2016高二下学期期中）已知6)1('2)(2xfxxf，则)1('f等于（ ） A. 4 B. -2 C. 0 D. 2
3. .________cossin201411211xfNnxfxfxfxfxfxfxxxfnnnn，则，，，的导函数，即是，练：已知
4. 若函数axxxfln)(在点P（1,b）处的切线与x+3y-2=0垂直，则2a+b=（ ） D. -2 5.设曲线P为曲线C：y=x2-2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P横坐标的取值范围为（ ） A. ]21,1[ B. ]0,1[ C. ]1,0[ D. ]23,1[
6. 已知函数xxxxfln3421)(2在区间[t,t+1]上不单调，则t的取值范围是 7. 函数axxaaxxg3)1(2)(23在区间)3,(a内单调递减，则a的取值范围是 8. 若函数2)()(cxxxf在x=2处有极大值，则常数c的值为 9. 已知1)6()(23xaaxxxf有极大值和极小值，则a的取值范围为
10. 已知二次函数cbxaxxf2)(的导数为)('xf，0)0('f，对于任意实数x都有0)(xf，则)0(')1(f
f
的最小值为（ ） A. 3 B. 25 C. 2 D. 23