讲义9
厦大《高代》讲义第9章+内积空间
第九章内积空间Inner Product Space§9.1 目的与要求•掌握内积、内积空间的概念•熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长度、距离、夹角、正交等•熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式、三角不等式的含义及应用厦门大学数学科学学院网址: •定义:设V 是R 上线性空间,存在映射( ,):, 使得对任意x , y , z ∈V, c ∈R,有(1). ( x , y ) = ( y , x )(2). ( x + y , z ) = (x ,z ) + (y , z )(3). ( cx , y ) = c ( x , y )(4). ( x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V 上定义内积( , ). V 称为内积空间.有限维实内积空间称为Euclid 空间(欧氏空间).R V V →⨯对称线性非负（实）内积空间•定义:设V 是C 上线性空间,存在映射( , ):使得对任意x , y , z ∈V, c ∈C,有(1).(2). (x + y , z ) = (x , z ) + ( y , z )(3). (cx , y ) = c ( x , y )(4). (x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V 上定义内积( , ). V 称为复内积空间.有限维复内积空间称为酉空间.•注1:对任意实数a , , 所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的, 统称为内积空间.•注2:在复内积空间中, (,)(,)x y y x =a a =(,)(,)x cy c x y =R V V →⨯（复）内积空间•例1:R n ×1是n 维欧氏空间, 若, 定义内积如下:该内积称为R n ×1上的标准内积.C n ×1是n 维酉空间, 若, 定义内积如下:该内积称为C n ×1上的标准内积.1122(,)...n nx y y x x y x y x y '==+++例子1,C n x y ⨯∀∈1,R n x y ⨯∀∈1122(,)...n nx y y x x y x y x y '==+++•例2:R 2×1上对1) 是内积2) 非线性, 非内积3) 未必非负, 非内积11211222(,)4x y x y x y x y x y =--+例子1122,x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∀== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,2(,)max(||,||)i i i x y x y ==1212(,)x y x x y y =+++•例3:设, 定义则c [a , b ]是无限维内积空间. •例4:设G 为n 阶正定阵, 对, 定义则R n ×1是R 上n 维欧氏空间. G =I 即例1.•例5:R n ×n 上定义(A , B ) = tr(A’B ), 是欧氏空间么? 若是, 它是几维的?例子(,)'x y x Gy=(,)()()b a f g f x g x dx =⎰(),()[,]f x g x c a b ∈1,R n x y ⨯∀∈•定义:设V 实内积空间, 设x , y ∈V, 定义x 的长度为:定义x 与y 的距离为:当V是实空间时, 定义x , y 的夹角θ的余弦为:当V 是复空间时, 定义x , y 的夹角θ的余弦为:当( x , y ) = 0时, 称x 与y 正交, 记x ⊥y .(,)x x x =(,)d x y x y=-(,)cos x y x yθ=(,)cos x y x y θ=(实)内积空间_2•定理:设V 是实的或复的内积空间,设x , y ∈V, c 为常数(实数或复数), 则(1) (2) (Cauchy-Schwarz 不等式)当且仅当x , y 线性相关时, 等号成立.(3) (三角不等式)cx c x=(,)x y x y≤x y x y+≤+在R n×1中•注1:x=0时, 对任意y, (x, y)=0; 反之, 若对任意y, 都成立(x, y)=0, 则x=0. 即只有零向量和自己正交; 只有零向量的长度为0;•注2:||x+y||= ||x||+||y|| x和y同向或有一为0;•注3:(x, y)=||x||||y||cosθ, 其中θ为x与y的夹角(内积几何意义);•注4:x⊥y时, (x,y)=(y,x)=0, ||x+y||2=||x||2+||y||2 (勾股定理);•注5:若两两正交, 即则1)2)•注6:x 称为单位向量, 若. 一般地, 若x ≠0, 则x /|| x ||是单位向量(称把x 单位化).•注7:Cauchy-Schwarz 不等式具体形式:内积空间_512,,...,m ααα(,)0,i j i j αα=∀≠122...m mk k ααα⊥++22221212......m mαααααα+++=+++1x =()222221111...(...)(...)n n n nx y x y x x y y ++≤++++222(()())()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx≤⎰⎰⎰例子•例6:证明下列不等式成立1)2) 若A =(a ij )n ×n 是(对称)正定阵, 则))(()(1111211j i n i nj ij j i n i n j ij n i n j j i ij y y a x x a y x a ∑∑∑∑∑∑======≤222111111()()()nnnnnnji ji jijii j i j i j a b a b ======≤∑∑∑∑∑∑厦门大学数学科学学院网址: 作业•作业p294 1, 2, 3, 6, 7补充: R n ×n 上定义(A , B ) = tr(A’B ), 是欧氏空间么? 为什么? 若是, 它是几维的?并证明下列不等式：•选做p295 5222111111()()()nnnnnnji ji jijii j i j i j a b a b ======≤∑∑∑∑∑∑§9.2 目的与要求•掌握标准正交基、正交补空间的概念•掌握度量矩阵与内积的关系•掌握两标准正交基的过渡矩阵与正交阵的关系•熟练掌握矩阵为正交阵的充要条件•掌握向量组的Gram-Schmidt正交化的计算标准正交基_1•定义:设是n 维内积空间V 的一组基, 若, 则称这组基是V 的一组正交基, 若,则称这组基是V 的一组标准正交基.