用构造法求数列的通项公式
构造法求数列通项
构造法求数列通项施 峰（南京市中华中学，２１０００６） 纵观近几年高考命题，不难发现，新素材背后有新理念，新试题背后有新考向．如何在课堂教学中落实数学核心素养，是当前数学教育中的热门话题．作为数学教师，在课堂教学中的一个首要任务就是教会学生怎样思考，遇到一个陌生的问题怎么去想，如何产生解题思路，本堂课我以问题为载体，为学生搭建动口、动脑平台．培养学生分析问题、解决问题的能力．著名教育心理学家奥苏伯尔在其名著《教育心理学———认知观点》中写道：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么．要探明这一点，并应据此进行教学．”学生已经掌握的知识和方法是教学活动的起点．笔者在构造法求数列通项的教学中，基于学生的认知情况，培养学生的数学核心素养，提高他们分析问题和解决问题的能力，收到了良好的效果．１ 案例呈现开始本节课之前先看一个数学故事：匈牙利著名数学家路沙·彼得曾提出这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上．”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上．”但是，提问者指出，这一回答并不能使他感到满意．因为，数学家的回答应是这样的：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我已把后一问题化归成原先的问题了．”简而言之，就是我们要学会把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把不会的问题转化为会的问题．课前，我让大家做了一下基础再现，这几个是我们相对熟悉的问题．找个同学说一下：【基础再现】１．已知ａ１＝１，ａｎ＋１＝ａｎ＋１，则｛ａｎ｝的通项公式ａｎ＝ ．２．已知ａ１＝１，ａｎ＋１＝２ａｎ，则｛ａｎ｝的通项公式ａｎ＝ ．３．已知ａ１＝１，ａｎ＋１＝２ａｎ＋１，则｛ａｎ｝的通项公式ａｎ＝ ．４．已知ａ１＝１，ａｎ＋１＝ａｎ＋ｎ，则｛ａｎ｝的通项公式ａｎ＝ ．５．已知ａ１＝１，ａｎ＋１＝ａｎ＋２ｎ，则｛ａｎ｝的通项公式ａｎ＝ ．学生答：１．等差数列，用公式得出ａｎ＝ｎ．２．等比数列ａｎ＝２ｎ－１．３．构造等比数列，把问题３转化为问题１．４．累加法得出ａｎ＝ｎ２－ｎ＋２２．５．依然累加法得出通项公式ａｎ＝２ｎ－１．这几个递推关系是我们相对熟悉的，我们现在改一下，把问题５的ａｎ前面添个２，于是有了例１的（１）．【经典例题】例１ （１）已知ａ１＝１，ａｎ＋１＝２ａｎ＋２ｎ，求｛ａｎ｝的通项公式．（２）已知ａ１＝１，ａｎ＋１＝２ａｎ＋１－ｎ，求｛ａｎ｝的通项公式．对于例１．（１）让学生思考后做实物投影，学生回答解题过程，通过两边同除以２ｎ＋１构造出新数列，此新数列是等差数列从而得出ａｎ＝ｎ２ｎ－１，并且总结出形如ａｎ＋１＝ｐａｎ＋ｐｎ的处理方法．对于例１．（２），学生自主探索，看到有的学生两边配凑出了正确的形式，那么追问，这是观察出来的，那么对于观察力没那么好的同学，有办法处理这个问题吗？于是引入了待定系数法得出答案是：ａｎ＝ｎ．并且总结出一般形式ａｎ＋１＝ｐａｎ＋ａｎ＋ｂ的处理方法．例１的递推关系已经比前５个问题更为复杂了，我们再来看一下更复杂的，大家看例２．例２ （八省联考）已知各项都为正数的数列｛ａｎ｝满足ａｎ＋２＝２ａｎ＋１＋３ａｎ．（１）证明：数列｛ａｎ＋ａｎ＋１｝为等比数列；（２）若ａ１＝１２，ａ２＝３２，求｛ａｎ｝的通项公式．实物投影学生的做法如下：（１）证明：ａｎ＋２＝２ａｎ＋１＋３ａｎ，所以ａｎ＋２＋ａｎ＋１＝３（ａｎ＋１＋ａｎ），因为｛ａｎ｝中各项均为正数，所以ａｎ＋１＋ａｎ＞０，故ａｎ＋２＋ａｎ＋１ａｎ＋１＋ａｎ＝３，所以数列｛ａｎ＋ａｎ＋１｝是公比为３的等比数列．（２）由（１）可得ａｎ＋ａｎ＋１＝（ａ１＋ａ２）３ｎ－１＝２×３ｎ－１，所以ａｎ＋１３ｎ＋１＝－１３·ａｎ３ｎ＋２９，所以ａｎ＋１３ｎ＋１－１６＝－１３ａｎ３ｎ－()１６，又ａ１＝１２，所以ａ１３－１６＝０，故ａｎ３ｎ－１６＝０，所以ａｎ＝１６·３ｎ．提问学生是怎么思考这个问题的，学生回答：根据题目提示，将三项递推关系转化为两项递推，从而将问题转化为例１（１）通过同除以３ｎ＋１又将它转化为问题３．