电磁场与电磁波重要例题、习题复习资料
电磁场与电磁波易考简答题归纳
1、什么是均匀平面电磁波？
答：平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场→
E 和磁场→
H 只沿波的传播方向变化，而在波阵面内→
E 和→
H 的方向、振幅和相位不变的平面波。
2、电磁波有哪三种极化情况？简述其区别。
答：（1）直线极化，同相位或相差 180；2）圆极化，同频率，同振幅，相位相差 90或 270；（3）椭圆极化，振幅相位任意。
3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程（即亥姆霍兹波动方程的复数形式），并说明意义。
答：0
02222=+?=+?→
→→
→
H k H E k E ，式中με
ω22
=k 称为正弦电磁波的波数。
意义：均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。电场和磁场的分量由媒质决定。
4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的非限定微分形式，并简述其意义。
答：?????????
??=??=????-=????+=??→→
→
→→
→→ρ
εμμ
εE H t H E t
E J H )4(0)3()2()1(
物理意义：A 、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。 B 、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。 C 、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。 D 、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。
5、写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式，并简述其意义。
答：（1）微分形式
（2） 积分形式 物理意义：同第4题。
6、写出达朗贝尔方程，即非齐次波动方程，简述其意义。
答：→
→
→
-=??-?J t A A μμε2
22，ερμε-=?Φ?-Φ?→
→222t
物理意义：→
J 激励→
A ，源ρ激励Φ，时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播，是时变源的电场辐射过程。
7、写出齐次波动方程，简述其意义。
答：0
222=??-?→
→
t H H με，02
2
2=??-?→
→
t E E με
物理意义：时变电磁场在无源空间中是以波动方式运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为：
με
υ1=
p
8、简述坡印廷定理，写出其数学表达式及其物理意义。
答：（1）数学表达式：①积分形式：???
++??
=?-→
→τττστεμd E d E H t S d S S
222)2
121(，其中，→
→→?=H E S ，称为坡印廷矢量。 ???????????=??=????-=????+=??→→
→→→
→→ρ
D B t B
E t D J H )4(0)3()2()1( ?????
??????=?=????-=????+=???????→→→
→→→→→→→→→→q S d D l d B S
d t
B l d E S d t D J l d H S S
S l s l )4(0)3()2()()1(
由于?=ττεd E W e
22
1为体积
τ内的总电场储能，?=ττμd H W
m
22
1为体积τ内的总磁场储能，?=τ
τσd E P 2
为体积τ内的
总焦耳损耗功率。于是上式可以改写成：P W W t
S d H E m
e S
++??=??-?
→
→→)(，式中的S 为限定体积
τ的闭合面。
②微分形式：
222)2
1
21(E H E t S σμε++??=??-→
，其中，→
→
→
?=H E S ，称为坡印廷矢量，电场能量密度为：221E w e ε=，
磁场能量密度：22
1
H w
m
μ=
。 （2）物理意义：对空间任意闭合面S 限定的体积τ
，→
S 矢量流入该体积边界面的流量等于该体积内电磁能量的增加率和焦耳损耗功率。它给出了电磁波在空间中的能量守恒和能量转换关系。
9、写出麦克斯韦方程组的复数形式。
答：
ρ
ωω=??=??-=??+=??→→
→
→→
→→D B B j E D
j J H 0
10、写出达朗贝尔方程组的复数形式。
答：→
→
→
-=+?J A A μμεω22，ε
ρμεω-=Φ+Φ?→
→
22
11、写出复数形式的的坡印廷定理。
答：
???-+++=?→
→τ
ττωτd w w j d P P P S d S e m T e m S
)(2)(平均平均
其中241H w
m ‘平均
μ=为磁场能量密度的平均值，2'4
1E
w e ε=平均为电场能量密度的平均值。这里场量→
→H E 、分
别为正弦电场和磁场的幅值。
正弦电磁场的坡印廷定理说明：流进闭合面S 内的有功功率供闭合面包围的区域内媒质的各种功率损耗；而流进（或流出）的无功功率代表着电磁波与该区域功率交换的尺度。 坡印廷矢量)2
1Im()21Re(21***→
→→→→→→
?+?=?=H E j H E H E S
为穿过单位表面的复功率，
实部)21Re(*→
→→?=H E S 平均为穿过单位表面的平均功率，虚部)
2
1Im(*→→→
?=H E Q
平均
为穿过单位表面的无功功率。
12、工程上，通常按
ωε
σ的大小将媒质划分为哪几类？
答：当∞→ωε
σ
时，媒质被称为理想导体； 当
210>>ωε
σ
时，媒质被称为良导体； 当221010<<-ωεσ时，媒质被称为半导电介质；
当210-<<ωε
σ时，媒质被称为低损耗介质； 当0=ωε
σ时，媒质被称为理想介质。
13、简述均匀平面电磁波在理想介质中的传播特性。
