2017-2018学年山东省莱芜市高三数学上期中考试(理)试题(含答案)
2017-2018学年山东省烟台市高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2017-2018学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|23﹣2x＞1}，则A∩B=（）A．（0，）B．（，2）C．（2，+∞）D．∅2．（5分）下列函数中，满足“f（x•y）=f（x）+f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x2B．f（x）=log2x C．f（x）=2x D．f（x）=log0.5x3．（5分）已知=（1，m），=（3，﹣2），且（）⊥，则||=（）A．52 B．2C．2D．24．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），图象关于y轴对称，当﹣3≤x≤0时，f（x）=﹣（x+2）2，则f（2017）=（）A．1 B．2 C．0 D．﹣15．（5分）已知tan（）=﹣3，tan（）=2，则tan（α﹣β）=（）A．1 B．﹣ C．D．﹣16．（5分）设a=log38，b=21.1，c=0.81.1，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．（5分）函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到f（x）的图象，则（）A．f（x）=cos2x B．f（x）的图象关于（﹣，0）对称C．f（）=D．f（x）的图象关于直线x=对称9．（5分）已知各项均不为0的等差数列{a n}满足a2﹣2a82+3a10=0，数列{b n}是等比数列，且b8=a8，则b2b9b13=（）A．1 B．2 C．4 D．810．（5分）已知函数f（x）=3x，f（a）f（b）=9，若a＞0，b＞0，则ab的最大值为（）A．B．2 C．1 D．411．（5分）如图，已知△OAB，若点C满足，则=（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1） D．（0，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在锐角△ABC中，已知AB=4，AC=5，三角形的面积为5，则BC=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=5y﹣x，则z的取值范围为．15．（5分）不等式log（y2﹣2y+65）≤3x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为．16．（5分）设函数D（x）=，则下列结论正确的是（1）D（x）的值域为{0，1}；（2）D（x）是偶函数；（3）D（x）是周期函数；（4）D（x）不是单调函数．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）已知=（sinx，cos（﹣x）），=（2cosx，﹣2sinx），若f（x）=•．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．18．（12分）设f（x）=6lnx﹣m（x﹣5）2，其中m∈R，曲线y=f（x）在（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定m的值；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．19．（12分）烟台苹果是山东名优特产之一，素以风味香甜，酥脆多汁享誉海内外，历来为市场所欢迎．假设某水果批发市场每天的销售量y（单位吨）与销售价格x（元/千克）近似地满足关系式y=+4（x﹣6）2（2＜x＜6），已知烟台苹果销售价格为4元/千克时，每天可售出21吨．（1）求m的值；（2）如果售出去的苹果经核算成本为每千克2元，则销售价格定为多少时该市场每天获得的利润最大？20．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，且a n2+2a n=4S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=3，求数列{a n•b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）=﹣（a+1）x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当f（x）有最小值时，且最小值小于﹣ln（﹣a）时，求a的取值范围．22．（10分）已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤1的解集；（2）若存在实数x使得f（x）≥x2+m成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|23﹣2x＞1}，则A∩B=（）A．（0，）B．（，2）C．（2，+∞）D．∅【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|23﹣2x＞1}={x|x＜}，∴A∩B=（{x|0＜x＜}=（0，）．故选：A．2．（5分）下列函数中，满足“f（x•y）=f（x）+f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x2B．f（x）=log2x C．f（x）=2x D．f（x）=log0.5x【解答】解：若f（x）=x2，则f（x•y）=（xy）2，f（x）+f（y）=x2+y2，方程不成立．若f（x）=log2x，满足“f（x•y）=f（x）+f（y）”，且函数为单调递增函数，故选：B．3．（5分）已知=（1，m），=（3，﹣2），且（）⊥，则||=（）A．52 B．2C．2D．2【解答】解：根据题意，已知=（1，m），=（3，﹣2），则+=（4，m﹣2），若（）⊥，则有12+（﹣2）×（m﹣2）=0，解可得m=8，即=（1，8），则+=（4，6），则||==2，故选：B．4．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），图象关于y轴对称，当﹣3≤x≤0时，f（x）=﹣（x+2）2，则f（2017）=（）A．1 B．2 C．0 D．﹣1【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），图象关于y轴对称，当﹣3≤x≤0时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（2017）=f（336×6+1）=f（1）=f（﹣1）=﹣（﹣1+2）2=﹣1．故选：D．5．（5分）已知tan（）=﹣3，tan（）=2，则tan（α﹣β）=（）A．1 B．﹣ C．D．﹣1【解答】解：∵tan（）=﹣3，tan（）=2，∴tan（α﹣β）=tan[（α﹣β）+π]=tan[（α+）﹣（β﹣）]===1，故选：A．6．（5分）设a=log38，b=21.1，c=0.81.1，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【解答】解：a=log38∈（1，2），b=21.1＞2，c=0.81.1∈（0，1）．∴c＜a＜b．故选：B．7．（5分）函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=，可知函数是奇函数，排除选项B，当x=时，f（）==，排除A，x=π时，f（π）=0，排除D．故选：C．8．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到f（x）的图象，则（）A．f（x）=cos2x B．f（x）的图象关于（﹣，0）对称C．f（）=D．f（x）的图象关于直线x=对称【解答】解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，得到f（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）的图象．则：①令，解得：f（）=﹣故错误．②令（k∈Z），解得：（k∈Z），③令（k∈Z），解得：（k∈Z），当k=0时，x=，故函数的对称中心为：（）．故选：B．9．（5分）已知各项均不为0的等差数列{a n}满足a2﹣2a82+3a10=0，数列{b n}是等比数列，且b8=a8，则b2b9b13=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：各项均不为0的等差数列{a n}满足a2﹣2a82+3a10=0，∴+3（a1+9d）=0，化为：a1+7d=2=a8数列{b n}是等比数列，且b8=a8=2．则b2b9b13==8．故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=3x，f（a）f（b）=9，若a＞0，b＞0，则ab的最大值为（）A．B．2 C．1 D．4【解答】解：∵函数f（x）=3x，∴f（a）f（b）=3a•3b=3a+b=9，∴a+b=2，∴ab≤=1，当且仅当a=b=1时，ab取最大值1，故选：C．11．（5分）如图，已知△OAB，若点C满足，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵=+=+=+（﹣）=+，∴λ=，μ=，∴+=3+=，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1） D．（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．简解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，可得2a=有两个不同的解，设g（x）=，则g′（x）=，当x＞1时，g（x）递减，0＜x＜1时，g（x）递增，可得g（1）取得极大值1，作出y=g（x）的图象，可得0＜2a＜1，即0＜a＜，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在锐角△ABC中，已知AB=4，AC=5，三角形的面积为5，则BC=．【解答】解：∵AB=4，AC=5，三角形的面积为5，∴S=5=AB•AC•sinA，∴sinA=，又∵A为三角形的内角，∴A=或（舍去），可求cosA=，∴由余弦定理得：BC===．故答案为：．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=5y﹣x，则z的取值范围为[﹣8，16] ．【解答】解：满足变量x，y满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．z=5y﹣x，则z的取值范围为：[﹣8，16]．故答案为：[﹣8，16]．15．（5分）不等式log（y2﹣2y+65）≤3x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为0．【解答】解：log（y2﹣2y+65）=≤=﹣6．∵不等式log（y2﹣2y+65）≤3x+对任意实数x，y都成立，∴﹣6≤3x+对任意实数x都成立，a≥0时恒成立．a＜0时，设3x=t＞0，则f（t）=+6，f′（t）=1﹣＞0，可得函数f（t）在t＞0时单调递增，t→0时，f（t）→﹣∞，+6≥0不成立，舍去．综上可得：a≥0．∴常数a的最小值为0．故答案为：0．16．（5分）设函数D（x）=，则下列结论正确的是（1），（2），（3），（4）（1）D（x）的值域为{0，1}；（2）D（x）是偶函数；（3）D（x）是周期函数；（4）D（x）不是单调函数．【解答】解：∵函数D（x）=，故（1）D（x）的值域为{0，1}正确；∵D（﹣x）==D（x），∴D（x）是偶函数，故（2）D（x）是偶函数正确；∵D（x+1）==D（x），∴T=1为其一个周期，故（3）D（x）是周期函数正确；∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，故（4）D（x）不是单调函数正确；故答案为：（1），（2），（3），（4）三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）已知=（sinx，cos（﹣x）），=（2cosx，﹣2sinx），若f（x）=•．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx﹣2sinxcos（﹣x）=2sin（2x+）﹣，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，∴f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，π]，∴当2x+=时，f（x）取得最大值2﹣．18．（12分）设f（x）=6lnx﹣m（x﹣5）2，其中m∈R，曲线y=f（x）在（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定m的值；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．【解答】解：（1）因f（x）=6lnx﹣m（x﹣5）2，故f′（x）=﹣2m（x﹣5），（x＞0），令x=1，得f（1）=﹣16m，f′（1）=6+8m，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+16m=（6+8m）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6），∴6+16m=﹣8m﹣6，∴m=﹣；（2）由（1）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．19．（12分）烟台苹果是山东名优特产之一，素以风味香甜，酥脆多汁享誉海内外，历来为市场所欢迎．假设某水果批发市场每天的销售量y（单位吨）与销售价格x（元/千克）近似地满足关系式y=+4（x﹣6）2（2＜x＜6），已知烟台苹果销售价格为4元/千克时，每天可售出21吨．（1）求m的值；（2）如果售出去的苹果经核算成本为每千克2元，则销售价格定为多少时该市场每天获得的利润最大？【解答】解：（1）∵x=4时，y=21，∴+4（4﹣6）2=21，解得，m=10；（2）由（2）知，每天的销售量y=+4（x﹣6）2，∴该市场每天获得的利润f（x）=（x﹣2）[+4（x﹣6）2]=4x3﹣56x2+240x﹣278（2＜x＜6）；则f′（x）=12x2﹣112x+240=4（x﹣6）（3x﹣10），令f′（x）=0，解得x=故f（x）在（2，）上单调递增，在（，6）上单调递减；∴x=是函数f（x）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点；∴当x=时，函数f（x）取得最大值，故销售价格x=（元/千克），利润最大．20．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，且a n2+2a n=4S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=3，求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}中，已知a n＞0，且a n2+2a n=4S n．①则：当n≥2时，，②①﹣②得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，已知a n＞0，则：a n﹣a n﹣1=2（n≥2），当n=1时，a1=2，则数列的通项公式为：a n=2+2（n﹣1）=2n；（2）由（1）得：，，③④，③﹣④得：，整理得：．21．（12分）已知函数f（x）=﹣（a+1）x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当f（x）有最小值时，且最小值小于﹣ln（﹣a）时，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f'（x）=x﹣a﹣1+=（x＞0），①当a＞1时，由f′（x）＞0可得x＞a或0＜x＜1；由f′（x）＜0可得0＜x＜2a∴f（x）在（2a，+∞）上单调递增，在（0，2a）上单调递减②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0可得x＞1或0＜x＜a；③当a=1时，在区间（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立．∴当a＞1时，f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减；当0＜a＜1时，f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减；当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．当a≤0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．（2）由（1）知a≤0时，f（x）在x=1取得最小值，最小值是f（1）=﹣a﹣，∴f（1）＜﹣ln（﹣a）等价于ln（﹣a）﹣a﹣1＜0，令g（a）=ln（﹣a）﹣a﹣1，则g（a）在（﹣∞，0）递减且g（﹣1）=0，当﹣1＜a＜0时，g（a）＜0，a=﹣1时，g（a）=0，a＜﹣1时，g（a）＞0，故a的范围是（﹣1，0）．22．（10分）已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤1的解集；（2）若存在实数x使得f（x）≥x2+m成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当x＜﹣2时，不等式f（x）≤1可化为：﹣3≤1恒成立，当﹣2≤x≤1时，不等式f（x）≤1可化为：2x+1≤1，解得：x≤0，∴﹣2≤x≤0，当x＞1时，不等式f（x）≤1可化为：3≤1恒不成立，综上可得：不等式f（x）≤1的解集为（﹣∞，0]；（2）若存在实数x使得f（x）≥x2+m成立，即存在实数x使得f（x）﹣x2≥m成立，即m不大于f（x）﹣x2的最大值；∵f（x）﹣x2=|x+2|﹣|x﹣1|﹣x2≤|x|+2+|x|﹣1﹣x2=﹣（|x|﹣1）2+2≤2．当且仅当x=1时，f（x）﹣x2的最大值为2，故m的取值范围为（﹣∞，2]；。
人教版2017-2018学年八年级下期中考试数学试题(含答案解析)
2017-2018学年甘肃省武威市八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共45分）1．下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3B．三边长之比为3：4：5C．三边长分别为1，，D．三边长分别为5，12，143．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．四边相等B．对角线相等C．对角相等D．对角线互相垂直4．如果＝1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥5．已知矩形ABCD，AB＝2BC，在CD上取点E，使AE＝EB，那么∠EBC等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°6．平行四边形的一条边长是12cm，那么它的两条对角线的长可能是（）A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．8cm和12cm7．如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（）A．AB＝36m B．MN∥AB C．MN＝CB D．CM＝AC8．下列计算中，正确的是（）A．5＝B．÷＝（a＞0，b＞0）C．×3＝D．×＝69．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm10．如图，设M是▱ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则（）A．S＝S1+S2B．S＞S1+S2C．S＜S1+S2D．不能确定11．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠212．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（）A．3B．5C．15D．2513．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长为（）A．4.8cm B．5cm C．9.6cm D．10cm14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF15．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD 于点E，则线段DE的长为（）A．3B．C．5D．二、填空题（每小题3分，共15分）16．命题“菱形的四条边都相等”的逆命题是．17．如图，数轴上点A表示的实数是．18．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝．19．已知a，b是正整数，若+是不大于2的整数，则满足条件的有序数对（a，b）为．20．如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG ＝．三、解答题（本大题共8小题，共60分）21．（6分）计算：（1）﹣5+（2）÷﹣×22．（5分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，试回答问题：∠BCD是直角吗？说明理由．23．（6分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．24．（8分）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各代数式的值：（1）x2y﹣xy2；（2）x2﹣xy+y2．25．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AN＝CM．（1）求证：BN＝DM；（2）若BC＝3，CD＝2，∠B＝50°，求∠BCD、∠D的度数及四边形ABCD的周长．26．（8分）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，某一时刻，AC＝18km，且OA＝OC．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为40km/h和30km/h，经过0.2h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，求此时B处距离D处多远？27．（9分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．28．