河海大学概率论与数理统计试卷2009

河海大学2009~2010学年第一学期《概率论与数理统计》试卷(A)（供全校2008级工科学生用）（2009年12月）专业、班级姓名学号成绩一、（每空2分，本题满分18分）填空题1．一批电子元件共有100个，次品率为0.05，连续两次不放回地从中任取一个，则第二次才取到正品的概率为。

2．设随机变量X ~)1.0,20(B ，则==)}({X E X P 。

3．假设随机事件A 与B 相互独立，5.0)(=A P ，α-=2)(B P ，96)(=⋃B A P ，则=α。

4．设随机变量),10(~2σN X ，且3.0}2010{=<<X P ，则=<<}200{X P 。

5．设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为则==}0{XY P 。

6．已知随机变量)1,3(~-N X ，)3,1(~U Y ，且X 与Y 相互独立，设随机变量232+-=Y X Z ，则=)(Z E ，=)(Z D 。

7．设随机变量)1)((~>n n t X ，21XY =，则~Y 。

8．设总体),(~2σμN X ，μ和2σ均未知，n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本，则2σ的置信度为α-1的置信区间为。

二、（本题满分12分）某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花。

到目的地时发现丢失了1箱，但不知丢失了哪一箱，现从剩下的9箱中任意打开2箱检查。

（1）求任意打开的2箱都是民用口罩的概率；（2）在任意打开的2箱都是民用口罩的情况下，求丢失的一箱也是民用口罩的概率。

三、（本题满分12分）已知随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他,021,210,)(x x x x A x f求（1）常数A ；（2）X 的分布函数)(x F ；（3）)23(2+-X X E ；（4）}5.15.0{≤<X P 。

四、（本题满分8分）设随机变量X服从参数为3的泊松(Poisson)分布，Y 服从参数为4的泊松分布，且X 与Y 相互独立，证明XY+服从参数为7的泊松分布。

五、（本题满分8分）设X 、Y 是相互独立的随机变量，概率密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f X，⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(y y e y f y Y求Y X Z +=的概率密度函数)(z f Z 。

六、（本题满分12分）设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为：⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,01,10,2),(y x x y x f求：（1）关于X 和Y 的边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；（2）X 和Y 的相关系数XY ρ；（3）X 与Y 是否独立？为什么？七、（本题满分16分）设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它,00,1);(x e x f xθθθ其中θ为未知参数。

（1）求θ的矩估计量M θˆ和极大似然估计量MLE θˆ； （2）问MLE θˆ是否为θ的无偏估计量？为什么？（3）若给出来自该总体的一个容量为8的样本的观测值：1、3、3、2、6、5、7、9，求}1{>X P 的极大似然估计值。

八、（本题满分14分）某电子制造厂生产的产品额定质量为500克，某日开工后随机抽查了9件进行测量，测量结果经计算得其平均值为499=x ，样本方差为292=S ，设该天生产的产品质量服从正态分布),(2σμN 。

（1）试问该天生产机器工作是否正常?)05.0(=α（2）若已知该天生产的产品质量的方差为302=σ，求产品平均质量μ的置信度为95%的置信区间。

（283.11.0=z ，645.105.0=z ，960.1025.0=z ，3968.1)8(1.0=t ，3830.1)9(1.0=t ，3722.1)10(1.0=t ，8695.1)8(05.0=t ，8331.1)9(05.0=t ，8125.1)10(05.0=t ，3060.2)8(025.0=t ，2622.2)9(025.0=t ，2280.2)10(05.0=t ）2009-2010学年第一学期《概率论与数理统计》（工科）参考解答A 卷一（每空2分，共18分）．1．19/396或0.048；2．1822209.01.0C ≈0.285；3.4/3；4.0.6；5.0.5；6.-10，7；7.F （n,1）；8.))1()1(,)1()1((22/1222/2-χ--χ-α-αn S n n S n 。