答：（1）电场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系，电场与磁场处处同相，在传播过程中，波的振幅不变，电场与磁场的振幅之比取决于媒质特性，空间中电场能量密度等于磁场能量密度。
（2）相速度为：με
υ1=p
，频率πω2=f ，
波长：
)(221μεωπ
με
ωπ
με
λ==
=
=
=k k
f T v p 其中，
电场与磁场的振幅比，即本征阻抗：ε
μη==y x
H E ，电场能量密度：221
E w e
ε=，磁场能量密度：2
2H w m μ= 二者满足关系：
e
m w E H H w ===
=
2
22
222
εμεμμ
14、试写出麦克斯韦位移电流假说的定义式，并简述其物理意义。
答：按照麦克斯韦提出的位移电流假说，电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的电流密度，称为位移电流密度，即t
D J d ??=
→
→
。物理意义：位移电流一样可以激励磁场，即变化的电场可以激励磁场。
15、简述什么是色散现象？什么是趋肤效应？
答：在导电媒质中波的传播速度随频率变化，这种现象称为色散现象。导电媒质中电磁波只存在于表面，这种现象称为趋肤效应，工程上常用穿透深度
δ
（m ）表示趋肤程度，
16.相速度和群速度有什么区别和联系？
答：区别：相速度是波阵面移动的速度，它不代表电磁波能量的传播速度，也不代表信号的传播速度。而群速度才是电磁波信号和电磁波能量的传播速度。 联系：在色散媒质中，二者关系为：
ω
υυωυd d p p
g -
=
11，其中，p
ν为相速度，g
ν为群速度。在非色散媒质中，相速度不随频率
变化，群速度等于相速度。
17、写出真空中安培环路定律的数学表达式，说明它揭示的物理意义。
答：∑?=?→
→I
l d B C
μ，它表明在真空中，磁感应强度沿任意回路的环量等于真空磁导率乘以与该回路相交链的电流的代
数和。
18、写出电荷守恒定律的数学表达式，说明它揭示的物理意义。
dV
t S d J V S ????-=?ρ 答：电荷守恒定律表明任一封闭系统的电荷总量不变。也就是说，任意一个体积内的电荷增量必定等于流入这个体积的电荷量。
19、简述分界面上的边界条件
答：（1）法向分量的边界条件
A 、→
D 的边界条件S D D n ρ=-?→
→
→)(21，若分界面上0=S ρ，则0)(21=-?→
→→D D n
B 、→
B 的边界条件0)(21=-?→
→
→B B n
（2）切向分量的边界条件 A 、→E 的边界条件0)
(21=-?→
→
→E E n
B 、→H 的边界条件→
→→→=-?S J H H n )(21，若分界面上0=→
S J ，则0)(21=-?→
→→H H n
（3）理想导体（
∞=σ）表面的边界条件
????
????
?=?=?=?=?=?=?=?=?→→→
→→
→→→
→→→→00)4(0
0)3(00)2()1(ερερS n S
n t S t S E E n B B n E E n J H J H n ，
式中→
n 是导体表面法线方向的单位矢量。上述边界条件说明：在理想导体与空气的分界面上，如果导体表面上分布有电荷，则在导体表面上有电场的法向分量，则由上式中的④式决定，导体表面上电场的切向分量总为零；导体表面上磁场的法向分量总为零，如果导体表面上分布有电流，则在导体表面上有磁场的切向分量，则由上式中的（1）决定。
重要习题例题归纳
第二章 静电场和恒定电场
一、例题：
1、例2.2.4（38P ）半径为0r 的无限长导体柱面，单位长度上均匀分布的电荷密度为l ρ。试计算空间中各点的电场强度。 解：作一与导体柱面同轴、半径为r 、长为l 的闭合面S ，应用高斯定律计算电场强度的通量。
当0r r <时，由于导体内无电荷，因此有0=??→
→
S
S d E ，故有0=→
E ，导体内无电场。
当0r r
>时，由于电场只在r 方向有分量，电场在两个底面无通量，因此
2ερπl rl E dS E dS a a E S d E l r S
r r S r r r r S =?=?=?=????→→→→ 则有：r E l r 02περ= 2、例2.2.6（39P ）圆柱坐标系中，在m r 2=与m r 4=之间的体积内均匀分布有电荷，其电荷密度为3/-?m C ρ。利用高
斯定律求各区域的电场强度。
解：由于电荷分布具有轴对称性，因此电场分布也关于z 轴对称，即电场强度在半径为r 的同轴圆柱面上，其值相等，方向在r 方向上。现作一半径为r ，长度为L 的同轴圆柱面。
当m r
20≤≤时，有02=?=??→
→
rL E S d E r S
π，即0=r E ；
当m r
m 42≤≤时，有)4(1220-=?=??→
→r L rL E S d E r S
πρεπ，因此，)4(220-=r r
E r ερ；
当m r 4≥时，有L rL E S d E r S
πρεπ0
122=?=??→
→，即r E r 06ερ=。
3、例2.3.1（41P ）真空中，电荷按体密度)1(220a
r -=ρρ分布在半径为a 的球形区域内，其中0
ρ为常数。试计算球内、
外的电场强度和电位函数。
解：（1）求场强：
当a r >时，由高斯定律得
2224επQ E r S d E S
=
=??
→
→
而Q 为球面S 包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。
300
242
00
2
15
8
)(44)(a dr a r r dr r r Q a
a
πρπρπρ=-==?
?
因此
2
0302152r a a E r
ερ→
→=
当a r
<时
)53(44)(1
42
53000
20
121a r r dr r r E r S d E r
S
-=
=
=??
?
→
→επρπρεπ
因此
)33(2
3001a r r a E r
-=→
→ερ （2）球电位；
当a r >时，取无穷远的电位为零，得球外的电位分布为
r
a r d E r r
03022152)(ερ=
?=Φ?∞→
→
当a r =时，即球面上的电位为
20152ερa S =
Φ 当a r <时
)
1032(2)(2
4220011a r r a r d E r a r
S +-=?+Φ=Φ?
