高中数学两条直线平行与垂直的判定新人教A版必修
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
的坐标.
[解析] 思路分析 （1）根据两角相等，判断 与 的关系，然后
转化为斜率的关系求解. （2）根据 ∠ 是直角，得出 ⊥ ，然后
转化为斜率之积为-1求解.
（1） ∠ = ∠ （ 是坐标原点）；
3.能利用两条直线平行或垂直
的几何意义.
的条件解决问题.
1.两条直线平行：
1 = 2
对于斜率分别为 1 , 2 的两条直线 1 , 2 ，有 1 ∥ 2 ⇔ ①____________.
2.两条直线垂直：
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于
-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直. 即 1 ⊥
先由图形作出猜测，再利用直线的斜率关系进行判定. （2）由图形的形状求
参数（一般是点的坐标）时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要
考虑斜率是否存在，又要考虑图形可能出现的各种情况.
已知 (1, −1), (2,2), (3,0) 三点，若 ⊥ ，且 ∥ ，求点 的坐标.
么 1 与 2 (
A
)
A. 垂直
B. 平行
C. 重合
D. 相交但不垂直
[解析] ∵ 直线 1 经过 (−3,4) ， (−8, −1) 两点，
∴ 直线 1 的斜率 1 =
4+1
−3+8
= 1.
∵ 直线 2 的倾斜角为 135∘ ，
∴ 直线 2 的斜率 2 = tan 135∘ = −1 ，
+2
9
= −1 ，
直观想象、逻辑推理——判断平面图形的形状
人教版数学高一必修2学案两条直线平行与垂直的判定
3.1.2两条直线平行与垂直的判定基础梳理1．两条直线平行的判定．两条不重合的直线平行的条件是(斜率都存在)：它们的斜率相等．即：α1＝α2⇔l1∥l2⇔k1＝k2.上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．例如：已知两不重合直线的倾斜角都为0°，则这两直线平行．已知两不重合直线的倾斜角都为90°，则这两直线平行．2．两条直线垂直的判定．探究两直线l1，l2垂直时，它们的斜率k1，k2的关系．(1)l1，l2的倾斜角α1＝90°，α2＝0°时，斜率k1不存在；k2＝0，此时两直线垂直．(2)两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1.反之亦然，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1．例如：已知直线l1的斜率为3，l2的斜率为－13，则l1⊥l2.►思考应用1．当两条直线的斜率相等时，两条直线一定平行吗？解析：一定，课本说“两条直线时，一般是指两条不重合的直线”．2．当直线l1⊥l2时，它们的倾斜角α1，α2的关系是什么(α1<α2)? 解析：α2＝90°＋α1.自测自评1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(B)A．－3 B．3 C．－13D.132．过点A(1，2)和B(－3，2)的直线与直线y＝0的位置关系是(B) A．相交B．平行C．重合D．垂直3．直线l1的倾斜角为60°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(D) A. 3 B．－ 3C.33D．－334．经过点(m，3)和(－2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是2．题型一两条直线平行与垂直的关系(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－a3，题型二两直线平行与垂直的应用基础达标1．下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们斜率之积为－1.其中正确的为(B )A ．①②③④B ．①③C ．②④D ．以上全错2．给定三点A(1，0)、B(－1，0)、C(1，2)，则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点(A )A ．(0，1)B ．(0，0)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：∵k BC ＝2－01－（－1）＝1， ∴过A 点且与直线BC 垂直的直线的斜率为－1.又∵k ＝1－00－1＝－1， ∴直线过点(0，1)．3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝(A )A ．2B ．－2C ．4D ．14．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论： ①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS.正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4·k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS.而k PS ≠k QS ，所以PS 与QS 不平行，故①②④正确，选C .5．下列各对直线不互相垂直的是(C )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，3)B ．l 1的斜率为－23，l 2过点A(1，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12C ．