进而获得问题的解答．趁热打铁，我们再来试试这个思考题．思考题：设数列｛ａｎ｝满足ａ１＝３，（２ｎ－１）ａｎ＝２ｎａｎ＋１－６ｎ－１，ｎ∈Ｎ ．（１）求ａ２，ａ３的值；（２）求数列｛ａｎ｝的通项公式．学生经过一番努力和尝试后，发现这题还是很难写出来，这个时候进行提示：今天我们所学的递推关系前后两项都是倍数关系，而且还是常数，然而这边不是常数．根据第一问，可以发现，这个数列的通项公式可以猜测出来，我记得，当时八省联考结束以后，也有不少同学猜测出了通项公式，但是苦于它是一个解答题，无法直接填写答案．那么，如果猜出了通项公式，我们又该如何利用题目给出的递推关系进行求解呢？通过本节课的学习，我们发现构造法求数列通项的本质是构造新数列，构造一个特殊的，我们比较熟悉的数列，然后用新数列的通项公式去求原数列的通项公式．我们来看看这个结果：ａｎ＝１６·３ｎ，把右边移过来，变形成ａｎ－１６·３ｎ然后令ｂｎ＝ａｎ－１６·３ｎ，那么ｂｎ＝０，它是个什么数列？学生答：常数列，而且每项都是０，我们前面构造新数列，都是在构造一个特殊的数列，那么最特殊的情况不过是零数列．我们把题目中的递推关系ａｎ＋ａｎ＋１＝２×３ｎ－１中的ａｎ换成ｂｎ，ａｎ＋１换成ｂｎ＋１代入，得到了新数列ｂｎ的递推关系ｂｎ＋１＝－ｂｎ，然而ｂ１＝０，所以ｂｎ＝０，进而ｂｎ＝ａｎ－１６·３ｎ＝０，得出ａｎ＝１６·３ｎ．思考题由学生完成，过程如下：ａ２＝５，ａ３＝７．猜出通项公式：ａｎ＝２ｎ＋１（ｎ∈Ｎ）．当ｎ≥２时，（２ｎ－１）ａｎ＝２ｎａｎ＋１－６ｎ－１，①令ｂｎ＝ａｎ－２（ｎ＋１）则ａｎ＝ｂｎ＋２（ｎ＋１）代入①化简得：（２ｎ－１）ｂｎ＝２ｎｂｎ＋１．又ｂ１＝０，所以ｂｎ＝０，进而ｂｎ＝ａｎ－２（ｎ＋１）．所以数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝２ｎ＋１（ｎ∈Ｎ ）．最后由学生总结本堂课的收获．２ 思考与启示本节课如果开头不设置五个基础再现题，那么学生在例题处理中，就会出现困惑和盲目．学生已有的知识、经验、能力是学习的基础，他们的认知现状、思维习惯是开展教学活动的起点．教师要科学的设计问题，搭建“梯子”，引发学生有价值，有意义的思考，并且引导学生使用化归的方法来解决问题．从方法论的角度说，这也就是所谓的“化归原则”．新问题同老问题总有某种相似之处，未知的东西同已知的东西总是相联系的，因此，我们处理问题的一条重要途径，就是通过一定的转化过程，把待处理的问题，归结为已解决的问题或较易解决的问题．在“知识核心时代”向“核心素养时代”过渡的时候，教学更不应该机械灌输，而应引导学生自主学习，自我探索，培养学生解决问题的能力．既要教知识，又要教学习知识的方法．质疑能力是重要的素养．数学学习过程中要有较强的主动性和积极性，绝不能人云亦云，缺少了自己的判断和独立的思考，比如：为什么要这样构造，为什么不能那样构造，为什么可以这样做，为什么不能那样做．学生在新的情境下，必须能够寻找到所学知识、已掌握方法与所求问题之间的联系，才能寻求到解题突破口．解答问题的过程对学生的逻辑推理素养，比对联想素养要求较高，它要求学生会分析和转化问题，从而正确选择解题方向．为此，教师在课堂上要精心选择问题，引导学生总结、反思，点明题目包含的知识、方法、思想，体会命题者的意图和题目考查的核心素养，从而训练学生提出问题，分析问题和解决问题的能力，积累解决问题的经验，在一点一滴的进步中产生研究数学问题的兴趣，从而进一步提升自己的数学核心素养．。
结构特征下的递推数列用构造法求通项
结构特征下的递推数列用构造法求通项-中学数学论文结构特征下的递推数列用构造法求通项广东河源市田家炳实验中学钟坚递推公式是数列的一种表示方法，利用递推公式求通项是学习和考查数列的一个重要内容，也是递推数列后续解题的核心和基础。
虽然高考的要求趋于逐年降低，但是数列通常出现在后几道题中，在难度上还会有所保留，由数列的递推公式求数列通项公式的题目在近几年的高考中仍有出现。
在平时教学中，教师应对这类题目给予高度的重视。
由递推公式求数列的通项，常用的方法繁多，学生掌握起来有一定的困难，本文主要是根据数列递推关系具有一定的结构特征，通过恒等变形成线性关系构造出我们所熟悉的等差或等比数列进行求解。
下面就二元递推数列总结出几种常见类型，结合历年高考题或举例进行解析，仅供参考。
