高中数学抛物线与直线的交点问题

抛物线与直线的交点问题

1、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m （坐标系中的水平直线）的交点问题：

①把y=m 代入y=ax 2+bx+c 得ax 2+bx+c=m ，即ax 2+bx+（c-m ）=0

此时方程的判别式△=b 2-4a(c-m)。

△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有两个交点；

△=0时有一个交点；

△＜0时无交点。

②特殊情形：

抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点问题：

令y=0，则ax 2+bx+c=0

此时方程的判别式△=b 2-4ac

△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点；

△=0时有一个交点；

△＜0时无交点。

2、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 的交点问题：

令ax 2+bx+c=kx+b ，整理方程得：ax 2+(b-k)x+（c-b ）=0

此时方程的判别式△=(b-k)2-4a （c-b ）

△＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 有两个交点；

△=0时有一个交点；

△＜0时无交点。

总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。

3、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点位置问题：

若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0）

① 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点右侧

② 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点左侧

③ 若x 1x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分居于原点两侧

4、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的两个交点距离公式

若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点（x 1，0）、（x 2，0）的距离为

︱x 1-x 2︱=a

ac b 42 练习

1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是

____________．

2．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为( )

A ．k >－47

B ．k <－47且k ≠0

C ．k ≥－47

D ．k ≥－47且k ≠0

3．若抛物线y ＝x 2－８x ＋c 顶点在x 轴上，则c 的值等于( )．

A ．４

B ．８

C ．－４

D ．１６

4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒为负值的条件是( )．

A ．a ＞０, b 2－４ac ＜０

B ．a ＜０, b 2－４ac ＞０

C ．a ＞０, b 2－４ac ＞０

D ．a ＜０, b 2－４ac ＜０

5.直线y=3x －3与抛物线y=x 2－x+1的交点的个数是______

6．若抛物线y=（m－1）x2+2mx+m+2恒在x轴上方，则m_______．

7．抛物线顶点C(２,)，且与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程2x2－7x＋1＝０的两根，则S△ABC＝．

8．直线y=2x1与抛物线y=x2的公共点坐标是

______________．

9、不等式x2-9＞０的解集为_________________；x2＞2x+1的解集为_____________.

10．利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的根．

11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3,0）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后

所得图象与轴的另一个交点的坐标．

12．已知抛物线y＝x2＋ax＋a－2．

(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;

(2)求这两个交点间的距离;(用关于a的表达式来表达)

(3)a取何值时,两点间的距离最小?

13．已知抛物线y=－x2+（m－2）x+3（m+1）交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，交y?轴正半轴于C点，且x1│x2│，OA2+OB2=2OC+1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线？如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．