→
→
ερ
4、例2.4.1（48P ）圆心在原点，半径为R 的介质球，其极化强度)0(≥=→
→m r a P m r 。试求此介质球束缚体电荷密度和球表
面束缚面电荷密度。
解：在球坐标系中，由于极化强度中与有关，具有球对称性，故
当R r <时，122
)2()(1-→
+-=??-
=?-?=m m
p
r m r r r
r P ρ
当R r
=时，m m r r pS R R a a P n =?=?=→
→→→ρ。
5、例2.4.2（49P ）有一介质同轴传输线，内导体半径为cm r 11=，外导体半径cm r 8.13=。两导体间充满两层均匀介质，
它们分界面的半径为cm r 5.12
=，已知内、外两层介质的介电常数为02017,4εεεε==；击穿电场强度分别为
./k 100,/k 12021cm V E cm V E m m ==问：
（1）内、外导体间的电压U 逐渐升高时，哪层介质被先击穿？（2）此传输线能耐的最高电压是多少伏？
解：当内、外导体上加上电压U ，则内外导体上将分布l ρ+和l ρ-的电荷密度。由于电场分布具有轴对称性，在与传输线同轴的半径为r 的柱面上，场的大小相等，方向在→
r a 方向。选同轴的柱面作为高斯面，根据高斯定律可得
当1r r <时，000==r r D E ；
当21
r r r <<时，r D l r πρ21=或r
r E l l r 01182περπερ==；
当32r r r <<时，r D l r
πρ22=或
r
r E l l r 022142περπερ== 。 可以看出，两层介质中电场都在内表面上最强，且在分界面上不连续，这是在分界面上存在束缚电荷的缘故。在介质1中，1r r =处场强最大为
1
011182r r E l
l r m περπερ=
=
，
在介质2中，2r r =处场强最大为
2
0222142r r E l l r m περπερ=
=
由于12
r r >，显然r r E E 12>，在两种介质中最大场强的差值为：
)147(141481
220201021-=-=
-r r
r r r E E l l l r m r m περπερπερ
代入1r 和2r 的值得
r m r m r m r m E r r E E E 21
2
221625.1)147(
=-=- 当介质2内表面上达到cm V /k 100的电场强度时，介质1内表面已达到cm V /k 5.162的电场强度，因此，介质1在介质2被击穿前早已被击穿。而当介质1内表面上达到击穿电场强度时
cm V r r E l
l r m /k 120821
0111===
περπερ
即
1012042r l
?=περ 因此，介质1和介质2内的电场分布为
cm V r
r r r E l l r /k 120821
011===
περπερ
cm V r
r r r E l l r /k 712041421
022?===
περπερ
故，传输线上的最大电压不能超过
V r r r r r r dr
r r dr r r dr E dr E U r r r r r r r r r r m k 16.61ln 7480
ln
12074801202
311211
121322
1
3
2
2
1
=+=+=+=??
??
6、例2.7.1（59P ）半径为R 的导体球上带电量为Q ，试计算空间中的电场分布、电位分布和静电能量。 解：当R r <时，对于导体球，球内无电场，球面为等位面。
当R r ≥时，利用高斯定律，电场强度为
2
04r
Q E r πε=
电位分布为
r
Q ?
=
Φ0
41πε 球面上的电位为
R
Q R ?
=
Φ0
41πε
此导电球储存的静电能为
R
Q Q W R e 208121?
=Φ=πε 而空间任一点的能量密度为
J r
Q E w e 4
0222
03221επε== 静电场储存的静电能为
J R
Q dr w r W
R R
e e
02284πεπ=
=?∞
二、习题
2.20 （本题与例2.
3.1同类型）半径为a 的带点球，其体电荷密度为)0(0≥=n r n ρρ，0ρ为常数，求球内外各处的电位和
电场强度。
解：（1）求场强，利用高斯定律 当a r <时，
1214επQ E r S d E S
=
=??
→
→
而Q 为球面S 包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。
30)3(4επρτρτ+=
=+?n r d Q n
因此， 0
1
01)3(ερ+=+→
→
n r a E n r
当a r
>时，
3020
200
222)3(4sin 1
1
4επρ?θρθετρεππ
πτ
+=
=
=
=?+→
→???
??
n a d r r d dr d E r S d E n n a
S
所以，
2
03
02)3(r n a a E n r
ερ+=+→
→
（2）求电位，取无穷远处的电位为零，则 当a r ≤时
)2
()3(22
200
211+++∞
∞++-+=+==Φ?
??n n n a
a r
r
a n r a n dr E dr E Edr ερ
当a r >时
r
n a dr E n r
03
022)3(ερ+=
=Φ+∞?
2.23 如图所示，内导体球半径为
a ，外导体球壳内半径为
b ，外半径为
c ，如果内导体球带电量为Q ，外导体球壳不带电。
求：（1）两导体上的电荷分布；（2）导体内外各处的电场强度；（3）导体内外各处的电位分布。 解：（1）内导体球带电量为Q ，由于静电感应，所以外导体球壳内表面带电量为Q -，外表面带电量为Q +。 内导体球的电荷体密度为
3
31433
4a Q
a Q
Q ππτρ=
==；外导体球壳的内表面电荷面密度
为：2
24b
Q πρ-=；外导体球壳外表面电荷面密度为：2
34c Q πρ=
。
（2）求场强，利用高斯定律， 当a r <时，球内无电场，即01=→
E ；
当b r a <<时，
2
020
22
2
44r
Q a E Q
E r
S d E r
S
πεεπ→
→→
→
=?=
=??
当c r b <<时，无电场，即03=→
E ；
当c r >时，
2
040
42444r
Q a E Q
E r S d E r
S
πεεπ→
→
→
→=?=
=??
（3）求电位，取无穷远处得电位为零， 当a r <时，
题2.23图
a
Q c
b
)111(4043211c
b a Q
dr E dr E dr E dr E c
c b
b a
a r
+-=
+++=????∞
πε? 当b r a <<时，
)111(404322c
b r Q
dr E dr E dr E c
c b
b r
+-=
++=???∞
πε? 当c r b <<时，
c
Q dr E dr E c
c r
04334πε?=
+=??∞
当c r >时，
r
Q dr E r
0444πε?=
=?∞
2.30 一圆心在原点，半径为
a 的介质球，其极化强度)0(≥=→
→
n ar a P n r 。试求
（1）此介质球束缚体电荷密度和球表面束缚面电荷密度。 （2）求球内外各点的电位。 解：（1）介质球内束缚电荷体密度为：
122
)2()(1-→
+-=??-
=?-?=m n
p ar n ar r r
r P ρ 束缚电荷面密度为：
1+→
→
→
→=??=?=n n r r pS a a a a a P n ρ
（2）先求介质球内自由电荷的体密度：
1
00)2()(-→
→→→
→→→→?-+=
??=???+??=??+??=+??=??=n r
n a D P D P E P E D εεερε
εεερ 然后求球内外各点的场强：
当a r <时，由于→
→
→
+=P E D 10ε且→
→
=1E D ε，所以，0
1εε-=→→n
r
ar a E
当a r ≥时，由高斯定律有：
2224επQ E r S d E S
=
=??