•引理:内积空间V 中任意一组两两正交的非零向量必线性无关.12,,...,n εεε(,)0,i j i j εε=∀≠(,)i j ij εεδ=标准正交基_2•定理: 设V 是内积空间, 是V 中m 个线性无关的向量, 则在V 中存在两两正交的向量, 使得•Gram-Schmidt 正交化:12,,...,m ξξξ12,,...,m ηηη1212(,,...,)(,,...,).m m L L ξξξηηη=11ηξ=,11,11,(,)...,,11(,)i j i i i i i i i j j j k k k j i ξηηξηηηη--=+++=-≤≤-Schmit 正交化uu 2211k v -v 2322k v -1212111112212(,)(,)u u u k v v u v v v v v ==--=v 12v 311k v -3v 3u 331132233313221u u k v k v k k v v v --=--=211k v v 1311k v 322k v 3322u k v -标准正交基_3•注: 任意线性无关向量组必可正交化, 且正交化后的向量组与原向量组等价.•推论: 任意n 维内积空间有一组标准正交基.•注: 标准正交基可以简化内积的运算.设是内积空间V 的标准正交基, 若, 则, 即又若, 则12,,...,n εεε(,)i i x x ε=1122(,)....n n x y x y x y x y =+++1122...n n x x x x εεε=+++111222(,)(,)...(,)n n n x x x x εεεεεε=+++1122...n n y y y y εεε=+++例子•例1:R 1×2, 在标准内积下e 1, e 2是标准正交基, 任意向量x =(x 1, x 2), 则x 1=(x , e 1), x 2=(x , e 2).•例2:设V 是四维行向量空间, 内积为标准内积, 又. 试用Gram-Schmidt 方法将化为V 的一组标准正交基.•例3:设, 问是否为的一组基? 一组标准正交基?1234(1,1,0,0),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,u u u u ==-==1,1,1)--1234,,,u u u u 12(1,0),(0,1)u u ==12,u u 12R ⨯正交补•定义:设U是内积空间V的子空间,令U⊥={v∈V| (v, u)=0,对任意u∈U},则U⊥是V的子空间, 称为U的正交补空间.•定理:设Ｖ是n维内积空间, U是Ｖ的子空间,则(1) V = U U⊥;(2) U上任意一组标准正交基必可扩为V 的标准正交基;(2’) V上任意一组标准正交向量组必可扩为V 的标准正交基.例子•例5:若, 且对都有, 则•例6:(Bessel 不等式) 设是n 维内积空间V 的正交向量组, y 是V 的任一向量, 则且等号成立的充要条件是•例7:设线性子空间U 是齐次线性方程组Ax =0的解空间, 求U ⊥适合的线性方程组.12,,...,m v v v 2221|(,)|||||||||m k k k y v y v =≤∑12(,,...,).m y L v v v ∈12V U W U W =⊕=⊕11U, W u w ∀∈∈22W w ∈12(,)(,)0u w u w ==12W W U .⊥==度量矩阵_1设V 是n 维欧氏空间,是V 的一组基,令由内积定义知G 是一个实对称矩阵, 称为度量矩阵. 设则( x , y ) = (x 1, …, x n ) G (y 1, …, y n ) = X ’GY 这里X ’= (x 1, …, x n ), Y = (y 1, …, y n )’.因为当x ≠0时, 必有(x , x ) >0, 所以Ｇ是正定阵.111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n G ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11,n n i i i ii i x x y y ξξ====∑∑,,...,12n ξξξ度量矩阵_2•注1:在n 维实线性空间V 的基固定情况下{V 上的内积} {实正定矩阵}.•注2:设是欧氏空间V 的一组基, 则为正交基⇔G 为(正定)对角阵；为标准正交基⇔G 为单位阵.←−−→１：１,,...,12n ξξξ,,...,12n ξξξ,,...,12n ξξξ正交矩阵_1设u 1, u 2, …, u n 和v 1, v 2, …, v n 是n 维欧氏空间V 的两个标准正交基, T 是从基u 1, u 2, …, u n 到v 1, v 2, …, v n 的过渡矩阵,即(v 1, v 2, …, v n )=(u 1, u 2, …, u n )T.则由于,故有T ’T =I .•定义:实n 阶方阵T 称为正交阵, 如果T -1=T ’.1(,)i jn ij si sj s v v t t δ===∑正交矩阵_2•注1:设u1,u2,…,u n是维欧氏空间的一个标准正交基, T是正交阵, 且有(v1,v2,…,v n)=(u1, u2, …, u n)T.则v1,v2,…,v n是V的标准正交基.•注2:T是正交阵 T 的列向量是标准内积空间R n×1的标准正交基.正交矩阵_3•例4:(1) 单位阵是正交阵.(2) 实对角阵是正交阵的充分必要条件是对角元素为±1.(3) 上(下)三角阵是正交阵的充分必要条件是它是对角阵且对角元素为±1.(4)是正交阵且二阶矩阵能作为正交阵的只能是如上两种形式.(5) 置换阵是正交阵.cos sin cos sin ,sin cos sin cos θθθθθθθθ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭正交矩阵_4•命题:设T, S为正交阵, 则(1) |T | = ±1.(2) T 可逆且T -1为正交阵.(3) T *为正交阵.(4) –T 为正交阵.(5) TS 为正交阵.(6) T 的特征值的模长为1.§9.3 目的与要求•了解伴随变换的概念•掌握伴随变换的矩阵表示与性质伴随_1•定义:设V 是数域K 上线性空间, 从V 到K 的线性映射称为线性函数. V 上线性函数的全体称为V 的共轭空间, 记做V *.•注:设V 是n 维欧氏空间,内积为(-,-). 固定0≠v ∈V, 则是V 上线性函数. 反之, 任一线性函数均可由上面方式实现.:.f V K (,)x x v伴随_2•引理:设f 是n 维欧氏空间V 的线性函数,则必存在V 上唯一向量v ,使对任意x ∈V, 均有f (x )=(x ,v ).