l 1的倾斜角为30°，l 2过点P(3，3)，Q(4，23)D ．l 1过点M(1，0)，N(4，－5)，l 2过点A(－6，0)，S(－1，3)6．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是(D )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形7．确定l 1与l 2的位置关系(填“∥”或“⊥”)(1)l 1过点A(2，3)，B(－1，0)，l 2过点P(1，0)且斜率为1，则l 1________l 2.(2)l 1过点C(3，1)，D(－2，0)，l 2过点M(1，－4)且斜率为－5，则l 1________l 2.解析：(1)∵kl 1＝3－02＋1＝1，∴l 1∥l 2. (2)kl 1＝15，∴kl 1·kl 2＝－1，∴l 1⊥l 2. 答案：(1)∥ (2)⊥ 巩固提升8．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________．解析：由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2， 则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b 2＝－1，解得b ＝2； 当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34， 解得b ＝－2k 1·k 2＝－98. 答案：2 －989．△ABC 的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2.综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.10．已知四边形MNPQ 的顶点M(1，1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2，2)，求证：四边形MNPQ 为矩形．证明：∵k MN ＝1＋11－3＝－1，k PQ ＝2－02－4＝－1，∴MN ∥PQ.又∵k MQ ＝2－12－1＝1，k NP ＝0＋14－3＝1，MQ ∥NP ，∴四边形MNPQ 为平行四边形．又∵k MN·k MQ＝－1，∴MN⊥MQ.∴四边形MNPQ为矩形．1．对垂直与平行关系的理解应注意，当两直线的斜率相等时，并不一定两直线平行，还要注意判断一下两直线是否重合．2．无论是判断两条直线平行还是垂直，都需注意对特殊情况的讨论，即注意分类讨论思想方法的运用．3．利用这两个关系判断三角形或四边形形状时首先根据各点坐标求出各边斜率，再根据斜率判断各边所在直线的位置关系，进而得知形状．在求斜率、求点的坐标等问题时经常用到这两类关系．。
人教A版高中数学必修二课件一般式平行和垂直
2.平行直线系方程：与直线Ax+By+C=0平行 的直线方程是：Ax+By+C1=0（C1≠C）.
3.垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0垂直 的直线方程是：Bx-Ay+C1=0.
例8：求过两直线x-2y+4=0和x+y2=0的交点，且满足下列条件的直线 方程： （1）过点(2,-1); （2）和直线3x-4y+5=0垂直。
答： 位置关系
相交
公共点个数 1个
平行 0个
重合 无数个
§2.1.3两条直线的平行与垂直
1.平行
【问题1】你认为，不重合的两条 直线的位置关系（平行、相交） 与它们的斜率有何关系？
答：不重合的两条直线 斜率存在时两直线平行斜率相等 两直线相交斜率不相等
斜率不存在时？ 同时不存在
【问题2】由直线方程你能直接判 断两直线的位置关系吗？
2.5
B 120
h
O
C
x
（1）3x+2y-4=0 （2）4x+3y-6=0
例9：证明：无论m取何值，直线L： (m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一个定点， 并求出该定点的坐标。
（9，-4）
课堂练习
1.如果直线ax+y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,则a=.
2
2.如果两直线x+ysin-1=0和2xsin+y+1=0互相垂直,则=
课堂小结
1.填表
两直线方程 平行
垂直
适用范围
l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2
8-5-1直线与直线平行(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册
∴四边形DD'E'E是平行四边形，
∴DE=D'E'，
∴△ADE ≌ △A'D'E'，
∴∠BAC=∠B'A'C'．
显然，当A'C'的方向与上述情形相反时，∠BAC与∠B'A'C'互补．
LOGO
一
思考探究
等角定理：空间中的两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补.
两个角的两边方向相同或
相反时，相等
B'
B
证法二：
C
证明 : AA'// BB ' ,四边形AA' B' B是平行四边形, AB // A' B'.
BB '// CC ' ,四边形BB ' C ' C是平行四边形, BC // B' C '.
ABC和A' B' C' 的两边AB // A' B' , BC // B' C' , 且方向相同,
所以 D1G= DD1.
又 BB1DD1,以 BFD1G.所以四边形 D1GBF 为平行四边形.
所以 D1F∥GB,同理 D1E∥GC.
因为∠BGC 与∠FD1E 的对应边平行且方向相同,所以∠BGC=∠FD1E.
利用空间等角定理证明两角相等的步骤
(1)证明两个角的两边分别对应平行.