一、an+1=Aan+B型，其中A、B是常数此类呈线性关系，平时见的比较多，解法也比较熟悉。
可设变成：an+1+b=A （an+b），其中解得，构造数列{an+b}成等比求解。
例1：（2008安徽卷文）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*,其中a，c为实数，且c≠0。
求数列{an}的通项公式。
解：因为an+1-1=c（an-1），所以当a≠1时，{an-1}是首项为a-1，公比为c 的等比数列。
an-1=（a-1）cn-1，即an=（a-1）cn-1+1；当a=1时，an=1仍满足上式。
所以数列{an}的通项公式为an=（a-1）cn-1+1（n∈N*）。
二、an+1=Aan+Bn+C型，其中A、B、C是常数可设变成：an+1+b（n+1）+c=A（an+bn+c），通过前后对比解出b、c，构造数列{an+bn+c}成等比求解。
三、an+1=Aan+Bλn型，其中是常数此类可两边同时除以往类型一形式转化。
进一步推广到：an+1=Aan+Bλn （Cn+D）型。
可两边同时除以λn往类型二形式转化或化成其他递推式进行求解。
用构造法求递推数列的通项公式
文理导航2012/3WEN LI DAO HANG【摘要】给出递推关系，求数列的通项公式是数列的一块重要内容。
用构造法求递推数列的通项公式是必须掌握的一项技能。
本文主要介绍用构造法求递推数列的通项公式的几种常见类型。
【关键词】构造法；转化；化归给出递推关系，求数列的通项公式是历年高考的热点。
在此类问题中，转化与化归的方法是最重要的数学思想之一，起着不可或缺的作用，贯穿在数列的整个学习过程中。
转化是解决递推数列问题的实质所在，所以，培养学生明确的“转化”意识，深刻理解这种思想方法的内涵，并能在解题过程中灵活运用，对于学生来说至关重要，甚至是考察学生数学思维的一项重要内容。
等差数列、等比数列是数列中最基础且最重要的两类特征数列，也是高中阶段数列内容中的重点研究对象但在平时的习题中，往往碰到的不是这两类数列，所以有时需要用构造法将其转化为等差数列或等比数列，这种方法就是求数列通项公式时经常使用的构造法，体现的正是转化与化归的数学思想，将非等差和非等比数列转化为我们熟悉的等差等比数列，进而使问题得到根本解决。
此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉。
构造的方法很多，可根据递推公式的特征而定，现将几种常见类型的问题总结如下：第一类：构造等差数列类型1.a n+1=pa n qa n +p类型针对这种递推关系中存在分式的问题，经常需两边取倒数，得到关系式1a n+1=1a n +q p ，构造出等差数列{1a n}，通过求{1a n}的通项公式，进而求出数列{a n }的通项公式。
例如：已知数列{a n }中，a 1=1,a n+1=a n n ，求数列{a n }的通项公式。
解析：∵a n+1=a n n ，∴1n+1=1n +1，又∵a 1≠0，∴a n ≠0所以数列{1a n }是首项为1，公差为1的等差数列。
∴1a n=1+n-1=n ，∴a n =1.∴数列{a n }的通项公式为a n =1.类型2.a n =pa n-1+p n+k 类型（其中k 为常数）这种类型可以采取等式两边同除以p n，得到关系式a n p n=a n-1p n-1+1pk，构造出等差数列{a n p n }，进而得到数列{a n }的通项公式。
巧用构造法解二阶线性递推数列通项公式
例谈构造法求递推数列的通项公式
式ｆ 得
，
解 忌 一． 得一 号 专
，一
（） ２ 在抛物线 的对称轴上 是否存 在点 Ｃ 使 Ｂ ＋０ ， ｃ Ｃ 的值最小 ？若存在 ， 出点 Ｃ的坐标 ； 求 若不存在 ， 请说 明
理 由； （ ） Ｐ是抛物线上 的一个 动点 ， ３点 且在 Ｘ轴 的上方 ， 当点 Ｐ运 动到什 么 位置 时 ， Ｐ △ ＡＢ 的面积 最 大？求 出
得： ａ Ａ—
、
口 一口・ａ～ ＋６型 】
形如 ａ一ｎ・ 十ｂ ａ ｂ为常数 且 ａ 口 （， ≠ｏ １ ６ ） ， ，≠０
的数列 ， 求解此类线性关 系的数列 的通项 公式一 般可用 待定系数法 ， 过 化 归 ， 通 转化 为新 的等 比数列 ａ ＋ｔ — ａ ａ ＋ ， （ ）最后通过新 的等 Ｐ ＡＢ 的最 大 面 积 ．
