上海市浦东新区2022-2022学年高二上学期期末数学试卷Word版含解
2021-2022学年上海市浦东新区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|=___ ．2.（填空题，4分）函数f （x ）= √x +1的反函数为f -1（x ），则f -1（3）=___ ．3.（填空题，4分）已知cosθ=- 35 ，则cos2θ的值为 ___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）底面半径长为2，母线长为3的圆柱的体积为 ___ ．6.（填空题，4分）三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式的值为 ___ ． 7.（填空题，5分）数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n (n ≥11) ，则 n→∞a n =___ ． 8.（填空题，5分）方程log 2（x+1）+log 2（x-1）=1的解为 ___ ．9.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，若f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ．10.（填空题，5分）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为 ___ .（用数字作答）11.（填空题，5分）已知A （-1，0）、B （1，0）、P （1， √3 ），点C 是圆x 2+y 2=1上的动点，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ___ ． 12.（填空题，5分）已知实数x 、y 满足 x|x|4+y|y|=1，则|x+2y-4|的取值范围是 ___ ． 13.（单选题，5分）已知直线a 在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的（ ）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要14.（单选题，5分）（x-1）10的二项展开式中第4项是（ ）A. C 103x 7B. C 104x 6C. −C 103x 7D. −C 104x 615.（单选题，5分）若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. 2√kB. 2√−kC. √kD. √−k（x∈[t，t+40]）零点的个数不可能是（）个16.（单选题，5分）函数f（x）=sinx- 12A.12B.13C.14D.1517.（问答题，14分）已知三棱锥P-ABC中，PA、BA、CA两两互相垂直，且长度均为1．（1）求三棱锥P-ABC的全面积；（2）若点D为BC的中点，求PD与平面PAC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x2+ax+1，a∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（x＞0），写出函数g（x）的单调递增区间并用定义证明．（2）若函数g（x）= f(x)x19.（问答题，14分）某水产养殖户承包一片靠岸水域，如图，AO、OB为直线岸线，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB̂，过弧OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3AB̂上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB= 2π．3（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；（2）如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益，记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）20.（问答题，16分）已知斜率为k的直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F，且与抛物线C 交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．和3，求|AB|；（1）若点A和B到抛物线准线的距离分别为32（2）若|AF|+|AB|=2|BF|，求k的值；（3）点M（t，0），t＞0，对任意确定的实数k，若△AMB是以AB为斜边的直角三角形，判断符合条件的点M有几个，并说明理由．21.（问答题，18分）已知数列{a n}，若存在A∈R使得数列{|a n-A|}是递减数列，则称数列{a n}是“A型数列”．是否为“A型数列”；（1）判断数列π、- √3、-1、12（2）若等比数列{a n}的通项公式为a n=q n（n∈N*），q＞0，其前n项和为S n，且{S n}是“A型数列”，求A的值和q的取值范围；（3）已知k＞0，数列{a n}满足a1=0，a n+1=k|a n|-1（n∈N*），若存在A∈R，使得{a n}是“A型数列”，求k的取值范围，并求出所有满足条件的A（用k表示）．2021-2022学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √5【解析】：直接利用复数的模的求法公式，求解即可．【解答】：解：复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|= √12+22 = √5．故答案为：√5．【点评】：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2.（填空题，4分）函数f（x）= √x +1的反函数为f-1（x），则f-1（3）=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：直接利用反函数的关系式的定义域和函数的值的对应关系求出结果．【解答】：解：∵已知函数y=f（x）存在反函数y=f-1（x），设f（x）=3，则√x +1=3，解得x=4，则f-1（3）的值是4．故答案为：4．【点评】：本题考查了反函数的性质的应用，利用原函数与反函数的定义域和值域恰相反，求出反函数的函数值．3.（填空题，4分）已知cosθ=- 3，则cos2θ的值为 ___ ．5【正确答案】：[1]- 725【解析】：由题意利用二倍角的余弦公式，计算求得结果．【解答】：解：∵cosθ=- 35 ，则cos2θ=2cos 2θ-1=2× 925 -1=- 725 ，故答案为：- 725 ．【点评】：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1）【解析】：求出集合A ，B ，由此能求出A∩B ．【解答】：解：∵集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}={x|0＜x ＜2}， ∴A∩B={x|0＜x ＜1}=（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（填空题，4分）底面半径长为2，母线长为3的圆柱的体积为 ___ ．【正确答案】：[1]12π【解析】：利用圆柱体的体积公式求解即可．【解答】：解：因为底面半径长为2，母线长为3，所以圆柱的体积为V=Sh=π×22×3=12π．故选：12π．【点评】：本题考查了圆柱的体积公式的理解与应用，属于基础题．6.（填空题，4分）三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式的值为 ___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：根据已知条件，结合代数余子式的定义，即可求解．【解答】：解：在三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式A 12=（-1）1+2 |1336| =-（1×6-3×3）=3．故答案为：3．【点评】：本题主要考查代数余子式的求解，考查计算能力，属于基础题．7.（填空题，5分）数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n (n ≥11) ，则 n→∞a n =___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．【解答】：解：数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n(n ≥11) ， 则 n→∞a n = lim n→∞ (2−1n) =2-0=2． 故答案为：2．【点评】：本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题．8.（填空题，5分）方程log 2（x+1）+log 2（x-1）=1的解为 ___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：利用对数的性质及运算法则直接求解．【解答】：解：∵log 2（x+1）+log 2（x-1）=1，∴log 2（x+1）（x-1）=1=log 22，∴（x+1）（x-1）=2且x+1＞0，x-1＞0，故x= √3 ，故答案为： √3 ．【点评】：本题考查对数方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．9.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，若f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][-6，+∞）【解析】：将问题转化为x 2+2x+3≥-m 对任意的x∈[1，2]恒成立，构造g （x ）=x 2+2x+3，利用二次函数的图象与性质，求解函数的最值，即可得到答案．【解答】：解：函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，且f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立， 则x 2+2x+3≥-m 对任意的x∈[1，2]恒成立，令g （x ）=x 2+2x+3，函数g （x ）在[1，2]上单调递增，所以g （x ）min =g （1）=6，则6≥-m ，即m≥-6，所以实数m 的取值范围为[-6，+∞）．故答案为：[-6，+∞）．【点评】：本题考查了二次函数图象与性质的应用，利用函数单调性求解函数最值的应用，不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．10.（填空题，5分）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为 ___ .（用数字作答）【正确答案】：[1] 45【解析】：由排列组合的知识易得总数为120，不符合的有24，由古典概型概率公式求解即可．【解答】：解：从10人中任选3人有 C 103 =120种选法，这3人中只有女生的共有 C 43 =4种，这3人中只有男生的共有 C 63 =20种， ∴这3人中必须男女生都有的共96种，∴所求概率P= 96120 = 45 ．故答案为： 45 ．【点评】：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．