→
→
而
30
20
2104sin )2(εεπε?θθεεετρππ
τ
-=??-+==+-?
??
?n a n a d drd r r n Q d Q ，所以：2
0032)(r a a E n r εεεε-=+→→
再求球内外各点的电位：
当a r <时，
)
())(1()(002011211εεεεεε?-+
-+-=+=+++∞
?
?n n n a
a r
a n r a a dr E dr E
当a r ≥时，
r
a dr E n r
?-=
=+∞
?)(003
21εεεε? 2.31（略） 第四章 恒定磁场
一、例题
1、例4.2.1（105P ）计算真空中半径为R 的长直圆柱形载流铜导线的磁场。 解：由真空中安培环路定律， 在R r <处，有
2
022
022R Ir B I R r rB l d B C πμππμπ??=?==??→
→
在R r >处，有
r
I B I rB l d B C
πμμπ??2200
=?==??→
→
2、例4.2.2（106P ）在无限长柱形区域m r m 31<<中，沿纵向流动的电流，其电流密度为r z e a J 25-→
→
=，其他地方电流密
度0=→
J 。求各区域中的磁感应强度。 解：利用安培环路定律，有：
I
rB l d B C
2μπ?==??→
→（其中I 为回路C 围成的面积上穿过的电流强度）
当m r 1<时，0=I ，则0=→
B 当m r m 31<<时，
A e e r S d J I r r 2220
1
215)21(5--→→
++-=?=?
?
πππ
， T
e r
e r r I r B r 20200415)12(452--++-==μμπμ? 当m r 3≥时，
A e e S d J I 2620312
15235--→
→
+-
=?=?
?πππ
，T e r e r I r B 206004154352--+-==μμπμ?
3、例4.5.1（P 117）同轴线的内导体半径为a ，外导体的半径为b ，外导体的厚度忽略不计。并设导体的磁导率是0
μ，内、外
导体间充满磁导率为
μ的均匀介质，内、外导体分别通以大小都等于I 但方向相反的电流，求各处的→
H 和→
B 。
解：由安培环路定律：?
?
→
→→
→?=?S
l
S d J l d H 可知
当a r ≤≤0时，
2
2
2r a
I r H l d H l
πππ??=
=??→
→，即r a I H 22π?=和
r a I B 202πμ?=。 当b r a ≤≤时，
I
r H l d H l
==??→
→π?2，即
r I H π?2=
和r
I B πμ?2= 当b r >时，
,
02==??→
→
r H l d H l
π?由对称性可知，.0==
→
→
H B
4、例4.5.2（P 117）无限长铁质圆管中通过电流I ，管的内、外半径分别为a 和b 。已知铁的磁导率为μ，求管壁中和管内、
外中的→
B ，并计算铁中的磁化强度→
M 和磁化电流分布。 解：（1）求→
B ： 当b r a ≤≤时，
)()
(2222
2
a r a
b I
r H l d H l
-?-=
=??→
→πππ? 则有：
r I a b a r a H π?
22
222?--=→
→和r
I a b a r a H B πμμ?22222?--==→→→
当∞≤≤r b 时，
I
r H l d H l
==??→
→
π?2
则有：
r I a H π?
2→
→=和r
I a H B πμμ?20
0→→→
== 当a r ≤≤0时，,02==??
→
→
r H l d H l
π?由对称性可知，.0==→
→
H B
（2）求铁中的磁化强度：
在b r a ≤≤的管壁空间内有磁化强度为
r
I a b a r a H B
a M r πμμμ??2)1(
)(
22220
?--?-=-=→
→→
→
→
故管壁内的磁化体电流为
)
()1(
220a b I a M J z m --=??=→
→
→
πμμ 在分界面a r =时b r =处的磁化面电流为
在a r =处：0)(=-?=→
→
→
r ms a M J 在b r =处：
b
I a a M J z r ms πμμ2)1(
0--=?=→
→
→
→
5、例4.6.1（P 120）如图4.6.3所示，铁芯环的内半径为a ，轴半径0r ，环的横截面半径为矩形，且尺寸为h d ?。已知h
a >>和铁心的磁导率0μμ
>>，磁环上绕有N 匝线圈，通以电流为I 。试计算环中的→
B 、→
H 和Φ。
（a ）
（b ）
图4.6.3
μ
0r
0r
a
b
d
I
N
h
t
N
I
解：在忽略环外漏磁的条件下，环内→
H 的环积分为
00
2,22r NI H B r NI H NI r
H l d H l
πμμππ????===
?==??→
→
铁心环内的磁通为
S r NI dh r NI ?==
Φ0
022πμπμ
当磁环上开一很小切口，即在磁路上有一个小空气隙时，根据磁通连续性方程，我们近似地认为磁感应线穿过空气隙时仍均匀分布在截面上。由磁场边界条件可知：铁心内的磁感应强度与空气中的磁感应强度相等，即→
→
=0B B ,当两个区域中的磁场强度
不同，于是
NI t H t r H l d H l
=+-=??→
→00)2(??π
这里t
为空气隙的宽度，且0
2r t π<<，在磁环内，
μ
→
→
=
B H ，在空气隙中，
0μ→
→
=
B H ，代入上式得
NI t B t r B =+
-0
0)2(μπμ
?
