数列大题综合练习(含答案)

数列大题综合练习(含答案)
1、在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n。

1）设bn=an，证明数列{bn}为等差数列；
2）求数列{an}的前n项和Sn。

2、已知数列{an}中，a1=11，且an-an+1=22an+1。

1）求数列{an}的通项公式；
2）数列{bn}满足：b1=2，bn+1-2bn=22n+1，且{bn}是等差数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。

3、已知数列{an}的前n项和为Sn，an=2，{bn}为首项是3的等差数列，且b3Sn/5=434。

1）求{bn}的通项公式；
2）设{bn}的前n项和为Tn，求XXX的值。

4、设Sn是数列{an}的前n项和，点P(an,Sn)在直线
y=2x-2上，(n∈N)
1）求数列{an}的通项公式；
2）记bn=2(1-1/n)，求数列{bn}的前n项和XXX。

5、已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+an+1/2，
n∈N
1）令bn=an+1-an，证明{bn}是等比数列；
2）求数列{an}的通项公式。

6、数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an-3n，（n∈N）
1）求数列{an}的通项公式an；
2）令bn=31/n，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：
Tn<Sn+3n+92.
7、正项数列{an}满足f(an)=an2，（1）求证{an}是等差数列；（2）若bn=an，求数列{bn}的前n项和为Tn。

8、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列各项均不为0，点Pn(an,Sn)在函数f(x)=x2+x上的图象上。

1）求数列{an}的通项an及前n项和Sn；
2）求证：Pn+1≤Pn。

n
1 a
n 1
a
n
a
n 1
数列 a
n
是等差数列。

2）b
n
3n a
n
3n(
n 1
2
1
2
3
2 n 2
1 2 n 3n S n
1 2 n 2
1 2 n 3
2
n
1
2
n
2
3n2)
1
2
n
1
2
n1)(n2) 1
2
n
1
2
n
2
3
2
n 1
1.当$n=1$时，$a_1=S_1=1$，所以数列$\{a_n\}$是首项为1，公差为2的等差数列。

2.根据等差数列的通项公式，$a_n=1+(n-1)\times2=2n-1$。

又$b_n=\frac{4n}{2n+1}$，则$2a_n+a_{n-1}=4n-2+(2n-1)=6n-
3=3(2n-1)+3=n(2n+1)$。

用错位相减法得到：$T=\frac{3}{2}$。

3.因为点$P_n(a_n,S_n)$在函数$f(x)=\sqrt{1-x^2}$的图像上，所以$S_n=\sqrt{1-a_n^2}$。

4.当$n\geq2$时，$a_n=S_n-S_{n-1}$。

代入上式得到：$S_n-S_{n-1}=\sqrt{1-a_n^2}$，整理得到：
$a_n=\sqrt{(S_n+S_{n-1})(S_n-S_{n-1})}$。

5.当$a_n=(-1)^{n-1}$时，$P_{n+1}P_{n+2}-
P_nP_{n+1}=4+1-4+1=2$；当$a_n=n$时，$P_{n+1}P_{n+2}-P_nP_{n+1}=1+(n+2)^2-1-(n+1)^2=2n+3$。

因为$2n+3>2$，所以只需证明$a_n=(-1)^{n-1}$时，$P_{n+1}P_{n+2}-
P_nP_{n+1}<1$。

6.由于$P_{n+1}P_{n+2}-P_nP_{n+1}=1+(n+2)^2-1-
(n+1)^2=\frac{2n+3}{2n+2+\sqrt{(2n+1)(2n+3)}}<1$，所以原不等式成立。

7.根据题意，$S_2=S_1\times S_4$，所以
$(2a_1+2)=a_1\times(4a_1+12)$，解得$a_1=1$，所以$a_n=2n-1$。

8.根据$b_n=(-1)^{n-1}\times\frac{4n}{2n+1}$，可得
$b_n=(-1)^{n-1}\times\frac{4n}{2n+1}\times\frac{2n-1}{2n-
1}=(-1)^{n-1}\times\frac{4n(2n-1)}{(2n+1)(2n-1)}=(-1)^{n-
1}\times\frac{4n}{2n+1}$。

2n-1)(2n+1)2n-1/(2n+1) = 1 - (2n-1)/(2n+1) + (2n-1)(2n-
3)/(2n+1)(2n-1) - (2n-1)(2n-3)(2n-5)/(2n+1)(2n-1)(2n-3) +。

+ (-
1)^(n-1)(2n-1)(2n-3)。

3/(2n+1)(2n-1)(2n-3)。

3(2)
10、解：(1)证明：由n/(n+1) = (n+1)/(n+2)得an/an+1 =
1/(n+1)，所以数列{an}是首项为1，公比为1/(n+1)的等比数列；
2)由(1)可得an = 1 x (1+1) x (1+2) x。

x (1+n-1)/n。

=
n/(n+1)，所以bn = n x 3^n/(2n+1)。

利用错位相减法得Sn = (2n+1) - 1 x 3/3 + 2 x 3^2/5 - 3 x
3^3/7 +。

+ (-1)^(n-1) x n x 3^n/(2n+1)。