二项分布及泊松分布
二项分布、泊松分布、伽马分布
一、二项分布二项分布是一个离散型概率分布，在一系列独立的重复的是/非试验中，每次试验只有两种可能的结果，例如成功与失败。
如果每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，那么进行n次独立重复试验后，成功k次的概率可以用二项分布来描述。
1.1 二项分布的概率密度函数设X表示n次重复试验中成功的次数，其概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中C(n,k)表示组合数，即从n中选取k个的组合数，计算公式为C(n,k) = n!/(k!*(n-k)!).1.2 二项分布的期望和方差二项分布的期望和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p).1.3 二项分布的特点二项分布的特点是其概率分布函数在图像上呈现出左侧低、右侧高的倾斜形态。
当试验次数n较大时，二项分布近似于正态分布。
二、泊松分布泊松分布是一种描述单位时间（或单位面积、体积等）内随机事件发生次数的概率分布，常用于描述单位时间内独立随机事件发生次数的概率。
2.1 泊松分布的概率密度函数设X表示单位时间内随机事件发生的次数，其概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中λ表示单位时间内随机事件的平均发生次数。
2.2 泊松分布的特点泊松分布的特点是其概率密度函数在大部分取值区间内值较小，且随着随机事件发生次数增多而减小。
在实际应用中，泊松分布常用于描述稀有事件的发生概率，例如单位时间内交通事故的发生次数、单位面积内颗粒的沉积数等。
三、伽马分布伽马分布是一种连续型概率分布，常用于描述随机事件的持续时间或等待时间的概率分布。
3.1 伽马分布的概率密度函数伽马分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x|α,β) = ( β^α * x^(α-1) * e^(-βx) ) / Γ(α)其中α和β为伽马分布的两个参数，Γ(α)表示Γ函数，x≥0。
二项分布泊松分布
小 结
二项分布 Poisson分布 p：总体率 µ＝n p:总体中一定计量 n:样本例数 单位内发生某 X：某类事件发生数 事件的总均数 p= X/n:样本率 X或X :样本均数 X u P( X k ) n k (1 )nk k P e
( X X )
基本符号
四、二项分布的图形
图形特点：两个轴意义，对称、偏态、 与正态分布的关系
决定图形的两个参数：n，p
五、样本率的均数和标准差
样本率的总体均数λp:
1 1 p x (n ) n n
样本率的总体标准差p:
1 1 p x n n
Sp p1 p n
正态近似法：当样本计数大于X(亦即λ ）较大时，
Piosson分布近似正态分布，可用公式：
X a
X
( X a X , X a X )
样本均数与总体均数的比较
直接概率法：例7.15 正态近似法：统计量λ
X 0
0
例题：某溶液原来平均每毫升有细菌80个，现想 了解某低剂量辐射能的杀菌效果。研究者以此 剂量照射该溶液后取1毫升，培养得细菌40个。 请问该剂量的辐射能是否有效？
二项分布
Binomial distribution
主要内容
二项分布的概念
定义，概率，均数与标准差，图形
样本率的均数和标准差
二项分布的应用
一、二项分布定义
任意一次试验中，只有事件A发生和不发生两 种结果，发生的概率分别是: p和1－ p
若在相同的条件下，进行n次独立重复试验， 用X表示这n次试验中事件A发生的次数，那么X 服从二项分布，记做 XB(n,p)，也叫Bernolli 分布。
二项分布到泊松分布的推导
二项分布到泊松分布的推导二项分布和泊松分布都是常见的概率分布，它们在统计学和概率论中有着重要的应用。
二项分布描述了n次独立的伯努利试验中成功的次数，而泊松分布则描述了在一个时间段内某事件发生的次数。
那么，二项分布是如何演化为泊松分布的呢？我们来看一下二项分布的定义和性质。
在进行n次独立的伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。
那么，在这n次试验中成功的次数X就是一个服从二项分布的随机变量。