11.（填空题，5分）已知A （-1，0）、B （1，0）、P （1， √3 ），点C 是圆x 2+y 2=1上的动点，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ___ ． 【正确答案】：[1][4，12]【解析】：设点C 坐标（c osθ，sinθ），将 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 用θ函数表示，用正弦函数取值范围求解．【解答】：解：设C （cosθ，sinθ）， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，- √3 ）， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，- √3 ）， PC⃗⃗⃗⃗⃗ =（cosθ-1，sinθ- √3 ），PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ = PC ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=（cosθ-1，sinθ- √3 ）•（-2，-2 √3 ）=-2（cosθ-1+ √3 sinθ-3）=8-4（ √32 sinθ+ 12 cosθ）=8-4sin （θ+ π6 ），因为sin （θ+ π6 ）∈[-1，1]，所以 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[4，12]， 故答案为：[4，12]．【点评】：本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．12.（填空题，5分）已知实数x 、y 满足x|x|4 +y|y|=1，则|x+2y-4|的取值范围是 ___ ． 【正确答案】：[1][4-2 √2 ，4）【解析】：把 x|x|4 +y|y|=1等式变形，画出图形，利用线性规划知识求出x+2y-4的范围，取绝对值得答案即可．【解答】：解答】解：由 x|x|4+y|y|=1， 得 {x ≥0，y ≥0x 24+y 2=1 或 {x ＞0，y ＜0x 24−y 2=1 或 {x ＜0，y ＞0y 2−x 24=1 ， 如图，令z=x+2y-4，得y=- 12 x+ 12 z+2，由图可知，当直线y=- 12 x+ 12 z+2与第一象限的椭圆相切时，直线在y 轴上的截距最大， 联立得 {y =−12x +12z +2x 24+y 2=1 ，即2x 2-（2z+8）x+z 2+8z+12=0，∵相切，∴Δ=（2z+8）2-4×2×（z 2+8z+12）=0，∴z 2+8z+8=0，∴z=-4±2 √2 ，∵椭圆的图象只在第一象限，∴z=-4 +2√2 ，根据双曲线的方程知，两条双曲线的渐近线方程都是y=- 12 x ，当直线y=- 12 x+ 12z+2无限靠近y=- 12x时，12z+2趋于0，即z趋于-4，∴-4＜z≤-4 +2√2，∴|x+2y-4|的取值范围是[4-2 √2，4），故答案为：[4-2 √2，4）．【点评】：本题考查简单的线性规划，考查直线与椭圆相切，双曲线的渐近线，考查数形结合思想，是中档题．13.（单选题，5分）已知直线a在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：B【解析】：“直线l⊥a”成立时，“直线l⊥β”不一定成立；“直线l⊥β”⇒“直线l⊥a”，由此能求出结果．【解答】：解：直线a在平面β上，则“直线l⊥a”成立时，“直线l⊥β”不一定成立；“直线l⊥β”⇒“直线l⊥a”，∴直线a在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的必要非充分条件．故选：B．【点评】：本题考查充分条件、必要条件的判断，考查空间中线与面的位置关系等基础知识，考查空间立体感和推理论证能力，属于中档题．14.（单选题，5分）（x-1）10的二项展开式中第4项是（）A. C103x7B. C104x6C. −C103x7D. −C104x6【正确答案】：C【解析】：写出（x-1）10的二项展开式的通项公式，令r=3，可得所求项．【解答】：解：（x-1）10的二项展开式的通项公式为T r+1= C10r x10-r（-1）r= C10r（-1）r x10-r，r=0，1，2， (10)令r=3，T4=- C103 x7，故选：C．【点评】：本题考查二项式定理的运用，考查运算能力，是一道基础题．15.（单选题，5分）若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. 2√kB. 2√−kC. √kD. √−k【正确答案】：B【解析】：根据双曲线标准方程直接求解．【解答】：解：方程4x2+ky2=4k，即为x2k +y24=1，由方程表示双曲线，可得y 24−x2−k=1，所以a=2，b=√−k，所以虚轴长为2b=2√−k．故选：B．【点评】：本题主要考查双曲线的几何性质，由双曲线方程求解虚轴的长度等知识，属于基础题．16.（单选题，5分）函数f（x）=sinx- 12（x∈[t，t+40]）零点的个数不可能是（）个A.12B.13C.14D.15【正确答案】：D【解析】：f（x）的零点个数，即为y=sinx的图象与直线y= 12的交点个数，在正弦函数的一个周期内，即在区间[t，t+2π）上总有两个交点，然后考虑，40减去个周期后，在区间[t，t+0.74π]中的交点个数，根据的不同取值可确定结论．的交点个数，【解答】：解：f（x）的零点个数，即为y=sinx的图象与直线y= 12≈6.37，易知在[t，t+2π）上它们有两个交点，而402π所以前6个周期共有交点12个，因此我们主要研究它们在区间[t，t+0.74π]中的交点个数，＜t＜-π时，它们在区间[t，t+0.74π]上无交点，当- 7π6＜t＜0时，它们在区间[t，t+0.74π]有1个交点，当- π3时，它们在区间[t，t+0.74π]上有2个交点，当0＜t＜π6因此交点个数可能为12，13，14，不可能是15．故选：D．【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．17.（问答题，14分）已知三棱锥P-ABC中，PA、BA、CA两两互相垂直，且长度均为1．（1）求三棱锥P-ABC的全面积；（2）若点D为BC的中点，求PD与平面PAC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【正确答案】：【解析】：（1）由已知易得△PAB≌△PAC≌△BAC且为直角三角形，则可得△PBC为边长为√2的等边三角形，进而可求全面积；（2）取AC的中点H，连接HD和HP，进而证明DH⊥平面PAC，可得∠DPH是PD与平面PAC所成角；在△PDH中求解即可．【解答】：解：（1）由题意知△PAB≌△PAC≌△BAC且为直角三角形，则可得△PBC为边长为√2的等边三角形，所以三棱锥P-ABC的全面积S= 12 ×1×1×3+ 12× √2 × √2 ×sin60°= 3+√32；（2）取AC的中点H，连接HD和HP，因为PA、BA、CA两两互相垂直，所以PA⊥平面ABC，DH在平面ABC内，所以PA⊥DH，又因为DH⊥AC，所以DH⊥平面PAC，所以∠DPH是PD与平面PAC所成角；因为DH= 12，PH= √52，所以tan∠DPH= √55，∠DPH=arctan √55，所以PD与平面PAC所成角的大小为arctan √55．【点评】：本题考查表面积的问题和线面角的求法，属中档题．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x2+ax+1，a∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数g（x）= f(x)x（x＞0），写出函数g（x）的单调递增区间并用定义证明．【正确答案】：【解析】：（1）分a=0和a≠0两种情况，分别利用奇函数与偶函数的定义分析判断即可；（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可．【解答】：解：（1）当a=0时，函数f（x）为偶函数，证明如下：函数f（x）=x2+1，定义域为R，因为f（-x）=x2+1=f（x），所以当a=0时，函数f（x）为偶函数；当a≠0时，f（-1）=2-a，f（1）=2+a，则f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），函数f（x）为非奇非偶函数．（2）函数g（x）的单调递增区间为[1，+∞），证明如下：g（x）= f(x)x =x+1x+a，设1≤x1＜x2，则g(x1)−g(x2)=x1+1x1+a−(x2+1x2+a) = (x1−x2)(1−1x1x2) = (x1−x2)(x1x2−1)x1x2，由于1≤x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2−1x1x2＞0，所以f（x1）＜f（x2），则函数g（x）的单调递增区间为[1，+∞）．【点评】：本题考查了函数单调性和奇偶性的判断与证明，考查了函数奇偶性与单调性的定义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．19.（问答题，14分）某水产养殖户承包一片靠岸水域，如图，AO、OB为直线岸线，OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB̂，过弧AB̂上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB= 2π3．（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；（2）如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益，记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．（2）根据已知条件，结合正弦定义，以及三角函数的恒等变换，即可求解．【解答】：解：（1）∵OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3，∴AB= √OA2+OB2−2×OA×OB×cosπ3 = √15002+10002−2×1500×1000×12=500√7，故岸线上点A与点B之间的直线距离为500√7米．（2）∵在△PAB中，500√7sin2π3=PAsin(π3−θ)=PBsinθ，∴ PA=√7√3(π3−θ)，PB= √7√3（0＜θ＜π3），设两段网箱获得的经济总收益为y元，则y=40PA+30PB= √7√3(π3−θ) + √7√3= √7√3(π3−θ)+3sinθ]= √7√3√3cosθ+sinθ)=10000√91√3sin(θ+arctan2√3) ，当 θ+arctan2√3=π2，即 θ≈π2−arctan2√3 ∈（0， π3）时， y max =10000√91√3≈55076 （元），故两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元．【点评】：本题主要考查函数的实际应用，掌握正弦定理，余弦定理是解本题的关键，属于中档题．20.（问答题，16分）已知斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线C 交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．