•定理:设是n 维欧氏空间V 的线性变换算子,则存在唯一线性变换算子,使得对任意u ,v ∈V, 有•注1: 称为的伴随变换.•注2: 欧氏空间上线性变换称为线性算子.ϕ*ϕ((),)(,*()).u v u v ϕϕ=*ϕϕ伴随_3•定理:设u 1,u 2,…,u n 是n 维欧氏空间V 的一组标准正交基,若V 的线性变换在这组基下的表示矩阵为A ,则的伴随算子在这组基下的表示矩阵为A ’.•定理:设是n 维内欧氏空间V 的两个线性变换,c 为常数,则ϕ*ϕϕ2)()**c c ϕϕ=1)()***ϕψϕψ+=+3)()***ϕψψϕ=4)(*)*ϕϕ=,ϕψ§9.4 目的与要求•掌握内积空间的（保积）同构的概念•熟练掌握内积空间的同构的等价命题•掌握正交算子的概念•熟练掌握正交算子的等价命题•掌握正交阵在正交相似下的标准型及相应的正交算子命题正交算子_1•引理:设是维欧氏空间V 到W 的线性映射,则下列条件等价:(1) 保持内积,(2) 保持范数,(3) 保持距离, •定义:设V,W 是n 维欧氏空间是线性映射.如果是线性空间同构且保持内积,即则称是欧氏空间的同构,记:V W ϕ→ϕϕϕϕ((),())(,).x y x y ϕϕ=().x x ϕ=((),())(,).d x y d x y ϕϕ=ϕ((),())(,),x y x y ϕϕ=ϕV W.≅正交算子_2•定理: 设V, W 是n 维欧氏空间, 是线性映射,则下列条件等价:(1) 保持内积.(2) 保持范数.(3) 保持距离.(4) 是欧氏空间同构.(5) 将V 的任一标准正交基变成W 的标准正交基.(6) 将V 的某一标准正交基变成W 的标准正交基.:V W ϕ→ϕϕϕϕϕϕ正交算子_3•推论:设V, W 是欧氏空间,则 dimV = dimW.•注1:两个欧氏空间是否同构与其上定义的内积无关, 只与维数有关.•注2:欧氏空间的同构是等价关系.•注3:任意n 维欧氏空间都同构于标准内积空间R n .•意义:对一般n 维欧氏空间的研究可转化为对标准内积空间R n 的研究.V W正交算子_3•定义: n 维欧氏空间V 上保持内积的线性算子称为正交算子或正交变换.•定理:设是n 维欧氏空间V 的线性变换,则下列条件等价:(1) 是正交算子. (2) 保持距离.(3) 保持范数. (4) 是V 的自同构.(5) 可逆且(6) 将V 的任意标准正交基变为另一标准正交基.(7) 将V 的一组标准正交基变为另一标准正交基.(8) 在V 的任意标准正交基下的矩阵是正交阵.(9) 在V 的某组标准正交基下的矩阵是正交阵.ϕϕϕϕϕ1*.ϕϕ-=ϕϕϕϕϕ正交算子_4•注1:n 阶正交阵可视为某n 维欧氏空间V 上正交变换在V 的某标准正交基下的表示矩阵;•注2:n 阶正交阵还可视为某n 维欧氏空间V 中某两标准正交基的过渡矩阵.•注3:若是正交算子, 则1) 可逆, 且也是正交算子;2)为正交算子;3) 若|c |=1, 则为正交算子.,ϕψϕ1ϕ-ϕψc ϕϕ正交相似_1设是n 维欧氏空间V 上线性变换, u 1, …, u n 和v 1, …, v n 分别是V 的两组标准正交基,则•定义:设A , B ∈R n ×n , 若存在正交阵T , 使则称A , B 是正交相似的.ϕ1212(,,...,)(,,...,)n n v v v u u u T =1212(,,...,)(,,...,)n n u u u u u u A ϕ=1212(,,...,)(,,...,)n n v v v v v v Bϕ=1.B T AT T AT -'==1,B T AT T AT -'==正交相似_2•注1:设A, B∈R n×n, 则A与B是正交相似的充分必要条件是A, B是n维欧氏空间V上同一个线性算子在不同标准正交基下的矩阵.•注2:正交相似是等价关系.•注3:设A与B正交相似, A是正交阵, 则B也是正交阵.•注4:若B由矩阵A互换i,j两行, 再互换i,j两列得到, 则A, B正交相似.•注5:两对角阵仅对角元顺序不同, 则他们正交相似.正交算子_5•引理:设A 为正交阵,为A 的一个复特征值, (b ≠0), 为对应的特征向量, 则且•注:因, 故可设cos sin (,),(,)sin cos Ax x y Ay x y θθθθ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ib λ=+u x iy =+.x y =x y ⊥221,a b +=1λ=cos ,sin .a b θθ==-cos sin (,).sin cos A x y θθθθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭正交算子_6•定理:设A 为正交阵, 则存在正交阵T , 使T -1AT •定理:设是n 维欧氏空间V 的正交算子, 则存在一组标准正交基, 使得在此基下的矩阵是1111cos sin cos sin {,,,...,}.sin cos sin cos l l s t l l diag I I θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111cos sin cos sin {,,,...,}.sin cos sin cos l l s t l l diag I I θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ϕϕ例子•例1:设是欧氏空间V 的线性变换, 则下列命题中___不能作为是正交变换的等价命题.A. 在某一组基下表示矩阵是正交阵;B. ;C. 保积同构;D. 保持距离不变.A1*ϕϕ-=例子•例2:和矩阵正交相似的矩阵是___.A.B. C.D.A 1001M ⎛⎫= ⎪-⎝⎭0110⎛⎫ ⎪⎝⎭1100-⎛⎫ ⎪⎝⎭1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭0110⎛⎫ ⎪-⎝⎭例子•例3:设是n 维欧氏空间的线性变换, 分别是的伴随变换, 则下列命题中错误的有___个.①是单的线性变换, 则是满的线性变换②③, 对任意的④是同构变换, 则也是同构变换A. 0B. 1C. 2D. 3A,ϕψ*,*ϕψ,ϕψϕ*ϕ*dimIm dimIm ϕϕ=ϕ*ϕ*((),)((),)ϕαβϕβα=,Vαβ∈例子•例4:三阶正交矩阵在正交相似下的所有可能的标准形是___.111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭cos sin sin cos 1θθθθ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭cos sin sin cos 1θθθθ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭例子•例5:设为n 阶正交矩阵, 且则矩阵方程的解x = ___.