其概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n,k)表示组合数，等于n个元素中取k个元素的组合数。
二项分布的期望值和方差分别为：E(X) = npVar(X) = npq接下来，我们考虑当n趋向于无穷大时，二项分布会演化为什么样的分布。
假设我们固定了一个时间段，将其等分为n个小的时间段，且每个小时间段内某事件发生的概率非常小，即p接近于0，同时n 接近于无穷大。
那么，在这个时间段内某事件发生的次数X就可以近似地用泊松分布来描述。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (lambda^k * e^(-lambda)) / k!其中，lambda是事件在单位时间内平均发生的次数，e是自然对数的底数。
泊松分布的期望值和方差均为lambda。
现在，我们来推导一下二项分布到泊松分布的过程。
我们将二项分布的期望值和方差表示为：E(X) = npVar(X) = npq当n趋向于无穷大时，我们可以将p表示为lambda/n，q表示为1-lambda/n。
将p和q代入二项分布的期望值和方差中，得到：E(X) = lambdaVar(X) = lambda * (1 - lambda/n)由于lambda是一个常数，当n趋向于无穷大时，上述方差可以近似为：Var(X) ≈ lambda这意味着，当n趋向于无穷大时，二项分布的方差逐渐趋近于期望值。
泊松分布与二项分布的关系
泊松分布与二项分布的关系在统计学中，泊松分布和二项分布都是常见的概率分布类型。
虽然它们看起来非常不同，但实际上它们之间存在一定的联系和相互影响。
本文将讨论泊松分布和二项分布之间的关系，并探讨它们在实际问题中的应用。
首先，让我们来了解一下泊松分布和二项分布的定义和特点。
泊松分布是一种用于估计在特定时间或空间内某事件发生的次数的离散概率分布。
它的概率质量函数如下：P(X=k) = (λ^k * e^-λ) / k!其中，λ是事件发生频率的参数，k是事件发生的次数，e是自然对数的底数。
而二项分布则是一种用于描述在n次试验中，成功次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n是试验次数，k是成功次数，p是单次试验成功的概率，C(n,k)是组合数。
二项分布可以看作是将n次独立的伯努利试验加和得到的结果，因此也称为伯努利分布之和。
而泊松分布则是在极大n的情况下，二项分布的近似值。
通常情况下，n都很大且p较小的时候二项分布就可以近似为泊松分布，这个规律被称为泊松定理。
那么，我们来看一下泊松分布和二项分布的关系具体是如何体现的。
在实际问题中，我们往往需要推测某一事件在一定时间或者空间中发生的次数。
如果我们知道了该事件的发生概率p和该时间或空间内事件的频率λ，我们可以使用二项分布或者泊松分布进行估计。
当n很大p很小时，我们可以使用泊松分布，即：P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!而当n相对较小或p较大时，则需要使用二项分布计算成功或失败的概率，再根据概率推出发生次数的期望值。
另外，泊松分布也是一种极限分布，它可以解释一些实际现象。
比如，在大型超市里，商品的销售数量一般是服从泊松分布的，即售出数量与时间和地点无关，只与其具体的特性有关。
同样，在医院里，急诊室的病人数量也是服从泊松分布的，即在一段时间内出现病人的数量与该时间的长度无关。
二项分布与泊松分布的应用
在物理学中，泊松分布 也被用于描述放射性衰 变的期望值，例如式为：DX = λ
方差可以用来衡量随机事件的波 动程度
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方差的计算需要考虑随机事件的 概率和频率
在泊松分布中，方差与期望值λ相 等
适用场景的对比
计算成功次数
定义：二项分布是描述在n次独立 重复的伯努利试验中成功次数的 概率分布。
公式：X~B(n,p)，其中X表示成 功次数，n表示试验次数，p表示 每次试验成功的概率。
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应用场景：例如，在n次抛硬币试 验中，计算正面朝上的次数。