（1）若点A 和B 到抛物线准线的距离分别为 32 和3，求|AB|； （2）若|AF|+|AB|=2|BF|，求k 的值；（3）点M （t ，0），t ＞0，对任意确定的实数k ，若△AMB 是以AB 为斜边的直角三角形，判断符合条件的点M 有几个，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据抛物线的定义求得焦点弦长；（2）直线l 的方程为y=k （x-1），代入抛物线方程后应用韦达定理得x 1+x 2，x 1x 2，利用焦半径公式及已知|AF|+|AB|=2|BF|，得出x 1，x 2的关系，与韦达定理结合可求得k ；（3）把 MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 用坐标表示出来，代入韦达定理的结论，得出关于t 的方程，由一元二次方程根的分布可得t 的正数解的个数．【解答】：解：（1）根据抛物线定义，|AF|= 32 ，|BF|=3， ∴|AB|= 92；（2）设直线l 的方程为y=k （x-1）， 由 {y =k (x −1)y 2=4x ，可得：k 2x 2-（2k 2+4）x+k 2=0，Δ=（2k 2+4）2-4k 4=16k 2+16＞0， ∴x 1+x 2=2+ 4k 2 ，x 1x 2=1，|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，|AB|=x 1+x 2+2， 又∵|AF|+|AB|=2|BF|，∴（x 1+1）+（x 1+x 2+2）=2（x 2+1）， ∴x 2-2x 1=1， ∴x 1=k 2+43k 2 ，x 2= 5k 2+83k 2， 代入x 1x 2=1得： k 2+43k 2 • 5k 2+83k 2 =1， ∴k 4-7k 2-8=0，∴k 2=-1（舎）或k 2=8， ∴k= ±2√2 ；（3）∵△AMB 是以AB 为斜边的直角三角形， ∴MA⊥MB ， MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ， 即（x 1-t ，y 1）（x 2-t ，y 2）=0， ∴（x 1-t ）（x 2-t ）+y 1y 2=0， 即x 1x 2-t （x 1+x 2）+t 2+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）=k 2（x 1x 2-x 1-x 2+1）=-4， ∴1-t （2+ 4k 2 ）+t 2-4=0， 即t 2-（2+ 4k 2 ）t-3=0， ∵ Δ=(2+4k 2)2+12＞0 ，t 1t 2=-3＜0，∴方程仅有一个正实数解， 存在一个满足条件的点M ．【点评】：本题考查了直线和圆锥曲线（抛物线）的相关计算，属于综合性较强的题目，解决此类题的一个基本思路就是要联立直线方程和圆锥曲线方程，再用设而不解的方法来进行相关解答，属于中档题．21.（问答题，18分）已知数列{a n}，若存在A∈R使得数列{|a n-A|}是递减数列，则称数列{a n}是“A型数列”．（1）判断数列π、- √3、-1、12是否为“A型数列”；（2）若等比数列{a n}的通项公式为a n=q n（n∈N*），q＞0，其前n项和为S n，且{S n}是“A型数列”，求A的值和q的取值范围；（3）已知k＞0，数列{a n}满足a1=0，a n+1=k|a n|-1（n∈N*），若存在A∈R，使得{a n}是“A型数列”，求k的取值范围，并求出所有满足条件的A（用k表示）．【正确答案】：【解析】：（1）根据A型数列的新定义直接判断即可；（2）分q=1，q＞1和0＜q＜1分别求出{a n}的前n项和为S n，再判断是否存在A满足|S n-A|递减即可求解；（3）分k≥1和0＜k＜1两种情况讨论，首先判断k≥1不符合题意，当0＜k＜1时，先证明a n≤0，进而可得a n以及符合题意的A的值，再证明A是唯一的即可．【解答】：解：（1）因为|π−0|＞|−√3−0|＞|−1−0|＞|−12−0|，“A型数列“的定义可知该数列是“A型数列“．（2）若q=1，|S n-A|=|n-A|，不存在A∈R使得数列{|n-A|}是递减数列，此时{S n}不是“A型数列“；若q＞1，S n=q(1−q n)1−q =q(q n−1)q−1，因为{S n}为递增数列，对于任意A，存在N，当n＞N时，|S n-A|=S n-A，递增，因此不存在A，此时{S n}不是“A型数列“；若0＜q＜1，S n=−q1−q q n+q1−q，取A=q1−q，|S n−A|=q1−qq n，递减，此时符合题意；综上所述A=q1−q，q的取值范围{q|0＜q＜1}．（3）（i）若k≥1，则a1=0，a2=-1，a3=k-1．此时若存在A∈R使得{a n}是A型数列，则|A|＞|A+1|＞|k-1-A|，从而A＜−12且k＜1，矛盾；（ii）当0＜k＜1时，首先证明a n≤0（n∈N*）．用反证法．由题意，此时a1=0，a2=-1，a3=k-1．因此，若存在n∈N*，使得a n＞0，则n≥4．假设n=m为使得a n＞0的最小正整数，则a m＞0≥a m-1，故a m=−ka m−1−1＞0⇒a m−1＜−1k，而a m−1=−ka m−2−1＜−1k ⇒a m−2＞1−kk2＞0，与m的最小性矛盾．故a n≤0（n∈N*），从而a n+1=-ka n-1对一切n∈N*成立．据此，可解得a n=(−k)n−1−1k+1．故当α=−1k+1时，|a n−α|=k n−1k+1，即：{|a n-α|}为递减数列．于是{a n}为α型数列．再证明α是唯一解．用反证法．假设存在A≠α使得{a n}是A型数列．若A＞α，则由a2m−1=α+k2m−2k+1得，当m＞log k2[(A−α)(k+1)]+1时，a2m-1＜A．故|a2m−1−A|=A−α−k2m−2k+1＜A−α−k2mk+1=|a2m+1−A|，{|a n-A|}不是递减数列，从而{a n}不是A型数列．同理可证A＜α时，{a n}也不是A型数列，综上，k∈（0，1），相应的A=−1k+1．【点评】：本题主要考查数列中的新定义问题，数列知识的综合运用等知识，属于中等题．。
上海市浦东新区2022届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含答案
上海市浦东新区2021-2022学年第一学期高三数学期中质量检测试卷 (满分: 150分答题时间:120分钟)一、填空题（本大题共有12道小题，请把正确答案直接填写在答题纸规定的地方，其中1--6每小题4分，7—12每小题5分，共54分）.1．幂函数经过点22,2⎛⎫⎪ ⎪⎝，则此幂函数的解析式为.2.若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .3. 设()1f x -为函数()21x f x x =+的反函数，则()12f -=_____.4.不等式102xx ->+的解集是.5．在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作__________个三角形（用数字作答）．6．已知球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为32π，则线段AB 的长度为________.7．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ⋅的最大值是．8．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．3.09．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x =．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别 ．11．已知命题2430m m α-+≤：，命题2680m m β-+<：.若αβ、中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．12．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，△MB 1P 的顶点P 在棱CC 1与棱C 1D 1上运动.有以下四个命题： ①平面MB 1P ⊥ND 1；②平面MB 1P ⊥平面ND 1A 1；③△MB 1P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值； ④△MB 1P 在侧面D 1C 1CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二第二学期期末数学试卷一、填空题（共10小题）.1．不等式的解集为．2．集合A＝{x|x＝sin，k∈Z}的真子集的个数是．3．（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，则a0+a1+a2+…+a2020＝．4．如图，四面体ABCD中，PA，PB，PC两两垂直，且|PA|＝|PB|＝|PC|＝2，则点P到平面ABC的距离为．5．若x＞0，y＞0，且xy﹣（x+y）＝1，则x+y的取值范围为．6．若某圆锥的侧面展开图是一个半径为1的半圆，求圆锥的表面积．7．（2x﹣）6展开式中的常数项为（用数字作答）8．不等式|2x﹣y|＜|5﹣2x|对任意x∈[1，2]都成立，则实数y的取值范围为．9．4名学生参加3个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么3个兴趣小组都恰有2人，参加的不同的分组共有种．10．如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD的棱长为1，B是直线l上的动点，C是平面α上的动点，求O到点D的距离的最大值为．二、选择题11．某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于（）A．12B．18C．24D．3612．今年3月9日湖北武汉某方舱医院“休仓”，某省驰援湖北“抗疫”的5名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低的概率为（）A．B．C．D．13．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合{（x，y）|＜r}⊆A，则称A为一个“K集”给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2＝1}；②{（x，y）|x+y＜6}；③{（x，y）|x+y+2≥0}；④{（x，y）|0＜x2+（y﹣）2＜1}．其中是“K集”的是（）A．①④B．②③C．②④D．③④14．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y＝（x＞0）的图象上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（）A．πB．C．D．三、解答题：15．已知集合A＝{x|x2﹣（3a﹣1）x+2a2﹣a＜0}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＜0}．（1）当a＝2时，求A∩B；（2）命题P：x∈A，命题Q：x∈B，若P是Q的充分条件，求实数a的取值范围．16．已知f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|（m＞0）的最小值为．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝m，求证：．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2．