中考数学几何模型专题专题九—相似三角形
20 相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)(学生版)-2024年中考数学几何模型归纳讲练
专题20. 相似三角形重要模型--母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图3 图41）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD ； 结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o ，CD ⊥AB ；结论：△ACD ∽△ABC ∽△CBD ；CA 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·BA ，CD 2＝DA ·DB .3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE ，AB=AC ； 结论：△ABD ∽△ECA ；4）共边模型条件:如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，ADB DCB ∠=∠，结论：2BD BA BC =⋅；例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC V 与ACB △的周长比是（ ）A．B ．1:2C ．1:3D ．1:4例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且∠APB ＝120°，求证：（1）△ACP ∽△PDB ，（2）CD 2＝AC •BD ．例4．（2023·湖南·统考中考真题）在Rt ABC △中，90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．(1)证明：C ABD BA ∽△△；(2)若610AB BC ==，，求BD 的长．例5．（2023.浙江中考模拟）如图，在V ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ．（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：（2）已知AB ＝5，AC ＝4，请你求出CD 的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系（如图2），若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC V 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF ∠绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC 交于点N ，且45EDF ∠=︒．(1)如图1，若CE CF =，求证：DE DF =；(2)如图2，若CE CF ≠，求证：2CD CE CF =⋅；(3)如图2，过D 作DG BC ⊥于点G ，若2CD =，CF =DN 的长．例7．（2023·浙江·九年级期末）（1）如图1，在ABC V 中，D 为AB 上一点，2AC AD AB =⋅．求证：ACD B ∠=∠．（2）如图2，在ABCD Y 中，E 是AB 上一点，连接AC ，EC ．已知4AE =，6AC =，9CD =．求证：23AD EC =．（3）如图3，四边形ABCD 内接于O ，AC 、BD 相交于点E ．已知O 的半径为2，AE CE =，AB =，BD =ABCD 的面积．【拓展提高】（3）如图ABC V 中，D 是BC 上一点，连结AD ，点E ，F 分别在BE ，CE ，EF ，若DE ，BEC AEF ∠=∠，16BE =，7=，34CE BC =，求课后专项训练1.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．1B ．1C ．1D ．1A ．AG CG = B ．2B HAB ∠=∠3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在正确的是（ ）A ．2BC BD AB =⋅ B ．CD 4．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在半径作弧交AC 于点D ，再分别以A．36∠=︒BCE5．（2023·云南临沧△V与BCDACDA．1:2B．6．（2023·山东东营·统考中考真题）于点D，E；分别以点D7．（2020·山西·统考中考真题）如图，在Rt∆D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则8．（2022·河北邢台·校考二模）如图1，在ABC V 中，AB AC =，24BC =，5tan 12C =，点P 为BC 边上一点，则点P 与点A 的最短距离为______．如图2，连接AP ，作APQ ∠，使得APQ B ∠=∠，PQ 交AC 于Q ，则当11BP =时，AQ 的长为______．10．（2020·广东广州·AC '分别交对角线BD 11．（2021·四川南充·中考真题）如图，在ABC V 中，D 为BC 上一点，3BC BD ==，则:AD AC 的值为________．12．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD ＝AB ，∠DEC ＝∠B ．（1）求证：△AED ∽△ADC ；（2）若AE ＝1，EC ＝3，求AB 的长．13．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在ABC V 与A B C '''V 中，点D 、D ¢分别在边BC 、B C ''上，且ACD A C D '''∽△△，若___________，则ABD A B D '''△∽△．请从①BD B D CD C D ''=''；②AB A B CD C D ''=''；③BAD B A D '''∠=∠这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．14．（2023·湖南·统考中考真题）在Rt ABC △中，90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．(1)证明：C ABD BA ∽△△；(2)若610AB BC ==，，求BD 的长．