泊松分布与二项分布的关系：当n 很大，p很小，且np=λ（λ为常 数）时，二项分布近似于泊松分 布。
泊松分布的应用范 围广泛，包括物理 学、生物学、医学 、经济学等领域。
在实际应用中，泊 松分布可以通过数 学公式和概率图来 描述随机事件的概 率分布情况。
计算随机事件的概率
泊松分布适用于 描述单位时间内 随机事件的概率 分布情况
泊松分布的参数 λ表示单位时间 内随机事件的平 均发生率
通过泊松分布， 可以计算出随机 事件发生的具体 概率
注意事项：当n很大或者p很小时，二项分布可能会呈现出泊松分布的特性
与泊松分布的关系：当n充分大且p充分小时，二项分布近似于泊松分布
描述随机事件的概率模型
泊松分布适用于在 一定时间内随机事 件的概率分布，如 单位时间内随机事 件发生的次数。
泊松分布在二项分 布的基础上，考虑 了随机事件的独立 性和成功概率，从 而更准确地描述随 机事件。
二项分布与泊松分布在参数取值范围上也有所不 同，二项分布的参数p取值范围为0<p<1，而泊 松分布的参数λ可以取任意正值。
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用在统计学和概率论中，二项分布和泊松分布是两种重要的离散概率分布，它们广泛应用于各个领域，如生物统计、金融、工程、社会科学和质量控制等。
理解这两种分布的特性及其应用场景，可以帮助我们更好地进行数据分析与决策。
一、二项分布的基本概念二项分布用于描述在固定次数的独立试验中成功次数的概率。
每次试验有两个可能的结果——成功或失败。
具体地说，如果我们进行( n ) 次独立试验，每次成功的概率为 ( p )，则成功次数 ( X ) 的分布可以表示为：[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^{n - k} ]其中，( C(n, k) ) 是组合数，表示从 ( n ) 次试验中成功( k ) 次的方式总数。
1.1 应用场景二项分布的应用非常广泛，常见的场景包括：医学临床试验：在药物测试中，通过一定数量的病人检测药物是否有效。
若成功则为阳性反应，失败则为阴性反应。
问卷调查：在市场研究中，我们可以用二项分布来模拟调查中选择特定选项人数的概率。
生产过程质量控制：在批量生产中，可以通过随机抽样来判断产品不合格率。
例如，在一家冰激凌厂，假设每个冰激凌都是合格的概率为 0.9。
如果我们随机挑选 10 个冰激凌，想知道其中恰好有 8 个是合格品的概率，可以使用二项分布进行计算。
二、泊松分布的基本概念泊松分布是一种用于描述单位时间或单位面积内事件发生次数的概率分布。
例如，在某个固定的时间段内，交通事故发生的次数、电话中心接到电话的次数等都可以用泊松分布来建模。
其概率质量函数为：[ P(X = k) = ]这里，( ) 是单位时间或面积内事件发生的平均次数，( k ) 是事件发生的实际次数。
2.1 应用场景泊松分布同样在许多领域具有实际应用，包括但不限于：排队理论：如银行、医院等服务场所，可以使用泊松分布来分析顾客到达的频率。
故障率分析：工程领域中，可以用来描述机器设备故障事件发生频率，以及维护需求。
二项分布、泊松分布和正态分布的关系及其应用
二项分布、泊松分布和正态分布的关系及其应用二项分布、泊松分布和正态分布是统计学中常见的三种分布类型，它们在描述随机变量的分布和概率方面有着重要的应用。
本文将介绍这三种分布的基本概念和特点，探讨它们之间的关系，并结合实际应用场景进行分析。
一、二项分布二项分布是描述一组独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布，其中每次试验有两种可能的结果：成功或失败。
假设试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，进行n次试验后成功的次数X服从二项分布。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)C(n, k)表示组合数，表示在n次试验中成功k次的概率。
二项分布在实际应用中有着广泛的应用，例如在质量控制中描述次品率、在市场营销中描述广告点击率等。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间或单位空间内事件发生次数的概率分布，常用于描述罕见事件的发生概率，如自然灾害的发生次数、电话交换机接到呼叫的次数等。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率，k表示事件发生的次数。