解 ： １ Ａ （ ， ） 设 ｙ— （） ５ ０ ，
ｙ ｉ Ｐ
所 直 Ａ的 析 为 ＝ 号当 ＝＿ 以 线 Ｂ 解 式 ＝ｚ ． ＝ ＝ 一 ＝ １ ＿ 薹
时 ， 一 所 以 ｃ 一 ５ ５
号． ）
（） ３ 过点 Ｐ作 ｙ轴的平行线 ， 交直 线 Ａ Ｂ于点 Ｄ． 设
Ｐ ，丢 ＋ ｍ则 Ｄ ， 一 ）Ｄ （ （一 吾 ） 点 （ ， 一一 ｍ ， ｍ１ ５Ｐ 百 ＿）（ｍ 一 百 十 ． １ 詈 ～ — ）一 ＋ ＋＿ ５ １ １ ５
因 为 ｓ Ｐ 一 ｓ ＋ Ｓ 肿 一 △舳 △ △ １ ｘＡ 十 Ｄ× １Ｐ
评析 ： 根据 ＆ 、 的线性 关 系， 口 用待 定 系数 法构 造
一
＝３ Ａｎ４ Ｂ—Ａ， ａ ＋２ － ２ － 与原式 系数对 比得 ： Ａ一１ Ｂ一１ ， ，
‘
构造法求数列通项7例
高二数学构造法求数列通项公式7题例1 数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3……)，求a n .例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n-1=0(n ≥2);a 1=21,求通项a n .例3 已知函数f(x)=42-x (x ≤-2).(1)求f -1(x),(2)若a 1=1,a n =-f -1(a n-1),求数列{a n }的通项公式.例4 已知函数f(x)=(x +2)2(x>0),设正项数列{a n }的首项a 1=2,前n 项和S n 满足S n =f(S n-1)(n ≥2且n ∈N *),求通项a n .例5 已知数列{a n }中,a 1=1,且a n+1=3a n -1(n ∈N *),求a n .例6 已知正项数列{a n }的前项和S n 满足S n =21(a n +n a 1)，求通项a n .例7 已知数列{a n }中，a 1=2,a n =2211+--n n a a (n ≥2)，求通项a n .构造法求数列通项公式7题答案例1 解析：∵a n+1=S n+1-S n ,a n+1=nn 2+S n∴(n+2)S n=n(S n+1-S n )，整理得nS n+1=2(n+1)S n ,即11++n S n =2·nS n，故数列{nS n}是以11S =a 1=1为首项，2为公比的等比数列，即nS n=2n-1,S n =n ·2n-1，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n ·2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2,当n=1时也适合，故a n =(n+1)·2n-2n ∈N *.例2 解析:当n ≥2时, a n =S n -S n-1=-2 S n S n-1,两边同除以S n S n-1得nS 1-11-n S =2,又11S =11a =2, ∴数列{nS 1}是以2为首项,2为公差的等差数列,则nS 1=2+2(n-1)=2n, S n =n 21,由a 1=21, n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 21-)1(21-n =- )1(21-n n ,二式不能合并.例3 解析:(1)f -1(x)=-42+x (x ≥0),(2)由a n=-f-1(a n-1),∴a n =421+-n a ,两边平方得an 2-a n-12=4,∴数列{a n 2}是以a 12=1为首项,公差为4的等差数列,∴a n 2=1+(n-1)4=4n-3,又a n >0,∴a n =34-n .例4解析:∵a n >0,∴S n >0,由S n =f(S n-1)=(1-n S +2)2两边开方得nS =1-n S +2,∴数列{n S }是以1S =1a =2为首项,公差d=2的等差数列,即nS =2+(n-1)2=2n,则S n =2n 2,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4n-2,当n=1时,a 1=2也适合上式,故a n =4n-2(n ∈N *). 