圆锥曲线离心率的求法教案

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圆锥曲线离心率(取值范围)的求法(教师版、学生版)

圆锥曲线离心率（取值范围）的求法（教师版）知识储备：离心率：ace =；椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、离心率的求法方法一：直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。

例1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C方法二：构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ D ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 332解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得c b a ab 4322=+，又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()4222316c a c a =-，整理得01616324=+-e e，得42=e 或342=e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==ab a b a ac e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（）A3 B26 C 36 D 33 解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，又c F F 221=，在21MF F ∆中，由余弦定理，得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421bc c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ， ∵222a cb -=，∴212222-=--ac a ，∴2223c a =，∴232=e ，∴26=e ，故选B 方法三：采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

求离心率的教案

求离心率的教案教案标题：求离心率的教案教学目标：1. 理解离心率的概念及其在几何中的应用。

2. 掌握求解椭圆、双曲线和抛物线的离心率的方法。

3. 能够应用离心率的概念解决相关几何问题。

教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算器、白板、标尺、椭圆、双曲线和抛物线的示意图。

2. 学生准备：笔、纸、计算器。

教学过程：引入（5分钟）：1. 教师引导学生回顾椭圆、双曲线和抛物线的基本特征，并与圆的特征进行比较。

2. 引导学生思考椭圆、双曲线和抛物线的形状是否会随着离心率的变化而改变。

讲解（15分钟）：1. 教师向学生介绍离心率的概念，即离心率是描述椭圆、双曲线和抛物线形状的一个参数。

2. 教师通过示意图展示不同离心率的椭圆、双曲线和抛物线，并解释离心率对形状的影响。

3. 教师讲解如何计算椭圆、双曲线和抛物线的离心率，并提供相应的公式和计算步骤。

示范（15分钟）：1. 教师通过具体的例子向学生展示如何求解椭圆、双曲线和抛物线的离心率。

2. 教师引导学生观察示例中的图形特征，并与离心率的数值进行对比。

3. 教师鼓励学生在解题过程中积极思考，提出问题并进行讨论。

练习（20分钟）：1. 学生个人或小组完成一些练习题，包括求解给定椭圆、双曲线和抛物线的离心率。

2. 学生互相交流解题思路，并与教师进行讨论和解答疑惑。

3. 教师提供一些挑战性的问题，以促进学生深入思考和应用离心率的概念。

总结（5分钟）：1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调离心率在几何中的重要性。

2. 教师鼓励学生在课后继续巩固和拓展所学内容，并提供相关参考资料。

拓展活动：1. 学生可以通过使用计算机软件或在线资源进一步探索离心率的应用，例如绘制不同离心率的椭圆、双曲线和抛物线图形。

2. 学生可以选择一个实际问题，应用离心率的概念进行分析和解决，并撰写一份报告。

评估方式：1. 教师通过观察学生的课堂表现、练习题的完成情况和参与讨论的质量来评估学生的学习情况。

圆锥曲线离心率取值范围求法大放送

解析：＝：＝＝ＩＰＦ￣Ｉ＋＋
解析：设Ｐ（ｘ，），Ｑ（ｘ。，Ｙ），弦ＰＱ中求得Ｍ（
门
，
），当点Ｍ在双曲线内部时
４ｎ ≥８ｎ．由均值定理知，当且仅当ＪＰＦ２Ｉ＝＝＝２ａ时取得最小值８仉又ｌＰＦ２Ｉ￣ｃ－ａ，所以２口 ≥￣－ａ，则１＜ｅ￣３．
中学教学参考
解题方法ｓ技巧
圆锥曲线离心率取值范围求法大放送
新疆农六师五家渠市高级中￣（８３１３００）孔建芳
如何求解离心率的取值范围是很多学生较难掌握的内容．笔者通过多年的教学经验认为，要解决此类问题，最重要的便是充分挖掘题中所隐含的条件，构造出解决此类问题的不等式．
一
ｌ ‘
图１
号ｎ，ｌＰＦ２１一号ｎ，点Ｐ在双曲线
右支上．由图１可知，ｌＰＦ１ｌ ≥ｃ＋ｎ，ｌＰＦ２ｌ￣ｃ－ａ，即ｎ
＞０，即ｎ＜２且口 ≠１，所以ｅ一一１＋１
点评：在解决这类问题时，可以运用平面几何的性质来找到切入点，比如说 “ 直角三角形中的两个直角边总是小于斜边” 或者“ 三角形的两边之和总是大于第三条边” 等相关几何性质．
３８中学教学参考
一１的右支上，则ｚ ≥ｎ ” ．
解析：由题设ｌＰＦ１ｌ＝ｄｌＰＦ￣Ｉ得一．