（10分）△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．2017-2018学年甘肃省武威市八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共45分）1．下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意；D、被开方数含分母，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3B．三边长之比为3：4：5C．三边长分别为1，，D．三边长分别为5，12，14【分析】根据三角形内角和公式和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．【解答】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；C、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D、52+122≠142，不符合勾股定理的逆定理，所以不是直角三角形；故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．四边相等B．对角线相等C．对角相等D．对角线互相垂直【分析】根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论．【解答】解：正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质、菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解决问题的关键．4．如果＝1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．【解答】解：∵，∴1﹣2a≥0，解得a≤．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．5．已知矩形ABCD，AB＝2BC，在CD上取点E，使AE＝EB，那么∠EBC等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据矩形性质得出∠D＝∠ABC＝90°，AD＝BC，DC∥AB，推出AE＝2AD，得出∠DEA＝30°＝∠EAB，求出∠EBA的度数，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝BC，DC∥AB．∵AB＝AE，AB＝2CB，∴AE＝2AD．∴∠DEA＝30°．∵DC∥AB，∴∠DEA＝∠EAB＝30°．∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠EAB）＝75°．∵∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°﹣75°＝15°．故选：A．【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数．6．平行四边形的一条边长是12cm，那么它的两条对角线的长可能是（）A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．8cm和12cm【分析】根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．【解答】解：A、4+8＝12，不能构成三角形，不满足条件，故A选项错误；B、5+8＞12，能构成三角形，满足条件，故B选项正确．C、4+7＜12，不能构成三角形，不满足条件，故C选项错误；D、4+6＜12，不能构成三角形，不满足条件，故D选项错误．故选：B．【点评】主要考查了平行四边形中两条对角线的一半和一边构成三角形的性质．并结合三角形的性质解题．7．如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（）A．AB＝36m B．MN∥AB C．MN＝CB D．CM＝AC【分析】根据三角形的中位线定理即可判断；【解答】解：∵CM＝MA，CNB，∴MN∥AB，MN＝AB，∵MN＝18m，∴AB＝36m，故A、B、D正确，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力．8．下列计算中，正确的是（）A．5＝B．÷＝（a＞0，b＞0）C．×3＝D．×＝6【分析】根据二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0），二次根式的除法法则：＝（a ≥0，b＞0）进行计算即可．【解答】解：A、5＝，故原题计算错误；B、＝＝（a＞0，b＞0），故原题计算正确；C、×3＝3＝，故原题计算错误；D、×＝×16＝24，故原题计算错误；故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法，关键是掌握计算法则．9．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC＝24cm，CB＝32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC＝24cm，CB＝32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB＝＝40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选：C．【点评】此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果．10．如图，设M是▱ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则（）A．S＝S1+S2B．S＞S1+S2C．S＜S1+S2D．不能确定【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝DC，而△CMB的面积为S＝CD•高，△ADM的面积为S1＝MA•高，△CBM的面积为S2＝BM•高，这样得到S1+S2＝MA•高+BM•高＝（MA+BM）•高＝AB•高＝S，由此则可以推出S，S1，S2的大小关系．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∵△CMB的面积为S＝DC•高，△ADM的面积为S1＝MA•高，△CBM的面积为S2＝BM•高，而它们的高都是等于平行四边形的高，∴S1+S2＝AD•高+BM•高＝（MA+BM）•高＝AB•高＝CD•高＝S，则S，S1，S2的大小关系是S＝S1+S2．故选：A．【点评】本题考查平行四边形的性质对边相等以及三角形的面积计算公式，分别表示出图形面积是解题关键．11．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行选择即可．【解答】解：A、当BE＝FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当AE＝CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BF＝ED，∴BE＝DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1＝∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．12．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（）A．3B．5C．15D．25【分析】先将中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值．【解答】解：∵＝3，若是整数，则也是整数；∴n的最小正整数值是15；故选：C．【点评】解答此题的关键是能够正确的对进行开方化简．13．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长为（）A．4.8cm B．5cm C．9.6cm D．10cm【分析】思想两个勾股定理求出菱形的边长，再利用菱形的面积的两种求法构建方程即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝3，∴AB＝5cm，＝AC•BD＝AB•DH，∴S菱形ABCD∴DH＝＝4.8．故选：A．【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住菱形的性质，学会利用菱形的面积的两种求法，构建方程解决问题，属于中考常考题型．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°∴菱形BECF是正方形．故选项A正确，但不符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．15．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD 于点E，则线段DE的长为（）A．3B．C．5D．【分析】首先根据题意得到BE＝DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．【解答】解：设ED＝x，则AE＝6﹣x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBC；由题意得：∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED＝x；由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2，即x2＝9+（6﹣x）2，解得：x＝3.75，∴ED＝3.75．故选：B．【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．二、填空题（每小题3分，共15分）16．命题“菱形的四条边都相等”的逆命题是四条边都相等的四边形是菱形．【分析】根据互逆命题的概念解答．【解答】解：命题“菱形的四条边都相等”的逆命题是四条边都相等的四边形是菱形，故答案为：四条边都相等的四边形是菱形．【点评】本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．17．如图，数轴上点A表示的实数是﹣1．【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．【解答】解：由图形可得：﹣1到A的距离为＝，则数轴上点A表示的实数是：﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出﹣1到A的距离是解题关键．18．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝5．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得答案．【解答】解：由直角三角形的性质，得CE＝AB＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用直角三角形的性质是解题关键．19．已知a，b是正整数，若+是不大于2的整数，则满足条件的有序数对（a，b）为（7，10）或（28，40）．【分析】根据二次根式的性质和已知得出即可．【解答】解：∵+是整数，∴a＝7，b＝10或a＝28，b＝40，因为当a＝7，b＝10时，原式＝2是整数；当a＝28，b＝40时，原式＝1是整数；即满足条件的有序数对（a，b）为（7，10）或（28，40），故答案为：（7，10）或（28，40）．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．20．如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG＝ 4 ．【分析】连接EO ，可得S △ABO ＝S △AEO +S △BEO ，再把AO ＝BO ＝4代入可求EF +EG 的值． 【解答】解：连接EO∵ABCD 为正方形∴AC ⊥BD ，AO ＝BO ＝CO ＝DO 且AC ＝BD ＝8 ∴AO ＝CO ＝BO ＝4 ∵S △ABO ＝S △AEO +S △BEO∴+∴EF +EG ＝4 故答案为4．【点评】本题考查了正方形的性质，本题关键是运用面积法解决问题． 三、解答题（本大题共8小题，共60分） 21．（6分）计算：（1）﹣5+（2）÷﹣× 【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式的乘除法则运算．【解答】解：（1）原式＝2﹣+＝；（2）原式＝﹣＝4﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．22．（5分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，试回答问题：∠BCD是直角吗？说明理由．【分析】连接BD，根据勾股定理可求出BC、CD、BD的值，再由BC2+CD2＝BD2利用勾股定理的逆定理，即可证出∠BCD＝90°．【解答】解：∠BCD是直角，理由如下：连接BD，如图所示．BC＝＝2，CD＝＝，BD＝＝5．∵BC2+CD2＝25＝BD2，∴∠BCD＝90°．【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键．23．（6分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．【分析】通过△AEF≌△ABF，可以求证FE＝FB，然后证得△CEF为等腰直角三角形即可．【解答】解：在Rt△AEF和Rt△ABF中，，∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），∴FE＝FB．∵正方形ABCD，∴∠ACB＝∠BCD＝45°，在Rt△CEF中，∵∠ACB＝45°，∴∠CFE＝45°，∴∠ACB＝∠CFE，∴EC＝EF，∴FB＝EC＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的证明，考查了等腰直角三角形的判定，本题求证Rt△AEF≌Rt△ABF是解本题的关键．24．（8分）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各代数式的值：（1）x2y﹣xy2；（2）x2﹣xy+y2．【分析】（1）根据x、y的值可以求得xy和x﹣y的值，从而可以解答本题；（2）根据x、y的值可以求得xy和x﹣y的值，从而可以解答本题．【解答】解：（1）∵x＝+1，y＝﹣1，∴xy＝2﹣1＝1，x﹣y＝2，∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝1×2＝2；（2））∵x＝+1，y＝﹣1，∴xy＝2﹣1＝1，x﹣y＝2，∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy＝22+1＝4+1＝5．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．25．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AN＝CM．（1）求证：BN＝DM；（2）若BC＝3，CD＝2，∠B＝50°，求∠BCD、∠D的度数及四边形ABCD的周长．【分析】（1）首先判断四边形ABCD和四边形ANMD为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”推知AB＝CD，AN＝CM，由等式的性质证得结论；（2）根据平行四边形的对边平行，平行线的性质以及平行四边形的对角相等进行解答．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．又∵AN＝CM，∴四边形ANMD为平行四边形，∴AN＝CM，∴AB﹣AN＝CD﹣CM，即BN＝DM；（2）∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠B＝50°，∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．由（1）知，四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝50°，AB＝CD，AD＝BC．∵BC＝3，CD＝2，∴四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝2×（3+2）＝10．【点评】考查了平行四边形的性质，解题的关键是平行四边形的判定，与平行四边形的性质的综合应用．26．（8分）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，某一时刻，AC＝18km，且OA＝OC．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为40km/h和30km/h，经过0.2h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，求此时B处距离D处多远？【分析】在Rt△OBD中，求出OB，OD，再利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：在Rt△AOC中，∵OA＝OC，AC＝18km，∴OA＝OC＝18（km），∵AB＝0.2×40＝8（km），CD＝0.2×30＝6（km），∴OB＝10（km），OD＝24（km），在Rt△OBD中，BD＝＝26（km）．答：此时B处距离D处26km远．【点评】本题考查勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．27．（9分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE＝BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE＝FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC，又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE＝FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2＝8．【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．28．（10分）△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【分析】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1＝∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1＝∠3，等量代换有∠2＝∠3，于OE＝OC，同理OC＝OF，于是OE＝OF；（2）OA＝OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．【解答】（1）证明•：如图所示：∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2，又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO，同理，FO＝CO，∴EO＝FO；（2）解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4＝∠5，又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠5＝∠2+∠4，又∵∠1+∠5+∠2+∠4＝180°，∴∠2+∠4＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】本题考查了矩形判定，平行四边形判定，平行线性质，角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．。