探究发现：如图1，在ABC V 中，36A ∠=︒，AB AC =．（1）操作发现：将ABC V 折叠，使边BC 落在边BA 上，点C 的对应点是点E ，折痕交AC DE ，DB ，则BDE ∠=_______︒，设1AC =，BC =，那么AE =______（用含x 的式子表示）（2）进一步探究发现：512-=底腰，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：51BC -底当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图(1)如图2，在ABC V 中，2BC AB =，求证：ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”；(2)如图3，已知ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”，点D 是ABC V 边BC 的中点，以BD 为直径的经过点A ．①求证：直线CA 与O e 相切；②若O e 的直径为26，求线段AB 的长；(3)已知ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”，4BC =，30B ∠=︒，求ABC V 的面积．20．（2022·浙江台州·统考一模）已知在▱ABCD ，AB ＝BC ＝10，∠B ＝60°，E 是边BC 上的动点，以AE 为一边作▱AEFG ，且使得直线FG 经过点D ．（1）如图1，EF 与AD 相交于H ，若H 是EF 的中点．①求证：GF ＝DF ；②若GF ⊥CD ，求GD 的长；（2）如图2，设AE ＝x ，AG ＝y ，当点E 在边BC 上移动时，始终保持∠AEF ＝45°，①求y 关于x 的函数关系式，并求函数y 的取值范围；②连接ED ，当△AED 是直角三角形时，求DF 的值．2BAC B BAD ∠∠∠=∴= ，设DC x =，则AD BD a ==-22b ax a ax bc ∴=-=， 2a ∴证法2：如图2，延长CA 到点任务：(1)上述材料中的证法似”）．(2)请补全证法2剩余的部分．22．（2022·安徽·校联考三模）在ABC V 中，2ABC ACB ∠=∠，BD 平分ABC ∠．（1）如图1，若3AB =，5AC =，求AD 的长．（2）如图2，过A 分别作AE AC ⊥交BC 于E ，AF BD ⊥于F ．①求证：ABC EAF ∠=∠；②求BF AC的值．∠，交AB于CD平分ACB是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不∠∠，CD平分BCF2CBG。
专题 相似三角形中的半角模型(学生版)
专题10相似三角形中的半角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型（相似模型）【常见模型及结论】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）条件：已知，如图，在正方形ABCD 中，∠EAF 的两边分别交BC 、CD 边于M 、N 两点，且∠EAF ＝45°结论：如图1，△AMN ∽△AFE 且AF AE EF AM AN MN===．（思路提示：∠ANM=∠AEF ，∠AMN=∠AFE ）；图1图2结论：如图2，△MAN ∽△MDA ，△NAM ∽△NBA ；结论：如图3，连接AC ，则△AMB ∽△AFC ，△AND ∽△AEC ．且AF AC AM AB==；图3图4结论：如图4，△BME ∽△AMN ∽△DFN.（2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型图1条件：如图1，已知∠BAC ＝90°，45ABC ACB DAE ∠=∠=∠=︒；结论：①△ABE ∽△DAE ∽△DCA ；②AB AD CD BE AE AC==；③AB AC BE CD ⋅=⋅（2AB BE CD =⋅）（2）含60°半角模型条件：如图2，已知∠BAC ＝120°，60ADE DAE ∠=∠=︒；结论：①△ABD ∽△CAE ∽△CBA ；②AD CE AC BD AE AB==；③AD AE BD CE ⋅=⋅（2DE BD CE =⋅）图2分别是分别在边M例7．（2022·广东深圳·统考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，点A 为公共顶点，90BAC G ∠=∠=︒，若ABC 固定不动，将AFG 绕点A 旋转，边AF ，AG 与边BC 分别交于点D ，E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），则结论2BE CD AB ⋅=是否成立______（填“成立”或“不成立”）；【类比引申】（2）如图2，在正方形ABCD 中，EAF ∠为BAD ∠内的一个动角，两边分别与BD ，BC 交于点E ，F ，且满足EAF ADB ∠=∠，求证：ADE ACF ∽；【拓展延伸】（3）如图3，菱形ABCD 的边长为12cm ，120BAD ∠=︒，EAF ∠的两边分别与BD ，BC 相交于点E ，F ，且满足EAF ADB ∠=∠，若9cm BF =，则线段DE 的长为______cm ．A ．4B ．32．（2022·广东深圳·统考一模）如图，正方形与对角线BD 交于点M ，N ，连接④::2:5:3DN MN BM =3．如图，正方形ABCD 中，ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C ''△，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为（）A ．4B ．6C ．8D ．164．如图，菱形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是AB ，AD 边上的动点，BE AF =，120BAD ∠=︒，则下列结论：①BEC AFC ∆∆≌；②ECF ∆为等边三角形；③AGE AFC ∠=∠；④若1AF =，则12GF GE =．其中正确个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．16．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，在将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△的面积等于四边形AFBD 的面积；④BE 7．