【名校推荐】广东深圳中学高中数学必修一导学案21.函数的值域

21．函数的值域 曾劲松 学习目标 1．会用函数图象或函数性质研究简单函数的值域．

2．会研究0axbabyaccxdcd，与0byaxax性质． 3．会利用换元法研究复合函数的值域． 4．会求分段函数的值域． 5．会利用方程思想研究函数的值域． 一、夯实基础 基础梳理 基础达标 1．解决下列问题：

（1）函数2xy，1x，的值域是（ ）．

A．2， B．02， C．02， D．2， （2）求函数11yxx的值域为__________． 2．解决下列问题： （1）函数251xyx的值域为（ ）．

A．52yyR B．0yyR C．25yyyR， D．25yyR

（2）函数11xyx的值域为（ ）． A．11， B．11， C．11， D．11U，， 3．解决下列问题： （1）函数2log31xy的值域为（ ）．

A．0， B．0， C．1， D．1， （3）函数2532yxx的值域是__________． 4．画出下列函数的图象并写出其值域： （1）11yxx；

（2）2010.xxyxx，，， 5．（1）设函数2log42xxfx，12x，，求fx的值域． （2）若函数21144log2log5yxx在定义域24，上有最大值a，最小值b，求ab． 二、学习指引 自主探究

1．观察函数1yx的图象，写出不同定义域下1yx的值域：

定义域 值域 

1，

1，

2．求函数的值域，关键是弄清函数的单调性，利用函数的图象来观察单调性是常用方法．为了求141xyxx的值域，我们先研究111xyxx的图象．

（1）请写出111xyxx的定义域、值域、对称中心、单调性； （2）用的描点法画出111xyxx的图象，该图能否由某个函数的图象平移得到？ （3）求141xyxx的值域． 3．由上问知道，0axbabyaccxdcd，与反比例函数kyx的图象有关系，试将axbycxd



化成kymxn的形式，并说明它与kyx图象之间的关系．

4．（1）给出函数10yxxx． ①函数y的取值可以是1，2，3吗？如不能，请说明理由；如果能，请求出相应的x． ②利用①的启示，你能否得到10yxxx所以函数数值的集合即值域？

（2）给出函数10yxxx，你能利用（1）的办法得到它的值域吗？ （3）研究函数00byaxabx，与00byaxabx，的性质． 00byaxabx， 00byaxabx，

定义域 值域 最大值 最小值

定义域 值域 

1，

1， 奇偶性 单调性 简图

5．函数与方程是两个不同的数学概念，但对于用解析式示示的函数yfx，可以视为关于变量xy，的一个二元方程，也可以把它看成是以y为待定系数关于变量x的一元方程，这种转换看问题的角度对于研究某些函数的值域很重要．请从方程的角度研究下列函数的值域．

（1）xxxxeeyee；（2）22211xxyx． 6．利用不等式的性质求值域一种方法，下列解题过程是否有误，说明理由． 题目：求函数2321yx值域

解答：210xQ，2210x，23213x， 函数2321yx的值域为3，． 案例分析 1．求函数221yxmx，11x，的值域．

【解析】二次函数221yyxmx是开口向上的抛物线，对称轴为直线xm． （1）若1m，则函数221yxx，，11x，单调递增（如图一），122122fmfm，，

所以所求函数值域为2222mm，． yOxyOx1111

图二图一

（2）若10m，由函数221yxmx，11x，图象（如图二）可以知道函数值域为1fmf，，又1fmm，所以所求函数值域为2122mm，．

（3）若01m，由函数221yxmx，11x，图象（如图三）可以知道函数值域为1fmf，，又21fmm，所以所求函数值域为2122mm，． xyyx11OO1

1

图三图四 （4）若1m，则函数221yxmx，11x，单调递减（如图四），122fm，122fm，所以所求函数值域为2222mm，．

2．求函数241yxx的值域． 【解析】设1tx，则0t，且21xt， 代入已知函数得2214ytt， 又222422140ytttt，根据图象观察可知4y，． 说明：本题使用的方法就是换元法，是等价转化思想的一个具体应用． 3．求下列函数的值域：

（1）541xyx；

（2）2211xyx； （3）231xyx，211xU，，； （4）2226xyxx． 【解析】（1）方法一：5195495111xxyxxx． 901x

Q，

5y，即函数值域为55U，，． 方法二：由541xyx得45yxy．故5y， 即函数值域为55U，，． （2）方法一：2211yx，20xQ，211x， 因而2202111yx，即函数值域为11，． 方法二：由2211xyx得2101yxy，解得：11y． 故函数值域为11，． （3）函数可化为121x，其图象是由反比例函数1yx先向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图，当211xU，，时，容易看出12yU，，．

x+12x+3y=

213

4321543211

234

（4）将原函数化为231620yxyxy（*），把此方程看作关于x的方程，下面研究方程有实数解时，待定量y的取值范围． 当0y时，2x，方程有解，所以y可以取0；

0y时，令2314620yyy，解得1163y．

所以1153y且0y． 综上所述，所求函数的值域为1153，． 说明：本题就是利用方程思想研究函数值域的，也可以称这种方法为“判别法”． 三、能力提升 能力闯关

1．若函数2230yxxxa，，的值域是23，，那么实数a满足（ ） A．1a B．1a C．12a D．2a 2．求下列函数的值域：

（1）2yxx；（2）224yxx．

3．设211xxfxxx，，，，gx是二次函数，若fgx的值域是0，，则gx的值域是（ ）．

xy

A．11U，， B．10U，， C．0， D．1， 拓展迁移 1．已知1p，函数2221loglog1log1xfxxpxx

（1）求函数fx的定义域： （2）求函数fx的值域． 2．已知函数24101xxfxaaaa，． （1）求函数fx的定义域、值域； （2）是否存在实数a，使得函数fx在区间2，上恒有0fx． 挑战极限 1．已知函数11fxx．

（1）是否存在实数abab，，使得函数yfx的定义域和值域都是ab，，若存在，求出ab，的值；若不存在，说明理由； （2）若存在实数abab，，使得函数yfx的定义域为ab，，值域为



0mambm，．求实数m的取值范围．

课程小结 1．求函数的值域，关键是弄清函数的单调性，利用函数的图象来观察单调性是常用方法． 2．熟悉二次函数的图象与性质，会求二次函数在给定区间上的值域，并能将相关问题转化为二次函数来解决． 3．利用换元法求函数值域时，应该注意新产生“元”的取值范围．

4．对于复合函数yfgx，xD，我们一般使用换元法研究值域：

（1）令ugx，则yfu； （2）求函数ugx，xD的值域A；