（1）求证：BC1⊥平面A1B1C；（2）点N在线段BB1上运动，求A1N与B1C所成角的范围．18．已知集合A＝{a1，a2，a3，…，a n}，其中a i∈R，1≤i≤n，n＞2，l（A）表示a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（1）设集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{1，3，9，27}，分别求l（P），l（Q）；（2）若集合A＝{1，3，9，…，3n）（n＞1，n∈N），证：l（A）＝；（3）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．参考答案一、填空题1．不等式的解集为（﹣∞，0）∪[1，+∞）．【分析】化简不等式为分式不等式，然后转化为二次不等式解答即可．解：不等式，可化为，即：x（1﹣x）≤0且x≠0解得x＜0或x≥1故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）2．集合A＝{x|x＝sin，k∈Z}的真子集的个数是7．【分析】先结合正弦函数的周期性解出集合A，再通过真子集个数的计算公式即可得出答案．解：因为正弦函数y＝sin x的周期为2π，不妨让k取1，2，3，4，得到集合A＝{1，0，﹣1}，集合A中共有3个元素，故集合A得真子集得个数是23﹣1＝7个．故答案为：7．3．（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，则a0+a1+a2+…+a2020＝1．【分析】利用赋值法，令x＝1代入即可．解：令x＝1得，（1﹣2）2020＝a0+a1+a2+…+a2020，则a0+a1+a2+…+a2020＝1，故答案为：14．如图，四面体ABCD中，PA，PB，PC两两垂直，且|PA|＝|PB|＝|PC|＝2，则点P到平面ABC的距离为．【分析】以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面ABC的距离．解：∵四面体ABCD中，PA，PB，PC两两垂直，且|PA|＝|PB|＝|PC|＝2，∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），＝（﹣2，0，0），＝（﹣2，2，0），＝（﹣2，0，2），设平面ABC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，1），∴点P到平面ABC的距离为d＝＝＝．故答案为：．5．若x＞0，y＞0，且xy﹣（x+y）＝1，则x+y的取值范围为[2+2，+∞）．【分析】由题意可得x+y+1＝xy≤（）2，即（x+y）2﹣4（x+y）﹣4≥0，解此不等式求得x+y的取值范围．解：由x，y∈（0，+∞），且xy﹣（x+y）＝1，可得x+y+1＝xy≤（）2，化简可得（x+y）2﹣4（x+y）﹣4≥0，解得x+y≤2﹣2（舍去），或x+y≥2+2．综上可得x+y的取值范围是[2+2，+∞），故答案为：[2+2，+∞）．6．若某圆锥的侧面展开图是一个半径为1的半圆，求圆锥的表面积．【分析】由圆锥的底面周长是π，求出圆锥的底面半径是r＝，再由圆锥的母线长为l ＝1，能求出圆锥的表面积．解：圆锥的底面周长是π，设圆锥的底面半径是r，则2πr＝π．解得r＝，∵圆锥的母线长为l＝1，∴圆锥的表面积是S＝πrl+πr2＝＝．故答案为：．7．（2x﹣）6展开式中的常数项为240（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：（2x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•26﹣r•（﹣1）r•x6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得展开式中的常数项为•24＝240，故答案为：240．8．不等式|2x﹣y|＜|5﹣2x|对任意x∈[1，2]都成立，则实数y的取值范围为（3，5）．【分析】由指数函数的单调性，可得|2x﹣y|＜5﹣2x，再由绝对值不等式的解法，结合指数函数的单调性和恒成立思想，可得y的范围．解：由x∈[1，2]，可得2x∈[2，4]，5﹣2x＞0，不等式|2x﹣y|＜|5﹣2x|对任意x∈[1，2]都成立，即为|2x﹣y|＜5﹣2x，则有2x﹣5＜y﹣2x＜5﹣2x，可得2•2x﹣5＜y＜5，由f（x）＝2•2x﹣5在[1，2]递增，可得f（x）的值域为[﹣1，3]，则3＜y＜5，即y的取值范围是（3，5）．故答案为：（3，5）．9．4名学生参加3个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么3个兴趣小组都恰有2人，参加的不同的分组共有90种．【分析】根据题意，分析可得：4名学生中有2人参加了两个小组，其他2人参加了1个小组，先计算在4人中任选2人，参加2个兴趣小组的情况数目，再分类讨论参加2个兴趣小组的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分析可得：4名学生中有2人参加了两个小组，其他2人参加了1个小组，在4人中任选2人，参加2个兴趣小组，有C42＝6种选法；分2种情况讨论：①，选出2人参加的兴趣小组完全相同，则剩下的2人参加剩下的1个小组，有C32＝3种情况，②，选出2人参加的兴趣小组只有1个相同，有C32C21A22＝12种情况，则一共有6（12+3）＝90种分组方法；故答案为：9010．如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD的棱长为1，B是直线l上的动点，C是平面α上的动点，求O到点D的距离的最大值为．【分析】直线BC与动点O的位置关系是：点O是以BC为直径的球面上的点，O到AD 的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，点O到AD的最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+球半径，由此能求出O到点D的距离的最大值．解：由题意，直线BC与动点O的位置关系是：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，分别取AD、BC中点E、F，连结AF，DF，则AF＝DF＝＝，∴EF＝＝，点O到AD的最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+球半径，∴O到AD的距离的最大值为：OE max＝+＝，∴O到点D的距离的最大值为：OD max＝＝＝．故答案为：．二、选择题11．某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于（）A．12B．18C．24D．36【分析】利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出结果．解：由分层抽样的性质得：＝，解得n＝36．故选：D．12．今年3月9日湖北武汉某方舱医院“休仓”，某省驰援湖北“抗疫”的5名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝120，恰好从中间往两边看都依次变低包含的基本事件个数m＝＝6．由此能求出恰好从中间往两边看都依次变低的概率．解：某省驰援湖北“抗疫”的5名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，基本事件总数n＝＝120，恰好从中间往两边看都依次变低包含的基本事件个数m＝＝6．∴恰好从中间往两边看都依次变低的概率为p＝＝＝．故选：B．13．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合{（x，y）|＜r}⊆A，则称A为一个“K集”给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2＝1}；②{（x，y）|x+y＜6}；③{（x，y）|x+y+2≥0}；④{（x，y）|0＜x2+（y﹣）2＜1}．其中是“K集”的是（）A．①④B．②③C．②④D．③④【分析】根据K集的定义逐个验证选项，即可得到答案．①x2+y2＝1表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取一点（x0，y0），均不满足{（x，y））|＜r}⊆A，故①不是“K集”；②平面点集A中的任一点（x0，y0），满足{（x，y）|＜r}⊆A，故②该集合是“K集”；③在曲线x+y+2＝0任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{（x，y）|＜r}⊆A，故③该集合不是“K集”；④表示以点（0，）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，该平面点集A中的任一点（x0，y0），满足{（x，y）|＜r}⊆A，故④该集合是“K集”．解：①：x2+y2＝1表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取一点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{（x，y））|＜r}⊆A，故①不是“K集”；②A＝{（x，y）|x+y＜6}时，在平面点集A中的任取一点（x0，y0），则该点到直线的距离为d，取r＝d，则满足{（x，y）|＜r}⊆A，故②该集合是“K集”；③A＝{（x，y）|x+y+2≥0}，在曲线x+y+2＝0任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{（x，y）|＜r}⊆A，故③该集合不是“K集”；④A＝{（x，y）|0＜x2+（y﹣）2＜1}表示以点（0，）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r＝d，则满足{（x，y）||＜r}⊆A，故④该集合是“K集”．故选：C．14．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y＝（x＞0）的图象上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（）A．πB．C．D．【分析】先求出y的范围，再设出点AB的坐标，根据AB两点的纵坐标相等得到x2•x1＝1，再求出高h，根据圆柱体的体积公式得到关于y的代数式，最后根据基本不等式求出体积的最大值．解：∵y＝＝≤当且仅当x＝1时取等号，∴x+＝∵矩形绕x轴旋转得到的旋转体一个圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆的半径为y，高位h＝x2﹣x1，∵f（x1）＝，f（x2）＝，∴＝，即（x2﹣x1）（x2•x1﹣1）＝0，∴x2•x1＝1，∴h2＝（x2+x1）2﹣4x2•x1＝（x1+）2﹣4＝﹣4，∴h＝，∴V圆柱＝πy2•h＝πy＝•≤π•（）＝π，当且仅当y＝时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为π，故选：C．三、解答题：15．已知集合A＝{x|x2﹣（3a﹣1）x+2a2﹣a＜0}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＜0}．（1）当a＝2时，求A∩B；（2）命题P：x∈A，命题Q：x∈B，若P是Q的充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）把a＝2代入化简A，求解一元二次不等式化简B，再由交集运算得答案；（2）由P是Q的充分条件，得A⊆B．