最新题库2017-2018学年山东省潍坊市高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2017-2018学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣3x＜0}，那么A∪B=（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜0}D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）已知x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．cosx﹣cosy＞0 C．（）x﹣（）y＞0 D．lnx﹣lny＞0 3．（5分）函数f（x）=e x﹣的零点所在区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，e）4．（5分）下列函数为奇函数且在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=ln（﹣x）B．y=2x﹣C．y=x+D．y=﹣5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β的始边为x轴正半轴，顶点为坐标原点，终边关于x轴对称，已知sinα＝，则cosβ＝（）A．B．﹣ C．± D．±6．（5分）已知x，y∈R，且，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．47．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β8．（5分）某几何体的三视图如图所示，已知主视图和左视图是全等的直角三角形，俯视图为圆心角为90°的扇形，则该几何体的体积是（）A．B．π C．D．2π9．（5分）已知函数f（x）=sin（x+），以下结论错误的是（）A．函数y=f（x）的图象关于直线x=对称B．函数y=f（x）的图象关于点（π，0）对称C．函数y=f（x+π）在区间[﹣π，]上单调递增D．在直线y=1与曲线y=f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为10．（5分）函数y=x+a与y=（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图象可能为（）A．B． C．D．11．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R，均有f（x+2）=f（x），已知当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于x=1对称B．f（x）有最大值1C．f（x）在[﹣1，3]上有5个零点D．当x∈[2，3]时，f（x）=2x﹣1﹣1 12．（5分）锐角三角形ABC中，∠A=30°，BC=1，则△ABC面积的取值范围为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知sin（α+）=，则sin2α＝．14．（5分）f（x）=，则f（2017）=．15．（5分）已知单位向量=（x，y），向量=（1，），且＜，＞=60°，则y=．16．（5分）如图所示，直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1上任意一点，F为底面A1C1（除C1外）上一点，已知F在底面AC上的射影为H，若再增加一个条件，就能得到CH⊥AD，现给出以下条件：①EF⊥B1C1；②F在B1D1上；③EF⊥平面AB1C1D；④直线FH和FE在平面AB1C1D的射影为同一条直线．其中一定能成为增加条件的是（把你认为正确的都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（10分）已知集合A={x|＞0}，集合B={x|x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣2＜0}；p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求m取值范围．18．（12分）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b=c=，D为BC边上靠近C点的三等分点，记向量=（1，sinA），=（﹣1，cosA），且∥．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）设=，=，若存在正实数k，t，使向量+（t2+3）与向量﹣k+3t 垂直，求的最小值．19．（12分）已知函数f（x）=cos（2ωｘ﹣）+2sin2（ωｘ+）（ω＞0）在[π，π]上具有单调性，且f（）=+1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最大值和最小值．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥平面AA1B1B，AB=AA1=2，∠A1AB=60°．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC；（Ⅱ）若四棱锥A﹣BB1C1C的体积为，求该三棱柱的侧面积．21．（12分）现有一块大型的广告宣传版面，其形状是如图所示的直角梯形ABCD．某厂家因产品宣传的需要，拟出资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形DEFG（点F在曲线段AC上，点E在线段AD上）．已知BC=12cm，AB=AD=6cm，其中曲线段AC是以A为顶点，AD为对称轴的抛物线的一部分．（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段AC与线段DC的方程；（Ⅱ）求该厂家广告区域DEFG的最大面积．22．（12分）函数f（x）=2ae x﹣x3e x在（0，f（0））处的切线与直线y=2x平行．（Ⅰ）求实数a；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=+x3+x（lnx+1）﹣2，当x＞1时，g（x）＞k（x﹣1）恒成立，求整数k的最大值．2017-2018学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣3x＜0}，那么A∪B=（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜0}D．{x|1＜x＜3}【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜3}．故选：A．2．（5分）已知x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．cosx﹣cosy＞0 C．（）x﹣（）y＞0 D．lnx﹣lny＞0【解答】解：当x=2，y=1时，则A不成立，当x=π，y=0时，则B不成立，当根据指数函数的单调性可知C不成立，根据对数函数的单调性可知D成立，故选：D．3．（5分）函数f（x）=e x﹣的零点所在区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，e）【解答】解：f（x）=e x﹣在x＞0时是连续函数，f（1）=e﹣4＜0，f（2）=e2﹣2＞0，由函数零点的存在性定理，函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间为（1，2）．故选：C．4．（5分）下列函数为奇函数且在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=ln（﹣x）B．y=2x﹣C．y=x+D．y=﹣【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=ln（﹣x），其定义域为R，f（﹣x）=ln（+x）=ln（）=﹣ln（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，当x＞0，令t=﹣x，则y=lnt，t=﹣x=为减函数，y=lnt为增函数，则函数y=ln（﹣x）在（0，+∞）上为减函数，符合题意；对于B、y=2x﹣，在（0，+∞）上为增函数，不符合题意，对于C、y=x+，在（0，+∞）上先减后增，不符合题意，对于D、y=﹣，f（﹣x）=﹣=f（x），为偶函数，不符合题意，故选：A．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β的始边为x轴正半轴，顶点为坐标原点，终边关于x轴对称，已知sinα＝，则cosβ＝（）A．B．﹣ C．± D．±【解答】解：由sinα＝，可得α的终边在第一或第二象限，β的终边在第三或第四象限，且cosβ=cosα．若α的终边在第一象限，则β的终边在第四象限，∵cosα＝=，∴cosβ=cosα＝．若α的终边在第二象限，则β的终边在第三象限，﹣．∵cosα＝﹣=﹣，∴cosβ=cosα＝综上可得，cosβ=cosα＝±，故选：D．6．（5分）已知x，y∈R，且，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【解答】解：作出x，y∈R，且所表示的平面区域，由，解得A（﹣3，4）作出直线2x+y=0，对该直线进行平移，可以发现经过点A（﹣3，4）时Z取得最小值﹣2；故选：B．7．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β【解答】解：对于A，若m∥α，m∥n，则n∥α或n?α，故错；对于B，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，正确；对于C，如下图，m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β，故错；对于D，若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α、β相交，故错；故选：B．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，已知主视图和左视图是全等的直角三角形，俯视图为圆心角为90°的扇形，则该几何体的体积是（）A．B．π C．D．2π【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为底面半径是，高为的圆锥的，则该几何体的体积V=．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=sin（x+），以下结论错误的是（）A．函数y=f（x）的图象关于直线x=对称B．函数y=f（x）的图象关于点（π，0）对称C．函数y=f（x+π）在区间[﹣π，]上单调递增D．在直线y=1与曲线y=f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为【解答】解：对于函数f（x）=sin（x+），令x=，求得f（x）=，为函数的最大值，可得它的图象关于直线x=对称，故A正确；令x=，求得f（x）=0，可得它的图象关于点（，0）对称，故B正确；函数y=f（x+π）=sin（x+π+）=﹣sin（x+），在区间[﹣π，]上，x+∈[﹣，]，故f（x+π）单调递减，故C错误；令f（x）=1，求得sin（x+）=，∴x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k ∈Z，故在直线y=1与曲线y=f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为，故D正确，故选：C．10．（5分）函数y=x+a与y=（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图象可能为（）A．B． C．D．【解答】解：y=是奇函数，x＞0时，y=a x，当a＞1时，是增函数，函数y=x+a的截距大于1，没有选项，所以a∈（0，1）此时y=a x，是减函数，函数y=x+a的截距小于1大于0，只有D满足题意．故选：D．11．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R，均有f（x+2）=f（x），已知当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于x=1对称B．f（x）有最大值1C．f（x）在[﹣1，3]上有5个零点D．当x∈[2，3]时，f（x）=2x﹣1﹣1【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R，均有f（x+2）=f（x），故函数的周期为2，则f（x）的图象关于（1，0）点对称，故A错误；f（x）∈（﹣1，1），无最大值，故B错误；整数均为函数的零点，故f（x）在[﹣1，3]上有5个零点，故C正确；当x∈[2，3）时，x﹣2∈[0，1），则f（x）=f（x﹣2）=2x﹣2﹣1，当x=3时，f（x）=0，故D错误；故选：D．12．（5分）锐角三角形ABC中，∠A=30°，BC=1，则△ABC面积的取值范围为（）A．B．C． D．【解答】解：∵∠A=30°，BC=1，可得：，∴AB=2sinC，AC=2sinB=2sin（150°﹣C）=2（cosC+sinC）=cosC+sinC，∴S△ABC=AB?AC?sinA=×2sinC×（cosC+sinC）×═sin（2C﹣）+，∵C∈（30°，90°），可得：2C﹣60°∈（0°，120°），∴sin（2C﹣60°）∈（0，1]，可得：sin（2C﹣）+，则△ABC面积的取值范围为：（]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知sin（α+）=，则sin2α＝．【解答】解：∵sin（α+）=，∴（sinα+cosα）=，解得：sinα+cosα＝，∴两边平方，可得：1+sin2α＝，∴sin2α＝．故答案为：．14．（5分）f（x）=，则f（2017）=．【解答】解：∵f（x）=，x≥0时，函数是周期函数，周期为2，∴f（2017）=f（2015）=f（2013）=…=f（1）=f（﹣1）=cos（）=，故答案为：．15．（5分）已知单位向量=（x，y），向量=（1，），且＜，＞=60°，则y=或0．【解答】解：根据题意，单位向量=（x，y），向量=（1，），则||==1，||=2，且?=x+y，又由＜，＞=60°，则?=||||cos＜，＞=x+y=1，则有，解可得y=或0，故答案为：或0，16．（5分）如图所示，直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1上任意一点，F为底面A1C1（除C1外）上一点，已知F在底面AC上的射影为H，若再增加一个条件，就能得到CH⊥AD，现给出以下条件：①EF⊥B1C1；②F在B1D1上；③EF⊥平面AB1C1D；④直线FH和FE在平面AB1C1D的射影为同一条直线．其中一定能成为增加条件的是①③④（把你认为正确的都填上）【解答】解：因为根据三垂线定理，要使CH⊥AD，只要EF⊥AD，又AD∥B1C1，所以条件①EF⊥B1C1可以；②F不一定在B1D1上；③EF⊥平面AB1C1D；容易得到EF⊥AD，可以得到CH⊥AD，所以③可以；④直线FH和FE在平面AB1C1D的射影为同一条直线．说明平面EFH与平面AB1C1D 垂直，得到CH⊥AD；所以一定能成为增加条件的是①③④；故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（10分）已知集合A={x|＞0}，集合B={x|x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣2＜0}；p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求m取值范围．【解答】解：集合A={x|＞0}={x|（x﹣3）（x+1）＜0}=（﹣1，3），集合B={x|x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣2＜0}={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣2）＜0}=（m ﹣1，m+2）∵p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件∴m﹣1≥﹣1且m+2≤3，∴0≤m≤1即实数m的取值范围为[0，1]．18．（12分）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b=c=，D为BC边上靠近C点的三等分点，记向量=（1，sinA），=（﹣1，cosA），且∥．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）设=，=，若存在正实数k，t，使向量+（t2+3）与向量﹣k+3t 垂直，求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（1，sinA），=（﹣1，cosA），且∥，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣，∵0＜A＜π，∴A=，∵b=c，∴C=B=由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=3+3﹣2×××（﹣）=9，∴a=3，∵D为BC边上靠近C点的三等分点，∴CD=BC=1，由余弦定理可得AD2=b2+cd2﹣2b?CD?cos=3+1﹣2××1×=1，∴AD=1，（Ⅱ）设=，=，由（Ⅰ）可得?=×1×cos=0若存在正实数k，t，使向量+（t2+3）与向量﹣k+3t垂直，∴[+（t2+3）]?（﹣k+3t）=﹣k+3t（t2+3）+（3t﹣kt2﹣3k）?=）=﹣3k+3t（t2+3）=0，∴k=t3+3t，∴==t++1≥2+1=2+1，当且仅当t=，k=6时取等号故的最小值为2+1．19．（12分）已知函数f（x）=cos（2ωｘ﹣）+2sin2（ωｘ+）（ω＞0）在[π，π]上具有单调性，且f（）=+1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=cos（2ωｘ﹣）+2sin2（ωｘ+）=cos2ωxcos+sin2ωxsin+1﹣cos（2ωｘ+）+1+sin2ωｘ=cos2ωｘ+sin2ωｘ+cos2ωｘ+1=sin2ωｘ=．（Ⅰ）∵f（x）在[π，π]上具有单调性，∴，得ω≤3．又f（）=+1，∴2ω×，k∈Z．∴ω=6k+1，k∈Z．取k=0，得ω=1，∴f（x）=sin（2x+），则函数的最小正周期T=；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）=sin[2（x﹣）+]﹣1=sin（2x﹣）﹣1，由x∈[﹣，]，得2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）﹣1∈[﹣2，﹣]．故函数g（x）在[﹣，]上的最大值和最小值分别为﹣，﹣2．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥平面AA1B1B，AB=AA1=2，∠A1AB=60°．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC；（Ⅱ）若四棱锥A﹣BB1C1C的体积为，求该三棱柱的侧面积．【解答】证明：（1）在侧面A1ABB1中，∵A1A=AB，∴四边形A1ABB1是菱形，∴AB1⊥A1B∵CB⊥平面A1ABB1．AB1?平面A1ABB1，∴AB1⊥CB，∵A1B∩CB=B，∴AB1⊥平面A1CB．又∵AB1?平面AB1C；∴平面AB1C⊥平面A1BC；（2）由（1）及∠A1AB=60°得△A1BB1是等边三角形，取BB1的中点M，则A1M⊥BB1，又∵BC⊥平面AA1B1B，∴A1M⊥面CBB1C1，且A1M=∵四棱锥A﹣BB1C1C的体积为，∴V==∴BC=1，∴S=BB1×，S=1×2=2，在△CA1C1中，A1C1=A1C=，CC1=2，∴△A1CC1边CC1上的高为2，∴S=2×2=4．∴该三棱柱的侧面积为S=2+2+4=6+2．21．（12分）现有一块大型的广告宣传版面，其形状是如图所示的直角梯形ABCD．某厂家因产品宣传的需要，拟出资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形DEFG（点F在曲线段AC上，点E在线段AD上）．已知BC=12cm，AB=AD=6cm，其中曲线段AC是以A为顶点，AD为对称轴的抛物线的一部分．（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段AC与线段DC的方程；（Ⅱ）求该厂家广告区域DEFG的最大面积．【解答】解：（Ⅰ）以AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（6，0），C（6，﹣12），D（0，﹣6）．设曲线AC的方程x2=﹣2py，（p＞0，0≤x≤6）．∵点C（6，﹣12）在曲线AC上，∴62=﹣2p×（﹣12），∴2p=3∴曲线AC的方程为x2=﹣3y．，（0≤x≤6）．k DC=，直线DC方程为：y=﹣x﹣6∴线段DC的方程为：y=﹣x﹣6，．（0≤x≤6）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设F（a，﹣a2），G（a，﹣a﹣6），E（0，﹣a2）．∴DE=﹣a2+6，EF=a，FG=﹣a2+a+6则公园的面积为f（a）=（﹣+a+12）×a×=﹣，（0≤a≤6）λf′（a）=﹣a2+a+6，a∈（0，3）时，f′（a）＞0，a∈（3，6）时，f′（a）＜0∴f（a）在（0，3）上是增函数，在[3，6）上是减函数．．∴该厂家广告区域DEFG的最大面积为．22．（12分）函数f（x）=2ae x﹣x3e x在（0，f（0））处的切线与直线y=2x平行．（Ⅰ）求实数a；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=+x3+x（lnx+1）﹣2，当x＞1时，g（x）＞k（x﹣1）恒成立，求整数k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2ae x﹣x3e x，∴f′（x）=2ae x﹣3x2e x﹣x3e x，∴k=f′（0）=2a，∵f（x）=2ae x﹣x3e x在（0，f（0））处的切线与直线y=2x平行，∴2a=2，解得a=1，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2e x﹣x3e x，∴f′（x）=e x（2﹣3x2﹣x3），令f′（x）=0，即2﹣3x2﹣x3=0，即（x+1）（x2+2x﹣2）=0，解得x=﹣1或x=﹣1﹣或x=﹣1+，当f′（x）＞0时，解得x＜﹣1或﹣1＜x＜﹣1+，函数f（x）单调递增，当f′（x）＜0时，解得﹣1＜x＜﹣1，或x＞﹣1+，函数f（x）单调递减，∴f（x）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+）为增函数，在（﹣1，﹣1），（﹣1+，+∞）上为减函数（Ⅲ）g（x）=+x3+x（lnx+1）﹣2=2﹣x3+x3+x（lnx+1）﹣2=x（lnx+1），∵x＞1时，g（x）＞k（x﹣1）恒成立，∴x（lnx+1）＞k（x﹣1），在（1，+∞）恒成立，∴k＜，在（1，+∞）恒成立，设h（x）=，x∈（1，+∞），∴h′（x）=，∵x＞1，∴3x﹣2＞0，2x﹣1＞0，lnx＞0，∴h′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）∵=（lnx+2）=2，∴k≤2，∴整数k的最大值为2。
山东省烟台市2017-2018学年高三上学期期中考试数学文试卷 Word版含解析