?
将上式中左边分子分母同乘以面积S ，则上式又可改写为
1
00002)2(-???
? ??+-=Φ?=+-ΦS t S t r NI NI S t S t r μμπμμπ
铁心和空气隙中的磁感应强度为
1
002-???? ?
?+-=Φ
=μμπt t r NI S B 而磁路中?
H 和0?H 分别为 []
10000)(2--+==
μμμπμμ
?
?t r NI B H
[]10000
)(2--+==μμμπμμ??t r NI B H 二、习题
4.10 一根通有电流I 的长直导线埋在不导电的均匀磁性介质中，求出→
H 、→
B 、→
M 及磁化电流分布。 解：利用安培环路定律：
r
I a H I l d H C
π?
2→
→→→=?=?? 所以： r
I a
H B πμμ?
2→
→→== r
I a H H H B
M 00002)(πμμμμμμ?
-==-=→→→
→
→
→
所以磁化电流密度：
00
1=??????=
??=→
→
→
→→?
??M z r a a r a r M J z
r
m r
I a n M J z
m 002)(πμμμ--=?=→
→
→
→
4.11（略）
4.17 本题与例4.6.1解法完全相同，故省略。
第五章 时变电磁场
一、例题
1、例题5.4.1（P 140） 已知自由空间中)sin(0z t E a E y βω-=→
→
，求时变电磁场的磁场分量→H ，并说明场→E 和→
H 构成了一个沿
z 方向传播的行波。
解：由麦克斯韦方程t
B E ??-=??→
→
可得
t B E z y x a a a y
z
y x ??-=??????→→
→
→
即 t
B z t E a x ??-=-→
→
)cos(0
βωβ 对时间积分可得
)sin(0
z t E a B x
βωω
β--=→
→ 这里积分常数忽略不计，于是
)sin(00z t E a H x
βωω
μβ--=→
→
由此可见，场→
E 和→
H 相互垂直，它们随时间和空间是按正弦波的方式传播的，它是一个行波。
2、例5.5.1（P 144）在两导体平板（d z z ==,0）限定的空气中传播的电磁波，已知波的电场分量为
)cos()cos(0x k t d
z
E a E x x -=→→ωπ式中，x k 为常数。
（1）试求波的磁场分量；（2）验证波的各场分量满足边界条件；（3）求两导体表面上的面电荷和面电流密度。 解：（1）由麦克斯韦第二方程
t
H E ??-=??→
→
μ可得
)sin()cos(1000x k t d
z E k a x E a y E a t H x x y z y z x -=???? ????-??-=??→→→→
ωπμμ
于是
)cos()cos()sin()cos(0000x k t d
z
E k a dt x k t d
z
E k a H x x
y
x x y --=-=→→
→
?ωπωμωπμ （2）由导体与空气的边界条件可知，在0=z 和d z =的导体表面上应该有电场强度的切向分量→
t E 和磁感应强度的法向分
量0=n
B 。而当0=z 和d z =时，0===t
y x E E E 和0==n z B B ，可见电磁波的场分量自然满足边界条件。
（3）由导体与空气的边界条件可知，在导体的表面上有
n S E 0ερ=和→
→
→
?=H n J S
在0=z 的表面上，→
→
=z a n 。于是
)cos(000
0x k t E E x z z
S -===ωεερ
)
cos()cos()
(00000
x k t E k a x k t E k a a H
a J x x
x
x x
y z z z S -=--?=?=→
→
→
=→
→
→
ωω
μωω
μ
在d z =的表面上，→
→-=z a n 。于是
)cos(000x k t E E x d
z z
S --===ωεερ
)
cos()cos()()(0000x k t E k a x k t E k a a H
a J x x
x
x x
y
z d
z z S -=-?-=?-=→
→
→
=→
→
→
ωω
μωω
μ
二、习题
5.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场)(cos 5mT t a B z ω→
→
=，滑片的位置由
[])cos 1(35.0t x ω-=确定，轨道终端接有电阻Ω=2.0R ，试求i 。
解：磁通量为：
→
→?=ΦS B
)7.0(2.0cos 5x t -??=ω
)]cos 1(35.07.0[cos t t ωω--?= )cos 1(cos 35.0t t ωω+=
所以，感应电动势为：
dt
d u Φ-
= 故：
)cos (cos 75.112t t dt
d
dt d R R u i ωω+-=Φ-==
))(cos 21(sin 75.1mA t t ωωω+=
5.2（略）。 5.15（略）。
5.16 本题与例5.5.1解答过程完全相同，故略。 5.17（略）。
5.22 在1=r μ和50=r ε的均匀区域中，有
T
e H a B m V e
a E z t j m y z t j z )(0)
(,/20βωβωμπ-→
→-→
→==
如果波长为m 78.1=λ
，求ω和m H 。
解：由由麦克斯韦方程t
B E ??-=??→
→
可得
t B E z y
x a a a z
z
y x ??-=??????→→
→
→
即
?=???-=??-??→
→→
m z y z x H t
B x E a y E a （自己求哈）
?