然后对a分类求解A，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解．解：（1）当a＝2时，A＝{x|x2﹣（3a﹣1）x+2a2﹣a＜0}＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝{x|1＜x＜3}．A∩B＝{x|2＜x＜3}∩{x|1＜x＜3}＝{x|2＜x＜3}；（2）P：x∈A，Q：x∈B，若P是Q的充分条件，则A⊆B．当a＜1时，A＝{x|2a﹣1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}，∴，解得a∈∅；当a≥1时，A＝{x|a＜x＜2a﹣1}，B＝{x|1＜x＜3}，∴，解得1≤a≤2．∴实数a的取值范围是[1，2]．16．已知f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|（m＞0）的最小值为．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝m，求证：．【分析】（Ⅰ）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出f（x）的最小值，与已知最小值相等列式可求出；（Ⅱ）利用分析法结合基本不等式即可证明．解：（Ⅰ）f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|＝，∴f（x）∴f（x）在区间（﹣∞，]上单调递减，在区间[，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣3m＝﹣，∴m＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，要证，只要证b4+a4≥ab，即证（a2+b2）2﹣2a2b2≥ab，即证2a2b2+ab﹣1≤0，即证（2ab﹣1）（ab+1）≤0，即证2ab≤1，即证2ab≤a2+b2，显然1＝a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b＝时取等号．∴．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2．（1）求证：BC1⊥平面A1B1C；（2）点N在线段BB1上运动，求A1N与B1C所成角的范围．【分析】（1）推导出BC1⊥B1C，A1B1⊥BB1，A1B1⊥B1C1，从而A1B1⊥平面BCC1B1，进而BC1⊥A1B1，由此能证明BC1⊥平面A1B1C．（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A1N与B1C所成角的范围．解：（1）证明：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2．∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，∴A1B1⊥BB1，A1B1⊥B1C1，∵BB1∩B1C1＝B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥A1B1，∵A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1C．（2）解：点N在线段BB1上运动，由（1）知，A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥B1C，∴当N与B1重合时，A1N与B1C所成角取最大值，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，2，2），N（0，0，t），（0≤t≤2），B1（0，0，2），C（2，0，0），＝（0，﹣2，t﹣2），＝（2，0，﹣2），设A1N与B1C所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴t＝2时，cosθ取最小值0，t＝0时，cosθ取最大值，∴N与B重合时，θ取最小值，N与B1重合时，θ取最大值，∴A1N与B1C所成角的范围是[，]．18．已知集合A＝{a1，a2，a3，…，a n}，其中a i∈R，1≤i≤n，n＞2，l（A）表示a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（1）设集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{1，3，9，27}，分别求l（P），l（Q）；（2）若集合A＝{1，3，9，…，3n）（n＞1，n∈N），证：l（A）＝；（3）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【分析】（1）直接利用定义把集合P，Q中的值代入，即可求出l（P）和l（Q）；（2）先由a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，可得，再利用定义推得所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论；（3）l（A）存在最小值，设a1＜a2＜…＜a n，则＜a1+a n ＜a2+a n＜…＜a n﹣1+a n，由此可得到l（A）的最小值2n﹣3．解：（1）根据题中的定义可知：由1+2＝3，1+3＝4，1+4＝5，2+3＝5，2+4＝6，3+4＝7，得l（P）＝5；由1+3＝4，1+9＝10，1+27＝28，2+9＝12，3+27＝30，9+27＝36，得l（Q）＝6．（2）证明：因为a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，所以，又集合A＝{1，3，9，…，3n}，任取a i+a j，a k+a l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），当j≠l时，不妨设j＜l，则，即a i+a j≠a k+a l．当j＝l，i≠k时，a i+a j≠a k+a l，因此，当且仅当i＝k，j＝l时，a i+a j＝a k+a l，即所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，所以．（3）l（A）存在最小值，且最小值为2n﹣3，不妨设a1＜a2＜…＜a n，所以＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n﹣1+a n，所以a i+a j（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3 个不同的数，即l（A）≥2n﹣3，事实上，设a1，a2，a3，…，a n成等差数列，考虑a i+a j（1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，当i+j≤n时，a i+a j＝a1+a i+j﹣1，当i+j＞n时，a i+a j＝a i+j﹣n+a n，因此每个a i+a j（1≤i＜j≤n）等于a1+a k（2≤k≤n）中的一个，或者等于a l+a n（2≤l≤n﹣1）中的一个，所以对这样的A，l（A）＝2n﹣3，所以l（A）的最小值为2n﹣3．。
2022-2023学年上海市浦东新区九年级(上)期末数学试卷(一模)
2022-2023学年上海市浦东新区九年级（上）期末（一模）数学试卷一、选择题：（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列各组中的图形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个直角三角形C．两个等边三角形D．两个菱形2．已知抛物线y＝2（x﹣1）2+3，那么它的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（2.1）D．（2，3）3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．4．小杰在一个高为h的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为30°，旗杆与地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（）A．B．C．D．5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，那么点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知，那么代数式的值是．8．如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是．9．已知点P是线段MN的黄金分割点，MP＞PN，如果MN＝8，那么PM的长是．10．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B 两地的实际距离是千米．11．两个相似三角形的对应边的中线之比是2：3，周长之和是20，那么这两个三角形中较小三角形的周长是．12．将抛物线y＝x2+4x﹣1向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是．13．如图，已知AD∥BE∥CF，如果AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，那么AC的长是．14．已知一条斜坡的长度为10米，高度为6米，那么坡角的度数约为（备用数据：tan31°＝cot59°≈0.6，sin37°＝cos53°≈0.6）．15．在Rt△ABC中，∠A＝90°，已知AB＝1，AC＝2，AD是∠BAC的平分线，那么AD 的长是．16．如图，点E、F分别在边长为1的正方形ABCD的边AB、AD上，BE＝2AE、AF＝2FD，正方形A'B'C'D'的四边分别经过正方形ABCD的四个顶点，已知A'D'∥EF，那么正方形A'B'C'D'的边长是．17．在△ABC中，∠A＝2∠B，如果AC＝4，AB＝5，那么BC的长是．18．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是边CD上的一点，将正方形ABCD沿直线AE 翻折后，点D的对应点是点D'，联结CD'交正方形ABCD的边AD于点F，如果AF＝CE，那么AF的长是．三、解答题：（本大题共7题）19．计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．20．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，AD＝3，DE＝2．（1）求AE：AC的值；（2）设，求向量（用向量、表示）．21．如图，在Rt△EAC中，∠EAC＝90°，∠E＝45°，点B在边EC上，BD⊥AC，垂足为D，点F在BD延长线上，∠FAC＝∠EAB，BF＝5，tan∠AFB＝．求：（1）AD的长；（2）cot∠DCF的值．22．某地一段长为50米的混泥土堤坝，堤坝的横断面ABCD是等腰梯形（如图所示），坝顶AD宽为8米，坝高为4米，斜坡AB的坡度为1：1.5．（1）求横断面ABCD的面积；（2）为了提高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按原堤坝要求和坡度加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混泥土？（堤坝的体积＝横断面的面积×堤坝的长度）23．如图，在△ABC中，点D、F分别是边BC、AB上的点，AD和CF交于点E．（1）如果BF•AB＝BD•BC，求证：EF•CE＝DE•AE；（2）如果AE•BF＝2AF•DE，求证：AD是△ABC的中线．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知AB＝5，tan∠CAB＝3，OC：OB＝3：4．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴分别与x轴、BC交于点E、F，求EF的长；（3）在（2）的条件下，联结CE，如果点P在该抛物线的对称轴上，当△CEP和△CEB 相似时，求点P的坐标．25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tan C＝，点D是斜边AC上的动点，联结BD，EF垂直平分BD交射线BA于点F，交边BC于点E．（1）如图，当点D是斜边AC上的中点时，求EF的长；（2）联结DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的长；（3）当点F在边BA的延长线上，且AF＝2时，求AD的长．。