求离心率

3、设双曲线的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若以AB为直径的圆恰过点F，则双曲线的离心率为_________
4、已知双曲线的一条准线与渐近线的交点为A、B，这条准线的相应焦点为F，如果△ABF是等边三角形，则双曲线的离心率为_________
5、双曲线，一直线经过A(a，0)和B（0，b）两点，若原点到直线AB的距离为，则双曲线的离心率是
例6、F1，F2分别是的两个焦点，A和B是以O为圆心，以c为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等边三角形，求双曲线的离心率.
通过近几年的高考题我们可以发现利用上述两种方法求解的题目层出不穷，离心率问题的求解在解析几何的学习中具有典型性，可以预计在以后的高考中这类问题依然是高考的重点.
二、求离心率的取值范围
在求解圆锥曲线离心率取值范围时，根据条件找到关于a，b，c的不等式，再利用做进一步化简，即可得到关于离心率e的取值范围.
例6、双曲线的左右焦点分别为F1 (－c，0)，F2 (c，0).若双曲线上存在一点P，使得，求该双曲线离心率e的取值范围.
反思在这种解法中寻找关于a，b，c的不等关系是解决问题的关键，我们采用运动
变化的观点观察到| PF2 | > c－a，进而使问题得以解决.按照这种思路我们也可以利用
| PF1 | > a + c进行求解.
例7、若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是
练习：椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是
3.以平面几何特征为突破口
这类问题要充分注意几何关系，将几何关系分析清楚之后，再找关于 e 的关系式. 如

圆锥曲线中求离心率的值与范围的问题(共28张PPT)

分析：在椭圆内的所有焦点三角形，当顶点 P 与短轴重合时，此时面积最大 Smax b
解析：注意，凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时，这两点的位置是对
的，本题目中 ABF2 和 AF1F2 是全等的，因此 SABF2 SAF1F2 故当点 A 位于短轴的交点处时，面积最大 Smax bc
这两个区域内直线斜率的取值范围。
求离心率范围问题
②过焦点的直线与双曲线交点个数问题
例
12：已知双曲线 x2 a2

y2 b2
1的右焦点为
F，若过点
F
且倾斜角为 60
的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.
解析：过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为 1 个或 2 个，取决于这条直线和右渐

2a PF2 PF2
注意 PF2 为焦半径，因此 a c PF2 a c
所以不等关系就能找出来了，解不等式可得 2 1 e 1
离心率范围问题
（2）焦点三角形顶角的取值范围：当 P 点处于 B 位置时，顶角最大，例：
例
10：设
P
是椭圆
x2 a2

y2 b2
1上一点，且 F1PF2
求离心率范围问题
和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等关系，且不等关系中含有 a,b, c 或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四
种思考方向：
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：
（1）焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
求离心率范围问题
例
7：椭圆
x2 a2

高中数学圆锥曲线中离心率的求法学法指导

高中数学圆锥曲线中离心率的求法学法指导韩锋离心率是圆锥曲线的重要性质之一，也是高考中的一个重要考点，本文对圆锥曲线的离心率的求法予以归纳，并通过例题加以说明。

一、由圆锥曲线定义结合图形性质求离心率例 1. 已知21F F 、是双曲线1by a x 2222=-的左右焦点，双曲线恰好通过正A F F 21∆的两边A F A F 21、的中点，求双曲线的离心率。

解：如图，双曲线恰好通过正A F F 21∆两边A F A F 21、的中点，所以12AF M F ⊥。

在21F MF Rt ∆中，︒=∠=30F MF ,c 2|F F |1221，所以c 3|MF |,c |MF |21==，由双曲线的定义知a 2|MF ||MF |12=-，即13ac e ,a 2c c 3+===-。

二、利用正弦定理求离心率例 2. 已知21F F 、是椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的两个焦点，点P 在椭圆上，且︒=∠︒=∠15F PF ,105F PF 1221，求椭圆的离心率。