2017-2018学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）已知全集U=R ，集合A={x |lgx ≤0}，B={x |2x≤1}，则U C ()A B =（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．[1，+∞）2．（5分）设x ∈R ，向量=（x ，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（ ） A ．B ．C ．2D ．103．（5分）已知f （x ）=，则f （log 27）=（ ）A ．B ．C ．D ．4．（5分）已知a 是函数f （x ）=2x ﹣x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f （x 0）的值满足（ ）A ．f （x 0）=0B ．f （x 0）＞0C ．f （x 0）＜0D ．f （x 0）的符号不确定5．（5分）若，则sin2θ=（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）函数y=log a （|x |+1）（a ＞1）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（5分）给定函数①，②，③y=|x ﹣1|，④y=2x +1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 8．（5分）已知x ＞0，y ＞0，且，若x +2y ＞m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围（ ）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣4＜m＜2 D．﹣2＜m＜49．（5分）若a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．a2b＜ab2C．＜D．＜10．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．12．（5分）函数的图象如图所示，则y的表达式为．13．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于3，则a的值为．14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=且a＞b，则∠B=．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f （x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x）．则f（1）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（）=．三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.16．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（1）若θ是第一象限角，且f（θ）=，求g（θ）的值；（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，4cos2﹣cosC=．（1）若ab=4，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．18．（12分）已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．19．（12分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？20．（13分）已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．21．（14分）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2016-2017学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．（5分）（2014•荆州二模）已知全集U=R ，集合A={x |lgx ≤0}，B={x |2x≤1}，则U C()A B =（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（1，+∞） C ．（﹣∞，1] D ．[1，+∞） 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由lgX ≤0解得x ≤1，知 可得A={x |x ≤1}．再由2x≤1解得x ≤0，可得B={x |x ≤0}．然后求得A ∪B ═{x |x ≤1}，最后可求得C U （A ∪B ）={x |x ＞1}=（1，+∞）． 可得答案为B ．【解答】解：∵lgX ≤0=lg1，∴x ≤1， ∴A={x |x ≤1}． ∵2x≤1=20，∴x ≤0， ∴B={x |x ≤0}．∴A ∪B ═{x |x ≤1}， ∵U=R ，∴C U （A ∪B ）={x |x ＞1}=（1，+∞）． 故选B【点评】本题为指数不等式，对数不等式与集合的交，并，补的综合应用题．属于中档题．2．（5分）（2012•重庆）设x ∈R ，向量=（x ，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（ ） A ． B ． C ．2 D ．10【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 【专题】计算题．【分析】通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．【解答】解：因为x ∈R ，向量=（x ，1），=（1，﹣2），且⊥， 所以x ﹣2=0，所以=（2，1）， 所以=（3，﹣1），所以|+|=，故选B．【点评】本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算能力．3．（5分）（2016秋•烟台期中）已知f（x）=，则f（log27）=（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由已知得f（log27）=f（log27﹣2）=f（log27﹣4）=﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（log27）=f（log27﹣2）=f（log27﹣4）=﹣1=﹣1=﹣．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．（5分）（2014•广东模拟）已知a是函数f（x）=2x﹣x的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）=0 B．f（x0）＞0C．f（x0）＜0 D．f（x0）的符号不确定【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系．【专题】压轴题．【分析】a是函数的零点，函数是增函数，本题根据函数的单调性和零点的性质进行求解．【解答】解：∵在（0，+∞）上是增函数，a是函数的零点，即f（a）=0，∴当0＜x0＜a时，f（x0）＜0，故选C．【点评】函数是增函数，单调函数最多只有一个零点，a是函数的唯一零点．5．（5分）（2011•浙江模拟）若，则sin2θ=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【专题】计算题．【分析】根据﹣θ++θ=，利用两角和的余弦函数公式以特殊角的三角函数值得到sin（﹣θ）sin（+θ）和cos（﹣θ）cos（+θ）相等都等于，然后利用正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数求出sin（θ﹣）sin（+θ）和cos（θ﹣）cos（+θ）的值，然后根据2θ=[（θ﹣）+（θ+）]，利用两角和的余弦函数公式化简后将相应的值代入即可求出cos2θ的值，然后根据角的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sin2θ的值．【解答】解：由于cos（﹣θ）•cos（+θ）﹣sin（﹣θ）sin（+θ）=cos（﹣θ+θ）=cos=0则sin（﹣θ）sin（+θ）=cos（﹣θ）•cos（+θ）=所以sin（θ﹣）sin（+θ）=﹣，=cos（θ﹣）cos（）=则cos2θ=cos[（θ﹣）+（θ+）]=cos（θ﹣）cos（θ）﹣sin（θ﹣）sin（θ+）=所以sin2θ===故选B．【点评】此题要求学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式、同角三角函数间的基本关系化简求值，会利用三角函数的奇偶性解决实际问题，是一道中档题．做题时注意灵活变换角度．6．（5分）（2015•泉州校级模拟）函数y=log a（|x|+1）（a＞1）的图象大致是（）A． B． C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】数形结合．【分析】先画y=log a x，然后将y=log a x的图象向左平移1个单位得y=log a（x+1），再保留y=log a（x+1）图象在y轴的右边的图象，y轴左边的图象与之对称即得到函数y﹣log a（|x|+1）（a＞1）的大致图象．【解答】解：先画y=log a x，然后将y=log a x的图象向左平移1个单位得y=log a（x+1），再保留y=log a（x+1）图象在y轴的右边的图象，y轴左边的图象与之对称即得到函数y﹣log a（|x|+1）（a＞1）的大致图象．故选B．【点评】本题考查对数函数的图象和性质，解题时要注意图象的变换．7．（5分）（2010•北京）给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．【点评】本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．8．（5分）（2010•眉山二模）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣4＜m＜2 D．﹣2＜m＜4【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】先把x+2y转会为（x+2y）（）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．【解答】解：∵∴x+2y=（x+2y）（）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故选C【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．9．（5分）（2010•广东模拟）若a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．a2b＜ab2C．＜D．＜【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】A．取a=﹣3，b=1，即可否定；B．ab＞0时，则ab（a﹣b）＞0，即可否定；C．a，b为非零实数，且a＜b，可得，化为．D．取a=﹣2，b=1，即可否定．【解答】解：A．取a=﹣3，b=1，则a2＜b2不成立；B．ab＞0时，则ab（a﹣b）＞0，∴a2b＞ab2；C．∵a，b为非零实数，且a＜b，∴，化为．D．取a=﹣2，b=1，则．综上可得：只有C正确．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．10．（5分）（2013•铁岭模拟）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．【专题】压轴题．【分析】根据f（x）=f（2﹣x）求出（x）的图象关于x=1对称，又当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，x﹣1＜0，得到f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可．【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，故选B．【点评】考查学生利用函数单调性来解决数学问题的能力．二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2016•吴忠模拟）已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用数量积的性质即可得出．【解答】解：∵向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=．∴=，化为=10，化为，∵，解得||=．故答案为：．【点评】本题考查了数量积的性质，属于基础题．12．（5分）（2013秋•黄冈期末）函数的图象如图所示，则y的表达式为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】由图象可知A=2，，再根据周期公式可得：ω=2，因为图象过点（，2），可得φ=2kπ+，k∈z，再根据φ的范围求出φ的值，进而求出了函数的解析式得到答案．【解答】解：由图象可知A=2，所以T=π，所以ω=2，所以y=3sin（2x+φ）．又因为图象过点（，2），即sin（+φ）=1，所以解得φ=2kπ+，k∈z因为，所以当k=0时，φ=，y的表达式为．故答案为：．【点评】解决此类问题的关键是求φ，首先根据函数的图象得到A与ω，再根据最值点或者平衡点求出所有的φ，进而根据φ的范围求出答案即可，注意在代入已知点时最好代入最值点，因为在一个周期内只有一个最大值，一个最小值，而平衡点却有两个，假如代入的是平衡点则需要根据函数的单调性再来判定φ的取值．13．（5分）（2016秋•烟台期中）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于3，则a的值为﹣5．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；分类讨论；分类法；不等式．【分析】先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于3，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：不等式组（a为常数）围成的区域如图所示．当a=0时，对应的三角形为△ABD，此时A（0，﹣1），B（1，0），D（1，﹣1），则三角形的面积S==，∵由于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于3，∴a=0不成立，则a＜0，由，得，即C（1，a﹣1），∴|BC|×|x A﹣x B|=3，即×（1﹣a）×1=3，即1﹣a=6，则a=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查线性规划的应用，平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．14．（5分）（2015•许昌三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=且a＞b，则∠B=30°．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理化简已知等式，整理后求出sinB的值，由a大于b得到A大于B，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．【解答】解：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，∴∠B=30°．故答案为：30°【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．15．（5分）（2016秋•烟台期中）已知函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x）．则f（1）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（）=．【考点】抽象函数及其应用．【专题】整体思想；试验法；函数的性质及应用．【分析】由f（1﹣x）=1﹣f（x），f（0）=0，令x=可求得f（）=；再通过f（）=f（x），利用赋值法可分别求得f（）、f（）、f（）、f（）的值，从而可得f（1）+f （）+f（）+f（）+f（）+f（）的值．【解答】解：∵f（1﹣x）=1﹣f（x），f（0）=0，∴f（1﹣1）=1﹣f（1）=0，即f（1）=1；f（1﹣）=1﹣f（），整理得：f（）=；又f（）=f（x），令x=1，则f（）=f（1）=；令x=，则f（）=f（）=；令x=，则f（）=f（）=，即f（）=；∵＜＜＜，对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），∴f（）=f（）=，则f（1）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（）=1+++×3=．故答案为：．【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查整体思想与赋值法的综合运用，属于中档题．三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.16．（12分）（2016秋•烟台期中）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（1）若θ是第一象限角，且f（θ）=，求g（θ）的值；（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】利用两角和与差的正余弦公式函数f（x）进行变换，利用二倍角公式对函数g（x）进行变换；（1）代入求值即可；（2）根据已知条件列出不等式，所以由正弦函数的值域进行解答．【解答】解：f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx．g（x）=2sin2=1﹣cosx；（1）由f（θ）=得sinθ=．又θ是第一象限角，∴cosθ＞0，∴g（θ）=1﹣cosθ=1﹣=1﹣=；（2）f（x）≥g（x）⇔sinx≥1﹣cosx，即sinx+cosx≥1，于是sin（x+）≥，从而2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，故使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z}．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，以及两角和的三角公式，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．17．（12分）（2016秋•烟台期中）在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，4cos2﹣cosC=．（1）若ab=4，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（1）由二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得cosC=，结合范围0＜C＜π，即可得解C的值为，由余弦定理进而可解得a，b的值．（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBcosA=2sinAcosA，分类讨论分别求得a，b的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵4cos2﹣cosC=．∴由二倍角的余弦函数公式可得：2（cosC+1）﹣cosC=，即：cosC=，∵0＜C＜π，∴C=…2分由余弦定理及已知条件，可得：a2+b2﹣ab=4，∵ab=4，联立解得：a=2，b=2…6分（2）∵sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得：sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA，∴当cosA=0时，即A=时，B=，a=，b=，…8分当cosA≠0时，可得sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立方程组，解得：a=，b=，…11分∴△ABC的面积S=absinC=…12分【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．18．（12分）（2015•黄山二模）已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．【考点】余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；解三角形．【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围．【解答】解：（1）∵sin2C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c2=2ab，由余弦定理有：a2+b2=c2+2abcosC=c2（1+cosC）①又a2+b2=6abcosC=3c2cosC②由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（2）=sin（ωx﹣）∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，∴T=π∴∴ω=2∴f（x）=sin（2x﹣）∴f（A）=sin（2A﹣）∵＜A＜，∴0＜2A﹣＜∴0＜sin（2A﹣）≤1∴0＜f（A）≤．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（2013•盐城一模）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，依题意，C（0）==24，可求得k，从而得到F关于x的函数关系式；（2）利用基本不等式即可求得F取得的最小值及F取得最小值时x的值．【解答】解：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费…（2分）由C（0）==24，得k=2400 …（3分）所以F=15×+0.5x=+0.5x，x≥0…（7分）（2）因为+0.5（x+5）﹣2.5≥2﹣2.5=57.5，…（10分）当且仅当=0.5（x+5），即x=55时取等号…（13分）所以当x为55平方米时，F取得最小值为57.5万元…（14分）【点评】本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于难题．20．（13分）（2005•山东）已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n的关系式；（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x ﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t﹣，求出g（t）的最小值．要使＜（x﹣1）﹣恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）[x﹣（1+）]当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：++）由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1+）]＜1．（*）10x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．∴m＜0．20x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为＜（x﹣1）﹣．令t=x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）=t﹣，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．由（*）式恒成立，必有＜﹣⇒﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．综上10、20知﹣＜m＜0．【点评】考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．21．（14分）（2014•城厢区校级一模）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（2）利用（1）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．【解答】解：（1）因为，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．又，所以当0＜x＜e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．所以g（x）的最大值为g（e）=，所以，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．（3）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则，①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．②当0时，f（x）在（0，]上单调递减，f（x）在（，e]上单调递增．所以f，满足条件．③当时，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．综上可知存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，运算量较大，综合性较强．。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。