2022-2023学年高二上学期1月期末历史试题 word版含答案
2022-2023学年高二年级上学期期末阶段检测历史试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（共48分）一、选择题：本题共32小题，每小题1.5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如表所示为西周时期的部分政治制度。
从中可以看出，西周时期A．宗法制有利于强化宗族权威B．国家管理蕴含原始民主色彩C．分封制强化了国家治理能力D．礼乐制有效维系宗法分封制2．中国古代秦汉地方行政区划主要有郡县两级，后来在郡之上又设置了州；唐代为道、州、县三级；宋代的地方行政机构设置为路、州、县；元代确定了以行中书省作为地方常设行政机构的制度，行省以下的行政区划，依次是路、府、州、县。
这体现了A．各地经济联系日益密切B．中枢权力体系日趋完备C．地方经济发展程度提高D．中央对地方控制的加强3．20世纪70年代后，美国任命独立检察官纠察官员腐败，以此排除政治干扰和避免行政部门的自我调查。
但这一制度被称作“第四权”而遭到诟病，最终在1999年被国会停用。
这一制度说明美国A．司法独立原则遭受挑战B．惩治腐败情况不甚理想C．分权制衡传统动态发展D．国会权力迎来新的增强4．1898年，梁启超上书废除八股，督察院和总理衙门拒绝代奏；1900年，大清会试武举科目依旧为“弓刀石”、“马步箭”。
这些史实表明当时A．改革进程步履维艰B．政府部门懒政惰政C．新旧思想不可调和D．变法措施操之过急5．如表所示是唐朝中期对御史工作流程的两项规定，这两项规定在中晚唐大多数时期得到严格执行。
全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》由此可知，中晚唐时期A．监察机构地位得到提升B．君主专制程度有所弱化C．中枢权力实现有效制衡D．官僚体系运行更加成熟6．自20世纪80年代初到1987年，白金汉宫中的40位常任次官和135位副常任次官，大多数是由撒切尔夫人与其大臣根据他们的政治倾向而任命的。
上海市浦东新区四校2017-2018学年高二上学期期中联考数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年上海市浦东新区四校联考高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共有12道小题，每小题3分，共36分）1．二元一次方程组的增广矩阵是．2．若a1，a2，a3，a4四个数成等比数列，则=．3．无穷等比数列{a n}的通项公式为a n=3×（﹣）n﹣1，则其所有项的和为．4．已知三阶行列式，则元素3的代数余子式的值为．5．已知矩阵A=，矩阵B=．若AB=，则a=．6．数列{a n}的通项公式a n=，则a n=．7．已知f（n）=+++…+（n∈N*），则f（1）=．8．已知数列{a n}满足a n=n2+λn（λ∈R），且a1＜a2＜a3＜…＜a n＜a n+1＜…，则λ的取值范围是．9．若数列{a n}满足a n+1=，n∈N*），若a1=，则a24的值为．10．在等比数列{a n}中，前n项和S n=2n+a（n∈N*），则a=．11．数列{a n}满足a1=4，S n+S n+1=a n+1，则a n=．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=25﹣n，数列{b n}的通项公式为b n=n+k，设c n=若在数列{c n}中，c5≤c n对任意n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每小题3分.将正确答案的代号填写在答题纸对应题号后的横线上.13．当m≠﹣1时，下列关于方程组的判断，正确的是（）A．方程组有唯一解B．方程组有唯一解或有无穷多解C．方程组无解或有无穷多解D．方程组有唯一解或无解14．下列四个命题中，正确的是（）A．若，则a n=AB．若a n＞0，，则A＞0C．若，则D．若a n=A，则15．数列{a n}为等比数列，则下列结论中不正确的是（）A．是等比数列B．{a n•a n}是等比数列+1C．是等比数列 D．{lga n}是等差数列16．无穷等差数列{a n}的各项均为整数，首项为a1、公差为d，S n是其前n项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题：①对任意满足条件的d，存在a1，使得99一定是数列{a n}中的一项；②存在满足条件的数列{a n}，使得对任意的n∈N*，S2n=4S n成立；③对任意满足条件的d，存在a1，使得30一定是数列{a n}中的一项．其中正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③三、解答题（本大题共5题，计52分）17．（8分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=16，a7=24．（1）求通项a n；（2）若S n=312，求项数n．18．（10分）设首项为2，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为S n，且T n=a2+a4+a6+…+a2n，（1）求S n；（2）求．19．（10分）已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N*），设b n=，（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）设S n=|b1|+|b2|+…+|b n|（n∈N*），求S n．20．（12分）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1（n∈N*），且a2，a5分别是等比数列{b n}的第二项和第三项，设数列{c n}满足c n=，{c n}的前n项和为S n（1）求数列{b n}的通项公式；（2）是否存在m∈N*，使得S m=2017，并说明理由（3）求S n．21．（12分）在等差数列{a n}中，a1+a3=10，d=3．令b n=，数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年上海市浦东新区四校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共有12道小题，每小题3分，共36分）1．（2016秋•浦东新区期中）二元一次方程组的增广矩阵是．【考点】逆矩阵与二元一次方程组．【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】由增广矩阵的概念进行求解即可．【解答】解：欧由增广矩阵的概念，可得二元一次方程组的增广矩阵是．故答案为．【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．2．（2016秋•浦东新区期中）若a1，a2，a3，a4四个数成等比数列，则=0．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；对应思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】直接由等比数列的性质求得的值．【解答】解：∵a1，a2，a3，a4四个数成等比数列，∴a1a4=a2a3，∴=a1a4﹣a2a3=0．故答案为：0．【点评】本题考查等比数列的性质，是基础的计算题．3．（2016秋•浦东新区期中）无穷等比数列{a n}的通项公式为a n=3×（﹣）n﹣1，则其所有项的和为2．【考点】数列的求和．【专题】极限思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】由a n=3×（﹣）n﹣1，求得a1=3，q=﹣，由等比数列的前n项和公式S n===2×[1﹣（﹣）n]，所有项的和{2×[1﹣（﹣）n]}=2，【解答】解：由a n=3×（﹣）n﹣1，∴a1=3，q=﹣，由等比数列前n项和公式S n===2×[1﹣（﹣）n]，∴{2×[1﹣（﹣）n]}=2，故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，考查数列的极限，考查计算能力，属于中档题．4．（2016秋•浦东新区期中）已知三阶行列式，则元素3的代数余子式的值为52．【考点】三阶矩阵．【专题】综合题；方程思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】根据行列式的展开A21=﹣（1×2﹣6×9），即可得出结论．【解答】解：行列式中元素3的代数余子式的A21=﹣（1×2﹣6×9）=52，故答案为：52．【点评】本题考查行列式的展开，考查行列式的展开式，考查计算能力，属于基础题．5．（2016秋•浦东新区期中）已知矩阵A=，矩阵B=．若AB=，则a=﹣2．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】利用矩阵的乘法，即可得出结论．【解答】解：∵矩阵A=，矩阵B=．若AB=，∴a﹣4a﹣3a=12，∴a=﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，比较基础．6．（2016秋•浦东新区期中）数列{a n}的通项公式a n=，则a n=．【考点】数列的极限．【专题】极限思想；转化法．【分析】由数列的通项公式可得a n=，再由=0，即可得到所求值．【解答】解：由数列{a n}的通项公式a n=，可得a n====．故答案为：．【点评】本题考查数列极限的运算，注意运用=0，考查运算能力，属于基础题．7．（2016秋•浦东新区期中）已知f（n）=+++…+（n∈N*），则f（1）=．【考点】数列与函数的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】根据已知中f（n）=+++…+（n∈N*），将n=1代入可得答案．【解答】解：∵f（n）=+++…+（n∈N*），∴f（1）==，故答案为：．【点评】本题是数列与函数的综合，其本质是函数求值，难度不大，属于基础题．8．（2016秋•浦东新区期中）已知数列{a n}满足a n=n2+λn（λ∈R），且a1＜a2＜a3＜…＜a n＜a n+1＜…，则λ的取值范围是（﹣3，+∞）．【考点】数列递推式．