(完整版)清华大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷
清华大学高等数学A 期末考试试卷
2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 设向量(2,1,2)a =r ，(4,1,10)b =-r
，c b a λ=-r r r ，且a c ⊥r r ，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11
(1)n
p n n
∞
=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是
（ ）
A ．2x y Ce =
B ．22x y Ce =
C ．22y y e Cx =
D ．2y e Cxy = 2．求极限
(,)(0,0)lim x y →= （ ）
A ．
14 B ．12- C ．1
4
- D ．12
3
．直线:
327
x y z
L ==-和平面:3278
0x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π
D ．直线L 与平面π斜交
4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，
则D
σ= （ ）
A ．33()2
b a π
- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π-
5．下列级数收敛的是 （ ）
A ．11(1)(4)n n n ∞
=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D
．1
n ∞
=
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
2. 计算二重积分22
D
x y
dxdy x y
++??
，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y
??+??。
4.求曲线积分()()L
x y dx x y dy ++-?，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针方
向。
5.
计算D
y ??，其中D
是由y =1x =-及1y =所围成的区域。
6
．判断级数1(1)1
n n n n ∞
=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
7．将函数1
(1)(2)
x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
2. 求幂级数1
(1)(1)!n n
n nx n ∞
=-+∑的和函数。
3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知
[()()]()L
D
xydx yf x g x dy yg x d σ++=????，
求()f x 和()g x 。
参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．2{(,)|210}x y y x -+> 2．3
3．920y z --= 4．1ln ln yz yz yz yzx dx zx xdy yx xdz -++ 5．01p <≤ 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．C 2．C 3．C 4．B 5．A
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
解：先求'0y y +=的通解，得1x y C e -=………………2分
采用常数变易法，设()x y h x e -=，得''()()x x y h x e h x e --=-………3分 代入原方程得'()()()x x x x h x e h x e h x e e ----+=………………4分
得21
()2
x h x e C =+………………5分
故通解为1
2
x x y e Ce -=+………………6分
将初始条件0x =，2y =带入得3
2
C =，故特解为1322x x y e e -=+…………7分
2. 计算二重积分22
D
x y
dxdy x y
++??
，其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 解：设cos ,sin x r y r θθ==………………1分
则1
0,
12
sin cos r π
θθθ
≤≤
≤≤+………………3分
所以12
12220sin cos cos sin D
x y r r dxdy d rdr x y r π
θθθθθ+++=+????………………5分 20
(sin cos 1)d π
θθθ=+-?………………6分
42
π
-=
………………7分
3. 设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z
x y
??+??。
解：设(,,)432sin(23)F x y z x y z x y z =-+-+-………………1分
12cos(23),44cos(23),36cos(23)
x y z F x y z F x y z F x y z =-+-=--+-=++-………………4分
2cos(23)14cos(23)4
,3[12cos(23)]3[12cos(23)]y x z z F F z x y z z x y z x F x y z y F x y z ?+--?+-+=-==-=
?++-?++-……6分 所以
1z z x y
??+=??………………7分
4. 求曲线积分()()L
x y dx x y dy ++-?，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时针
方向。
解：圆的参数方程为：cos ,
sin (0)2
x a t y a t t π
==≤≤
……………1分
220
()()(cos sin (cos sin )cos )sin L
x y dx x y dy a t a t da a t a t da t t π
π
++-=+-+??
?……3分
2
20
(cos 2sin 2)a
t t dt π
=-?
………………4分
2
2
0[sin 2cos 2]2
a t t π
=+………………6分 2a =-………………7分
（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）
5.
计算D
y ??，其中D
是由y =1x =-及1y =所围成的区域。
解：{(,)|1,11}D x y y x =≤≤-≤≤………………1分
1
1
1
D
y dx y -=???………………2分
312621
12[(1)63x y -=-?+-?………………4分
1
311(||1)9x dx -=--?………………5分
1
302(1)9x dx =--?………………6分
1
6=………………7分
6.