例5 解析:设a n+1+x=3(a n +x),则a n+1=3a n +2x,又a n+1=3a n -1,则2x=-1,即x=-21,故而a n+1-21=3(a n-21),则数列{a n-21}是以首项a 1-21=21,公比为3的等比数列,∴a n-21=21·3n-1,即a n=21·3n-1+21.例 6 解析：由S 1=a 1=21(a 1+11a )得a 1=1，又a n =S n -S n-1(n ≥2)∴S n =21(a n +na 1)=21(S n -S n-1+11--n n S S )可得S n +S n-1=11--n n S S ，即S n 2-S n-12=1,∴数列{S n 2}是首项为S 12=a 12=1,公差为1的等差数列.∴S n 2=1+(n-1)·1=n ，又S n >0，∴S n =n ,当n ≥2时，a n=S n-Sn-1=n -1-n ,当n=1时，a 1=1也适合，故通项a n=n -1-n .例7 解析：由题意知a n ≠0，在a n =2211+--n n a a 两边同时取倒数得，n a 1=1122--+n n a a =11-n a +21,即n a 1-11-n a =21,∴数列{na 1}是首项为11a ，公差为21的等差数列，∴n a 1=21+(n-1)21=2n , 则a n=n2.。
利用构造法求数列通项公式的常见题型与解法分析
利用构造法求数列通项公式的常见题型与解法分析摘要: 数列是高考的热点内容，也是进入大学学习高等数学的基本工具。
纵观历年全国各地高考数学试题，几乎都会涉及数列的题型，而这类题型一般都会要求考生求出数列的通项公式。
在近几年的高考数学试题中，命题趋势逐渐趋向利用“构造法”求数列的通项公式。
如何针对这种题型获得快速解决问题的技巧，这需要考生在平日备考中掌握利用构造法求数列通项公式的常见题型与解法。
关键词：数列通项公式构造法常见题型解法分析一、题型：形如“a=pa+q”的递推关系求解策略：由于递推关系a=pa+q不是普通的等差、等比数列关系，我们可以构造新数列：a+x=p（a+x），根据系数关系有：（p-1）x=q，则可求出x，所以数列{a+x}是以首项为a+x，公比为p的等比数列，于是有a+x=（a+x）p，所以a=（a+x）p-x.例题：已知数列{a}满足a=1，a=a+1，求数列{a}通项公式.解析：结合题型的求解策略，构造新数列：a+x=（a+x），即a=a-x，利用待定系数法得：-x=1，即x=-3，所以数列{a-3}是以首项为a-3=2，公比为的等比数列，即有a-3=（a-3）（），所以a=3-2（）.二、题型变式一：形如“a=pa+q”的递推关系求解策略：设想构造新数列：a+xq=p（a+xq），根据系数关系有：（p-q）x=1，则可求出x，即数列{a+xq}以首项为a+xq，公比为p 的等比数列，即有a+xq=（a+x）p，所以a=（a+xq）p-xq.例题：已知数列{a}满足a=1，a=3a+2，求数列{a}通项公式.解析：结合变式一的求解策略，构造新数列：a+x2=3（a+x2），于是有a=3a+x2，利用待定系数法可得：x=1，即数列{a+2}是以首项为a+2=3，公比为3的等比数列，于是有a+2=（a+2）3，所以a=3-2.三、题型变式二：形如“a=pa+qa”的递推关系求解策略：设想构造新数列：a+xa=y（a+xa），根据系数关系则有：y-x=p，xy=q，则可求出和，即数列{a+xa}是以首项a+xa，公比为y的等比数列，于是有a+xa=（a+xa）y，这种题型需要根据x，y的具体值才可以求出数列的通项.例题：已知数列{a}满足a=2，a=3，a=a+a，求数列{a}通项公式. 解析：结合变式二的求解策略，设想构造新数列：a+xa=y（a+xa），即a=（y-x）a+xya，利用待定系数法可得：y-x=，xy=，即x=-1，y=-（或x=，y=1，结果一样）.于是a-a=-（a-a），即数列{a-a}是以首项a-a=1，公比为-的等比数列，即a-a=（-），由n的不同取值得出不同表达式，利用叠加法有a-a+a-a+…+a-a=（-）+（-）+…+（-），消去中间一些项可得：a-a=［1-（-）］，所以a=-（-）. 