解：在21PF F ∆中，由正弦定理得.60sin |F F |105sin |PF |15sin |PF |2121︒=︒=︒ 由合比定理得.60sin |F F |105sin 15sin |PF ||PF |2121︒=︒+︒+ .22105sin 15sin 60sin |PF ||PF ||F F |a 2c 2e 2121=︒+︒︒=+==三、由定比分点坐标公式求离心率例3. 已知等腰梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，AB ∥CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为8：11，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，求双曲线的离心率。

解：建立如图所示平面直角坐标系。

因为C 、D 在双曲线上，且AB ∥CD ，所以C 、D关于y 轴对称。

设双曲线方程为),0b ,0a (1by a x 2222>>=- )0,c (B ),0,c (A -，因|,CD |2|AB |=可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n ,2c C 。

求解圆锥曲线离心率问题的两种措施

解题宝典圆锥曲线的离心率主要是指椭圆和双曲线的离心率，其中椭圆的离心率0<e <1，双曲线的离心率e >1(抛物线的离心率e =1).圆锥曲线的离心率问题的难度一般不大，常以选择题、填空题的形式出现.熟练掌握一些求解离心率问题常用的思路，有助于提升解题的效率.本文结合例题，主要谈一谈解答圆锥曲线离心率问题的两种措施.一、运用公式法圆锥曲线的离心率公式为e =ca ，求解圆锥曲线的离心率问题，通常要用到公式e =ca.而求a 、c 及其关系式，往往要根据圆锥曲线方程中的参数a 、b 、c 之间关系来进行转化.在椭圆中，a 2=b 2+c 2；在双曲线中，a 2=c 2-b 2.例1.已知椭圆C 1:x 2m +2-y 2n=1和双曲线C 2:x 2m +y2n=1有相同的焦点，则椭圆C 1离心率e 的取值范围是______.解：∵椭圆C 1:x 2m +2-y 2n =1，∴a 12=m +2，b 12=-n ，c 12=m +2+n ，即e 12=c 12a 12=1+n m +2，∵双曲线C 2:x 2m +y 2n =1，∴a 22=m ，b 22=-n ，c 22=m -n ，由题意可得m +2+n =m -n ，∴n =-1，∴e 12=c 12a 12=1-1m +2，∵m >0，m +2>2，∴1m +2<12，-1m +2>-12，∴e 12=1-1m +2>12，解得e 1∵0<e 1<1，e 1<1.要求椭圆C 1离心率e 的取值范围，需根据椭圆离心率公式求得a 、c 及其关系式.于是先根据椭圆与双曲线的方程明确a 2、b 2、c 2的表达式；然后根据圆锥曲线方程中的参数a 、b 、c 之间的关系和离心率公式，求得e 1、e 2的表达式，通过确定m 、n 的取值范围，求得离心率的取值范围.例2.设F 1、F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左右焦点，且||F 1F 2=2c ，若椭圆上存在一点P ，使||PF 1⋅||PF 2=2c 2，则椭圆离心率的最小值为_____.解：由题意知F 1()-a,0、F 2()a,0，设P ()x 0,y 0，得||PF 1⋅||PF 2=()a +ex 0()a -ex 0=a 2-e 2x 02=2c 2，∴x 2=a 2-2c 2e 2≤a 2，即a 2-2c 2a 2=1-2e 2≤e 2，解得e 2≥13，即e∵0<e <1，e <1，∴我们首先设出P 点的坐标，根据椭圆的焦半径公式将已知条件||PF 1⋅||PF 2=2c 2转化为与a 、c 有关的等式；再根据椭圆上点的范围，建立关于a 、c 、e 的不等关系式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的不等式，通过解不等式，求得离心率的最小值.二、利用几何图形的性质我们知道圆锥曲线的离心率e =ca，其中a 为椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长，c 为椭圆和双曲线的半焦距.在解答圆锥曲线的离心率问题时，可根据椭圆和双曲线的定义、几何性质求得2a 、2c 的值，也可将椭圆的长半轴、双曲线的实半轴看作三角形、梯形的一条边，利用三角形、梯形的性质来求线段的长.例3.已知两定点A ()-1,0和B ()1,0，动点P ()x ,y 在直线l :y =x +3上移动，椭圆C 以A 、B 为焦点，且经过点42解题宝典P，则椭圆C离心率的最大值为().解：由题意可得，椭圆的半焦距为1，由椭圆的定义可知||PA+||PB=2a.而点A()-1,0关于直线l:y=x+3的对称点A'()-3,2，连接A'B，交直线l于点P，如图1所示.图1由图1可知||PA+||PB=||PA'+||PB=||A'B，而||A'B=25，则椭圆C的长半轴长的最小值为25，所以椭圆C离心率的最大值为e=ca=15故正确的答案为A.由于c=1，所以要求e=ca的最大值，需确定a的最小值.根据椭圆的定义可知||PA+||PB=2a，于是画出图形，作A关于直线l的对称点A'，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，即||PA'+||PB>||A'B，即可确定||PA+||PB取最小值的情形：A'、B、P三点共线，从而根据两点间的距离公式求得离心率的最大值.例4.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1()a>b>0与圆C2:x2+y2=b2，若椭圆上存在一点P，使由点P作圆C2的两条切线互相垂直，求椭圆C1离心率的取值范围.解：如图2，由椭圆长轴的端点作圆C2的两条切线PA、PB，设过P作圆的切线，切点为A、B，连接OA、OB、OP，图2由于PA⊥PB，所以根据圆的对称性可知∠APO=∠BPO=45°.在RtΔAPO中，PO=2PA≤a,即2b≤a，所以2b2≤a2，则2b2≤a2，由a2=b2+c2，可得a2c2，即e2≥12，解得e因为0<e<1，e<1，则椭圆C1离心率的取值范围为ëöø÷.解答本题需灵活运用圆的两个性质：圆的切线与过切点的半径成90°；对称性，以及全等三角形的性质.据此建立RtΔAPB的两条边PO、PA之间的关系，从而判断出椭圆的长半轴与焦半径之间的关系，求得椭圆离心率的取值范围.例5.已知双曲线x2a2-y2b2=1()a>0,b>0的左右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线的左支上，且||MF2=7||MF1，则此双曲线离心率的最大值为().A.43B.53C.2D.73解：由双曲线的定义可得，||MF2-||MF1=6||MF1=2a，因为点M在双曲线的左支上，所以||MF1=a3≥c-a，则e=ca≤43，故双曲线离心率的最大值为43，则正确答案为A.求双曲线离心率的最大值，需求ca的最大值.于是首先根据双曲线的定义建立焦半径与虚半轴长之间的关系；然后根据双曲线的性质：双曲线的左（右）支上点到右（左）焦点的距离大于c-a，建立关于a、c的关系式，进而求得双曲线离心率的最大值.总之，求解圆锥曲线的离心率问题，可从离心率公式和图形的几何性质入手，来寻找解题的思路.这就要求同学们熟练掌握圆锥曲线的定义、公式、几何性质，以灵活运用这些知识来解题.（作者单位：江苏省南通市如皋市搬经中学）43。