二（12分）．A -----任取2箱都是民用口罩，kB ----丢失的一箱为k ，3,2,1=k 分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花.则（1）3685110321)()()(29252925292431=⋅+⋅+⋅==∑=C C C C C C B A P B P A P kk k（2）.83368363)(/21)(/)()()(2924111=÷=⋅==A P C C A P B A P B P A BP三（12分）.（1）由1)(=⎰+∞∞-dx x f ,又=⎰+∞∞-dx x f )(1)2(2110=-+⎰⎰dx x Axdx ，所以1=A(2)当0≤x 时, )(x F =0;当10≤<x 时, )(x F 221)(x xdx dx x f xx===⎰⎰∞-,当21≤<x 时, 122)2()(211--=-+=⎰⎰xx dx x xdx x F x，当2>x 时，)(x F =1,所以X的分布函数为)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<--≤<≤=xx x x x x x 2121,12210,210,022；（3）)23(2+-X XE =61)2)(23()23(212102=-+-++-⎰⎰dx x x xxdx x x；（4）}5.15.0{≤<X P ⎰⎰-+=5.1115.0)2(dx x xdx =0.75四（8分）．)3(~P X ，所以X 的分布律为!3)(3k ek X P k-==，,...3,2,1,0=k ；又因为)4(~P Y ，所以Y 的分布律为!4)(4k ek Y P k -==，,...3,2,1,0=k ；令YX Z +=，所以Z的取值为,...3,2,1,0，且有∑∑=∞==========km m m X P m X k Z P m X P m X k Z P k Z P 0)()|()()|()(!7!3)!(4)()(734k em em k em X P m k Y P kkm mmk km -=---==⋅-==-==∑∑，,...3,2,1,0=k。

从而X Y+服从参数为7的泊松分布。

五（8分）．法1： ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=-⋅,,0,0,10,),(其它y x e y x f y⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+--------⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+-=<<+-=≤==z y x xz zz y z x z zy Z z e e dy e dx z e z dy e dx z dxdy y x f z F 10)1(00,1,1,10,1,0,0),()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<<-≥-=∴--.0,0,10,1,1,)1()(z z e z e e z f zz Z法2：⎰+∞∞--=dyy f y z fz f Y XZ)()()(，0,10><-<∴y y z ，;0)(,0=≤∴z fz Z时;1)(,100zzyZ edy ez f z ---==<<⎰时;)1()(,11z zz y Z e e dy e z f z ----==≤⎰时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<<-≥-=∴--.0,0,10,1,1,)1()(z z e z e e z f zz Z六（12分）．(1)⎰+∞∞-=dy y x f x f X),()(⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰其它,010),1(221x x dy x ；⎰+∞∞-=dx y x f y fY),()(⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰其它,010,220y y dx y(2)⎰+∞∞-=dx x xfX E X)()(⎰-⋅=1)1(2dxx x =31,⎰+∞∞-=dx x f xXE X )()(22⎰-⋅=12)1(2dxx x=61,所以)()()(22X EXE X D -=1819161=-=；⎰+∞∞-=dyy yf Y E Y )()(3221=⋅=⎰ydy y ，⎰+∞∞-=dyy f yYE Y )()(2221212=⋅=⎰ydy y，181)()()(22=-=Y EYE Y D 又412),()(11===⎰⎰⎰⎰xDdy xy dx dxdy y x xyf XY E ，所以361323141)()()(),(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ，XYρ=2118/136/1)()(),(==Y D X D Y X Cov（3）因为)()(),(y f x f y x f YX≠，所以X 与Y 不独立。

七（16分）．（1）令X X E =)(，又θ=)(X E ，所以MθˆX =；∏==θni i x f L 1)()(，当ni xi ,...,2,1,0=>时，∏∏=θ-=θ==θni x n i i i e x f L 111)()(，所以∑=θ-θ-=θni i x L 1)ln ()(ln ，令)1()(ln 12=+-=∑=ni ix d L d θθθθ有MLEθˆX=；（2）因为θ===θ)()()ˆ(X E X E E MLE，所以MLEθˆX=为θ的无偏估计。

（3）因为}1{>X P θ-θ-∞+=θ=⎰111e dx e x，所以XMLE e eXP MLE1ˆ1}1{-θ-∧==>，另5.4=x ，所以}1{>X P 的极大似然估计值为5.41-e。

八（14分）．(1)构造假设500:00=μ=μH,500:1≠μH,取检验统计量)1(~/00-μ-=n t nS X T H 为真,由α=->α)}1(|{|2/n tT P 得拒绝域为: )1(||2/->αn t T .又9=n ,499=x ,292=s ,05.0=α,3060.2)8(025.0=t,3060.256.09/29|500499|<=-=T ,故应接受0H ,即认为包装机工作正常.(2)因为302=σ已知,所以总体均值μ的置信度为α-1的置信区间为),(2/2/n z x nzx σ+σ-αα,又96.1025.02/==αz z,故),(2/2/nz x nz x σ+σ-αα=)93096.1499,93096.1499(⨯+⨯-)578.502,422.495(=.。