要点:1. 因为A 是正交阵, 故A 可逆, 问题的解唯一; 2.又因A 是正交阵, 且故A 的第一列为-e 1, 从而.()ij n n A a ⨯=111,a =-1Ax e =1e -111,a =-11()A e e -=§9.5 目的与要求•掌握自伴随算子的概念及与对称矩阵的关系•熟练掌握对称矩阵的正交相似标准型•掌握对称矩阵相似/合同/正交相似的全系不变量•一些相关的计算和证明对称算子_1•定义:设V 是n 维欧氏空间,是V 的线性算子, 如果, 则称是自伴随算子(对称算子).•定理:设是n 维欧氏空间V 的线性算子, 则下列条件等价：(1)是对称算子;(2)(3) 在V 的任一组标准正交基下的矩阵是对称阵;(4) 在V 的某一组标准正交基下的矩阵是对称阵.*ϕϕ=ϕϕϕϕ((),)(,());ϕαβαϕβ=ϕϕ•定理:设是n 维欧氏空间V 上对称算子,则的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交.•定理’:设A ’=A ∈R n ×n ,则A 的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交(标准内积空间R n ×1).•引理:设是n 维欧氏空间V 上对称算子. U 是子空间. 则U ⊥也是子空间.•定理:设是n 维欧氏空间V 上对称算子, 则存在V 的一组标准正交基, 使在这组基下的矩阵是对角阵.•定理’:设A ’= A ∈R n ×n , 则存在正交阵T , 使T -1AT =T ’AT 为对角阵, 且对角线元素为A 的特征值.ϕϕϕϕ-ϕ-ϕϕ•定理:A , B 实对称矩阵, 则A , B 正交相似 A , B 的特征值相同.•注:特征值是实对称矩阵相似的全系不变量.•定理:设是n 元实二次型,是A 的所有特征值, 则必存在正交线性替换为正交阵, 使f 的正惯性指数等于A 的正特征值个数, f 的负惯性指数等于A 的负特征值个数, f 的秩等于A 的非零特征值的个数.22211122(,,)n n n f x x y y y λλλ=+++ 1(,,)n f x x X AX '= 1,,n λλ ,X TY T =。
【精品】北师大版四年级下册数学讲义第9讲植树问题(奥数板块) (含答案)
81251000⨯=425100⨯= 小数乘除巧算一、【名师解析】1、乘法凑整运算性质。
思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。
例如1025=⨯ 理论依据：乘法交换律：a ×b=b ×a乘法结合律：(a ×b) ×c=a ×(b ×c)乘法分配律：(a+b) ×c=a ×c+b ×c积不变规律：a ×b=(a ×c) ×(b ÷c)=(a ÷c) ×(b ×c)小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的顺序相同。
整数的运算定律在小数运算中仍然适用。
2、小数乘、除法计算方法（1）小数乘法：计算小数乘法，先按照整数乘示的法则算出积，再看乘数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
乘数与积的位数关系：乘数中一共有几位小数，积中就有几位小数。
注意：①要数清楚两个乘数中小数的位数，弄清楚应补上几个0。
②确定积的小数点位置时，应先点上小数点，然后再把小数末尾的0划掉。
（2）小数除法：①除数是整数的小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同，是已知两个乘数的积与其中的一个乘数，求另一个乘数的运算。
（被除数与商的小数点对齐）②整数除以整数，商是小数的小数除法的计算方法：先按照整数除法的法则去做，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在后面填上0继续除。
③除数是小数：A.商不变的规律：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
b.除数是小数的小数除法的计算方法：要把被除数和除数扩大相同的倍数，使除数变成整数，再按照小数除以整数的方法进行计算。
（3）把一个数的小数点向左（右）每移一位，这个数就缩小（扩大）10倍。
二、【例题精讲】例1.计算：0.125×0.25×0.5×64 80×25×2×1.25×0.5×0.4练习：计算（1）1.31×12.5×8×2 （2）1.25×32×0.25 （3）1.25×88 （4）20×12.5×0.8×0.5 （5）64×12.5×0.25×0.05例2.计算：（1）0.125÷（3.6÷80）×0.18 （2）47.85÷6.38×0.638 （3）（0.6×1.38）÷（13.8×4.8）（4）4.92÷0.25÷0.4练习：计算（1）36.363÷（1.2121×4）（2）36÷0.15÷0.12（3）7.68÷2.5÷0.4 （4）1.1÷（1.1÷1.2）÷（1.2÷1.3）÷（1.3÷1.4）例3.计算：（1）1.25×1.08 （2）7.5×9.9练习：计算（1）0.56×9.8 （2）2.5×10.4（3）3.8×0.99 （4）76.5×10.2例4.计算：312.5×12.3－312.5×6.9＋312.5练习：计算（1）9.56×4.18－7.3×4.18－0.26×4.18 （2）3.14×6.5+4.5×3.14-3.14例5.计算：（1）2000×199.9－1999×199.8（2）4.56×0.27＋483×0.0456＋1.9×4.56＋0.456×30练习：计算（1）200.9×20.08-200.8×20.07（2）1999×3.14+199.9×31.4+19.99×314例6.