圆锥曲线离心率的取值范围的解题方法(精选课件)

圆锥曲线离心率的取值范围的解题方法一、利用曲线的范围，建立不等关系ﻫ例1．设椭圆的左右焦点分别为、,如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。

ﻫ解:设因为,所以ﻫ将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得二、利用曲线的几何性质数形结合，构造不等关系例2．直线L过双曲线的右焦点,斜率k=2。

若Ｌ与双曲线的两个交点分别在左、右两支上,求双曲线离心率的取值范围。

ﻫ解：如图1,若,则L与双曲线只有一个交点；若,则L与双曲线的两交点均在右支上，ﻫ例3。

已知F１、F２分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于Ａ、B两点。

若△ＡＢＦ2是锐角三角形,求双曲线的离心率的取值范围.ﻫ解：如图２，因为△ABF2是等腰三角形,所以只要∠ＡF２B是锐角即可,即∠AF2F1＜４5°。

则ﻫ三、利用定义及圆锥曲线共同的性质，寻求不等关系ﻫ例４.已知双曲线的左右焦点分别为、,点P在双曲线的右支上,且，求此双曲线的离心率e的取值范围。

解:因为P在右支上，所以又得所以又ﻫ所以ﻫ例5．已知双曲线的左、右焦点分别是F１、F2，Ｐ是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF２｜、|ＰF1｜依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。