泊松分布的特点是均值和方差相等，且当n充分大、p充分小、np=λ时，二项分布可以近似地表示为泊松分布。
泊松分布在实际应用中有着丰富的场景，如在交通流量预测中描述交通事故发生的次数、在医学统计中描述疾病发作的次数等。
三、正态分布正态分布（又称高斯分布）是统计学中最常见的连续型概率分布，其概率密度函数呈钟型曲线，具有单峰对称的特点。
正态分布在自然界和社会现象中均有广泛应用，如身高、体重、考试成绩等往往服从正态分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / 2σ^2)μ表示均值，σ^2表示方差。
正态分布具有许多有用的性质，比如68-95-99.7法则，大部分数据分布在均值附近，以及许多随机变量的总和或平均值都近似服从正态分布等。
二项分布和泊松分布的实用性
二项分布和泊松分布的实用性在概率论和数理统计中，二项分布和泊松分布是两种重要的离散概率分布。
它们分别反映了不同场景下事件发生的规律和特征。
本文将详细探讨二项分布与泊松分布的定义、性质、应用，并分析它们在实际问题中的实用性。
一、二项分布的基本概念1. 定义二项分布描述在n次独立试验中，某事件发生的次数X的概率分布。
每次试验只有两种可能结果——成功或失败。
若单次成功的概率为p，则单次失败的概率为q（q = 1 - p）。
其概率质量函数为：[ P(X=k) = C(n, k) p^k q^{n-k} ]其中，C(n, k)表示从n中选择k的组合数。
2. 性质均值：二项分布的均值为 ( = np )方差：二项分布的方差为 ( ^2 = npq )3. 应用场景二项分布适用于以下场景：抛掷硬币，记录正面朝上的次数产品质量检验，检测合格产品数量人群调查，计算支持某一政策的人数二、泊松分布的基本概念1. 定义泊松分布用于描述单位时间或单位面积内某事件发生的次数。
若在平均时间或面积内事件发生的次数为λ，随机变量X表示单位时间或单位面积内事件发生的次数，则其概率质量函数为：[ P(X=k) = ]其中，e为自然对数的底数，k为事件发生的具体次数。
2. 性质均值：泊松分布的均值为 ( = )方差：泊松分布的方差同样为 ( ^2 = )3. 应用场景泊松分布广泛应用于以下领域：客户到达服务台的频率电话中心接到电话的数量网站访问量分析中的点击次数三、二项分布与泊松分布的关系在实际应用中，二项分布与泊松分布有着密切联系。
当n较大且p较小时，二项分布可近似于泊松分布。
这一定理称为“泊松近似”。
例如，当投掷一枚硬币n次（n很大），每次出现正面的概率非常小（p很小）时，可以利用泊松分布来简化计算过程。
这一特性使得在处理大量独立判定并且事件发生率较低时，用泊松分布进行建模成为一种有效的方法。
四、二项分布与泊松分布在实际中的应用1. 二项分布在市场调研中的运用假设一家新的饮料公司希望了解其新品饮料的市场接受度。
2.3泊松分布和二项分布的近似的解释
P X k 1 p k1 p , k 1, 2, ,
称X服从参数为 p 的几何分布，记作 X ~ G p .
分布列正则性验证：
pk
k1
k 1
1 p
k1 p 1
p 1 p
1.
23
每个 pk 1 p k1 p 恰好是几何级数
1 p k1 p 中的各项，这就是“几何分布”
都可以用一 个服从两点 分布的随机 变量来描述
◆一次投标是否中标．
2
任何两点分布，均可通过变换化成如下标准概型
X0 1
P 1 p p
或用公式表示为
PX k pk (1 p)1k , k 0, 1 .
此时，称Ｘ服从参数为 p 的0-1分布，其分布
0,
x 0,
函数为 F x 1 p, 0 x 1，
C
n N
k
C C k nk M NM
C
n N
C
n N
C
n N
1.
超几何分布与抽样检验有密切的联系，下面
举一个计数抽样方案的例子．所谓计数抽样是对
产品的检验只分“好”与“次”两种情况，若在 一产品批中随机抽取了n件产品，并规定若其中的次
品数≤c，则判定这批产品合格，否则判定不合
格，通常用 (n︱c)表示这个抽样方案．
4
分布列正则性验证：
n
n
pk Cnk pkqnk p q n 1.