四、题型变式三：形如“a=k（a=ka）”的递推关系求解策略：由递推关系a=ka可知，等式的右边含有指数（分数），一般指数是分数的形式，可利用对数函数的性质，两边取以k为底的对数，即：loga=log（ka），得：loga=1+loga，这种情形可以构造新数列：loga+x=（loga+x），根据系数关系有：-x=1，得x=-2，即数列{loga-2}以首项为loga-2，公比为的等比数列，于是logka-2=（loga-2）（），所以a=k（）.例题：已知数列{a}满足a=1，a=2，求数列{a}通项公式.解析：递推关系a=2=2a，结合变式三的求解策略，等式两边同时取以2为底的对数，即loga=log（2a），即loga=loga+1，这种情形可以构造新数列：loga+x=（loga+x），即loga=loga-x，利用待定系数法得：-x=1，即x=-2，所以数列{loga-2}是以首项为loga-2=-1，公比为的等比数列，于是有loga-2=（loga-2）（），所以a=2.小结：解答这类题型的一般步骤为：。
专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)(解析版)
专题06构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如1k n n a ca +=,1n k n a ca -=或者1(),n n k b b b a c a -++=为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列{}n a 中,12a =,21n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式.【解析】取以12a =为底的对数(不能取c 为底,因为1c =,不能作为对数的底数),得到1222loglogn n a a +=,122log 2log n n aa+=,设2log n an b =,则有12n n b b +=,所以{}n b 是以112log 1ab ==为首项,2为公比的等比数列,所以12n n b -=,所以12log =2n an -,122n n a -=.【经典例题2】数列{}n a 中,11a =,212n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式.【解析】取以2为底的对数(这里知道为什么不能取11a =为底数的对数了吧),得到12222loglogn n a a +=,12222log log 2log n n a a +=+,122log 12log n n a a +=+设2log n an b =,则有1=12n n b b ++,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出1+1=2(1)n n b b ++,所以{}1n b +是以111b +=为首项,2为公比的等比数列,所以112n n b -+=,所以1=21n n b --,12log =21n a n --,1212n n a --=.【经典例题3】已知12a =,点()1,n n a a +在函数()22f x x x =+的图像上,其中*n N ∈,求数列{}n a 的通项公式.【解析】将()1,n n a a +代入函数得212n n n a a a +=+,()2211211n n n n a a a a ++=++=+,即()2111n n a a ++=+两边同时取以3为底的对数,得()()21111113333loglog log 2log n nn n a a a a ++++++=⇒=(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为113log a +,113a +=,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以(){}13log na +是以1为首项,2为公比的等比数列,即()113log 12na n +-=⨯,1213n n a -+=,1231n n a -=-.【经典例题4】在数列{}n a 中,11a =,当2n 时,有2142n n n a a a +=++,求数列{}n a 的通项公式.