第8讲：二次函数(专题讲座)

一花独放不是春，万紫千红春满园（二次函数专题讲座） 1 （聚焦2008）第8讲：二次函数专题讲座 （一）二次函数的解析式的三种形式 （1）标准式：y=ax2+bx+c（a≠0）；

（2）顶点式：y=a（x+m）2+n（a≠0）； （3）两根式：y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）

【例1】已知二次函数y=f（x）同时满足条件：（1）f（1+x）= f（1－x）；（2）y=f（x）的最大值是１５；（3）f（x）＝０的两根立方和等于１７。求y＝f（x）的解析式。 （二）二次函数的基本性质 （1）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠０）的图像是一条抛物线，对称

轴方程为x＝－ab2，顶点坐标是（－ab2，acbac442）。

当a＞0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－ab2]上递减，在[－ab2，＋∞)上递增。 当a＜0时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－ab2]上递增，在[－ab2，

＋∞)上递减。 （2）直线与曲线的交点问题： ①二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠０），当Δ＝b2－４ac＞0时，图像与x轴有两个交点Ｍ１（x１，０）Ｍ２（x２，０），于是 ｜Ｍ１Ｍ２｜＝｜x１－x２｜＝||a。

②若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=mx+n，则其交点由二方程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程ax2+bx+c =mx+n，即px2+qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二次方程的判别式Δ的符号决定。 特别地，抛物线与x轴的交点情况由ax2+bx+c=0的解的情况决定，

于是也归结为判定一元二次方程ax2+bx+c = 0的判别式Δ的符号问题。 一花独放不是春，万紫千红春满园（二次函数专题讲座） 2

当Δ= b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根，即对应的抛物线与x轴有两个交点，此时二次函数的图像被x轴截得的弦长 L=|x2－x1|=||4)()(21212212axxxxxx

。

当Δ= b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，即对应的抛物线与x轴只有一个交点，此时抛物线与x轴相切。 当Δ= b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0无实数根，即对应的抛物线与x轴有无交点，此时二次函数的图像恒在x轴上方或者下方。 【例２】已知函数f（x）=ax2+bx+c的图像经过点（１，１），（３，５）且f（０）＞０，求a，b，c使该函数的最小值最大。 （三）二次函数闭区间上的最值问题 （１）二次函数y=f（x）在闭区间上必有最值，且它只能在区间的端点与二次函数图像的顶点处取得最值。 （２）二次函数y=f（x）在闭区间上必有最值受制于对称轴与区间的相对位置关系，为此有下列四种情形： ①对称轴和区间均是静态的；②对称轴是动态的，但区间是静态的； ③对称轴是静态的，但区间均是动态的；④对称轴和区间均是动态的。 （３）二次函数y=f（x）=ax2+bx+c（a>0）在闭区间[m，n]上的最

值： ①若mabx2，则y=f（x）在区间[m，n]上是增函数，此时必有

f（m）≤f（x）≤f（n）； ②若nabxm2，则y=f（x）的最小值为[f(x)]min

=f(－ab2)，但

最大值应视对称轴与区间端点的距离而定； ③若22nmabxm，则y=f（x）的最大值为[f(x)]max

=f(n)；

④若nabxnm22，则y=f（x）的最大值为[f(x)]max

=f(m)； 一花独放不是春，万紫千红春满园（二次函数专题讲座） 3

（3）若nabx2，则y=f（x）在区间[m，n]上是减函数，此时必有f（n）≤f（x）≤f（m）。 （４）二次函数在闭区间上的最值求解步骤：①配方；②作图；③截断。 注：关键是关心对称轴是否一定在所给的区间内。 【例３】已知函数y＝－x2+ax－4a ＋21在区间［０，１］上的最大

值是２，求实数a的值。 【例４】（２００３年全国高考试题）已知a为实数，函数y＝x2+｜x

－a｜＋１，x∈Ｒ。 （１）讨论y＝f（x）的奇偶性； （２）求y＝f（x）的最小值。

（四）设x１，x２是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝０（a＞0）的两个一花独放不是春，万紫千红春满园（二次函数专题讲座） 4

实数根，则x１，x２的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示： 一元二次方程根的分布 图像 充要条件 x１＜x２＜k

k＜x１＜x２ x１＜k＜x２ f（k）＜0

x１，x２∈（k１，k２）

x１，x２有且仅有一个在（k１，k２）

【点拨】四个二次之间的关系的实质是二次函数、一元二次不等式、一元二次方程和一元二次二项式之间的联系：一元二次不等式、一元二次方程和一元二次二项式均可融汇在二次函数之中。 （1）一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0与对应的二次函