（2023·上海宝山·校考一模）如图，在△么DE BC 的值是．8．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．(1)思路梳理AB CD =，∴把ABE 绕点A 逆时针旋转90︒至ADG △，可使AB 与AD 重合.90180ADC B FDG ∠=∠=︒∠=︒，，∴点F ，D ，G 共线.根据______(从“SSS ，ASA ，AAS ，SAS ”中选择填写)，易证AFG ≌△______，得EF BE DF =+．(2)类比引申如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，45.EAF ∠=︒若B ∠，D ∠都不是直角，则当B ∠与D ∠满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+．(3)联想拓展如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且45.DAE ∠=︒猜想BD ，DE ，EC 应满足的等量关系，并写出推理过程．(4)思维深化如图4，在ABC 中，60BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在直线BC 上，点D 在点E 的左边，且30DAE ∠=︒，当4AB =，1BD =时，直接写出CE 的长．9．（2023·陕西西安·九年级校考期中）问题研究，如图，在等腰ABC 中，AB AC =，点D 、E 为底边BC 上的两个动点（不与B 、C 重合），且DAE B ∠=∠．（1）请在图中找出一个与ABE 相似的三角形，这个三角形是__________；（2）若90BAC ∠=︒，分别过点D 、E 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为F 、G ，且DF 、EG 的反向延长线交于点M ，若1AB =，求四边形AFMG 的面积；问题解决（3）如图所示，有一个矩形仓库ABCD ，其中40AB =米，30AD =米，现计划在仓库的内部的E 、F 两处分别安装监控摄像头，其中点E 在边BC 上，点F 在边DC 上．设计要求45EAF ∠=︒且CE CF =，则CE 的长应为多少米？12．（2022秋·广东·九年级深圳市福田区北环中学校考期中）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN．【实践探究】(1)在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．(2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．(3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．13．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题背景：如图1，在正方形ABCD 中，点E F 、分别在边BC CD 、上，45EAF ∠=︒，求证：EF BE DF =+．洋洋同学给出了部分证明过程，请你接着完成剩余的证明过程．证明：延长FD 到点P 使DP BE =，连接AP ，正方形ABCD ，90AB AD ADP ABE ∴∠∠︒=，==，在 Rt ABE △和Rt ADP △中，AB AD ABE ADP BE DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()Rt ABE Rt ADP SAS ∴△≌△迁移应用：如图2，在正方形ABCD 中，QA QB 、交CD 于点G H 、，若45AQB ∠=︒，31CH GH ==，，求AG 的长．联系拓展：如图3，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边BC CD 、上，45EAF ∠=︒，若::1:2:4DF AD AB =，探究BE 与EC 的数量关系，并给出证明．14．（2023·浙江杭州·九年级期中）已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与边BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ．设,CE a CF b ==．（1）如图1，当EAF ∠被对角线AC 平分时，求a 、b 的值；（2）当AEF △是直角三角形时，求a 、b 的值；（3）如图3，探索EAF ∠绕点A 旋转的过程中，CEF △的面积是否发生变化？请说明理由．统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图【探究一】如图②，把CDM V 绕点C 逆时针旋转90︒得到CBH ，同时得到点H 在直线AB 上．求证：CNM CNH ∠=∠【探究二】在图②中，连接BD ，分别交CM ，CN 于点E ，F ．求证：CEF CNM △∽△；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD 与三角尺45︒角两边CM ，CN 分别交于点E ，F ．连接AC 交BD 于点O ，求EF NM 的值．。
中考数学常见几何模型手拉手模型(从全等到相似)
专题03 手拉手模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.手拉手模型（全等模型）【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