278.1222==?====με
λπ
ωπβπμεωπλk （自己求哈）
第六章 平面电磁波
例题6.2.1 频率为100MHz 的正弦均匀平面电磁波在各向同性的均匀理想介质中沿)(z +方向传播，介质的特性参数为4=r ε，
1=r
μ。设电场只有
x 方向的分量，即x x E a E →
→=；当m z t 8
1,0==时，电场等于其振幅m V /104-，试求：
（1）该正弦电磁波的),(t z E →
和),(t z H →
； （2）该正弦电磁波的传播速度；
（3）该正弦电磁波的平均坡印廷矢量。
解：各向同性的均匀理想介质中沿)(z +方向传播的正弦均匀平面电磁波可由标准的余弦函数来表示，即
)cos(),(φβω+-=→
→
z t E t z E m
而波的电场分量是沿
x 方向的，因此，波的电场分量可写成
)cos(),(x m x z t E a t z E φβω+-=→
→
式中m V E m /104-=。
而
m rad f k /3
44200π
εμπμεωβ=
=== 再由m z t 81,0==时，m V E E m
x /10)0,8
1(4-==得
0=+-x z t φβω
故
6
8164ππβφ=?=
=z x
则
（1）)/)(6
34102cos(10),(84m V z t a t z E x π
ππ+-
?=-→
→
)/)(6
34102cos(10601),(84m A z t a E a H a t z H y
x
y
y y ππππη
+-?===-→
→
→
→
（2）波的传播速度为
s m /105.1411
80
0?==
=
εμμε
ν
（3）波的电场和磁场分量的复矢量可写成
)6
34(
410π
π---→
→
=z j x e
a E ，)6
34(
4
6010π
ππ
---→→=z j y
e
a H
故波的平均坡印廷矢量为
28
)6
34(
4)6
34(4*/120106010)10Re(2
1
)Re(21m W a e a e a H E S z
j y
z j x π
π
πππ
π-→
--→
---→→→→
=?=?=
习题部分；由于本章习题与上题解法基本相似，故不再赘述。
《电磁场与电磁波》测验试卷﹙一﹚ 一、 填空题（每题8分，共40分） 1、在国际单位制中，电场强度的单位是________；电通量密度的单位是___________；磁场强度的单 位是____________；磁感应强度的单位是___________；真空中介电常数的单位是____________。 2、静电场→E 和电位Ψ的关系是→E ＝_____________。→ E 的方向是从电位_______处指向电位______处。 3、位移电流与传导电流不同，它与电荷___________无关。只要电场随__________变化，就会有位移电流；而且频率越高，位移电流密度___________。位移电流存在于____________和一切___________中。 4、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝________；而磁场→ B 的法向分量B 1n －B 2n ＝_________；电流密度→ J 的法向分量J 1n －J 2n =___________。 5、沿Z 轴传播的平面电磁波的复数表示式为：_____________________=→ E , ____________________=→ H 。 二、计算题（题，共60分） 1、（15分）在真空中，有一均 匀带电的长度为L 的细杆， 其电荷线密度为τ。 求在其横坐标延长线上距 杆端为d 的一点P 处的电 场强度E P 。 2、（10分）已知某同轴电容器的内导体半径为a ，外导体的内半径为c ， 在a ﹤r ﹤b (b ﹤c)部分填充电容率为ε的电介质，求其单位长度上的电容。 3、（10分）一根长直螺线管，其长度L ＝1.0米，截面积S ＝10厘米2，匝数N 1＝1000匝。在其中段密绕一个匝数N 2＝20匝的短线圈，请计算这两个线圈的互感M 。 4、（10分）某回路由两个半径分别为R 和r 的 半圆形导体与两段直导体组成，其中通有电流I 。 求中心点O 处的磁感应强度→ B 。 5、电场强度为)2106(7.378 Z t COS E Y a ππ+?=→ → 伏／米的电磁波在自由空间传播。问：该波是不 是均匀平面波？并请说明其传播方向。 求：（1）波阻抗； （2）相位常数； （3）波长； （4）相速； （5）→ H 的大小和方向； （6）坡印廷矢量。 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙二﹚ （一）、问答题（共50分） 1、（10分）请写出时变电磁场麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式，并写出其辅助方程。 2、（10分）在两种媒质的交界面上，当自由电荷面密度为ρs 、面电流密度为J s 时，请写出→ →→→H B D ,,,E 的边界条件的矢量表达式。 3、（10分）什么叫TEM 波，TE 波，TM 波，TE 10波？ 4、（10分）什么叫辐射电阻？偶极子天线的辐射电阻与哪些因素有关？ 5、什么是滞后位？请简述其意义。 （二）、计算题（共60分） 1、（10分）在真空里，电偶极子电场中的任意点M （r 、θ、φ）的电位为2 cos 41r P θ πε= Φ（式中，P 为电偶极矩，l q P =）， 而 → →→?Φ?+?Φ?+?Φ?=Φ000sin 11φφ θθθr r r r 。 试求M 点的电场强度→ E 。 2、（15分）半径为R 的无限长圆柱体均匀带电，电荷 体密度为ρ。请以其轴线为参考电位点， 求该圆柱体内外电位的分布。 3、（10分）一个位于Z 轴上的直线电流I ＝3安培，在其旁 边放置一个矩形导线框，a ＝5米，b ＝8米，h ＝5米。 最初，导线框截面的法线与I 垂直（如图），然后将该 截面旋转900，保持a 、b 不变，让其法线与I 平行。 求：①两种情况下，载流导线与矩形线框的互感系数M 。 ②设线框中有I ′＝4安培的电流，求两者间的互感磁能。 4、（10分）P 为介质（2）中离介质边界极近的一点。 已知电介质外的真空中电场强度为→ 1E ，其方向与 电介质分界面的夹角为θ。在电介质界面无自由电 荷存在。求：①P 点电场强度→ 2E 的大小和方向；
1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+? ,B E t ???=-? ,0B ?= ,D ρ?= 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? S D d s ρ=? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。 6电位满足的泊松方程为 ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。8.电场强度E 的单位是， 电位移D 的单位是 。9．静电场的两个基本方程的微分 形式为 0E ??= ρ?= D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 3.0 0n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H 4.D E ε= ,B H μ= ,J E σ= 5. J t ρ ??=- ? 6.2ρ?ε?=- 12??= 12 12n n εεεε??=?? 7.唯一性定理 8.V/m C/m2 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令 B A =?? 的依据是（c.0B ?= ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ ) l n (0 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性） 分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω= 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-? 其振幅值为：304510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510 .dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。 试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S S d q =?得2 4q D r π= 24D e e r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε= = 五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a 处，其间在x=x0处有一面密度为σ2C/m 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。（20分） 解：()2 102d 00;d x x x ?=<<()22 02d 0 d x x a x ?=<< 得： ()()11100;x C x D x x ?=+<< ()()2220x C x D x x a ?=+< <