【解析】由2142n n n a a a +=++,得21244n n n a a a ++=++,即()2122n n a a ++=+,两边同取以3为底的对数,得()212233loglog n n a a +++=,即()12233log 2log nn a a +++=,所以数列(){}23log na +是以1为首项,2为公比的等比数列,()213log 2nan +-=,1223n n a -+=,即1232n n a -=-.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于11n n n a Aa Ba +-=+的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +--=--,利用{}1n n a a +-成等比数列,以及叠加法求出n a .还有一小部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +-=+++,利用{}1+n n a a +成等比数列求出n a .【经典例题1】已知数列{}n a 满足()*12211,3,32n n n a a a a a n ++===-∈N ,求数列{}n a 的通项公式.【解析】由()1111322n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-⇒-=-,故{}1n n a a +-是以212a a -=为首项,2为公比的等比数列,即()112122n n n n a a a a -+-=-=,接下来就是叠加法啦,1121...22n n n a a a a --⎫-=⎪⎬⎪-=⎭全部相加得:122nn a a -=-,所以21nn a =-.【经典例题2】已知数列{}n a 中,11a =,22a =,212133n n n a a a ++=+,求数列{}n a 的通项公式。
构造法求数列通项公式典型例题解析
构造法求数列通项公式典型例题解析高中数学中研究数列是一个重要的课题，而数列通项公式是其中非常基础的知识，学习数列通项公式的求取非常重要，掌握构造法在求取数列通项公式方面可以发挥很大的帮助。
本文以构造法求数列通项公式典型例题解析为标题，通过分析构造法求取数列通项公式的步骤，以及典型例题的解析，来加深大家对数列的理解，从而增强大家的数学能力。
# 二、构造法概述数列是重要的数学概念，在生活中经常使用。
在分析数列时，我们首先要掌握数列通项公式。
求取数列通项公式有定义法、构造法等常见的几种方法。
而今本文主要采用构造法来求取数列通项公式。
构造法，即将数列的某一项的值表达式，以及数列的前面几项的值，运用代数规律进行推理，最后得出数列的通项公式。
# 三、构造法求数列通项公式的步骤构造法求取数列的通项公式，是从数列的前几项推出数列的通项公式，一般分三步：1、确定数列的第一项；2、确定数列的规律；3、推出数列的通项公式。
在确定数列的第一项时，要先看数列的首项，当首项不确定时，可以将首项记作一个未知数，或者是一个常数；在确定数列的规律时，注意观察数列的特征，并运用其定义、性质、规律，从而推出数列的通项公式。
#、构造法求数列通项公式典型例题分析下面以三道典型例题来分析构造法求数列通项公式：### 1、例题一：求数列的通项公式数列`x1, x2, x3, x4`满足：`x1=1`，`x2=4`，`x3=9`，`x4=16`,求数列`xn`的通项公式。
解：此这个数列中，有N项，即N=4，数列的第一项x1=1，从第一项开始，仔细观察x2,x3,x4等项，可以发现它们的差是每次加3，从而判定数列的规律为：`xn=3n-2`。
通过构造法容易推出数列的通项公式为`xn=3n-2`。
### 2、例题二：求数列的通项公式数列“a1, a2, a3, a4”满足：`a1=3`，`a2=7`，`a3=18`，`a4=37`，求数列“an”的通项公式。
高考数学-构造法求数列通项7例