四川省成都市第七中学实验学校2017-2018学年高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
成都七中实验学校2017-2018学年高三上期期中考试数 学 试 题 (理科)(全卷满分为150分，完卷时间为120分钟)班级 姓名一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、已知全集U R =，集合{}20A x x x x R =-<∈，，{}01B =， ，则(A) AB A =； (B) A B B =； (C) UC B A =； (D) U B C A ⊆．2、设i 是虚数单位，i iai 2212-=++，则实数=a(A) 2-； (B)(C) 1-； (D) 1．3、命题“若21x =，则1x =或1x =-”的逆否命题为(A) 若21x =，则1x ≠且1x ≠-； (B) 若21x ≠，则1x ≠且1x ≠-； (C) 若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠； (D) 若1x ≠或1x ≠-，则21x ≠． 4、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题： ① //l m αβ⇒⊥； ② //l m αβ⊥⇒； ③ //l m αβ⇒⊥； ④ //l m αβ⊥⇒． 其中真命题是(A) ①②； (B) ③④； (C) ②④； (D) ①③． 5、执行如图的程序框图，若输出的3132S =，则输入的整数p 的值为 (A) 6； (B) 5； (C) 4； (D) 3． 6、在()52x x -的展开式中，含7x 项的系数为 (A) 10-； (B) 10； (C) 15-； (D) 15．7、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：“置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 (A) 227； (B) 258； (C) 15750； (D) 355113．8、已知函数()()x x x x x f cos sin 21cos sin 21--+=，则()x f 的值域是(A) []11， -； (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122， ； (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-221， ； (D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--221， ．9、直线l 过抛物线24C y x =：的焦点F 交抛物线C 于A B 、两点，则11AF BF+的取值范围为(A) {}1； (B) (]01， ； (C) [)1+∞， ； (D) 112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ． 10、若函数()()R x x f y ∈=满足()()1f x f x +=-，且当[)10x ∈-， 时，()212x f x +=，则函数()x f y =的图象与函数x y 3log =的图象的交点的个数是 (A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5．11、快递员通知小张中午12点到小区门口取快递，由于工作原因，快递员于11:50到12:10之间随机到达小区门口，并停留等待10分钟．若小张于12:00到12:10之间随机到达小区门口，也停留等待10分钟，则小张能取到快递的概率为 (A)12； (B) 712； (C) 23； (D) 34． 12、在锐角ABC △中，3A π=∠， BAC ∠的平分线交边BC 于点D ，1AD =，则ABC△面积的取值范围是(A) 64⎣⎦， ；(B) 34⎣⎦， ； (C)68⎣⎭， ；(D) 38⎣⎭， ．二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13、已知⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα，2，53sin =α，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα ．14、若点()00P x y ，是曲线()3ln y x x k k R =++∈上一个定点，曲线在点P 处的切线方程为410x y --=，则实数k 的值为 ．15、如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AC AB 、于不同的两点N M 、，若AM mAB =，()0AN nAC mn =>，则n m +的取值范围为 ．16、已知函数()f x 满足()()()'1xf x x f x =-，且()11f =，若A 为ABC △的最大内角，则tan 3f A π⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的取值范围为 ．三、解答题：(本大题共6小题，共70分) 17、(12分)已知()xx x ωωωcos 3cos sin ， +=，()()0sin 2sin cos ＞， ωωωωx x x -=，函数()x f ⋅=，若()x f 相邻两对称轴间的距离不小于2π． (1) 求ω的取值范围；(2) 在ABC △中，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边，2=a ，当ω最大时，()1=A f ，求ABC △面积的最大值．18、(12分) 某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分(以小数点的前一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1) 指出这组数据的众数和中位数；(2) 若幸福指数不低于9.5分，则称该人的幸福指数为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3) 以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列和数学期望．19、(12分) 一个多面体的直观图(图1)及三视图(图2)如图所示，其中M N 、分别是AF BC 、的中点，(1) 求证：MN ∥平面CDEF ； (2) 求平面MNF 与平面CDEF 所成的锐二面角的大小．20、(12分) 已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>： 的离心率为12，右焦点到直线1340l x y +=： 的距离为35，(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线()20l y kx m km =+≠：与椭圆C 交于A B 、两点，且线段AB 的中点恰好在直线1l 上，求AOB △的面积S 的最大值(其中O 为坐标原点)．21、(12分) 已知函数()2ln f x x bx a x =+-．(1) 当0a >时，函数()f x 是否存在极值？判断并证明你的结论；(2) 若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是函数()f x 的两个不同零点，且()01x n n ∈+，，求自然数n 的值；(3) 若对任意[]21b ∈--， ，都存在()1x e ∈，，使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围．22、(10分) 已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2cos 24πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭. (1) 把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；、，求直线AB的参数方程，并利用直线AB的参数方程求两圆(2)设两圆交点分别为A B的公共弦长AB.成都七中实验学校高2014级高三上期期中考试数 学 试 题 (理科)(全卷满分为150分，完卷时间为120分钟)班级 姓名一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、已知全集U R =，集合{}20A x x x x R =-<∈，，{}01B =， ，则D(A) AB A =； (B) A B B =； (C) UC B A =； (D) U B C A ⊆．2、设i 是虚数单位，i iai 2212-=++，则实数=a A(A) 2-； (B)(C) 1-； (D) 1．3、命题“若21x =，则1x =或1x =-”的逆否命题为C(A) 若21x =，则1x ≠且1x ≠-； (B) 若21x ≠，则1x ≠且1x ≠-； (C) 若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠； (D) 若1x ≠或1x ≠-，则21x ≠． 4、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题： ①//l m αβ⇒⊥； ② //l m αβ⊥⇒； ③ //l m αβ⇒⊥； ④ //l m αβ⊥⇒． 其中真命题是D(A) ①②； (B) ③④； (C) ②④； (D) ①③． 5、执行如图的程序框图，若输出的3132S =，则输入的整数p 的值为B (A) 6； (B) 5； (C) 4； (D) 3． 6、在()52x x -的展开式中，含7x 项的系数为A (A) 10-； (B) 10； (C) 15-； (D) 15．7、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：“置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为B (A) 227； (B) 258； (C) 15750； (D) 355113．8、已知函数()()x x x x x f cos sin 21cos sin 21--+=，则()x f 的值域是C(A) []11， -； (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122， ； (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-221， ； (D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--221， ．9、直线l 过抛物线24C y x =：的焦点F 交抛物线C 于A B 、两点，则11AF BF+的取值范围为A(A) {}1； (B) (]01， ； (C) [)1+∞， ； (D) 112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ． 10、若函数()()R x x f y ∈=满足()()1f x f x +=-，且当[)10x ∈-， 时，()212x f x +=，则函数()x f y =的图象与函数x y 3log =的图象的交点的个数是C (A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5．11、快递员通知小张中午12点到小区门口取快递，由于工作原因，快递员于11:50到12:10之间随机到达小区门口，并停留等待10分钟．若小张于12:00到12:10之间随机到达小区门口，也停留等待10分钟，则小张能取到快递的概率为D (A)12； (B) 712； (C) 23； (D) 34． 12、在锐角ABC △中，3A π=∠，BAC ∠的平分线交边BC 于点D ，1AD =，则ABC△面积的取值范围是D(A) 64⎣⎦， ；(B) 34⎣⎦， ； (C)68⎣⎭， ；(D) 38⎣⎭， ．二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13、已知⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα，2，53sin =α，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα71．14、若点()00P x y ，是曲线()3ln y x x k k R =++∈上一个定点，曲线在点P 处的切线方程为410x y --=，则实数k 的值为 2 ．15、如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AC AB 、于不同的两点N M 、，若AM mAB =，()0AN nAC mn =>，则n m +的取值范围为[)2+∞， ．16、已知函数()f x 满足()()()'1xf x x f x =-，且()11f =，若A 为ABC △的最大内角，则tan 3f A π⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的取值范围为[)101-⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭， ． 三、解答题：(本大题共6小题，共70分) 17、(12分)已知()xx x ωωωcos 3cos sin ， +=，()()0sin 2sin cos ＞， ωωωωx x x -=，函数()n m x f ⋅=，若()x f 相邻两对称轴间的距离不小于2π． (2) 求ω的取值范围；(2) 在ABC △中，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边，2=a ，当ω最大时，()1=A f ，求ABC △面积的最大值． 答案：(1) ∵ ()2sin 26f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，则22T ππω=≥，解得：1ω≤，又0ω>， ∴ 10≤ω＜； ………………………6分 (2) ∵ 当1ω=时，()2sin 216f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且()0A π∈，，∴3A π=，21242cos 22222=-+=-+=bc c b bc a c b A ， ∴422+=+bc c b ，又bc c b 222≥+，∴ bc bc 24≥+，即4≤bc ，当且仅当2==c b 时，4=bc ， ∴ 33sin 2sin 21=≤=πA bc S ABC △． ………………………12分18、(12分) 某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分(以小数点的前一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1) 指出这组数据的众数和中位数；(2) 若幸福指数不低于9.5分，则称该人的幸福指数为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3) 以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列和数学期望．答案：(1) 众数8.6，中位数8.75；(2) 121140；(3)134Bξ⎛⎫⎪⎝⎭～， ．19、(12分) 一个多面体的直观图(图1)及三视图(图2)如图所示，其中M N、分别是AF BC、的中点，(1) 求证：MN∥平面CDEF；(2) 求平面MNF与平面CDEF所成的锐二面角的大小．答案：(1) 略；(2) 60°．20、(12分) 已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>： 的离心率为12，右焦点到直线1340l x y +=： 的距离为35， (1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线()20l y kx m km =+≠：与椭圆C 交于A B 、两点，且线段AB 的中点恰好在直线1l 上，求AOB △的面积S 的最大值(其中O 为坐标原点)．答案：(1) 22143x y +=；(2)21、(12分) 已知函数()2ln f x x bx a x =+-．(1) 当0a >时，函数()f x 是否存在极值？判断并证明你的结论；(2) 若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是函数()f x 的两个不同零点，且()01x n n ∈+，，求自然数n 的值；(3) 若对任意[]21b ∈--， ，都存在()1x e ∈，，使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围．答案：(1) 存在极小值，但不存在极大值；(2) 3n =；(3) 1a >．(3) 提示：记()2ln g b xb x a x =+-，当()1x e ∈，时，()g b 在[]21--， 上单增，要满足条件，只须()()2max 1ln 0g b g x x a x =-=--<在()1x e ∈，上有解即可， 记()()2ln 1h x x x a x x e =--<<，则()22'21a x x a h x x x x --=--=，()10h = 记()()221x x x a x e ϕ=--<<，则()x ϕ在()1e ，上单增， 要存在()1x e ∈，，使得()0h x <，只须()1210a ϕ=--<，即1a >．22、(10分) 已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2cos 24πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭. (1) 把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 设两圆交点分别为A B 、，求直线AB 的参数方程，并利用直线AB 的参数方程求两圆的公共弦长AB .答案：(1) 224x y +=，222220x y x y +---=；(2) 21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)。
2017-2018学年山东省日照市高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2017-2018学年山东省日照市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＜2}，则集合A∩∁U B=（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}2．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题P是“甲降落在指定范围”，命题q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围内”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∧q 4．（5分）设相量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2垂直，则实数m 等于（）A．﹣ B．C．D．﹣5．（5分）已知函数是奇函数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．06．（5分）若，则“”是“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．108．（5分）已知曲线C1：y=sinx，，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2D．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C 29．（5分）两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（）A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，8510．（5分）函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A． B．C．D．11．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a6=（）A．B．C．D．112．（5分）已知函数f（x）=k|x|+2（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜0 C．﹣2＜k＜0 D．k＞2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设=．14．（5分）函数的递减区间是．15．（5分）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为．16．（5分）设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i={a i，b i}，S j={a j，b j}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（10分）已知定义域为R的函数是奇函数．（I）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（kx2）+f（2x﹣1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．18．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n=n﹣4．（I）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（II）设数列{S n}的前n项和为T n，求T n．19．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．20．（12分）已知向量=（，﹣），=（2，cos2x）（I）若，试判断a与b能否平行；（Ⅱ）若，求函数f（x）=•的最小值．