【专题】函数思想；参数法；等差数列与等比数列．【分析】由已知，数列{a n}为单调递增数列，得出a n+1﹣a n＞0对于任意n∈N*都成立，即有2n+1+λ＞0，采用分离参数法求实数λ的取值范围即可．【解答】解：∵a n=n2+λn①∴a n+1=（n+1）2+λ（n+1）②②﹣①得a n+1﹣a n=2n+1+λ．由已知，数列{a n}为单调递增数列，则a n+1﹣a n＞0对于任意n∈N*都成立，即2n+1+λ＞0．移向得λ＞﹣（2n+1），λ只需大于﹣（2n+1）的最大值即可，易知当n=1时，﹣（2n+1）的最大值为﹣3，∴λ＞﹣3故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查数列的函数性质，考查了转化、计算能力，分离参数法的应用，属于中档题．=，n∈N*），若9．（2016秋•浦东新区期中）若数列{a n}满足a n+1a1=，则a24的值为．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用已知结合数列递推式可得a n+3=a n．则答案可求．【解答】解：∵＜＜1，∴a2=2a1﹣1=，，，…∴a n +3=a n ． ∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，关键在于数列周期的发现，是中档题．10．（2016秋•浦东新区期中）在等比数列{a n }中，前n 项和S n =2n+a （n ∈N*），则a= ﹣1 ． 【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的前n 项和求出首项，再求出n ≥2时的通项公式，代入a 1得答案．【解答】解：在等比数列{a n }中，由前n 项和S n =2n+a ， 得a 1=2+a ，又当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n +a ﹣2n ﹣1﹣a=2n ﹣1， ∴2+a=2°=1，即a=﹣1． 故答案为：﹣1．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础题．11．（2016秋•浦东新区期中）数列{a n }满足a 1=4，S n +S n +1=a n +1，则a n =．【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】利用递推公式与等比数列的通项公式即可得出． 【解答】解：∵S n +S n +1=a n +1， ∴n=1时，a 1+a 1+a 2=，解得a 2=﹣12． n ≥2时，S n ﹣1+S n =，可得：a n +a n +1=a n +1+，化为：a n +1=4a n ， 而a 2=﹣a 1，∴数列{a n }从第二项起为等比数列．∴n ≥2时，a n =﹣12×4n ﹣2=﹣3×4n ﹣1． ∴a n =．故答案为：．【点评】本题考查了递推公式与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（2014•上海模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=25﹣n，数列{b n}的通项公式为b n=n+k，设c n=若在数列{c n}中，c5≤c n对任意n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是[﹣5，﹣3] ．【考点】数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】若c5=a5，则b6≥a5，a5＞b5，b6≥a5，由此推导出﹣5≤k＜﹣4；若c5=b5，则b5≥a5，b5≥a5，a4≥b5，由此推导出﹣5≤k≤﹣3．由此能求出实数k的取值范围．【解答】解：若c5=a5，则a5＞b5，则前面不会有b n的项，∵{b n}递增，{a n}递减，∴b i（i=1，2，3，4）＜b5＜a5＜a i（i=1，2，3，4），∵a n递减，∴当n≥6时，必有c n≠a n，即c n=b n，此时应有b6≥a5，∴a5＞b5，即20＞5+k，得k＜﹣4，b6≥a5，即6+k≥1，得k≥﹣5，∴﹣5≤k＜﹣4．若c5=b5，则b5≥a5，同理，前面不能有b n项，即a4≥b5＞b4，当n≥6时，∵{b n}递增，{a n}递减，∴b n＞b5≥a5＞a n（n≥6），∴当n≥6时，c n=b n．由b5≥a5，即5+k≥1，得，k≥﹣4，由a4≥b5，得2≥5+k，得k≤﹣3，即﹣4≤k≤﹣3．综上得，﹣5≤k≤﹣3．∴实数k的取值范围是[﹣5，﹣3]．故答案为：[﹣5，﹣3]．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，解题时要熟练掌握等差数列和等比数列的性质的灵活运用．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每小题3分.将正确答案的代号填写在答题纸对应题号后的横线上.13．（2016秋•浦东新区期中）当m≠﹣1时，下列关于方程组的判断，正确的是（）A．方程组有唯一解B．方程组有唯一解或有无穷多解C．方程组无解或有无穷多解D．方程组有唯一解或无解【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；方程思想；参数法；函数的性质及应用．【分析】先根据方程组中x，y的系数及常数项计算计算出D，D x，D y，下面对m的值进行分类讨论：（1）当m≠﹣1，m≠1时，（2）当m=1时，分别求解方程组的解即可．【解答】解：D==m2﹣1=（m+1）（m﹣1），D x==m2﹣m=m（m﹣1），D y==2m2﹣m﹣1=（2m+1）（m﹣1），当m≠﹣1，m≠1时，D≠0，方程组有唯一解，解为．当m=1时，D=D x=D y=0，方程组有无穷多组解，此时方程组化为，令x=t（t∈R），原方程组的解为（t∈R），∴方程组有唯一解或有无穷多解，故选：B．【点评】本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．14．（2016秋•浦东新区期中）下列四个命题中，正确的是（）A．若，则a n=AB．若a n＞0，，则A＞0C．若，则D．若a n=A，则【考点】极限及其运算．【专题】转化思想；导数的概念及应用．【分析】利用极限的运算性质即可判断出结论．【解答】解：A．不正确，例如取a n=（﹣1）n，而a n不存在．B．不正确，例如取a n=＞0，则a n＞0，=0．C．利用极限的运算法则可知正确．D．不正确，例如取a n=，=0，则=1．故选：C．【点评】本题考查了极限的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（2016秋•浦东新区期中）数列{a n}为等比数列，则下列结论中不正确的是（）A．是等比数列B．{a n•a n}是等比数列+1C．是等比数列 D．{lga n}是等差数列【考点】等比关系的确定．【专题】计算题；定义法；等差数列与等比数列．﹣lga n=lgq（当且仅当q＞0是有意义），所【分析】由题意设=q，则lg =lga n+1以{lga n}是等差数列是错误的．【解答】解：因为数列{a n}为等比数列，﹣lga n=lgq（当且仅当q＞0是有意义）所以设=q，则lg =lga n+1所以{lga n}是等差数列是错误的．故选D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质以及等差数列的定义．16．（2016秋•浦东新区期中）无穷等差数列{a n}的各项均为整数，首项为a1、公差为d，S n 是其前n项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题：①对任意满足条件的d，存在a1，使得99一定是数列{a n}中的一项；②存在满足条件的数列{a n}，使得对任意的n∈N*，S2n=4S n成立；③对任意满足条件的d，存在a1，使得30一定是数列{a n}中的一项．其中正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】等差数列的前n项和．【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的公式，分别讨论前n项和3、21、15的具体项数，然后进行推理即可．首先根据条件得出d≤6；①99﹣21=78能被6整除，且=13，假设15和21之间有n 项，那么99和21之间有13n项，得出结论．②利用等差数列的前n项和公式化简S2n=4S n，得出结论．③30﹣21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{a n}中的一项，得出结论．【解答】解：要使等差数列的公差最大，则3，15，21为相邻的前n项和，此时对应两项为15﹣3=12，21﹣15=6，所以d≤6．①99﹣21=78能被6整除，且，假设15和21之间有n项，那么99和21之间有13n项，所以99一定是数列{a n}中的一项，所以①正确．②如果有S2n=4S n，那么由等差数列求和公式有：2na1+n（2n﹣1）•d=4[na1+]，化简得到，d=2a1，所以只要满足条件d=2a1的数列{a n}，就能使得对任意的n∈N*，S2n=4S n成立，所以②正确．③30﹣21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{a n}中的一项，所以③错误．综上可得：只有①②正确．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，计52分）17．（8分）（2016秋•浦东新区期中）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=16，a7=24．（1）求通项a n；（2）若S n=312，求项数n．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其性质可得a n，（2）利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，∴a7﹣a3=4d=8，解得d=2．又∵a3=16，∴a n=a3+（n﹣3）×2=16+2n﹣6=2n+10，（2）由（1）可得：a1+2×2=16，解得a1=12．S n==n2+11n=312，解得n=13．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（10分）（2016秋•浦东新区期中）设首项为2，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为S n，且T n=a2+a4+a6+…+a2n，（1）求S n；（2）求．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；分类讨论；等差数列与等比数列．【分析】（1）对q分类讨论，利用等比数列的前n项和公式可得S n；（2）利用数列极限法则即可得出．【解答】（2）①当q=1时，S n=2n，T n=2n，=1，②当q≠1时，，∴．若0＜q＜1，=．若q＞1，=0．故：=．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、数列极限运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（10分）（2016秋•浦东新区期中）已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N*），设b n=，（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）设S n=|b1|+|b2|+…+|b n|（n∈N*），求S n．