ﻫ解:由题意得因为，所以，从而，。

又因为P在右支上，所以。

.。

ﻫ四、利用判断式确定不等关系例6。

例１的解法一：解：由椭圆定义知ﻫ例7。

设双曲线与直线相交于不同的点A、B.求双曲线的离心率e的取值范围。

解:..·····谢阅。

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圆锥曲线定比分焦点弦求离心率

圆锥曲线定比分焦点弦求离心率圆锥曲线定比分焦点弦与其离心率的关系
在圆锥曲线中，离心率是一个重要的参数，它描述曲线与圆的偏离程度。

对于给定的焦点弦，我们可以通过以下定理确定圆锥曲线的离心率：
定理：对于一个离心率为 e 的圆锥曲线，焦点弦长为 2a，焦点与弦中点的距离为 c，则：
```
e = sqrt(1 - (c / a)^2)
```
推导：
从圆锥曲线方程出发，我们可以导出以下恒等式：
```
c^2 = a^2(1 - e^2)
```
这个恒等式可以通过利用焦点和准线的定义以及弦中点到焦点的距离等于弦长的一半来推导出。

将上述恒等式代入定理中，即可得到：
```
e = sqrt(1 - (c / a)^2)
```
应用：
该定理可以用于求解圆锥曲线的离心率，已知焦点弦长度和焦点到弦中点的距离。

例如：
对于椭圆，焦点弦长为 10，焦点到弦中点的距离为 6，则离心率为：
```
e = sqrt(1 - (6 / 10)^2) = sqrt(1 - 0.36) = 0.8
```
对于抛物线，焦点弦长为 2a，焦点到弦中点的距离为 a，则离心率为：
```
e = sqrt(1 - (a / a)^2) = sqrt(0) = 0
```
对于双曲线，焦点弦长为 2a，焦点到弦中点的距离为 c，则离心率为：
```
e = sqrt(1 - (c / a)^2) > 1
```
结论：
焦点弦及其与焦点的距离提供了求解圆锥曲线离心率的便捷方法。

通过应用上述定理，我们可以轻松确定曲线与圆偏离的程度。

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圆锥曲线离心率的求法
学校：封开县江口中学班级：高三（ 4 ）班（基础班）授课教师：冯坚忠
一、教学目标
（ 1 ）掌握圆锥曲线离心率求值的几种方法；
（ 2 ）掌握几种常见的数学思想方法在解析几何中的应用。
二、教学重难点
重点：圆锥曲线离心率的求法难点：如何根据已知条件构造关于 a,c 的齐次等式

三、教学过程
1、创设情境，导入新课。
（1 ）向学生说明离心率在近 5 年的全国新课标卷中的试题分布，引起学生的重视。
（ 2 ）高考中考查离心率试题主要分为两类，一类是根据一定条件求离心率的值，另一类是根据一定的条件求
离心率的取值范围。今天我们先来学习第一类。

2、知识回顾复习圆锥曲线中与离心率相关的简单的几何性质。
3 、例题研讨 ,方法总结。
1 ）直接法，直接求出 a ,c, 求解 e 。
2 2 例1.若椭圆笃爲 a b 1(a b c) 的离心率是一三，则双曲线 2 2 x ~2 a 2
古1的离心率是____。

解：设椭圆的半焦距为
G ，离心率为 e
，双曲线的离心率为
半焦距为C2由题可得，0

则可设
a 2,G ,3
则 b2 a2
2 2 . 2
C| =2 -3=1，再由
c
2

点评：本题使用直接法, 即直接利用定义，求出
a, c代入e
c
计算。注意椭圆和双曲线中的
a

a,b,c

者的关系。

练习
1.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线
X2
2
—1
的离心率是

B.5

(2)构造关于a、c的齐次式方程，解出 e.
2 x 例2. (2012年全国1卷) 设FiF2是椭圆 a 2
b
1(a
0)
的左、右焦点，P为直线

一点， F2PF1是底角为30o的等腰三角形，则 E的离心率为(
1
(A)
2
(B)
I

a b

垂直，sin
1
MF?F
i
,则E的离心率为（A

）

3
(A)
2
(B)2 (C) ''3
（D）

强化训练
..3
1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2倍，则椭圆的离心率等于 2.若一个

椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

四、归纳小结
五、作业：完成练习册P285 2，5 P2872