【常见模型及证法】（等腰）（等边）（等腰直角）公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得ABD ACE 1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若ABC 和ADE 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边.求证：BD CE =；(2)解决问题：如图2，若ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系并说明理由.图1 图2【答案】(1)见解析 (2)90DCE ∠=︒；2AE AD DE BE CM =+=+【分析】（1）先判断出∠BAD =∠CAE ，进而利用SAS 判断出△BAD ∠∠CAE ，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD ∠∠CAE ，得出AD =BE ，∠ADC =∠BEC ，最后用角的差，即可得出结论．【解析】(1)证明：∠ABC 和ADE 是顶角相等的等腰三角形，∠AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，∠BAC CAD DAE CAD ∠-∠=∠-∠，∠BAD CAE ∠=∠． 在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()BAD CAE SAS ≌△△，∠BD CE =．(2)解：90AEB =︒∠，2AE BE CM =+，理由如下：由（1）的方法得，≌ACD BCE ，∠AD BE =，ADC BEC ∠∠=，∠CDE △是等腰直角三角形，∠45CDE CED ∠=∠=︒，∠180135ADC CDE ∠=︒-∠=︒，∠135BEC ADC ∠=∠=︒，∠1354590AEB BEC CED ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∠CD CE =，CM DE ⊥，∠DM ME =．∠90DCE ∠=︒，∠DM ME CM ==，∠2DE CM =．∠2AE AD DE BE CM =+=+．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD ∠∠BCE 是解本题的关键．2．（2022·黑龙江·中考真题）ABC 和ADE 都是等边三角形．(1)将ADE 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．(2)将ADE 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接P A ，猜想线段P A 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接P A ，猜想线段P A 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：PB PA PC =+，证明见解析 (3)图③结论：PA PB PC +=【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，P A =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF ∠=∠，AF AP =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP ∠=∠，AP AF =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．(1)证明：∠∠ABC 是等边三角形，∠AB =AC ，∠点P 与点A 重合，∠PB =AB ，PC =AC ，P A =0，∠PA PB PC +=或PA PC PB +=；(2)解：图②结论：PB PA PC =+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，∠ABC 和ADE 都是等边三角形，∠AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒∠BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，∠BAD CAE ∠=∠，∠BAD CAE ≌（SAS ），∠ABD ACE ∠=∠，∠AC =AB ，CP =BF ， ∠CAP BAF ≌△△（SAS ），∠CAP BAF ∠=∠，AF AP =，∠CAP CAF BAF CAF ∠+∠=∠+∠，∠60FAP BAC ∠=∠=︒，∠AFP 是等边三角形，∠PF AP =，∠PA PC PF BF PB +=+=；(3)解：图③结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，∠ABC 和ADE 都是等边三角形，∠AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒∠BAC BAE DAE BAE ∠+∠=∠+∠，∠BAD CAE ∠=∠，∠BAD CAE ≌（SAS ），∠ABD ACE ∠=∠，∠AB =AC ，BP =CF ，∠BAP CAF ≌△△（SAS ），∠CAF BAP ∠=∠，AP AF =，∠BAF BAP BAF CAF ∠+∠=∠+∠，∠60FAP BAC ∠=∠=︒，∠AFP 是等边三角形，∠PF AP =，∠PA PB PF CF PC +=+=，即PA PB PC +=．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，6AC BC ==，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且2CD CE ==，此时AD BE =，AD BE ⊥成立．（1）将CDE △绕点C 逆时针旋转90︒时，在图②中补充图形，并直接写出BE 的长度；（2）当CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，AD 与BE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出AD 的长度．【答案】（1）补充图形见解析；22BE =；（2）AD BE =，AD BE ⊥仍然成立，证明见解析；（3）51AD =-或51=+AD ．【分析】（1）根据旋转作图的方法作图，再根据勾股定理求出BE 的长即可；（2）根据SAS 证明E ACD BC ≅∆∆得AD =BE ，∠1=∠2，再根据∠1+∠3+∠4=90°得∠2∠3+∠4=90°，从而可得出结论；（3）分两种情况，运用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图所示，根据题意得，点D 在BC 上，∠BCE ∆是直角三角形，且BC =6，CE =2由勾股定理得，2222(2)(6)22BE CE BC =+=+=；（2）AD BE =，AD BE ⊥仍然成立. 证明：延长AD 交BE 于点H ，∠90ACB DCE ∠=∠=︒，ACD ACB BCD ∠=∠-∠，BCE DCE BCD ∠=∠-∠，∠ACD BCE ∠=∠，又∠CD CE =，AC BC =，∠ACD BCE ≅△△，∠AD BE =，12∠=∠，在Rt ABC 中，13490∠+∠+∠=︒，∠23490∠+∠+∠=︒，∠90AHB ∠=︒，∠AD BE ⊥.