判断级数1
(1)1n n n n ∞
=-+∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
解：(1)11n n n n n -=++1分
)n →∞:
………………3分 所以级数发散。………………4分 又
(1)1(1)(111n n n n n -=--++5分
1
n n +=………………6分
显然，交错级数1n n ∞
=
1n
n ∞
=都收敛，所以原级数收敛。因此是条件
收敛。………………7分
7. 将函数
1
(1)(2)
x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。
解：
111
(1)(2)12x x x x
=-----………………2分
而
1
,||11n n x x x ∞
==<-∑………………3分 211[1()](||2)2222x x
x x =+++<-L ………………4分 所以
22111[1()](1)(2)222
x x
x x x x =+++-+++--L L ………………5分
10
1(1)2
n
n n x ∞
+==-
∑………………6分 成立范围||1x <………………7分
四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上任一点P 的坐标为(,,)P x y z ，P 点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为222x y z ++，………………1分 构造拉格朗日函数
22222()(1)F x y z x y z x y z λμ=++++-+++-………………2分
2222022020
010
x y
z
F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ=++=??=++=??=-+=??=+-=?=++-=??………………4分
解得1
(12
x =-………………5分
得两个驻点为12
1111(2(22222P P =---=---- …………………6分
………………7分
2. 求幂级数1
(1)(1)!n n
n nx n ∞
=-+∑的和函数。
解：因为0!n x
n x e n ∞
==∑，所以0
(1)!n n x
n x e n ∞-=-=∑，………………1分
00
(1)(1)(11)()(1)!(1)!n n n n
n n nx n x S x n n ∞
∞
==--+-==++∑∑………………2分
00
(1)(1)!(1)!n n n n
n n x x n n ∞
∞==--=-+∑∑………………3分
(1)!n n
x n x e n ∞
-=-=∑………………4分 110010
010(1)(1)!11(1)1(11(1)1)(1)!(1)!1(1)1(1)1!1!!n n n n n n n n n n n n n n n n n x n x x x n x n x x x x n x e x x n x x
n x n ∞
+++∞∞==∞∞=∞-===--=-++??--=-=--????=-=+--=-∑∑∑∑∑∑ (0)x ≠…………5分
所以
1
()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠
故1
()(1)(0)x x S x e e x x --=--≠……6分
当0x =时，()0S x =。………7分
另解：
当0x ≠时，11110(1)1(1)1(1)(1)!(1)!(1)!n n n n x n n n n n n x x n x n x n x n d x +∞
∞∞===??
---==??++-??
?∑∑∑ 1111
001(1)1(1)(1)!(1)!n n n x n n n x x n x n x x dx x dx -∞∞==-??????--??==-??????--???????
???∑∑ 001(1)!
n x n n x n x x dx ∞=-=-∑?
00
11x
x x x
x dx e x
d e x x --=-=
??
()1
1x x e e x x
--=
+- 11x x e e x x --=+-
当0x =时，()0S x =。
3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知
[()()]()L
D
xydx yf x g x dy yg x d σ++=????，
求()f x 和()g x 。 解：由格林公式得
['()'()]()D
D
yf x g x x dxdy yg x dxdy +-=????………………2分
即['()'()()]0D
yf x g x x yg x dxdy +--=??………………3分
由于区域的任意性，'()'()()0yf x g x x yg x +--=………………4分 又由于y 的任意性，有'()()f x g x =，'()g x x =……………5分
又由(0)1f =，(0)0g =得， 2
()2x g x =………………6分
所以3
()16
x f x =+………………7分
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1
清华大学微积分A(1)期中考试样题
一元微积分期中考试答案 一． 填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。21 3. 31 4。3 4 5. 1 6．第一类间断点 7。()dx x x x ln 1+ 8。 22sin(1)2cos(1)x x x e ++ 9。 0 10。11?????? ?+x e x 11．x x ne xe + 12。13 13。0 14。)1(223 +? =x y 15． 13y x =+ 二． 计算题 1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+?→→故0=b 。 …………………3分 a x f x f f x =?=′? →?)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=?=′+→+x f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞?∞内可导。 …………………1分 2. 解：=?+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2?+∞→π = x x x x /1arctan ) 1/(1lim 22?+?+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x x x x arctan )1/(lim 2+?++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++?+∞→ = 2211lim x x x +?+∞→ = 1? ………………………4分 所以，原极限=1?e ………………………………………………………………………2分 3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1) ('11)('1)(''?+?=+?+=y x f y x f y x f y ；……4分 3 2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +?+=+?++= …………………………………………6分 4.解：
清华大学高等数学期末考试
... 清华大学 2010- 2011 学年第一学期期末考试试卷（ A 卷）考试科目：高等数学A（上）考试班级：2010 级工科各班 考试方式：闭卷命题教师： 大题一二三四五六总分 得分 得分评卷人 一 . 填空题（将正确答案填在横线上。本大题共 3 小题，每小题 3 分，总计 9 分） 1、若在( a, b)内，函数f ( x)的一阶导数 f (x)0 ，二阶导数 f ( x) 0 ,则函数 f (x) 在此区间内单调，曲线是的。 x t 22t 2确定函数 y d 2 y 2、设 2t 3 3t y(x) ，求2。 y dx 3、12cos 1 dx。 x x 得分评卷人 二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号 中。本大题共 3 小题，每小题 3 分，总计 9 分）