计算：1240×3.8+124×51+1.24×1400+760×9.6+0.76×700练习：计算15.6×78-15.6×14-64×5.6 2.55⨯33.9+33.9⨯4.75+7.3⨯66.1 【选讲】计算：12.9÷0.72＋43.5÷3.6练习：计算：117.8÷2.3－4.88÷0.23三、【综合精炼】一、计算下列各题：（1）8.376÷0.4÷2.5 （2）35÷0.125÷0.8（3）0.36÷[(6.1-4.6) 0.8] （4）（4.8×7.5×8.1）÷（2.4×2.5×2.7）（5）64×12.5×0.25×0.05 （6）8.7×10.1-0.87（7）47.5×99+47.5 （8）3.34×28.9+33.4×7.11（9）36×0.78+3.6×2.2 （10）17.48×37—174.8×1.9+1748×0.82 （11）199.9×19.98-199.8×19.97 （12）2.009×43+20.09×2.9+200.9×0.28 二、计算下列各题：（1）3.75×4.8＋62.5×0.48 （2）20.09×31.5+2.009×317+200.9×3.68（3）0.24 ×0.125÷0.3 （4）1250×0.037＋0.125×160＋12.5×2.7（5）16.46×15.1＋8.54×15.1－25×14.7 （6）75×4.67+5.99×25 （7）1.56×6.8+2.4×1.56+9.2×0.44 （8）6.3×27+1.9×21 【挑战竞赛】73÷3.6+105÷3.6+146÷3.6植树问题【名师解析】一、总路长、棵数、段数三者之间的关系：棵数×段数＝总路线长总路线长÷段数＝棵数总路线长÷棵数＝段数二、植树问题通常分为两类，封闭路线和不封闭路线：1．线段上的植树问题可以分为以下三种情形：（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=段数＋1；（2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数=段数；（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1，即：棵数=段数－1。
《机械设计》讲义(第八版)濮良贵(第9章)
§９—２ 传动链的结构特点： 一．滚子链： 1．结构： 1——滚子： 2——套筒： 3——销轴： 4——内链板 5——外链板
44
p
与 2 间隙配合。 与 3 间隙配合， 与 4 过盈配合。 与 5 过盈配合。
图9-2 滚子链的结构
b1
5 4 3 2 1
d2 d1
h2
《机械设计》 （第八版）濮良贵主编
《机械设计》 （第八版）濮良贵主编
第九章 链传动
第九章 链传动
§９—１ 链传动的特点及应用： 1．组成： 3．特点： 优： 链条，主、从动链轮，机架。 与带传动相比 1）平均传动比准确（∵无弹性滑动和打滑） ，效率较高（97～98%） 。 2）结构紧凑，压轴力 FP 小（∵无需张得很紧） 。 3）易安装，成本低，可远距传动。 （相对于齿轮） 4）可在高温、低速、多尘、润滑差的恶劣条件下工作。 缺： 4．适用： 5．分类： 1）只能用于平行轴间的同向传动。 2）瞬时传动比不恒定，冲击、噪音较大。 要求工作可靠，两轴相距较远，及其它不宜用齿轮传动处。 如： 农业、矿山、运输等机械中。 按用途不同可分三类： 又分： ①滚子链（主要介绍） ②齿形链 等几种。 2）输送链： 主要用于传送装置等（如：自动生产线的输送装置） 3）起重链： 主要用于起重机械中。 1）传动链： 使用最广，适用于： P＜100kw. v＜15m/s. i＜imax=8 的埸合。 P.165. 图 9-1. 2．工作原理： 靠链轮轮齿与链节的啮合传动。
50
p d sin(180 z)
（载荷平稳时，可达： i=10）
《机械设计》 （第八版）濮良贵主编
第九章 链传动
尽量选较小节距的单排链. ① 高速大功率：
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四年级语文下册知识讲义-9《短诗三首》(选自《繁星》)-部编版
《短诗三首》导入：同学们，仰望星空，依然可以望见那颗星，依然感受到那颗星在照耀文坛，她就是我国著名作家、儿童文学家冰心。
今天，我们一起来欣赏冰心的诗集《繁星》中的三首短诗。
学习重点：有感情地朗读课文，体会诗歌的韵味，背诵课文。
学习难点：学习诗歌丰富的想象，奇巧的构思，凝练的语言。
理解文题：我们来看诗歌的题目。
“繁星”：繁茂的星星，指很多的星星。
“繁”字是本课要求我们会写的字，笔画比较多，但也要做到內紧外松，内不乱，外不碎。
笔顺为：撇、横、竖折、横折钩、点、横、点、撇、横、撇、捺、撇折、撇折、点、竖钩、撇、点了解作者：接着，我们再来了解作者：冰心，原名谢婉莹，现代著名作家，儿童文学家、散文家。
笔名冰心取自“一片冰心在玉壶”。
冰心的小诗誉为“冰心体”。
介绍诗集冰心受印度诗人泰戈尔哲理小诗影响，读泰戈尔的《飞鸟集》后有感，创作出她的第一部诗集《繁星》，诗集收入诗人1919年至1921年秋所写的164首诗，这是作者“随时随地的感想和回忆”，是“零碎的思想”。
在看似随意的挥写后蕴藏着丰富的感情和朴素的哲理，自然深远。
诗歌内容是对母爱与童真的歌颂，对大自然的崇拜和赞颂，对人生的思考和感悟。
诗歌，让我们用美丽的眼睛看世界。
现在，请小朋友们跟老师一起来欣赏、学习诗歌。
一、读中悟情，学习诗歌。
1. 学习——繁星（七一）（1）深情朗读——繁星（七一）请小朋友们跟老师一起来诵读诗歌——繁星（七一）要注意读出韵律来。
繁星（七一）这些事——是永不漫灭的回忆：月明的园中，藤萝的叶下，母亲的膝上。
（2）有声有色，读出想象。
教师：月是中国人心中共同的情怀，举头望明月，低头思故乡。
月明时分又寄托着作者怎样的感情呢？我们来看诗句。
这些事——是永不漫灭的回忆：明确：“永不漫灭”是永远都不会磨灭的意思。
这里指的是那些童年的记忆永远都镌刻在心中，不会忘记。
小朋友们想一想，“这些事”指的是什么事？对，是：月明的园中，藤萝的叶下，母亲的膝上。
第9课《桃花源记》讲义-2023-2024学年统编版语文八年级下册
桃花源记【东晋】陶渊明题目解说“记”是古代的一种文体。
“桃花源”是记的对象。
知人论世陶渊明，字元亮，晚年更名“潜”。
因宅边有五棵柳树，又自号“五柳先生”。
私谥“靖节”，世称“靖节先生”。
“靖”作形容词，有“恭敬”之意，“节”指的之陶渊明自己的节操和节气，即“不为五斗米折腰，隐居山野”之事。
他是东晋杰出的诗人、辞赋家、散文家，诗文质朴自然而又极为精炼，具有独特风格。
曾任江州祭酒、建威参军、镇军参军、彭泽县令等职，最末一次出仕为彭泽县令，八十多天便弃职而去，从此归隐田园，是中国第一位田园诗人，遂被称为“田园诗人”，又被誉为“隐逸诗人之宗”、“田园诗派之鼻祖”，是江西首位文学巨匠，有《陶渊明集》。
写作背景作者生活的时代正是晋宋（南朝宋）易代之际。
东晋王朝极端腐败，对外一味投降，安于江左一隅。
统治集团内部互相倾轧，各割据势力连年混乱，赋税徭役繁重，人民生活在水深火热之中。
后刘裕篡位，废晋朝皇帝为王。
次年，刘裕采取阴谋手段，用毒酒杀害了废帝。
这些不能不激起陶渊明思想上的波澜，引起了他对刘裕政权的不满，加深了他对当时社会的憎恶。
但他无法改变，也不愿干预这种现状，只好借助创作来抒发情怀，于是撰写了此文，虚构了一个与污浊的黑暗社会相对立的美好世界，以寄托自己的政治理想与美好情趣。
