空间立体几何表面积与体积三视图与直观图测试题

空间立体几何表面积与体积、三视图与直观图测试

题

一．选择题（共10小题）

1．（2014?广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．

2．（2014?上海二模）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3

3．（2014?陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．

4．（2014?湖北二模）正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=1，BF=，将此正方形沿

DE、DF折起，使点A、C重合于点P，则三棱锥P﹣DEF的体积是（）

A．B．C．D．

5．（2014?四川模拟）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）

A．B．C．3πD．12π

6．（2014?抚州一模）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）

空间立体几何表面积与体积、三视图与直观图测试

题

7．（2015?巴中模拟）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）

A．B．C．D．

8．（2014?韶关模拟）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）

A．B．C．D．

9．（2014?蒙城县模拟）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）

A．B．C．D．1

10．（2014?焦作一模）某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）

二．填空题（共15小题）

11．（2014?南通模拟）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD 的体积为_________．

12．（2014?河西区三模）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_________．

13．（2014?河东区一模）三棱柱三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示，则这个三棱柱的全面积等于_________．

14．（2014?长春一模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为_________．

15．（2014?甘肃二模）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥的所有面都相切，则此四棱锥的体积为_________．

16．（2014?崇明县二模）已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比V圆柱：V球=_________（用数值作答）．

17．（2014?江西二模）一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是

_________cm3．

18．（2014?开封二模）已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为_________．

19．（2014?宁城县模拟）已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积_________．

20．（2014?郑州一模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于_________．

21．（2014?东营二模）已知A、B、C三点在球心为O的球面上，AB=AC=2，∠BAC=90°，球心O到平面ABC的距离为，则球O的表面积为_________．

22．（2014?商丘二模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段A1C1上的动点，则四棱锥P﹣ABCD 的外接球半径R的取值范围是_________．

23．（2014?临汾模拟）将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为_________．

24．（2014?邯郸二模）已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=90°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于_________．

25．（2014?南昌模拟）在棱长为1的正方体中ABCD=A1B1C1D1，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于_________．

三．解答题（共3小题）

26．（2014?商丘二模）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．

（1）求证：BC1∥平面CA1D；

（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；

（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．

27．（2014?商丘三模）如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，，现将△ABE

沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．

（1）求证：平面PBE⊥平面PEF；

（2）求四棱锥P﹣BEFC的体积．

28．（2014?东莞一模）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，

且∠DAB=90°，∠ABC=45°，CB=，AB=2，PA=1

（1）求证：AB∥平面PCD；

（2）求证：BC⊥平面PAC；

（3）若M是PC的中点，求三棱锥C﹣MAD的体积．

空间立体几何表面积与体积、三视图与直观图测试

题

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2014?广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：计算题．

分析：取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC的长，即可求三棱锥D﹣ABC的体积．解答：解：O是AC中点，连接DO，BO，如图，

△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，

DO=B0==，BD=a，

△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，

DO就是三棱锥D﹣ABC的高，

S△ABC=a2三棱锥D﹣ABC的体积：，

故选D．

点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．

2．（2014?上海二模）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：计算题；压轴题．

分析：设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．

解答：

解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，

设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，

此时h==2，故选C．

点评：本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．

3．（2014?陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．

考点：球的体积和表面积．

专题：计算题；空间位置关系与距离．

分析：由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．

解答：解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，

∴正四棱柱体对角线的长为=2

又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，

∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1

根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．

故选：D．

点评：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．

4．（2014?湖北二模）正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=1，BF=，将此正方形沿

DE、DF折起，使点A、C重合于点P，则三棱锥P﹣DEF的体积是（）

A．B．C．D．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：计算题；数形结合．

分析：

根据已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=1，，将此正方形沿DE、DF折起，使点A、C重合于点P，可知DP⊥PE，DP⊥PF，PE∩PF=P，故得到DP⊥面PEF，因此要求三棱锥P﹣DEF的体积，即求三棱锥D﹣PEF的体积，利用余弦定理求得cos∠PEF=0，进而求得sin∠PEF，利用三角形面积公式求得，代入体积公式即可求得结论．

解答：解：根据题意知DP⊥PE，DP⊥PF，PE∩PF=P，

∴DP⊥面PEF，

而DP=2，EF=，PE=1，PF=，

由余弦定理得cos∠PEF==0，

∴sin∠PEF=1，∴=，

∴V P﹣DEF=V D﹣PEF=，