21．（12分）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，经过市场调查和测算，2017年化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知每年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其平均每件生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和．则当年生产的化妆品正好能销完．（I）将该企业2017年的利润y（万元）表示为t（万元）的函数；（Ⅱ）该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．（利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）22．（12分）已知函数（其中e为自然对数的底数）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥0时，不等式ax2+x+1≤h（x）恒成立，求实数a的最大值．2017-2018学年山东省日照市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＜2}，则集合A∩∁U B=（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＜2}={x|x＜1}，∴集合A∩∁U B={x|1≤x＜2}．故选：D．2．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选：A．3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题P是“甲降落在指定范围”，命题q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围内”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∧q【解答】解：依据题意得￢p：“甲没有降落在指定范围”，￢q：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少一位学员没有降落在指定范围”可以表示为（￢p）∨（￢q），故选：A．4．（5分）设相量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2垂直，则实数m 等于（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，2），∴m+=（2m﹣1，3m+2），﹣2=（4，﹣1），∵m+与﹣2垂直，∴4（2m﹣1）﹣（3m+2）=0，解得m=，故选：B．5．（5分）已知函数是奇函数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，即ln（+a）+ln（+a）=0，即ln（•）=0，即=1，则a2﹣（a+2）2x2=1﹣x2，即a2=1，且（a+2）2=1，则，得，得a=﹣1，故选：B．6．（5分）若，则“”是“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵，若“xsin2x＜1”，则xsinx＜，若＞1．此时xsinx＜1可能不成立．例如x→，sinx→1，xsinx＞1．由此可知，“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分条件，故，则“”是“”的必要不充分条件故选：A．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数z=|x﹣3y|，平移直线y=x可知，当直线经过点A（﹣2，2）时，z=|x﹣3y|取得最大值，代值计算可得z max=|﹣2﹣3×2|=8．故选：C．8．（5分）已知曲线C1：y=sinx，，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2D．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2【解答】解：对于A，，对于B，，对于C，，对于D，，，故选：B．9．（5分）两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是（）A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85【解答】解：由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．故选：D．10．（5分）函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A． B．C．D．【解答】解：f（x）=（﹣1）cosx=cosx，f（﹣x）=cos（﹣x）=cosx=﹣f（x）．∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当0＜x＜时，e x＞1，cosx＞0，∴f（x）=cosx＜0，故选：B．11．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a6=（）A．B．C．D．1【解答】解：设等差数列{a n}和{}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，=+（n﹣1）d，∴==+d，=+2d，平方化为：a 1+d=d2+2d，2a1+3d=4d2+4d，可得：a=d﹣d2，代入a1+d=d2+2d，化为d（2d﹣1）=0，解得d=0或．d=0时，可得a1=0，舍去．∴，a1=．∴a6==．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=k|x|+2（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜0 C．﹣2＜k＜0 D．k＞2【解答】解：因为函数y=|f（x）|+k有四个零点，即|f（x）|=﹣k有四个根，画图得：﹣2＜k＜0．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设=．【解答】解：∵，∴f（2）=，f（f（2））=f（）=．故答案为：．14．（5分）函数的递减区间是（﹣∞，1）．【解答】解：自变量x满足x2﹣3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，所以，函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．令u=x2﹣3x+2，则y=log2u，内层函数u=x2﹣3x+2在区间（﹣∞，1）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增，而外层函数y=log2u为增函数，根据复合函数同增异减的原则可知，函数y=﹣3x+2）的单调递减区间为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．15．（5分）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为．【解答】解：正数x，y满足x+y=1，即有（x+2）+（y+1）=4，则=[（x+2）+（y+1）]（）=[5++]≥[5+2]=×（5+4）=，当且仅当x=2y=时，取得最小值．故答案为：．16．（5分）设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，S k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S i={a i，b i}，S j={a j，b j}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是11．【解答】解：含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个．故答案为：11．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（10分）已知定义域为R的函数是奇函数．（I）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（kx2）+f（2x﹣1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（1）由于f（x）为R上的奇函数，故f（0）=0，即，解得b=1；又由于f（﹣1）=﹣f（1），即，解得a=1，代入检验，当a=1，b=1时，函数f（x）为奇函数．故a=1，b=1（2）由（1）可知，，故由基本函数法可以判断，f（x）为R上的减函数．由f（kx2）+f（2x﹣1）＞0，等价转化为f（kx2）＞﹣f（2x﹣1），又由奇函数可知﹣f（2x﹣1）=f（1﹣2x），故转化为f（kx2）＞f（1﹣2x）恒成立，由单调性可知，kx2＜1﹣2x恒成立，即kx2+2x﹣1＜0对x∈R上恒成立，故需要满足k＜0且△＜0，解得k＜﹣1．故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．18．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n=n﹣4．（I）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（II）设数列{S n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（I）∵S n﹣2a n=n﹣4．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，∴S n﹣2（S n﹣S n﹣1）=n﹣4，化为：S n﹣n+2=2[S n﹣1﹣（n﹣1）+2]，n=1时，a1﹣2a1=1﹣4，解得a1=3，∴S1﹣1+2=4．∴{S n﹣n+2}为等比数列，首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（I）知：S n﹣n+2=2n+1，可得：S n=2n+1+n﹣2．于是T n=（22+23+……+2n+1）+（1+2+……+n）﹣2n=+﹣2n=2n+2﹣4+．19．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，所以，所以．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD即AD2﹣8AD+15=0，（4分）解之得AD=5或AD=3，由于AB＞AD，所以AD=3．（6分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，又由，可知（8分）所以（10分）因为，即（12分）20．（12分）已知向量=（，﹣），=（2，cos2x）（I）若，试判断a与b能否平行；（Ⅱ）若，求函数f（x）=•的最小值．【解答】解：（Ⅰ）向量=（，﹣），=（2，cos2x），若与平行，则有=•2，因为x∈（0，]，sinx≠0，所以得cos2x=﹣2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故与不能平行．…（6分）（Ⅱ）∵向量=（，﹣），=（2，cos2x），∴f（x）=•====2sinx+，又∵x∈（0，]，∴sinx∈（0，]，∴2sinx+≥2=2，当2sinx=，即sinx=时取等号．故函数f（x）的最小值等于2．…（12分）21．（12分）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，经过市场调查和测算，2017年化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知每年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其平均每件生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和．则当年生产的化妆品正好能销完．（I）将该企业2017年的利润y（万元）表示为t（万元）的函数；（Ⅱ）该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．（利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）【解答】解：（Ⅰ）由题意可设3﹣x=，将t=0，x=1代入，得k=2，∴x=3﹣．当年生产x万件时，因为年生产成本=年生产费用+固定费用年生产成本为32x+3=32×（3﹣）+3当年销售x万件时，年销售收入为150%[32×（3﹣）+3]+t，由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，得年利润y=150%[32×（3﹣）+3]+t﹣32（3﹣）﹣3﹣t=．（Ⅱ）y==50﹣（+）≤50﹣2=42（万元），当且仅当=即t=7万元时利润最大值为42万元，所以当促销价这为7万元时，年利润最大．22．（12分）已知函数（其中e为自然对数的底数）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥0时，不等式ax2+x+1≤h（x）恒成立，求实数a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，f（x）=e x﹣x2，f′（x）=e x﹣x，令m（x）=e x﹣x，故m′（x）=e x﹣1，令m′（x）=0，解得x=0，故m（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．故[m（x）]min=m（0）=1，故e x﹣x＞0，即f′（x）＞0，故函数f（x）在R上单调递增…（4分）（Ⅱ）令g（x）=e x﹣（ax2+x+1），则g′（x）=e x﹣2ax﹣1，令φ（x）=e x﹣2ax﹣1，φ′（x）=e x﹣2a，（i）当a≤时，在x∈[0，+∞），φ′（x）≥0，所以φ（x）在[0，+∞）上为增函数，φ（x）≥φ（0）=0，所以g′（x）≥0，所以g（x）在[0，+∞）上为增函数，g（x）≥g（0）=0适合题意；…（8分）（ii）当a＞时，φ′（x）和φ（x）变化如下表，故函数g′（x）在（0，ln2a）上为减函数，g′（x）＜g′（0）=0．所以函数g（x）在（0，ln2a）上为减函数，g（x）＜g（0）=0，a＞，不适合题意．综上，a≤，所以a的最大值为．…（12分）。
【市级检测】2017-2018学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．33．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣1286．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．512．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1二、填空题：13． 1.028≈（小数点后保留三位小数）．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 【分析】阴影部分所表示的为在集合B中但不在集合A中的元素构成的部分，即在B中且在A的补集中．【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B，C中的元素构成的，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U（B∪C），故选：C．【点评】本题考查利用集合运算表示韦恩图中的集合、考查韦恩图是研究集合关系的常用工具．2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】利用实系数方程的虚根成对定理，列出方程组，求出a，b即可．【解答】解：1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）．．得：a=1，b=﹣2，a+b=﹣1．故选：A．【点评】本题考查实系数方程成对定理的应用，考查计算能力．3．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程代入点的坐标，然后求解双曲线方程即可．【解答】解：由题可设双曲线的方程为：y2﹣4x2=λ，将点代入，可得λ=﹣4，整理即可得双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，考查计算能力．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．【分析】若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则这两个函数的周期是一样的，即ω=1．通过解不等式g（x）＞2求得x的取值范围．【解答】解：由题意知，函数f（x）和g（x）的周期是一样的，故ω=1，不等式g（x）＞2，即，解之得：．故选：B．【点评】考查了正弦函数的对称性．根据函数的对称性求、求出ω是解决本题的关键．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣128【分析】令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），利用函数的导数求解即可．【解答】解：令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（x）=g（x）+x•g'（x），故，各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，，故．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，数列的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义，求解函数的最值即可．【解答】解：画出的可行域，如图：A（0，3），，C（4，5），目标函数z=2x﹣3y经过C时，目标函数取得最大值，z max=﹣7，没有最小值．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最值考查数形结合的应用，是基础题．7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞【分析】根据条件判断函数是偶函数，结合条件判断函数的单调性，进行判断即可．【解答】解：f（x）=f（﹣x），故f（x）是偶函数，而当时，f'（x）=cosx•e1+sinx﹣cosx•e1﹣sinx=cosx•（e1+sinx﹣e1﹣sinx）＞0，即f（x）在是单调增加的．由f（x1）＞f（x2），可得f（|x1|）＞f（|x2|），即有|x1|＞|x2|，即，故选：D．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π【分析】判断三视图复原的几何体的形状，通过已知的三视图的数据，求出该多面体的外接球的表面积．【解答】解析：该多面体如图示，外接球的半径为AG，HA为△ABC外接圆的半径，HG=1，，故，∴该多面体的外接球的表面积．故选：B．【点评】本题考查多面体的外接球的表面积的求法，考查空间几何体三视图、多面体的外接球等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的S值即可得出该程序中a的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：S=2，k=0；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=﹣1，k=1；满足条件k＜a，执行循环体，可得：，k=2；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=2，k=3；…，∴S的值是以3为周期的函数，当k的值能被3整除时，不满足条件，输出S的值是2，a的值可以是2016．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题．10．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．【分析】根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理即可求出【解答】解：根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理可得cos36°==故选：B．【点评】本题考查了黄金三角形的定义作法和余弦定理，属于中档题11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用三角形的面积推出，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，通过，代入求解即可．【解答】解：，即，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，即有，又因为，故：p=2．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．12．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1【分析】方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线，即可；方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），列出方程组求解即可．【解答】解：方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线y=x﹣1．方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），则有：，解之得：x0=1，y0=1，．故选：B．【点评】本题考查函数与方程的应用，求出方程的平方，直线与抛物线的位置关系的应用．二、填空题：13． 1.028≈ 1.172（小数点后保留三位小数）．【分析】根据1.028=（1+0.02）8，利用二项式定理展开，可得它的近似值．【解答】解：1.028=（1+0.02）8=+++×0.023+…+≈=+++×0.023=1+8×0.02+28×0.0004+56×0.000008=1.172，故答案为：1.172【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．【分析】设=（x，y），根据题中的条件求出x+2y=﹣，即=﹣，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ的值，由此求得θ的值．【解答】解：设=（x，y），由向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，且（+）=，可得﹣x﹣2y=，即有x+2y=﹣，即=﹣，设与的夹角为等于θ，则cosθ===﹣．