(2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反.
AA'// CC ' ,四边形AA' C ' C是平行四边形, AC A' C '.
数学：《直线与平面垂直的判定定理》课件(人教a版必修2)
例2.已知a∥b, a ⊥ 求证: b ⊥
a
m
b
n
O
练习
在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD， 求证：对角线AC BD。
A
1.
证明 取BD的中点E , 连接AE, CE ,
：
AB AD, AEBD,
D
B E
BC DC, CEBD, 又 AE CE E , BD平面ACE, AC 平面ACE, BDAC
l
线面垂直的定义 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们
就说直线
l 和平面
互相垂直。记作：l
l
平面的垂线
A
垂足
直线的垂面
?
l
l
a a
图1
图2
?
两 条 直 线
l
l
a b
a b
图1
图2
直线与平面垂直的判定定理
如果直线 l 和平面 内的两条相交直线 m,n都垂直，那么直线 l 垂直平面。 即： m , n , m n P l l m, l n
测量BD的长度，若长度为 6m，则AB BD， 否则不垂直。
再将绳子拉直与地面交 与另一点D，D与B，C不共线，连接 BD，
若AB与BC，AB与CD都垂直，则旗杆 与地面垂直，否则不垂 直。
变式：有一根旗杆和一条比它长的绳子，请设计一个方案用
一把皮尺来判断旗杆是否与地面垂直，并说明理由。
A
D C B
m
P
l
n
?
例1．有一根旗杆 AB 高 8m ，它的顶端 A 挂一条长 10m 的绳子，请设计一个方案用一把皮尺来判断旗杆是否与地面垂直
人教版高中数学必修二课件 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
k2=_______.
解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan 30°= 3， 3
因为l1∥l，所以k1=k=
3 3
.
因为l2⊥l,所以k2·k=-1,
所以k 2
=
1 k
=
3.
答案： 3
3
3
16
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6， -6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
C.0
D. 1
2
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
a=-2.
12
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 ,
l1 ⊥ l2时，k1与k2满足什么关系？
提示：
如图，α2 =α1 + 90o，
tanα2
=
tan(α1
+ 90o
)=
-
1 tanα1
,
即k1k2 = -1.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1
平面内两条直线有哪些位置关系？ 平行或相交
2
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度， 我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
y
.
O
x
能否通过斜率来 判断两条直线的
位置关系？
3
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. （重点）
2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直. （难点）
反之，成立,可得
y l2
l1
α1 α2
O
x
l1 l2 k1k2 = 1.
13
思考4
设两条直线l1的斜率k1 = 0,l2的斜率不存在,
l1 ⊥ l2吗？
高中数学人教A版必修第二册《空间直线、平面的垂直---直线与平面、平面与平面垂直的性质》名师课件
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中
因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.
又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.
数学：《直线与平面垂直的判定定理》课件(人教a版必修2)
间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。
定义法
此直线垂直于这个平面