k0
k0
二项式定理
每个 pk Cnk pkqnk 恰好是二项式 p q n
展开式中的各项，这就是“二项分布”这个名 称的来历．
5
特别地，若 X ~ B1, p , 则Ｘ服从参数为
p 的0-1分布．
概率算法_二项分布和泊松分布
概率算法_⼆项分布和泊松分布本次函数有1、阶乘2、计算组合数C(n,x)3、⼆项概率分布4、泊松分布以下是历史函数#创建⼀个含有指定数量元素的list#累加#统计个数#累乘#算数平均数#算数平均数计算回报#中位数#众数#极差#⼏何平均数#⼏何平均回报#⽅差-样本S^2#协⽅差(标准差)-样本S#变异系数CV#相关系数-样本r#联合概率#条件概率#随机变量期望值#随机变量⽅差#随机变量协⽅差#联合协⽅差#组合期望回报#投资组合风险#贝叶斯---------------以上是旧的---------------------------------------------------------------------------------------以下是新的------------------------------------------------------------------------继续概率，本次是⼆项分布和泊松分布，这个两个还是挺好玩的，可以作为预测函数⽤，因为函数⽐较少，本次就不给例⼦了，但是会对函数做逐⼀说明1、阶乘n!就是每次-1乘，直到*1，例如5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120，这个是正常的，但是在写函数的时候这样算法效率会低些，因此直接反过来，1*2*3...这种，那么函数就是def fact_fun(n):if n == 0:return 1n += 1fact_list = [i for i in range(1,n)]fact_num = multiply_fun(fact_list)return fact_num2、计算组合数C(n,x)C(n,x) = n! / (x! * (n - x)!)表⽰从n个样本中抽取x个样本单元，可能出现结果的组合数，例如从5个物品中抽取3个物品，这三个物品的组合数就是10种def c_n_x(case_count,real_count):fact_n = fact_fun(case_count)fact_x = fact_fun(real_count)fact_n_x = fact_fun(case_count - real_count)c_n_x_num = fact_n / (fact_x * fact_n_x)return c_n_x_num3、⼆项概率分布执⾏n次伯努利试验，伯努利试验就是执⾏⼀次只有两种可能且两种可能互斥的事件，⽐如丢硬币实验，执⾏n次，成功k次的概率P(ξ=K) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)n=5 k=3 P(ξ>=K) = p(K = 3) + p(K = 4) + p(K = 5)p表⽰⼀个事件的成功概率，失败则是1 - pdef binomial_fun(case_count,real_count,p):c_n_k_num = c_n_x(case_count,real_count)pi = (p ** real_count) * ((1 - p) ** (case_count - real_count))binomial_num = c_n_k_num * pireturn binomial_num4、泊松分布给定的⼀个机会域中，机会域可以是⼀个范围，也可以是⼀段时间，在这个机会域中可能发⽣某个统计事件的概率，举个例⼦，⽐有个商店，每⼩时平均有10位顾客光顾，那么⼀个⼩时有13位顾客光顾的概率，就是泊松分布，13位顾客光顾就是统计事件P(X) = (e^-λ*λ^X)/X! = (2.7182818^-10*10^13)/13! = 0.0729这⾥的λ是指平均值，可以使⽤算数平均数得到，e是⾃然常数~=2.7182818，有函数def poisson_fun(chance_x, case_list = [0],mean_num = 0):chance_x_fact = fact_fun(chance_x)e = 2.7182818if len_fun(case_list) == 1 and case_list[0] == 0:poisson_num = ((e ** (0-mean_num)) * mean_num ** chance_x) / chance_x_factelse:mean_num = sum_mean_fun(case_list)poisson_num = ((e ** (0-mean_num)) * mean_num ** chance_x) / chance_x_factreturn poisson_num这个函数需要说明下，实际需要的是两个参数，⼀个平均值另⼀个是期望统计量，之所以指定了3个函数是因为可能输⼊的不⼀定是⼀个数字，也可能是个list，那么会有两种计算⽅式，这个已在if中体现，引⽤⽅法有两种，例如if__name__ == '__main__':# 第⼀种poisson_rate = poisson_fun(mean_num = 10,chance_x = 13)print poisson_rate# 第⼆种case_list = [8,9,10,11,12]poisson_rate = poisson_fun(case_list = case_list ,chance_x = 13)print poisson_rate。