再由0≤θ≤π，可得θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求出=﹣是解题的关键，属于中档题15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．【分析】由已知利用二倍角公式化简可求cos2α+cos2β=3（cosβ﹣sinα），由，得sinα的范围，从而可求，进而得解．【解答】解：∵，∴cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（sinα+cosβ）（cosβ﹣sinα）=3（cosβ﹣sinα），∵由，得，，易得：，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了正弦函数的性质及其应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=1．【分析】以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，分别求出△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的方程，联立求得交点，利用两点间的距离公式求得两圆公共弦长．【解答】解：以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A（﹣1，0），C（1，0），B（0，1），D（0，﹣），∴△ABC的外接圆的方程x2+y2=1，①△ACD的内切圆方程为，即，②联立①②可得两圆交点坐标为（，﹣），（，﹣），∴两圆的公共弦长为．故答案为：1．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，是中档题．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）当n=1时计算可知a1=﹣1，当n≥2时将a n=2S n+1与a n﹣1=2S n﹣1+1作差可知a n=﹣a n﹣1，进而可知数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列；（2）通过（1）可知，分n为奇偶两种情况讨论即可．【解答】解：（1）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1=﹣1．当n≥2时，有：a n=2S n+1，a n﹣1=2S n﹣1+1，两式相减、化简得a n=﹣a n﹣1，所以数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，从而．（2）由（1）得，当n为偶数时，b n+b n=2，；﹣1当n为奇数时，n+1为偶数，T n=T n+1﹣b n+1=（n+1）﹣（2n+1）=﹣n．所以数列{b n}的前n项和．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．【分析】（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，说明AO⊥CC1，OB1⊥CC1，推出CC1⊥平面OAB1，然后证明AB1⊥CC1；（2）证明AO⊥OB1，以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量，平面A1B1A的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值即可．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴△ACC1，△BCC1为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥CC1，又∵AO∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1∴AB1⊥CC1；…4分（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴AC=2，，∵，则，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，…6分以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则则，=（0，，），=（1，0，），设平面AB 1C的法向量为，则，令z=1，则y=1，，则，设平面A 1B1A的法向量为，则，令z=1，则x=0，y=1，即，…8分则…10分∴二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是．…12分．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查计算能力与空间想象能力．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；（ⅱ）确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望E （Z）．【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P （58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（4分）（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；…（8分）（ⅱ）由题意可知Z的分布列为故E（Z）=0×+1×+2×=．…（12分）【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合a，b，c的关系解得a，b，可得椭圆的方程；（II）方法一、（i）讨论直线AB的斜率为0和不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，运用直线的斜率公式求斜率之和，即可得证；（ii）求得△MNF的面积，化简整理，运用基本不等式可得最大值．方法二、（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由直线的斜率公式，求得即可得证；（ii）求得弦长|MN|，点F到直线的距离d，运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题意可得，令x=﹣c，可得y=±b=±，即有，又a2﹣b2=c2，所以．所以椭圆的标准方程为；（II）方法一、（i）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意；当AB的斜率不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，整理得（m2+2）y2﹣4my+2=0，则△=16m2﹣8（m2+2）=8m2﹣16＞0，所以m2＞2．，可得==．则k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii）当且仅当，即m2=6．（此时适合△＞0的条件）取得等号．则三角形MNF面积的最大值是．方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，则△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=8﹣16k2＞0，所以．，可得=∴k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii），点F（﹣1，0）到直线MN的距离为，即有==．令t=1+2k2，则t∈[1，2），u（t）=，当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即，则三角形MNF面积的最大值是．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．【分析】（1）由f（1）=﹣e，得a﹣b=﹣1，由f'（1）=2e+1，得到a﹣4b=2，由此能求出a，b．（2）f（x）＜﹣2，即证，令g（x）=（2﹣x3）e x，，由此利用导数性质能证明f（x）＜﹣2．【解答】解：（1）因为f（1）=﹣e，故（a﹣b）e=﹣e，故a﹣b=﹣1①；依题意，f'（1）=2e+1；又，故f'（1）=e（4a﹣b）+1=2e+1，故4a﹣b=2②，联立①②解得a=1，b=2；（2）由（1）得，要证f（x）＜﹣2，即证；令g（x）=（2﹣x3）e x，，g'（x）=﹣e x（x3+3x2﹣2）=﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）令g'（x）=0，因为x∈（0，1），e x＞0，x+1＞0，故，所以g（x）在上单调递增，在单调递减．而g（0）=2，g（1）=e，当时，g（x）＞g（0）=2当时，g（x）＞g（1）=e故当x∈（0，1）时，g（x）＞2；而当x∈（0，1）时，，故函数所以，当x∈（0，1）时，ϕ（x）＜g（x），即f（x）＜﹣2．【点评】本题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．【分析】（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；（II）先根据（I）得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣s inα）t﹣7=0．由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以，又直线l过点（1，2），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|====2．所以|PA|+|PB|的最小值为2．【点评】此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为a+b，即可得到所求最小值；（2）运用反证法，结合二次不等式的解法，即可得证．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|=|a+b|=a+b，∴f（x）min=a+b，由题设条件知f（x）min=2，∴a+b=2；证明：（2）∵a+b=2，而，故ab≤1．假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立．即（a+2）（a﹣1）＞0与（b+2）（b﹣1）＞0同时成立，∵a＞0，b＞0，则a＞1，b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾，从而a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，考查反证法的运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．。
山东省青岛三中2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷+Word版含答案
青岛三中2017-2018学年度第一学期第一学段模块考试高二年级数学试题命题教师：贾春晖 审题教师：张宗法答卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填涂在答题卡相应的答题栏内。
） 1.直线013=++y x 的倾斜角是A.30°B.60°C.120°D.150°2.高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为 A.13 B.17 C.19 D.213.过点P （1，1）且倾斜角为45°的直线被圆()()21222=-+-y x 所截的弦长是A.26B.2C.3D.6 4.圆0222:221=-+++y x y x C 与圆0124:222=+--+y x y x C 的公切线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.执行如右图所示的程序框图，则输出S 的结果为 A.21 B.21- C.2 D.-1 6.圆064422=+--+y x y x 上的点到直线08=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 A.2 B.22 C.4 D.247.若直线)0(022≠+=++B A C By Ax 经过第一、二、三象限，则系数A ，B ，C 满足的条件为A.A ，B ，C 同号B.AB>0，AC<0C.AC<0，BC>0D.AC>0，BC<08.直线0232:1=+-+m my x l 和046:2=-+y mx l ，若21//l l ，则1l 与2l 之间的距离A.55 C.510 C.552 D.5102 9.已知数据n x x x ,,,21 的平均数5=x ，方差42=S ，则数据73,,73,7321+++n x x x 的平均数和标准差分别为A.15，36B.22，6C.15，6D.22，3610.点()2,1A 关于直线b kx y +=对称的点是()6,1-B ，则直线b kx y +=在x 轴上的截距是 A.4 B.-4 C.8 D.-8 11.已知正数y x ,满足42<+y x ，则11++x y 的取值范围是 A.⎪⎭⎫ ⎝⎛5,31 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,31 C.()+∞⎪⎭⎫⎝⎛∞-,531,D.[)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,531,12.已知点()y x P ,是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PA 、PB 是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，A 、B 为切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则k 的值是 A.2 B.221C.2D.22 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效）13.过点（-3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 。
2017-2018学年山东省潍坊市高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2017-2018学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣3x＜0}，那么A∪B=（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜0}D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）已知x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．cosx﹣cosy＞0 C．（）x﹣（）y＞0 D．lnx﹣lny＞0 3．（5分）函数f（x）=e x﹣的零点所在区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，e）4．（5分）下列函数为奇函数且在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=ln（﹣x）B．y=2x﹣C．y=x+D．y=﹣5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β的始边为x轴正半轴，顶点为坐标原点，终边关于x轴对称，已知sinα=，则cosβ=（）A．B．﹣ C．± D．±6．（5分）已知x，y∈R，且，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．47．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β8．（5分）某几何体的三视图如图所示，已知主视图和左视图是全等的直角三角形，俯视图为圆心角为90°的扇形，则该几何体的体积是（）A．B．π C．D．2π9．（5分）已知函数f（x）=sin（x+），以下结论错误的是（）A．函数y=f（x）的图象关于直线x=对称B．函数y=f（x）的图象关于点（π，0）对称C．函数y=f（x+π）在区间[﹣π，]上单调递增D．在直线y=1与曲线y=f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为10．（5分）函数y=x+a与y=（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图象可能为（）A．B． C．D．11．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R，均有f（x+2）=f（x），已知当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于x=1对称B．f（x）有最大值1C．f（x）在[﹣1，3]上有5个零点D．当x∈[2，3]时，f（x）=2x﹣1﹣1 12．（5分）锐角三角形ABC中，∠A=30°，BC=1，则△ABC面积的取值范围为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知sin（α+）=，则sin2α=．14．（5分）f （x ）=，则f （2017）= ．15．（5分）已知单位向量=（x ，y ），向量=（1，），且＜，＞=60°，则y= ．16．（5分）如图所示，直平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上任意一点，F 为底面A 1C 1（除C 1外）上一点，已知F 在底面AC 上的射影为H ，若再增加一个条件，就能得到CH ⊥AD ，现给出以下条件：①EF ⊥B 1C 1；②F 在B 1D 1上；③EF ⊥平面AB 1C 1D ；④直线FH 和FE 在平面AB 1C 1D 的射影为同一条直线．其中一定能成为增加条件的是 （把你认为正确的都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（10分）已知集合A={x |＞0}，集合B={x |x 2﹣（2m +1）x +m 2+m ﹣2＜0}；p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，求m 取值范围．18．（12分）△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，b=c=，D 为BC 边上靠近C 点的三等分点，记向量=（1，sinA ），=（﹣1，cosA ），且∥．（Ⅰ）求线段AD 的长；（Ⅱ）设=，=，若存在正实数k ，t ，使向量+（t 2+3）与向量﹣k +3t 垂直，求的最小值．19．（12分）已知函数f（x）=cos（2ωx﹣）+2sin2（ωx+）（ω＞0）在[π，π]上具有单调性，且f（）=+1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最大值和最小值．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥平面AA1B1B，AB=AA1=2，∠A1AB=60°．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC；（Ⅱ）若四棱锥A﹣BB1C1C的体积为，求该三棱柱的侧面积．21．（12分）现有一块大型的广告宣传版面，其形状是如图所示的直角梯形ABCD．某厂家因产品宣传的需要，拟出资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形DEFG（点F在曲线段AC上，点E在线段AD上）．已知BC=12cm，AB=AD=6cm，其中曲线段AC是以A为顶点，AD为对称轴的抛物线的一部分．（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段AC与线段DC的方程；（Ⅱ）求该厂家广告区域DEFG的最大面积．22．（12分）函数f（x）=2ae x﹣x3e x在（0，f（0））处的切线与直线y=2x平行．（Ⅰ）求实数a；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=+x3+x（lnx+1）﹣2，当x＞1时，g（x）＞k（x﹣1）恒成立，求整数k的最大值．2017-2018学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣3x＜0}，那么A∪B=（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜0}D．{x|1＜x＜3}【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜3}．故选：A．2．（5分）已知x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．cosx﹣cosy＞0 C．（）x﹣（）y＞0 D．lnx﹣lny＞0【解答】解：当x=2，y=1时，则A不成立，当x=π，y=0时，则B不成立，当根据指数函数的单调性可知C不成立，根据对数函数的单调性可知D成立，故选：D．3．（5分）函数f（x）=e x﹣的零点所在区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，e）【解答】解：f（x）=e x﹣在x＞0时是连续函数，f（1）=e﹣4＜0，f（2）=e2﹣2＞0，由函数零点的存在性定理，函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间为（1，2）．故选：C．4．（5分）下列函数为奇函数且在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=ln（﹣x）B．y=2x﹣C．y=x+D．y=﹣【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=ln（﹣x），其定义域为R，f（﹣x）=ln（+x）=ln（）=﹣ln（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，当x＞0，令t=﹣x，则y=lnt，t=﹣x=为减函数，y=lnt为增函数，则函数y=ln（﹣x）在（0，+∞）上为减函数，符合题意；对于B、y=2x﹣，在（0，+∞）上为增函数，不符合题意，对于C、y=x+，在（0，+∞）上先减后增，不符合题意，对于D、y=﹣，f（﹣x）=﹣=f（x），为偶函数，不符合题意，故选：A．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β的始边为x轴正半轴，顶点为坐标原点，终边关于x轴对称，已知sinα=，则cosβ=（）A．B．﹣ C．± D．±【解答】解：由sinα=，可得α的终边在第一或第二象限，β的终边在第三或第四象限，且cosβ=cosα．