A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。
4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程
6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。
. 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε==
电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任 意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ??????++ = ??=ρ ρdiv ； 散度在圆柱坐标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右 手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。二者的关系 n dS dC e A ρρ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该 点最 大环量密度的方向。 4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。梯度的大小为该点 标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的 方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与 梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数 的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e r 的表达 式 ；
7、直角坐标系下方向导数 u ?的数学表达式是 ，梯度的表达式 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。 9、麦克斯韦方程组的积分形式分别为 ()s l s s l s D dS Q B E dl dS t B dS D H dl J dS t ?=??=-??=?=+????????r r r r r r r r g r r r r r g ???? 其物理描述分别为 10、麦克斯韦方程组的微分形式分别为 2 0E /E /t B 0 B //t B c J E ρεε??=??=-????=??=+??r r r r r r r 其物理意义分别为 11、时谐场是激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的 场， 一般采用时谐场来分析时变电磁场的一般规律，是因为任何时变周期函数都可以用正弦函数表示的傅里叶级数来表示；在线性条件下，可以使用叠加原理。 12、坡印廷矢量的数学表达式 2 0S c E B E H ε=?=?r r r r r ，其物理意义表示了单 位面积的瞬时功率流或功率密度。功率流的方向与电场和磁场的方向垂直。表达式 ()s E H dS ??r r r g ?的物理意义穿过包围体积v 的封闭面S 的功率。 13、电介质的极化是指在外电场作用下，电介质中出现有序排列电偶极子以及表面上出
电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量—
电磁场与电磁波例题详解
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第1章 矢量分析 例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程???=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。 例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。 解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=??==M M yz y x ?, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xy z z ?, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以
1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α??z y x l M 例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。 解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==??==??==??xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ??=??+??+??=?? l z y x l M ?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。 解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x ? 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=?? ，36) 1,1,1(y x a a +=?? 例1.6 运用散度定理计算下列积分： ??++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。 解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理???=??τ τs S d A d A 可得
《电磁场与电磁波》试卷1 一. 填空题（每空2分,共40分） 1．矢量场的环流量有两种特性：一是环流量为0，表明这个矢量场 无漩涡流动 。另一个是环流量不为0，表明矢量场的 流体沿着闭合回做漩涡流动 。 2．带电导体内静电场值为 0 ，从电位的角度来说，导体是一个 等电位体 ，电荷分布在导体的 表面 。 3．分离变量法是一种重要的求解微分方程的方法，这种方法要求待求的偏微分方程的解可以表示为 3个 函数的乘积，而且每个函数仅是 一个 坐标的函数，这样可以把偏微分方程化为 常微分方程 来求解。 4．求解边值问题时的边界条件分为3类，第一类为 整个边界上的电位函数为已知 ，这种条件成为狄利克莱条件。第二类为已知 整个边界上的电位法向导数 ，成为诺伊曼条件。第三类条件为 部分边界上的电位为已知，另一部分边界上电位法向导数已知 ，称为混合边界条件。在每种边界条件下，方程的解是 唯一的 。 5．无界的介质空间中场的基本变量B 和H 是 连续可导的 ，当遇到不同介质的分 界面时，B 和H 经过分解面时要发生 突变 ，用公式表示就是 12()0n B B ?-=，12()s n H H J ?-=。 6．亥姆霍兹定理可以对Maxwell 方程做一个简单的解释：矢量场的 旋度 ，和 散度 都表示矢量场的源，Maxwell 方程表明了 电磁场 和它们的 源 之间的关系。 二．简述和计算题（60分） 1．简述均匀导波系统上传播的电磁波的模式。（10分） 答：（1）在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，即电场和磁场完全在横平面内，这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM 波。 （2）在电磁波传播方向上有电场和但没有磁场分量，即磁场在横平面内，这种模式的电磁波称为横磁波，简称TM 波。因为它只有纵向电场分量，又成为电波或E 波。 （3）在电磁波传播方向上有磁场但没有电场分量，即电场在横平面内，这种模式的电磁波称为横电波，简称TE 波。因为它只有纵向磁场分量，又成为磁波或M 波。 从Maxwell 方程和边界条件求解得到的场型分布都可以用一个或几个上述模式的适当幅相组合来表征。 2．写出时变电磁场的几种场参量的边界条件。（12分） 解：H 的边界条件 12()s n H H J ?-= E 的边界条件
一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度