数的关系：当f（x）=0时，即为关于x的一元二次方程；

x2 O

x1

y x f（k） k

Δ＞0 f（k）＞0 －ab2＜k

x1 O

x

y

x2 k f（k）

x1 O

x

y x2 k

Δ＞0 f（k）＞0

－ab2＜k

x1 O

x

y

x2 k1 k2

Δ≥0 f（k1）＞0 f（k2）＞0

k1＜－ab2＜k2

k1 O x y k2 f（k1）·f（k2）＜0或 f（k1）=0

k1

＜－ab2＜221kk

221kk＜－ab2＜k2

f（k2）=0 一花独放不是春，万紫千红春满园（二次函数专题讲座） 5

（2）一元二次方程[f（x）=0]与对应的二次函数的关系主要是一元二次方程的根的分布问题，对这类问题的思考应注意以下几个方面： ①二次函数的开口方向；②方程的根所在区间的端点；③对称轴；④判别式；⑤二次函数的图像与x轴的交点。 【例5】已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}与B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，若A∩B≠φ，求实数m的取值范围。

【例6】若对任意实数x，sin2x+2kcosx－2k－2＜0恒成立，求实数k的取值范围。 （五）在数学应用题中，某些量的变化通常是遵循一定规律的，这些规律就是我们所说的函数，建立函数模型解决应用题时，以二次函数最为常见，同时还涉及到二次函数的最值问题。 【例7】某商场以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的同一价格出售，销售有淡季和旺季之分，标价越高，购买的人数越少，我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格，市场调查发现： （1）购买人数是羊毛衫标价的一次函数； （2）旺季的最高价格是淡季的最高价格的23倍；

（3）旺季时，商场以140元/件的价格出售能获得最大利润，试问羊毛衫的标价应定为多少？ 【例8】已知某企业的原有产品，每年投入x万元，可获得的年利润可

表示为函数：P（x）=－1001（x－30）2+8（万元）。现开发一个回报率高科

技含量高的新产品，根据预测，新产品每年投入x万元，可以获得的利润Q（x）=－10099（100－x）2+5257（100－x）（万元）。新产品开发从“十五”

计划的第一年开始，用两年的时间完成。这两年，每年从100万元的生产准备资金中，拿出80万元来投入新产品的开发，从第三年开始，这100万元完全用于新旧两种产品的投入。 （1）为了解决资金缺口，第一年初向银行贷款1000万元，利率为5.5%（不计复利），第五年底一次性就向银行偿还本息共多少万元； （2）从新产品投产的第三年开始，从100万元的生产准备资金中，新旧两种产品各应投入多少万元，才能使利润最大？ 一花独放不是春，万紫千红春满园（二次函数专题讲座） 6

（3）从新旧产品的五年最高总利润中拿出70%来，能否还清对银行的贷款？ （六）二次函数是一类非常重要的函数，它的单调性和最值等特性决定了它与不等式的内在联系，二次函数与不等式的巧妙结合是高考命题的一个新动向。 【例9】对二次函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R），不论α、β为任何

实数恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0。 （1）求证：b+c=-1； （2）求证：c≥3； （3）若f（sinα）的最大值为8，求b、c的值。 【分析】（1）依据题意f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0对于α、β为任何实数恒成立，则不妨令sinα=1、cosβ=－1，则b+c+1≥0，b+c+1≤0，即b+c=－1。 （2）由-1≤cosβ≤1可以取cosβ=1，于是f（3）=3b+c+9≤0„„„„（1），又b=－1－c，从而代入（1）得，6≤2c，即c≥3。 （3）f（sinα）=sin2α+bsinα+c=（sinα+2b）2+c-42b，于是由b+c=

－1且c≥3得，b≤－4，即2b≥2，且－1≤sinα≤1，从而当sinα=－1时，f（sinα）=8，所以1－b+c=8。 故b=-4，c=3。 注意：本题实质是利用三角函数的有界性。 【例10】已知二次函数y= f（x）=ax2+bx+c的图像经过点（－1，0），

是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f（x）≤212x对一切实数x都成立？ （1）求f（1）的值； （2）求y=f（x）的解析式； （3）nkkf1)(1＞22nn。