... x 3 ax 2 x 4 1、设 lim x 1 A ，则必有 x 1 ( A)a 2， A 5 ; (B)a 4， A 10 ; (C )a 4， A 6 ; (D ) a 4，A 10 . 答 ( ) 2、设 f ( x) 1 ，则 f (x) 的一个原函数为 2 1 x ( A) arcsin x (B) arctanx 1 1 x 1 1 x (C ) ln 1 x (D) ln x 2 2 1 答 ( ) e x 3、设 f 为连续函数，又， F ( x) x 3 f (t) dt 则 F (0) ( A) e (B) f (1) (C)0 (D ) f (1) f (0) 答 ( ) 得分 评卷人 三 . 解答下列各题（本大题共 2 小题，每小题 5分，总计 10分） 1、求极限 lim e x e x 2 。 x 0 1 cos x 2、 y 1 ln 2 x , 求 y 。
清华大学 2016-2017学年第2 学期 高等数学A期末考试试卷
清华大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3 ．直线: 327 x y z L ==-和平面:327 80x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2 b a π - B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。
清华大学高等数学期末考试备课讲稿
清华大学高等数学期 末考试
清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 3小题，每小题3分，总计9分 ） 1、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=?dx x x 1cos 12 。 中。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有
. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A ， ，， ， 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 x x D x x C x B x A -++-11ln 21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F ) 0()1()( 0)()1()( )(f f D C f B e A - 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。 2、x y 2ln 1+=,求y '。
3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?????=≠ =0 ,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。
清华大学高等数学期末考试
第 1 页 共 8 页 清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 填空题（将正确答案填在横线上。本大题共3小题，每小题3分，总计9分 ） 1、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx x x 1cos 12 。 二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分）
第 2 页 共 8 页 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 . 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A ， ，， ， 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 x x D x x C x B x A -++-11ln 21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F )0()1()( 0)() 1()( )(f f D C f B e A - 答( ) 三. 解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。
清华大学高等数学期末考试
清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 3小题，每小题3分，总计9分 ） 1、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232 322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=?dx x x 1cos 12 。 中。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 231，则必有
. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A ， ，， ， 答( ) 2、设211 )(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 x x D x x C x B x A -++-11ln 21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F ) 0()1()( 0)()1()( )(f f D C f B e A - 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。 2、x y 2 ln 1+=,求y '。
3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论??? ? ?=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，2 2x x >。
清华大学本科生高等数学微积分A期末模拟试题解答
微积分A (A) 答案 一． 填空题（每空3分，共15题）（请将答案直接填写在横线上！） 1. ∑=∞→++n i n i n i n n 1)2)((lim = 。 答案：2ln 3ln ? 2. ∫dx e x x 2= 。 答案：C e xe e x x x x ++?222 3. =∫→3020)sin(lim x dt t x x 。 答案： 31 4. ∫+x x t d t dx d 22 )sin 1ln(= 。 答案：)sin 1ln(2)2sin 1ln(22x x x +?+ 5. 求曲线x e y =、x y πcos ?=、21?=x 、2 1=x 围成的区域面积 。 答案：π2 21 21 +??e e 6. =?∫π 03sin sin dx x x 。 答案：3 4 7. ∫=+) 1(2x x dx 。 答案：C x x ++? )1ln(21ln 2 8. =+∫2 1x x dx 。 答案：2ln 2)12ln(2?+ 9. 悬链线 )(2 1x x e e y ?+=，1||≤x 的弧长 =L 。
答案：1 ??e e 10. 二阶方程 03'''2=??y xy y x 的通解为 。 答案：x c x c y /231+= 11. 常微分方程组?????+=+=z y dx dz z y dx dy 22的通解为 。 答案：??? ?????+?????????=??????????x x x x e e C e e C z y 3321 12. 设2,x x 是二阶齐次线线性常微分方程解，则该微分方程为 。 答案：0222=+′?′′y x y x y 13. 0106=+′+′′y y y 的通解为 。 答案：x e C x e C y x x sin cos 3231??+= 14. x y x y dx dy tan +=的通解为 。 答案：Cx x y =sin 15. 常微分方程26xy y x y ?=?′的通解为 。 答案：8 12 6x x C y += 二． 计算题（每题10分，共4题）（请写出详细计算过程和必要的根据！） 1． 计算 ∫+4/022cos 3sin πx x dx . 解：原式 = ∫+4 /022)tan 3(cos πx x dx ∫=+=102tan 3t dt x t = 363arctan 3110π=t 。….（10分）
关于清华大学高等数学期末考试
关于清华大学高等数学期 末考试 Last revision on 21 December 2020
清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在), (b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。
2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。