圆锥曲线离心率的求法(已整理)

圆锥曲线离心率的求法

学习目标

1、 掌握求解椭圆、双曲线离心率及其取值范围的几类方法；

2、 培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力；

学习重难点

重点：椭圆、双曲线离心率的求法；

难点：通过回归定义，结合几何图形，建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确 定离心率

教学过程：

复习回顾：圆锥曲线离心率的概念 一、求离心率

探究一：利用定义直接求a,c

例1.已知椭圆E 的短轴长为6,焦点F 到长轴的一个端点的距离等于 率等于 .

练习1:在正三角形 ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则以B 、C 为焦点，且过 D 、 E 的双曲线的离心率为

( )

AF B. .3 - 1

C. ,2 + 1

D. . 3 + 1

B.

探究二：构造关于e 的(a,b,c 的齐次)方程

2 2

例2.已知椭圆y

2 j =1(a b 0)的上焦点为F ,左、右顶点分别为B,B 2 ,下顶点为A ,

a b

直线AB 2与直线B 1F 交于点P ,若AP=2AB 2 ,则椭圆的离心率为 __________________

2 2

练习2、双曲线?-器=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别是 F 1、F ?,过F 1作倾斜角为30°的 直线交双曲线右支于 M 点，若MF 2垂直于X 轴，则双曲线的离心率为

B. 3

3 D?6

探究三：以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，设而不求确定 e 的方程

9,则椭圆E 的离心

A. . 6 C. 2

二、求离心率的范围(构造不等式或函数关系式求离心率的范围 )

1、直接根据题意建立 a,c 不等关系求解.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2 2

例4、已知双曲线x ^ --y 2 =1 ( a 0,b

0 )的半焦距为c,若 b 2-4ac ：：：0

,

a b

则双曲线的离心率范围是

(

)

A. 1 ：：： e ：：： 2 ? ? 5 B 2 ：：： e ：：： 2 ?. 5 C. 2 - ?<'5 ：：： e ：：： 2

??, 5

D. — ：：： e ：：： 2

2

2、借助平面几何关系建立 a,c 不等关系求解

χ2 y 2

例5、设％ F 2分别是椭圆— 2 =1 ( a b 0)的左、右焦点，若在直线X

a b

线段PR 的中垂线过点F 2 ,则椭圆离心率的取值范围是 3、利用圆锥曲线相关性质建立 a,c 不等关系求解.

2 2

例6、已知双曲线x 2 — y 2= 1(a>0, b>0) , F1是左焦点，O 为坐标原点，若双曲线上存在点

P ,使IPol

a b =|PF1|,则此双曲线的离心率的取值范围是 ( )

A .

(1,2]

B . (1 , +∞ )

C . (1,3)

D . [2, +∞ )

4、运用数形结合建立 a,c 不等关系求解

(0,弓

(0,

C .吟，)

D .诗

2

=a 上存在P,使

C

)

2 2

小结：求离心率的关键是列出一个与 a,b,c,e 有关的等式或不等关系

例7、已知双曲线 笃-爲=1（a 0,b ■ 0）的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线

a b

的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

（）

(A )(1,2] (B )(1,2)

5、运用函数思想求解离心率

2 2

例8、设a 1 ,则双曲线χ2

y

2 =1的离心率e 的取值范围是

a 2 （a+1）2

A ? ( ?.2,2) B. C2 5) C. (2,5) D. (2,、5)

A 1、A 2的点P ,使得PO ?PA 2 =0 ,其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率 e 的取值范围 是

Zn l

√2

1八

√2

A 、(0<-)

B 、 (OK)

C 、（才1）

D 、（=,1）

2

2

2

2

(C) [2,

练习3、 设A 1、 A 2为椭圆 2

X

J

——

2 ,2 a b

-1(a b 0) 的左右顶点，若在椭圆上存在异于

求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e有关的等式或不等关系?在此,要活用圆锥曲线的特

征三角形?常用方法：

1?利用曲线变量范围。圆锥曲中变量的变化范围对离心率的影响是直接的，充分利用这一点，

可优化解题.

2.利用直线与曲线的位置关系。根据题意找出直线与曲线相对的位置关系，列出相关元素的不等式，可迅速解题.

3?利用点与曲线的位置关系。根据某点在曲线的内部或外部，列出不等式，再求范围，是一个重要的解题途径.

4?联立方程组。如果有两曲线相交，将两个方程联立，解出交点，再利用范围，列出不等式并求其解. 5?三角函数的有界性。用三角知识建立等量关系，再利用三角函数的有界性，列出不等式易

解.

6?用根的判别式根据条件建立与a、b、C相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等式，可得简解7?数形结合法：解析几何和平面几何都是研究图形性质的，只不过平面几何只限于研究直线形和圆。因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线形与圆，可以利用平面几何的性质简化计算。

练习

2 2

1、如图，双曲线x2-每=1 (a,b 0)的两顶点为A , A ,虚轴两端点为B i , B2,两焦a b

点为F l, F2.若以AA为直径的圆内切于菱形F1BF2B2 ,切点分别为A, B, C, D ?则双曲线的离心率e=;

2 2

X y

2、设F1, F2是双曲线C:二2=1(a 0,b 0)的两个焦点,P是C上一点，若

a b

PF 1+∣PF2∣=6a,且心PF1F2的最小内角为30 :则C的离心率为—?

2

X

2

3、如图,F I ） F 2是椭圆C i :

y -1与双曲线C 2的公共焦点，A l B 分别是G , C 2在第二、

4

四象限的公共点?若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是

（）

2

4、设双曲线C ： x

2-y 2

= 1（a>0）与直线I : x + y = 1相交于两个不同的点 A , B. a 求双曲线C 的离心率e 的取值范围

A. .. 2

B. λ3

3

C . B. 2

D . -6

2

（第3题

图）