高考数学-构造法求数列通项公式7题例1 数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3……)，求a n .例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n-1=0(n ≥2);a 1=21,求通项a n .例3 已知函数f(x)=42-x (x ≤-2).(1)求f -1(x),(2)若a 1=1,a n =-f -1(a n-1),求数列{a n }的通项公式.例4 已知函数f(x)=(x +2)2(x>0),设正项数列{a n }的首项a 1=2,前n 项和S n 满足S n =f(S n-1)(n ≥2且n ∈N *),求通项a n .例5 已知数列{a n }中,a 1=1,且a n+1=3a n -1(n ∈N *),求a n .例6 已知正项数列{a n }的前项和S n 满足S n =21(a n +n a 1)，求通项a n .例7 已知数列{a n }中，a 1=2,a n =2211+--n n a a (n ≥2)，求通项a n .构造法求数列通项公式7题答案例1 解析：∵a n+1=S n+1-S n ,a n+1=nn 2+S n∴(n+2)S n=n(S n+1-S n )，整理得nS n+1=2(n+1)S n ,即11++n S n =2·nS n，故数列{nS n}是以11S =a 1=1为首项，2为公比的等比数列，即nS n=2n-1,S n =n ·2n-1，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n ·2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2,当n=1时也适合，故a n =(n+1)·2n-2n ∈N *.例2 解析:当n ≥2时, a n =S n -S n-1=-2 S n S n-1,两边同除以S n S n-1得nS 1-11-n S =2,又11S =11a =2, ∴数列{nS 1}是以2为首项,2为公差的等差数列,则nS 1=2+2(n-1)=2n, S n =n 21,由a 1=21, n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 21-)1(21-n =- )1(21-n n ,二式不能合并.例3 解析:(1)f -1(x)=-42+x (x ≥0),(2)由a n=-f-1(a n-1),∴a n =421+-n a ,两边平方得an 2-a n-12=4,∴数列{a n 2}是以a 12=1为首项,公差为4的等差数列,∴a n 2=1+(n-1)4=4n-3,又a n >0,∴a n =34-n .例4解析:∵a n >0,∴S n >0,由S n =f(S n-1)=(1-n S +2)2两边开方得nS =1-n S +2,∴数列{n S }是以1S =1a =2为首项,公差d=2的等差数列,即nS =2+(n-1)2=2n,则S n =2n 2,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4n-2,当n=1时,a 1=2也适合上式,故a n =4n-2(n ∈N *). 例5 解析:设a n+1+x=3(a n +x),则a n+1=3a n +2x,又a n+1=3a n -1,则2x=-1,即x=-21,故而a n+1-21=3(a n-21),则数列{a n-21}是以首项a 1-21=21,公比为3的等比数列,∴a n-21=21·3n-1,即a n=21·3n-1+21.例 6 解析：由S 1=a 1=21(a 1+11a )得a 1=1，又a n =S n -S n-1(n ≥2)∴S n =21(a n +na 1)=21(S n -S n-1+11--n n S S )可得S n +S n-1=11--n n S S ，即S n 2-S n-12=1,∴数列{S n 2}是首项为S 12=a 12=1,公差为1的等差数列.∴S n 2=1+(n-1)·1=n ，又S n >0，∴S n =n ,当n ≥2时，a n=S n-Sn-1=n -1-n ,当n=1时，a 1=1也适合，故通项a n=n -1-n .例7 解析：由题意知a n ≠0，在a n =2211+--n n a a 两边同时取倒数得，n a 1=1122--+n n a a =11-n a +21,即n a 1-11-n a =21,∴数列{na 1}是首项为11a ，公差为21的等差数列，∴n a 1=21+(n-1)21=2n , 则a n=n2.。