主旨把握本文虚构了一个宁静安乐的世外桃源，描绘了一幅景色优美、没有战乱、没有剥削、没有压迫、人人安居乐业、和睦相处的生活图景，寄托了作者的美好政治理想，表达了作者反对剥削压迫、反对战乱的心声，也反映了当时劳动人民对战争的厌恶及追求和平生活的美好愿望。
文学常识“记”是古代的一种文体，主要是记载事物，往往通过记事、记物、写景、记人来抒发作者的情感或见解，即借景抒情（即景抒情），托物言志。
“记”可以写景状物，如《小石潭记》《核舟记》；也可以叙事，如《桃花源记》；也可以将写景状物与议论抒情结合起来，如《岳阳楼记》《醉翁亭记》。
“记”大致可以分为以下几种：（1）台阁名胜记：这类记文写的对象是某些建筑物或历史名胜。
第9讲、指数与指数函数(学生版)2025高考数学一轮复习讲义
第9讲指数与指数函数知识梳理1、指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈，n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠；③负整数指数幂1(0nn a a a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈；③()(0m m m ab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈．2、指数函数xy a =01a <<1a >图象性质①定义域R ，值域(0)+∞，②01a =，即时0x =，1y =，图象都经过(01)，点③x a a =，即1x =时，y 等于底数a ④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤0x <时，1x a >；0x >时，01x a <<0x <时，01x a <<；0x >时，1x a >⑥既不是奇函数，也不是偶函数【解题方法总结】1、指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1(xy a=的图象关于y 轴对称．必考题型全归纳题型一：指数运算及指数方程、指数不等式【例1】（2024·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）3327⎛=⎪ ⎪⎝⎭（）A ．9B ．19C ．3D ．39【对点训练1】（2024·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（）A ．设0,a >则4334a a a⋅=B ．若82m =，则m =C ．若13a a -+=，则1122a a -+=D 2π=-【对点训练2】（2024·全国·高三专题练习）()130.52443392221633-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．πB ．2π+C ．4π-D ．6π-【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．=1x -或2x =【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）若关于x 的方程19310x x m ++-+=有解，则实数m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],3-∞D ．(]1,3【对点训练5】（2024·上海青浦·统考一模）不等式23(1)23122x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【对点训练6】（2024·全国·高三专题练习）不等式10631x x x --≥的解集为___________.【解题总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20x x a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++ 的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质【例2】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）函数()()22x xa f x a R =+∈的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【对点训练7】（2024·全国·高三专题练习）已知()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是______．【对点训练8】（2024·宁夏银川·校联考二模）已知函数()2421x x f x +=--，[]0,3x ∈，则其值域为_______．【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()0,1x f x a a a =>≠在[]1,2内的最大值是最小值的两倍，且()()31,1log 1,01f x xg x x x ⎧+≥=⎨-<<⎩，则()123g g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）函数2(2)x y a a =-是指数函数，则（）A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）函数()()2e axf x b =-的大致图像如图，则实数a ，b 的取值只可能是（）A ．0,1a b >>B ．0,01a b ><<C ．0,1a b <>D ．0,01a b <<<【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()41x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 的坐标满足关于x ，y 的方程()40,0mx ny m n +=>>，则12m n+的最小值为（）A ．8B ．24C ．4D ．6【对点训练13】（多选题）（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)n n P P k k =+>-，其中n P为预测期人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内人口年增长率，n 为预测期间隔年数，则（）A ．当()1,0k ∈-，则这期间人口数呈下降趋势B ．当()1,0k ∈-，则这期间人口数呈摆动变化C ．