若α的终边在第一象限，则β的终边在第四象限，∵cosα==，∴cosβ=cosα=．若α的终边在第二象限，则β的终边在第三象限，∵cosα=﹣=﹣，∴cosβ=cosα=﹣．综上可得，cosβ=cosα=±，故选：D．6．（5分）已知x，y∈R，且，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【解答】解：作出x，y∈R，且所表示的平面区域，由，解得A（﹣3，4）作出直线2x+y=0，对该直线进行平移，可以发现经过点A（﹣3，4）时Z取得最小值﹣2；故选：B．7．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β【解答】解：对于A，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故错；对于B，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，正确；对于C，如下图，m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β，故错；对于D，若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α、β相交，故错；故选：B．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，已知主视图和左视图是全等的直角三角形，俯视图为圆心角为90°的扇形，则该几何体的体积是（）A．B．π C．D．2π【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为底面半径是，高为的圆锥的，则该几何体的体积V=．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=sin（x+），以下结论错误的是（）A．函数y=f（x）的图象关于直线x=对称B．函数y=f（x）的图象关于点（π，0）对称C．函数y=f（x+π）在区间[﹣π，]上单调递增D．在直线y=1与曲线y=f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为【解答】解：对于函数f（x）=sin（x+），令x=，求得f（x）=，为函数的最大值，可得它的图象关于直线x=对称，故A正确；令x=，求得f（x）=0，可得它的图象关于点（，0）对称，故B正确；函数y=f（x+π）=sin（x+π+）=﹣sin（x+），在区间[﹣π，]上，x+∈[﹣，]，故f（x+π）单调递减，故C错误；令f（x）=1，求得sin（x+）=，∴x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k ∈Z，故在直线y=1与曲线y=f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为，故D正确，故选：C．10．（5分）函数y=x+a与y=（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图象可能为（）A．B． C．D．【解答】解：y=是奇函数，x＞0时，y=a x，当a＞1时，是增函数，函数y=x+a的截距大于1，没有选项，所以a∈（0，1）此时y=a x，是减函数，函数y=x+a的截距小于1大于0，只有D满足题意．故选：D．11．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R，均有f（x+2）=f（x），已知当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于x=1对称B．f（x）有最大值1C．f（x）在[﹣1，3]上有5个零点D．当x∈[2，3]时，f（x）=2x﹣1﹣1【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R，均有f（x+2）=f（x），故函数的周期为2，则f（x）的图象关于（1，0）点对称，故A错误；f（x）∈（﹣1，1），无最大值，故B错误；整数均为函数的零点，故f（x）在[﹣1，3]上有5个零点，故C正确；当x∈[2，3）时，x﹣2∈[0，1），则f（x）=f（x﹣2）=2x﹣2﹣1，当x=3时，f（x）=0，故D错误；故选：D．12．（5分）锐角三角形ABC中，∠A=30°，BC=1，则△ABC面积的取值范围为（）A．B．C． D．【解答】解：∵∠A=30°，BC=1，可得：，∴AB=2sinC，AC=2sinB=2sin（150°﹣C）=2（cosC+sinC）=cosC+sinC，=AB•AC•sinA=×2sinC×（cosC+sinC）×═sin（2C﹣）+，∴S△ABC∵C∈（30°，90°），可得：2C﹣60°∈（0°，120°），∴sin（2C﹣60°）∈（0，1]，可得：sin（2C﹣）+，则△ABC面积的取值范围为：（]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知sin（α+）=，则sin2α=．【解答】解：∵sin（α+）=，∴（sinα+cosα）=，解得：sinα+cosα=，∴两边平方，可得：1+sin2α=，∴sin2α=．故答案为：．14．（5分）f（x）=，则f（2017）=．【解答】解：∵f（x）=，x≥0时，函数是周期函数，周期为2，∴f（2017）=f（2015）=f（2013）=…=f（1）=f（﹣1）=cos（）=，故答案为：．15．（5分）已知单位向量=（x，y），向量=（1，），且＜，＞=60°，则y=或0．【解答】解：根据题意，单位向量=（x，y），向量=（1，），则||==1，||=2，且•=x+y，又由＜，＞=60°，则•=||||cos＜，＞=x+y=1，则有，解可得y=或0，故答案为：或0，16．（5分）如图所示，直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1上任意一点，F为底面A1C1（除C1外）上一点，已知F在底面AC上的射影为H，若再增加一个条件，就能得到CH⊥AD，现给出以下条件：①EF⊥B1C1；②F在B1D1上；③EF⊥平面AB1C1D；④直线FH和FE在平面AB1C1D的射影为同一条直线．其中一定能成为增加条件的是①③④（把你认为正确的都填上）【解答】解：因为根据三垂线定理，要使CH⊥AD，只要EF⊥AD，又AD∥B1C1，所以条件①EF⊥B1C1可以；②F不一定在B1D1上；③EF⊥平面AB1C1D；容易得到EF⊥AD，可以得到CH⊥AD，所以③可以；④直线FH和FE在平面AB1C1D的射影为同一条直线．说明平面EFH与平面AB1C1D 垂直，得到CH⊥AD；所以一定能成为增加条件的是①③④；故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（10分）已知集合A={x|＞0}，集合B={x|x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣2＜0}；p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求m取值范围．【解答】解：集合A={x|＞0}={x|（x﹣3）（x+1）＜0}=（﹣1，3），集合B={x|x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣2＜0}={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣2）＜0}=（m ﹣1，m+2）∵p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件∴m﹣1≥﹣1且m+2≤3，∴0≤m≤1即实数m的取值范围为[0，1]．18．（12分）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b=c=，D为BC边上靠近C点的三等分点，记向量=（1，sinA），=（﹣1，cosA），且∥．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）设=，=，若存在正实数k，t，使向量+（t2+3）与向量﹣k+3t 垂直，求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（1，sinA），=（﹣1，cosA），且∥，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣，∵0＜A＜π，∴A=，∵b=c，∴C=B=由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=3+3﹣2×××（﹣）=9，∴a=3，∵D为BC边上靠近C点的三等分点，∴CD=BC=1，由余弦定理可得AD2=b2+cd2﹣2b•CD•cos=3+1﹣2××1×=1，∴AD=1，（Ⅱ）设=，=，由（Ⅰ）可得•=×1×cos=0若存在正实数k，t，使向量+（t2+3）与向量﹣k+3t垂直，∴[+（t2+3）]•（﹣k+3t）=﹣k+3t（t2+3）+（3t﹣kt2﹣3k）•=）=﹣3k+3t（t2+3）=0，∴k=t3+3t，∴==t++1≥2+1=2+1，当且仅当t=，k=6时取等号故的最小值为2+1．19．（12分）已知函数f（x）=cos（2ωx﹣）+2sin2（ωx+）（ω＞0）在[π，π]上具有单调性，且f（）=+1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=cos（2ωx﹣）+2sin2（ωx+）=cos2ωxcos+sin2ωxsin+1﹣cos（2ωx+）=cos2ωx+sin2ωx+1+sin2ωx=sin2ωx+cos2ωx+1=．（Ⅰ）∵f（x）在[π，π]上具有单调性，∴，得ω≤3．又f（）=+1，∴2ω×，k∈Z．∴ω=6k+1，k∈Z．取k=0，得ω=1，∴f（x）=sin（2x+），则函数的最小正周期T=；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）=sin[2（x﹣）+]﹣1=sin（2x﹣）﹣1，由x∈[﹣，]，得2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）﹣1∈[﹣2，﹣]．故函数g（x）在[﹣，]上的最大值和最小值分别为﹣，﹣2．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥平面AA1B1B，AB=AA1=2，∠A1AB=60°．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC；（Ⅱ）若四棱锥A﹣BB1C1C的体积为，求该三棱柱的侧面积．【解答】证明：（1）在侧面A1ABB1中，∵A1A=AB，∴四边形A1ABB1是菱形，∴AB1⊥A1B∵CB⊥平面A1ABB1．AB1⊂平面A1ABB1，∴AB1⊥CB，∵A1B∩CB=B，∴AB1⊥平面A1CB．又∵AB1⊂平面AB1C；∴平面AB1C⊥平面A1BC；（2）由（1）及∠A1AB=60°得△A1BB1是等边三角形，取BB1的中点M，则A1M⊥BB1，又∵BC⊥平面AA1B1B，∴A1M⊥面CBB1C1，且A1M=∵四棱锥A﹣BB1C1C的体积为，∴V==∴BC=1，∴S=BB 1×，S=1×2=2，在△CA1C1中，A1C1=A1C=，CC1=2，∴△A 1CC1边CC1上的高为2，∴S=2×2=4．∴该三棱柱的侧面积为S=2+2+4=6+2．21．（12分）现有一块大型的广告宣传版面，其形状是如图所示的直角梯形ABCD．某厂家因产品宣传的需要，拟出资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形DEFG（点F在曲线段AC上，点E在线段AD上）．已知BC=12cm，AB=AD=6cm，其中曲线段AC是以A为顶点，AD为对称轴的抛物线的一部分．（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段AC与线段DC的方程；（Ⅱ）求该厂家广告区域DEFG的最大面积．【解答】解：（Ⅰ）以AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（6，0），C（6，﹣12），D（0，﹣6）．设曲线AC的方程x2=﹣2py，（p＞0，0≤x≤6）．∵点C（6，﹣12）在曲线AC上，∴62=﹣2p×（﹣12），∴2p=3∴曲线AC的方程为x2=﹣3y．，（0≤x≤6）．k DC=，直线DC方程为：y=﹣x﹣6∴线段DC的方程为：y=﹣x﹣6，．（0≤x≤6）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设F（a，﹣a2），G（a，﹣a﹣6），E（0，﹣a2）．∴DE=﹣a2+6，EF=a，FG=﹣a2+a+6则公园的面积为f（a）=（﹣+a+12）×a×=﹣，（0≤a≤6）λf′（a）=﹣a2+a+6，a∈（0，3）时，f′（a）＞0，a∈（3，6）时，f′（a）＜0∴f（a）在（0，3）上是增函数，在[3，6）上是减函数．．∴该厂家广告区域DEFG的最大面积为．22．（12分）函数f（x）=2ae x﹣x3e x在（0，f（0））处的切线与直线y=2x平行．（Ⅰ）求实数a；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=+x3+x（lnx+1）﹣2，当x＞1时，g（x）＞k（x﹣1）恒成立，求整数k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2ae x﹣x3e x，∴f′（x）=2ae x﹣3x2e x﹣x3e x，∴k=f′（0）=2a，∵f（x）=2ae x﹣x3e x在（0，f（0））处的切线与直线y=2x平行，∴2a=2，解得a=1，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2e x﹣x3e x，∴f′（x）=e x（2﹣3x2﹣x3），令f′（x）=0，即2﹣3x2﹣x3=0，即（x+1）（x2+2x﹣2）=0，解得x=﹣1或x=﹣1﹣或x=﹣1+，当f′（x）＞0时，解得x＜﹣1或﹣1＜x＜﹣1+，函数f（x）单调递增，当f′（x）＜0时，解得﹣1＜x＜﹣1，或x＞﹣1+，函数f（x）单调递减，∴f（x）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+）为增函数，在（﹣1，﹣1），（﹣1+，+∞）上为减函数（Ⅲ）g（x）=+x3+x（lnx+1）﹣2=2﹣x3+x3+x（lnx+1）﹣2=x（lnx+1），∵x＞1时，g（x）＞k（x﹣1）恒成立，∴x（lnx+1）＞k（x﹣1），在（1，+∞）恒成立，∴k＜，在（1，+∞）恒成立，设h（x）=，x∈（1，+∞），∴h′（x）=，∵x＞1，∴3x﹣2＞0，2x﹣1＞0，lnx＞0，∴h′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）∵=（lnx+2）=2，∴k≤2，∴整数k的最大值为2。
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高三期中质量检测理科数学试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】= ,选C. 2. 下列命题中的假命题是（ ） A. ， B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】，; ;，;，,所以D为假命题,选D. 3. 下列函数中，既是奇函数又是区间上的减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】不是奇函数;既是奇函数又是区间上的减函数; 是奇函数又是区间上的增函数;不是奇函数,所以选B. 4. 数列为等差数列，是其前项的和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ,选A. 5. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为,所以 ,选D. 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A
【解析】 ,所以向左平移 个单位,选A. 7. 的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由、、成等比数列，得 ,所以
,选B.
8. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D. 【答案】C 【解析】由 得,舍去A; 当 时 ,舍去B; 当 时 ,舍去D;选C. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题． 9. 我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法前两步分
为： 第一步：构造数列，，，，…，.① 第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为），，，…，. 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 ,所以 ,选B. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间
若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或. 10. 函数零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】当时, 当时,与 有两个交点,因此一共有三个零点,选C. 11. 在平行四边形中，，边，，若、分别是边、上的点，
且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设 ,选D. 点睛：平面向量数量积的类型及求法 (1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式
；三是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进
行化简. 12. 函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数
有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为为偶函数,为奇函数,所以 ,即周期为4
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 的值为__________. 【答案】 【解析】 14. 计算：__________. 【答案】 【解析】
点睛： 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而
正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等 15. 已知曲线：与曲线：，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数
的值为__________. 【答案】 【解析】设交点为 ，则切线斜率为
16. 若对任意的，均有成立，则称函数为函数和函数在区间
上的“中间函数”.已知函数，，，且是和在区间上的“中间函数”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 在区间上恒成立，所以 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求在上的最小值. 【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为，.(2). 【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式降幂，再利用两角差余弦公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求周期与单调区间（2）根据自变量范围确定正弦函数取值范围，再根据正弦函数图像确定最小值 试题解析：（1） ， 所以函数的最小正周期为. 由，， 得，， 所以函数的单调递增区间为，. （2）因为，所以， 所以，所以， 所以在上的最小值为. 18. 在数列中，已知，，，为常数. （1）证明：，，成等差数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】试题分析：（1）根据递推关系求，，再验证成立即可（2）先构造等差数列，再根据等差数列通项公式得，由等比数列定义得数列为等比数列，最后根据等比数列求和公式求数列的前项和. 试题解析：（1）因为，， 所以， 同理，，， 又因为，， 所以， 故，，成等差数列. （2）由，得， 令，则，， 所以是以为首项，公差为的等差数列， 所以， 即，，两式相加，得：， 所以， ， 当，，
当，. 19. 已知的内角、、的对边分别为、、，. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 试题解析：（1）由余弦定理及题设可知：，得， 由正弦定理，得. （2）由题意可知. . 因为，所以，故， 所以的取值范围是. 20. 已知函数（，）. （1）若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值和最小值； （2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围. 【答案】(1)最大值为8，最小值为；(2). 【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，求导函数解得；再根据，得.再根据导函数求得零点，列表可得导函数符号，确定函数单调性，最后得到最值（2）由题意得导函数在上存在零点，所以的两根满足或，解得的取值范围. 试题解析：（1）∵在上，∴， ∵点在的图象上，∴， 又，∴， ∴，解得，. ∴，， 由可知和是的极值点. ∵，，，， ∴在区间上的最大值为8，最小值为. （2）因为函数在区间上不是单调函数，所以函数在上存在零点. 而的两根为，， 若，都在上，则解集为空集，这种情况不存在； 若有一个根在区间上，则或， ∴. 21. 在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且
，. （1）求数列和的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与最小值. 【答案】(1)，；(2)的最大值是，最小值是. 【解析】试题分析：（1）由条件列关于公差与公比的方程组，解得，，再根据等差与等比数列通项公式求通项公式（2）化简可得，再根据等比数列求和公式得，结合函数单调性，可确定其最值 试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则
解得，， 所以，. （2）由（1）得，故， 当为奇数时，，随的增大而减小，所以； 当为偶数时，，随的增大而增大，所以， 令，，则，故在时是增函数.