电子信息学院电磁场与电磁波第一章复习题练习 姓名 学号 班级 分数 1-7题，每题5分；8-15题，每题5分，16题10分，17题15分。 8: 解：不总等于，讨论合理即可 9. 已知直角坐标系中的点P 1(-3，1，4)和P 2（2，-2,3）： (1) 在直角坐标系中写出点P 1、P 2的位置矢量r 1和r 2； (2) 求点P 1到P 2的距离矢量的大小和方向； (3) 求矢量r 1在r 2的投影； 解：（1）r1=-3a x +a y +4a z ; r2=2a x -2a y +3a z (2)R=5a x -3a y -a z (3) [（r1?r2）/ │r2│] =（17）? 10.用球坐标表示的场E =a r 25/r 2，求： （1） 在直角坐标系中的点（-3,4，-5）处的|E |和E z ； （2） E 与矢量B =2a x -2a y +a z 之间的夹角。 解：（1）0.5；2?/4; (2)153.6 11.试计算∮s r ·d S 的值，式中的闭合曲面S 是以原点为顶点的单位立方体，r 为 空间任一点的位置矢量。 解：学习指导书第13页 12.从P （0,0,0）到Q （1,1,0）计算∫c A ·d l ，其中矢量场A 的表达式为 A =a x 4x-a y 14y 2.曲线C 沿下列路径： （1） x=t ，y=t 2； （2） 从（0,0,0）沿x 轴到（1,0,0），再沿x=1到（1,1,0）； （3） 此矢量场为保守场吗？ 解：学习指导书第14页 13.求矢量场A =a x yz+a y xz+a z xy 的旋度。 A ??=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=0 14.求标量场u=4x 2y+y 2z-4xz 的梯度。 u ?=x a u x ??+y a u y ??+z a u z ??=x a (8xy-4z)+y a (42x +2yz)+z a (2y -4x)
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。
第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。
1麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?,B E t ???=-?,0B ?=,D ρ?= 2静电场的基本方程积分形式为： C E dl =? S D d s ρ =? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。 6电位满足的泊松方程为 ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。8.电场强度E 的单位是， 电位移D 的单位是 。9．静电场的两个基本方程的微分 形式为 0E ??= ρ?=D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=? ?=?? ?=?? ?=?D B E H 4.D E ε=,B H μ=,J E σ= 5. J t ρ??=-? 6.2ρ?ε?=- 12??= 1212n n εεεε??=?? 7.唯一性定理 8.V/m C/m2 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令 B A =??的依据是（c.0B ?= ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ”的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ ) l n (0 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一 定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω= 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?= =-? 其振幅值为： 304510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S S d q =?得2 4q D r π= 24D e e r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r r a a a q q U d d d r a πεπε∞ ∞ ∞ ==== ??? 导体球的电容04q C a U πε= = 五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a 处，其间在x=x0处有一面密度为σ2C/m 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。（20分） 解：()2 102d 00;d x x x ?=<<()22 02d 0 d x x a x ?=<< 得： ()()11100;x C x D x x ?=+<< ()( )222 0x C x D x x a ?=+< < ()()()()()()()(122112102000,0;, x x x x a x x x x ???????????===-???? 和满足得边界条件为
第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+
. 电磁场与电磁波练习题 1、直角坐标系中，两个矢量A 与B ，其中x y z A e e e =-+， x y z B e e e =++，则：A e = ； A B ?= ； A B ?= 。 2、在有限的区域V 内，任一矢量场由它的 、 和 唯一地确定。 3、标量场u 的梯度、矢量场F 的散度、旋度可用哈密顿算符?表示为 、 、 。 4、已知磁感应强度为 (3)(32)()x y z x y z y mz =+--+B e e e ，则m 的值为____。 : 5、 写出电流连续性方程的微分形式 。 6、从宏观效应看，物质对电磁场的响应可分为 、 和 三种现象。 7、一个点电荷q 放在两相交0 60的导体平面内，则存在 个镜像电荷。 8、写出电磁能量守恒关系的坡印廷定理的表达式 。 9、均匀平面波在良导体中传播时，磁场的相位滞后电场 度。 10、反射系数的定义式为 。 11对于矢量A ，若 =++x x y y z z A e A e A e A ，则：z x e e ?= ；x x e e ?= ；z y e e ?= 。 12、直角、圆柱、球坐标系下体积元分别为 、 、 。 （ 13、矢量(cos sin )y x y A e x x -=-e e ，则A ?= 。 14、对于线性和各向同性的媒质，这些方程是 、 、 ，称为媒质的本构关系。 15、理想介质的电导率σ= ，而理想导体的电导率σ= 。 16、电场强度E 电位函数?的关系为 。 17、在电磁场工程中，通常规定矢量位A 的散度为 ，此式称为洛伦兹条
件。 18、电磁波的波长不仅与 有关，还与媒质的参数 、 有关。 19、电场强度矢量 ()()m x xm z z jE cos k z E =e ，写出其瞬时值矢量(,)z t E = 。 20、对于导电媒质的垂直入射，反射系数Γ与透射系数τ之间的关系为 。 《 21、旋涡源与通量源不同在于前者不发出矢量线也不汇聚矢量线。（正确、错误） 22、位移电流密度是磁场的旋涡源，表明时变磁场产生时变电场。（正确、错误） 23、理想导体内部不存在电场，其所带电荷只分布于导体表面。（正确、错误） 24、当感应电动势 0in ξ<时，表明感应电动势的实际方向与规定方向相同。（正确、错 误） 25、电容的大小与电荷量、电位差无关。（正确、错误） 26、当12()jkz jkz x E z Ae A e -=+时，第一项代表波沿+z 方向传播，第二项代表沿-z 方向传播。（正确、错误） 27、矢量函数E 满足真空中的无源波动方程一定满足麦克斯韦方程。（正确、错误） 28、电磁波的趋肤深度随着波频率、媒质的磁导率和电导率的增加而增加。（正确、错误） | 29、反射系数与投射系数之间的关系为1τ+Γ=。（正确、错误） 30、驻波的电场强度与磁场强度不仅在空间位置上错开 1/4λ，在时间上也有/2π的相移。 （正确、错误） 31、方向导数的定义是与坐标无关，但其具体计算公式与坐标系有关。（正确、错误） 32、亥姆赫兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件惟一地确定。（正确、错误） 33、在静电场中的电感与导体系统的几何参数和周围媒质无关，与电流、磁通量有关。（正确、错误） 34、不管是静态还是时变情况下，电场和磁场都可以相互激发。（正确、错误） 35、接地导体球上的感应电荷的分布是不均匀的，靠近点电荷的一侧密度小。（正确、错误） 36、任一线极化波，都可将其分解为两个振幅相等、旋向相反的圆极化波。
第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??=