当01,23n k P P =≥时，n 的最小值为3D ．当011,32n k P P =-≤时，n 的最小值为3【对点训练14】（多选题）（2024·山东聊城·统考二模）已知函数()221xx f x =+，则（）A ．函数()f x 是增函数B ．曲线()y f x =关于0,12⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 的值域为0,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =有且仅有两条斜率为15的切线【解题总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()2,R x f x x =∈，若不等式2()()0f x f x m +->在R 上恒成立，则实数m 的取值范围是________.【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）设()222x x f x --=，当R x ∈时，()()210f x mx f ++>恒成立，则实数m 的取值范围是____________.【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知不等式4220x x a -⋅+>，对于(,3]a ∈-∞恒成立，则实数x 的取值范围是_________．【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）若[1,)x ∈-+∞，不等式4210x x m -⋅+>恒成立，则实数m 的取值范围是______．【对点训练18】（2024·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试）已知函数()331x x b f x +=+是定义域为R 的奇函数.(1)求实数b 的值，并证明()f x 在R 上单调递增；(2)已知0a >且1a ≠，若对于任意的1x 、[]21,3x ∈，都有()22132x f x a -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.【解题总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题【例4】（2024·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知函数()121122441x x f x x =++++--，则不等式()()223f x f x +>的解集为（）A ．()()2,11,-⋃+∞B ．()()1,13,-+∞ C ．()1,13,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()()3,13,-+∞ 【对点训练19】（2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设()1122xx f x a ⎛⎫+ -⎝=⎪⎭.若函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞+∞ ，则关于x 的不等式()xa f a ≥的解集为__________.【对点训练20】（2024·河南安阳·统考三模）已知函数()21(0)2x a f x b a a-=+>-的图象关于坐标原点对称，则a b +=__________.【对点训练21】（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()e x f x =，则满足()()21f x f x +≥的x 的取值范围是______________．【对点训练22】（2024·河南信阳·校联考模拟预测）已知实数a ，b 满足423a a +=，22log 3b +=，则32a b +=__________．【对点训练23】（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）点()11,M x y 在函数e x y =的图象上，当[)10,1x ∈，则1111y x +-可能等于（）A ．-1B ．2-C ．3-D ．0。
语言学讲义 考研 9 Stylistics
• In addition, stylistics is a distinctive term that may be used to determine the connections between the form and effects within a particular variety of language.
5
• Other features of stylistics include the use of dialogue, including regional accents and people‘s dialects, descriptive language, the use of grammar, such as the active voice or passive voice, the distribution of sentence lengths, the use of particular language registers语域, etc.
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• Stylistics also attempts to establish principles capable of explaining the particular choices made by individuals and social groups in their use of language, such as socialisation, the production and reception of meaning, critical discourse analysis and literary criticism.
However, in Linguistic Criticism, Roger Fowler makes the point that, in non-theoretical usage, the word stylistics makes sense and is useful in referring to an enormous range of literary contexts, such as John Milton‘s ‗grand style‘, the ‗prose style‘ of Henry James, the ‗epic‘ and ‗ballad style‘ of classical Greek literature, etc. (Fowler, 1996: 185).12题三：Chiming 谐音