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】转化思想；分类法；等差数列与等比数列．﹣b n=﹣=﹣=﹣2，因此数【分析】（1）由题意可得：b1==8，b n+1列{b n}是等差数列；（2）由（1）可知：b n=10﹣2n，分类当1≤n≤5，b n≥0，S n==﹣n2+9n，当n≥6时，b n≤0，S n=2S5﹣S n，即可求得S n．【解答】（1）证明：b1==8，﹣b n=﹣=﹣=﹣2，∴b n+1∴数列{b n}是以8为首项，﹣2为公差的等差数列；（2）解：由（1）可得：b n=8+（﹣2）（n﹣1）=10﹣2n，当1≤n≤5，b n≥0，S n==﹣n2+9n，当n≥6时，b n≤0，S n=2S5﹣S n=2（﹣25+9×5）+n2﹣9n=n2﹣9n+40，∴S n=．【点评】本题考查等差数列的证明，考查等差数列通项公式及含有绝对值的数列前n项和公式求法，考查计算能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•浦东新区期中）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1（n∈N*），且a2，a5分别是等比数列{b n}的第二项和第三项，设数列{c n}满足c n=，{c n}的前n项和为S n（1）求数列{b n}的通项公式；（2）是否存在m∈N*，使得S m=2017，并说明理由（3）求S n．【考点】等差数列的前n项和．【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由a2=3=b2，a5=9=b3，可得公比q．（2）．由于S7=301＜2017，S8=2488＞2017，而S n是单调递增的，即可判断出结论．．（3）c n=，n为偶数时，S n=+．n为奇数时，S n=++2n﹣1．【解答】解：（1）∵a2=3=b2，a5=9=b3，∴公比q=3．（2）不存在m∈N*，使得S m=2017．∵S7=301＜2017，S8=2488＞2017，而S n是单调递增的，∴不存在m∈N*，使得S m=2017．（3）c n=，n为偶数时，S n=+=+．n为奇数时，S n=++2n﹣1=+．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和关系、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016秋•浦东新区期中）在等差数列{a n}中，a1+a3=10，d=3．令b n=，数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据等差数列的通项公式求得首项a1的值，则易求数列{a n}的通项公式；（2）利用拆项法求得数列{b n}的通项公式，则易求T n；（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列，结合等比数列的性质得到=，从而求得符合条件的m、n的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a3=10，d=3，得，解得a1=2，所以a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1（n∈N+）；（2）由（1）知，a n=3n﹣1．所以b n====（﹣），∴T n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=；（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列，由（2）知，T1=，T m=，T n=，因为T1，T m，T n成等比数列，所以（）2=×，即=，整理，得n（﹣3m2+6m+2）=5m2．（*）①当m=2时，（*）式可化为2n=20，所以n=10．②当m≥3时，﹣3m2+6m+2=﹣3（m﹣1）2+5≤﹣7＜0．又因为5m2＞0，所以（*）式可化为n=＜0，所以此时n无正整数解．综上可知，存在满足条件的正整数m，n，此时m=2，n=10．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，数列的裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海市浦东新区2022-2022学年高二上学期期末数学试
卷Word版含解
2022-2022学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．数1与9
的等差中项是______．2．若线性方程组的增广矩阵为
，则该线性方程组的解是______．
3．行列式中元素8的代数余子式的值为______．
4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量
5．等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，an=9，则n=______．6．已知向量=
（1，2），=（1+某，某），且⊥，则某的值为______．7．已知
=﹣
，若实数λ满足
=λ
=______．
，则λ的值为______．
8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为
______．
9．关于某的方程=0的解为______．
10．若无穷等比数列{an}的各项和为3，则首项a1的取值范围为
______．
11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的
动点，则取值范围是______．12．定义
=
（n∈N某）为向量
=（某n，yn）到向量
的
=（某n+1，|=______．
yn+1）的一个矩阵变换，设向量
=（coα，inα），O为坐标原点，则|
二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)
13．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=时，左边应该是（）
A．1+a+a2B．1+a+a2+a3C．1+aD．114．下列正确的是（）A．若
B．若
（anbn）=a≠0，则（anbn）=0，则
an≠0且an=0或
bn≠0bn=0
=
”时，在验证n=1成立
C．若无穷数列{an}有极限，且它的前n项和为Sn，则D．若无穷数
列{an}有极限，则
an=
an+1
a1+a2+…+an
15．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是
（）
A．
+=+B．+=+C．+=+D．+=+16．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若已
知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）
①S7是所有Sn（n∈N某）中的最大值；②a7是所有an（n∈N某）
中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．
A．1个B．2个C．3个D．4个
三、解答题
17．已知，某，y的方程组
．
（1）求D，D某，Dy；
（2）当实数m为何值时方程组无解；
（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．
18．已知等比数列{an}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n
项和为Sn，且Tn=求
Tn的值．
，
19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原
点），点P是直线OC上的一个动点．
（1）若∥，求的坐标；
（2）当取最小值时，求co∠APB的值．
20．已知无穷等数列{an}中，首项a1=1000，公比q=，数列{bn}满足
bn=
（lga1+lga2+…+lgan）．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和的最大值．
21．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（n∈N某，p，q
为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．
（1）求p，q的值；
（2）求数列{an}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥
，n∈N某}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．
2022-2022学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．数1与9
的等差中项是5．【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9，解之可得．【解答】解：
解：设1与9两数的等差中项为a，则可得2a=1+9，解得a=5，故答案为：
5．
2．若线性方程组的增广矩阵为
，则该线性方程组的解是
．
【考点】二元一次方程组的矩阵形式．
【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线
性方程组，根据方程解出某，y，即可
【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组
的表达式
∴
故答案为
3．行列式中元素8的代数余子式的值为﹣1．
【考点】三阶矩阵．
【分析】由代数余子式的定义A12=﹣
=﹣1即可求得答案．
【解答】解：设A=，
元素8的代数余子式A12=﹣
=﹣1；
故答案为：﹣1．
4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量（﹣，
﹣）．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】利用平面向量坐标运算公式求解．【解答】解：∵向量=（1，
2），=（﹣1，3），=3﹣，∴=（3，6）﹣（﹣1，3）=（4，3），∴向量
的单位向量
=
=±
=±（，）．
=（，）或故答案为：（，）或（﹣，﹣）．
5．等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，an=9，则n=6．【考点】等差
数列的通项公式．
【分析】根据等差数列的通项公式先求出d，然后在利用等差数列的
通项公式求解即可．【解答】解：等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，
∴a3=﹣1+2d=3，∴d=2，
∵an=9=﹣1+（n﹣1）某2，解得n=6，故答案为6．
6．已知向量=（1，2），=（1+某，某），且⊥，则某的值为【考点】
平面向量数量积的运算．
【分析】由⊥，可得=0，即可得出．【解答】解：∵⊥，
∴=（1+某）+2某=1+3某=0，解得某=
，
．
故答案为：﹣．7．已知
=﹣
，若实数λ满足
=λ
，则λ的值为﹣3．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】根据向量关系作出平面图形，由线段长度比值可得出答案．