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呢。再茫然地环顾四周，发现其他一切也并没有发生任何变化。耿老爹摇摇头，自言自语地叹息着：“唉，可惜啊，昔日繁华 的汉口镇，如今萧条成什么样子了！这无主的房子快四个月了，还没有人来拾掇使用呢。看来啊，我们当时果断地渡江南下是 很正确的。”又想一想，如果赶明年夏秋在武昌镇上再次开店时，如果这个小二楼还没有被人拾掇了的话，我们应该顾一挂大 骡车过来，把里边的那些走之前没有能够带走，但还能再使用的家什儿拉过江去才好。虽说在二手货交易市场上买这些家什儿 的时候并没有花多少银子，但丢弃了还确实可惜了一点儿呢。但不管怎么说，现在就拉过去存放在白家是不太合适的。这样胡 乱琢磨一会儿，日头就快要落下去了。这里离渡江口还有不近的一段距离，耿老爹不敢多停留，径直快步赶往渡江口去了。由 于眼下过往渡江的人很少，船家早已经停止了夜渡生意。好在上午渡船过来的时候，耿老爹已经向船家打听好了最后一趟返回 渡船的开船时间。顺利渡过江后，耿老爹又是一阵紧赶慢赶。掌灯时分，总算返回了白家。晚饭桌上，耿老爹说了汉口镇上如 今的萧条景象，以及他打听张老乡未果等等，但始终未提一个多月之前做过的那个可怕的梦。是不想提，还是不敢提？耿老爹 自己也说不清楚。乔氏说：“唉，汉口镇遭受了这么大的水灾，要想完全恢复啊，且得一段时间呢！”耿正说：“张伯伯肯定 是在老家就听说汉口镇遭受大水灾了，因此没有急着带家眷动身南下。”耿英也说：“即使在老家没有听说，到省城境界也应 该能够听到这个消息的。张伯伯也算是老汉口镇人了，知道洪灾的厉害。一听到这个消息，他肯定就带着全家人转身返回去 了！”耿老爹说：“我想也是。但愿如此吧！”耿直叫起来：“爹，什么叫‘但愿如此’，肯定是这样的！”小青也说：“耿 伯伯，小直兄弟说得对，肯定是这样的！”乔氏说：“肯定是这样的！大家别光顾了说话，饭都要凉了，快吃吧！”临近过年 的时候，天气明显地暖和起来。耿老爹加快了干活儿的速度。所有的门窗都割制好了以后，看看还有不少木料，耿老爹就对乔 氏说：“兄弟媳妇，要不我再割两张大床吧，木料还多着呢。这些木料放着也怪占地方的。再说啦，青丫头将来结婚的时候， 新屋里也需要放大床的。”乔氏看了一眼在一旁羞红了脸的小青，轻轻地说：“耿大哥，小青她爹当时买这些木料的时候，就 说了要割两张大床的。只是这太劳累你了。要不咱们找人割吧，你还要做生意呢！”耿老爹说：“你就别客气了，这活儿我能 干得了，不用找人。剩下来的边角料，我还想再做一些高凳子小板凳什么的呢，咱们不要浪费了所有的木料。”乔氏感激地说： “那敢情好啊！只是太辛苦你了！”年前年后的十多
2022-2023学年高一数学：两条直线平行和垂直的判定
k AB k BC 1，
ABC是直角三角形.
B
O
x
A
练一练
1.已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，
求m的值.
解
m＋1 1＋1
若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1， 即 2－5 ·1－5＝－1，解得 m＝－7；
1＋1 m－1
1
A.
1
B.a
C.-
1
)
1
D.- 或不存在
解析:若 a≠0,则 l2 的斜率为-;若 a=0,则 l2 的斜率不存在.
答案:D
3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为
-(-1)
=1,即
3-(-2)
解析:由题意,得
.
a=4.
答案:4
(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则
可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率.
典例4
已知A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ
的位置关系.
解：直线AB的斜率k AB
2
3
, 直线PQ的斜率k PQ .
3
2
y
2 3
4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,
则实数m=
.
解析:设直线 AD,BC 的斜率分别为 k ,k ,由题意,得 AD⊥BC,
AD
则有 k ·k =-1,
AD
所以有
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：两条直线的位置关系
√A.4
B.－4
C.1
D.－1
因为直线 2x＋my＋1＝0 与直线 3x＋6y－1＝0 平行，所以23＝m6 ≠－11， 解得 m＝4.
教材改编题
3.直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
直线 x－2y－3＝0 的斜率为 k＝12且与 x 轴交于点(3,0)， 故所求直线的斜率为－12，且过点(3,0)， 其方程为 y＝－12(x－3)， 即x＋2y－3＝0.
跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对
边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是
A.相交但不垂直 C.平行
√B.垂直
D.重合
由题意可知，直线 xsin A＋ay＋c＝0 与 bx－ysin B＋sin C＝0 的斜率 分别为－sina A，sinb B， 又在△ABC 中，sina A＝sinb B， 所以－sina A·sinb B＝－1， 所以两条直线垂直.
(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，
若l1⊥l2，则实数a的值是
√A.0或－1
B.－1或1
C.－1
D.1
由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0， 解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意.
思维升华
判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
命题点1 点关于点的对称问题
例 3 直线 3x－2y＝0 关于点13，0对称的直线方程为
A.2x－3y＝0 C.x－y＝0