时间与物质运动的关系

第二篇

运动学

引言

一、空间、时间与物质运动的关系

1、物体的运动速度接近光速或超越光速时，

空间、时间与物质的运动是相互关联的。

2、经典力学范围内，认为空间、时间与物

质的运动无关。

二、运动学的研究对象

经典力学中的运动学在被认为与运动无关的空间和时间中研究物体运动的几何性质

三、运动学的建立基础

由于经典力学中空间、时间与物体运动的无关性，因此整个运动学的理论体系可建立在欧几里德几何学公理的基础上。

第一章点的运动

§1~1点的直线运动

一、运动方程

设点Ｍ沿直线轨道运动，如图所示，取此直线为

x'= x+∆x。

当∆t→0时，M'→M点，v*→v（点在瞬时t的瞬时速度，简称速度），即：

结论：1、在直线运动中，点的速度等于点的坐标对时间的一阶导数。 2、速度为正，物体沿x 正向运动，返之沿负向运动。

结论：１、在直线运动中，点的加速度等于点的速度对时间的一阶导数。即点的坐标对时间的二阶导数。

２、a 与v 同号，则速度的绝对值越来越大，此时点作加速运动，返之，则速度的绝对值越来越小，此时点作减速运动。

——匀速直线运动时的点的运动方程。

三、 加速度 设在某一瞬时t ，点的速度为v ; 瞬时t '=t +∆t ，点的速度为v '，如图1~2所示。因此，

∆t 时间内的速度增量为∆v = v '-v ，若以a *来表示∆t 时间内的平均加速度，则： 当∆t →0时，M '→M 点，a

*→a （点在瞬时t 的瞬时加速度，简称加速度），即：

四、两种特殊的情况 （１）、匀速直线运动——v 为常量 vdt dx dt dx v ==

得由等式 :⎰

⎰===t

o

x x o vdt

dx x x t o 则上式两边积分得　时设:;,0)4~1(::, 即 故由上式可得为常量由于vt x x vt x x v o o +==-

（２）、匀变速直线运动——a 为常量

adt

dv dt

dv

a == 得由等式 :⎰

⎰===t v v o adt

dv v v t o 0:

;,0 则上式两边积分得时设)(::,b at v v a o 即故由上式可得为常量由于+=atdt dt v dx at

v dt dx

b dt dx

v o o +=+==从而

得 代入式将 :

),( （１～５） 即 得 可得积分　将式时设22021

:21::

,)(,,0at t v x x at t v x x atdt

dt v dx c x x t o o o o x x t o t o o o ++=+=-+===⎰⎰⎰

——匀变速直线运动时的点的

运动方程。

例1、图1~3为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄OA 长为r ，自水平位置开始以匀角速度ω转动，即ϕ=ωt 。滑槽K —K 与导杆B —B 制成一体。曲柄端点A 通过滑块在滑槽K —K 中滑动，因而曲柄带动导杆B —B 作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。

解: 分析运动:因滑槽K —Ｋ与导杆Ｂ—Ｂ制成一体，且作直线运动，故滑槽中点Ｍ的运动可代表导杆的运动。

例2. 曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构(图1～4）当曲柄OA绕0轴转动时，由于连杆AB带动，滑块B沿直线作往复运动。曲柄连杆机构在工程上有广泛的应用。在蒸汽机、内燃机中，用它将往复直线运动转换为回转运动；在往复式水泵、曲柄冲压机中，

=ωt，❖列运动方程

由图中的几何关系，可知Ｍ点的坐标为：

)

(

sin

sin

sin a

t

r

r

OA

OM

x

ω

ϕ

ϕ=

=

=

=

)(cos cos a L r CB OC OB x αϕ+=+==)()(sin 1sin 1cos :sin sin :2

22b L r L r 即 又因=-=-==λϕλαααϕ。

以后的项目均可略去故则因一般的连杆机构中 得展开为级数将)sin 81

,0016.0,04.0,2.0(sin 2

1

1sin 8

1sin 211sin 1,sin 144422244222

22ϕλλλλϕλϕλϕλϕλϕλ<<<-≈⋅⋅⋅---=--)()sin 211(cos :

2

2d t L t r x 从而运动方程简化为ωλω-+=

:)()2cos 1(21sin :2d t t 式并整理得代入 可得利用倍角三角函数公式ωω-=

是0.7m/s 2,速度达到7.84m/s 后,即以此速度匀速提升,最后再以减速度0.7m/s 2减速提升,直到最后停止。试求提升一所需的时间T 。 v o s 解： 运动分析：罐笼沿铅垂线运动，第一阶段为匀加速直线运动，第二阶段为匀速直线运动，第三阶段为减速直线运动，图1~7为该罐笼的速度图。

第二节 点的平面曲线运动

❖列运动方程：

1).t 1的计算 由匀加速直线运动公式: 代入上式即可求得时时将⎪⎩⎪⎨⎧======;

/7.0,/84.7,;

/7.0,0,0211121s m a s m v t t s m a v t o 2).t 3的计算 由匀减速直线运动公式: 代入上式即可求得时将⎩⎨⎧==-===.0,;/7.0,/84.7332312v t t s m a s m v v 3).t 2的计算

最后计算t 2。必须考虑起动和制动阶段所走过的路程。在t 1时间内提升罐笼的高度h 1，可由匀变速运动的路程公式求得：

m h 44)2.11(7.021:21=⨯⨯=代入数据得m h 44:3=同理可求出m h h h h 788442876:312=⨯-=--=于是可求出s t t t t S t 8.1222.114.1002.11:4.10084.7788:,3212

=++=++===时间为从而可得提升一次所须

故该阶段所须时间为运动阶段由于该阶段为匀速直线§1~2点的平面曲线运动 ——点的运动轨迹是一条平面曲线 举例： ◆人造地球卫星的运动轨迹——椭园（图１～８） ❖火车沿直线轨道行驶时，轮缘上点Ｍ的运动轨迹 ——摆线（图１～９）