部编版六年级语文上册知识点讲义《 9.竹节人》
部编版六年级语文上册知识点总结精析9.竹节人一、生字组词豁（豁口豁出性命）凛（威风凛凛凛冽）疙（疙瘩）瘩（疙瘩）棍（木棍冰棍）裁（别出心裁裁判）筹（技高一筹筹划）橡（橡皮橡胶）雕（雕刻雕梁画栋）跺（跺脚）颓（颓然颓废）沮（沮丧）屉（抽屉）趴（趴在桌上趴下）二、词语威风凛凛疙瘩疲倦呆头呆脑冰棍豁开别出心裁技高一筹橡皮跺脚大步流星卡住怒气冲冲颓然暴露无遗沮丧念念有词雕刻忘乎所以心满意足轻手轻脚趴下恍然大悟三、形近字、同音字：别出心裁．-三年五载．筹．划-仇．恨-丝绸．-惆．怅四、易错音、字。
蹲dūn着风靡mǐ豁huō开裂缝fèng 嵌qiàn入威风凛凛lǐn 疙瘩gē dā金箍gū棒窦dòu尔敦偃yǎn月刀俨yǎn然叱咤chì zhà别出心裁cái 技高一筹chóu 盔kuī甲跺duò脚一哄hòng而散屏píng风虎视眈眈dān 破绽zhàn 颓tuí然赫赫hè伟绩鏖áo战犹酣hān 沮jǔ丧冬锵qiāng 悻xìng悻然抽屉tì叉chǎ腿一绺liǔ笨拙zhuō攒cuán着磕(kē)飞一模（mú）一样挨（ái）揍卡住qiǎ五、多音字攒cuán(攒集人头攒动) zǎn(积攒攒钱)哄hōng哄动哄抢hǒng哄人哄骗hòng起哄缝féng缝补裁缝fèng缝隙裂缝屏píng 屏风屏障bǐng屏息屏弃丧sāng丧事丧礼 sang 丧失丧气六、多义字：哄1、[hōng]好多人同时发声：～传（chuán ）。
～动。
2、哄[hǒng]说假话骗人：～人。
～弄。
～骗。
用语言或行动逗人喜欢：～逗。
～劝。
～小孩儿。
3、哄[hòng]吵闹，搅扰：起～。
～抢。
一～而起。
七、近义词新鲜一新奇风靡一盛行俨然一仿佛全神贯注一聚精会神鏖战一激战沮丧一颓丧前功尽弃一功亏一篑别出心裁一别具匠心嵌入一镶入疲倦一疲乏威风凛凛一八面威风技高一筹一棋高一着大步流星一健步如飞怒气冲冲一火冒三丈心满意足一如愿以偿观摩一观察八、反义词新鲜→陈旧沮丧→振奋怨恨→感激新鲜→陈旧热闹→安静大步流星→举步维艰怒气冲冲→喜气洋洋念念有词一沉默寡言一无所获→满载而归津津有味→索然无味别出心裁→如法炮制前功尽弃→大功告成得意扬扬→垂头丧气威风凛凛→萎靡不振九、解释：[豁开]裂开。
数量关系系统课讲义(9-经济利润问题)
数量关系系统课讲义第二章 经典题型第九节 经济利润问题基本经济利润 （1）列表法成本 定价 售价 利润 销量 总利润（2）方程法 （3）赋值法 分段问题 （1）画图法 （2）分段计算注意：在【资料分析】中，毛利率=利润/营业收入【例 1】甲商店购入 400 件同款夏装。
7 月以进价的 1.6 倍出售，共售出200 件；8 月以进价的 1.3 倍出售，共售出 100 件； 9 月以进价的 0.7 倍将剩余的 100 件全部售出，总共获利 15000 元。
问这批夏装的单件进价为多少元？（ ）A ．125B ．144C ．100D ．120 0.6N*200+0.3N*100-0.3N*100=15000→N=1252.分段计费问题分段计费问题主要涉及水电、资费、提成等通常分段计费问题。
解题关键在于找到分段节点，分区间讨论计算。
− 1 售价成本= 售价− 成本 成本= 利润 成本利润率 =1.利润折扣问题：总成本=单个成本×进口量；总售价＝单价×销售量；利润＝售价-成本；总利润＝总售价-总成本【例 2】一款手机按 2000 元单价销售，利润为售价的 25%。
若重新定价，将利润降至新售价的 20%，则新售价是（）？A．1900 元B．1875 元 C．1840 元 D．1835 元(2000-N)/2000=25%→N=1500(M-1500)/M=20%→M=1875【例 3】某产品售价为 67.1 元，在采用新技术生产节约10%成本之后，售价不变，利润可比原来翻一番。
则该产品最初的成本为元。
A.51.2B.54.9C.61D.62.52*(67.1-N)=67.1-0.9N→N=61【例4】甲用1000 万元购买了一件艺术品并卖出，获利为买进价格的10%，随后甲用艺术品卖出价格的90%买入一件珠宝，并以珠宝买进价格的九折卖出，若上述交易中的其他费用忽略不计，则甲最终（）。
A.盈亏平衡B.盈利1 万元C.盈利9 万元D.亏损1.1 万元(1000*10%)+[(1000*10%+1000)*90%*(90%-1)]=100-99=1【例5】商场以每件80 元的价格购进了某品牌衬衫500 件，并以每件120 元的价格销售了400 件，要达到盈利45%的预期目标，剩下的衬衫最多可以降价（）。
人教版 五年级暑假讲义第9讲：小数的加法和减法 (含答案)
小数的加法和减法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学目标1．让学生自主探索小数加、减法的计算方法，理解计算的算理并能正确地进行小数加、减混合运算。
2．使学生理解整数运算定律对于小数同样适用，并会运用这些定律进行一些小数的简便计算，进一步开展学生的数感。
3．使学生体会小数加、减运算在生活、学习中的广泛应用，提高小数加、减计算能力的自觉性。
1.小数的意义：把一个整体平均分成10份，100份，1000份……这样的几份是十分之几，百分之几，千分之几……可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，二位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……2、小数比拟大小的方法：先比拟整数局部，再一一比拟十分位，百分位，千分位……3、小数加减法的方法：小数点对齐，相同数位相加减。
计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐，再按照整数加减法的法那么进行计算。
得数里的小数点，要和横线上的小数点对齐。
得数的小数局部末尾有0一般要把0去掉。
注意：上面数据中并没有去掉0是为了统计分数的时候能够方便比拟。
4.小数加减混合运算：小数加减混合运算的方法是一般有加有减按照从左到右的顺序进行运算，有括号的先运算括号里的。
碰到能简算的要简算。
有这样四种情况能进行简算：〔1〕a ＋b ＋c ，a 和c 能凑整，那么要用到加法的结合律使a 、c 结合。
a ＋b ＋c ＝a ＋c ＋b〔2〕a －〔b ＋c 〕或a －〔b －c 〕，a 、b 运算起来比拟简单，那么这时就不一定要先运算括号里的，可以应用去括号变符号的方法，这样就可以先运算a －b 而使题目变得简单。