（3）①当点D 在AC 上方时，如图1所示，同（2）可得ACD BCE ≅△△∠AD =BE同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中，2CD CE ==∠DE =222CD CE +=在Rt △ACB 中，6AC BC ==∠2223AB AC BC =+=设AD =BE =x ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB +=∠222(2)(23)x x ++=解得,51x =-∠ 51AD =-②当点D 在AC 下方时，如图2所示，同（2）可得ACD BCE ≅△△∠AD =BE同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中，2CD CE ==∠DE =222CD CE +=在Rt △ACB 中，6AC BC ==∠2223AB AC BC =+=设AD =BE =x ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB +=∠222(2)(23)x x +-=解得,5+1x =∠ 51=+AD .所以,AD 的值为51-或5+1【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识，熟练解答本题的关键．模型2.手拉手模型（旋转相似模型）【模型解读与图示】旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.1．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形CDE ，按如图1的方式摆放，90ACB ECD ∠=∠=︒，随后保持ABC 不动，将CDE △绕点C 按逆时针方向旋转α（090α︒<<︒），连接AE ，BD ，延长BD 交AE 于点F ，连接CF ．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当ED BC ∥时，则α=_____；(2)【初步探究】如图3，当点E ，F 重合时，请直接写出AF ，BF ，CF 之间的数量关系：_________； (3)【深入探究】如图4，当点E ，F 不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在ABC 与CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，若BC mAC =，CD mCE =（m 为常数）．保持ABC 不动，将CDE △绕点C 按逆时针方向旋转α（090α︒<<︒），连接AE ，BD ，延长BD 交AE 于点F ，连接CF ，如图6．试探究AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)45︒(2)2BF AF CF =+(3)2BF AF CF =+仍然成立，理由见解析(4)21BF m FC mAF =++【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得AC BC ⊥，根据题意可得AC ED ⊥，根据等原三角形的性质可得AC 平分ECD ∠，即可得45ACE ∠=︒，根据旋转的性质可知ECA α∠=；（2）证明ACE ≌BCD △，可得AE DB =，根据等腰直角三角形可得2ED CE =，由BE BD ED =+，即可即可得出2BF AF CF =+；（3）同（2）可得ACE ≌BCD △，过点C ，作CH FC ⊥，交BF 于点H ，证明FEC HDC ≌，AFC △≌BHC △，可得BH AF =，即可得出2BF AF CF =+；（4）过点C 作CG CF ⊥，交BF 于点G ，证明ACE BCD △∽△，可得BG mAF =，GC mFC =，在Rt FCG 中，勾股定理可得21FG m FC =+，即可得出21BF m FC mAF =++．(1)等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形CDE ，90ECD ∴∠=︒，AC BC ⊥ED BC ∥ED AC ∴⊥45ACE α∴∠==︒故答案为：45︒(2)90∠=∠=︒ACB ECD ACE ACD ACD BCD ∴∠+∠=∠+∠ACE BCD ∴∠=∠ 在ACE 与BCD △中，AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ACE ≌BCD △∴AE DB =BE BD ED ∴=+ 又2ED CE =2BE AE CE ∴=+,E F 重合，2BF AF CF ∴=+故答案为：2BF AF CF =+ (3)同（2）可得ACE ≌BCD △AE DB ∴=，EAC DBC ∠=∠过点C ，作CH FC ⊥，交BF 于点H ，则90ECF FCD FCD DCH ∠+∠=∠+∠=︒，∴ECF DCH ∠=∠， 在FEC 与HDC △中，FEC HDC EC CD ECF DCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴FEC HDC ≌， FC CH ∴=，CFH ∴是等腰直角三角形，2FH FC ∴=，CH FC =，90,90FCH ACF ACH ACB BCH ACH ∴∠=∠+∠=︒∠=∠+∠=︒，ACF BCH ∴∠=∠，在AFC △与BHC △中，FC HC ACF BCH AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFC △≌BHC △，BH AF ∴=，2BF FH BH CF AF ∴=+=+，即2BF AF CF =+，(4)过点C 作CG CF ⊥，交BF 于点G ，BC mAC =，CD mCE =，BC CDAC CE ∴=，AC BC EC DC∴=， ACE BCD α∠=∠=，ACE BCD ∴△△∽，CBG CAF ∴∠=∠，FCA ACG GCB ACG ∠+∠=∠+∠，∴FCA GCB ∠=∠，AFC BGC ∴∽，BG GC BC AF FC AC∴==m =， BG mAF ∴=，GC mFC =， Rt FCG 中，2221FG FC CG m FC =+=+，∴21BF FG GB m FC mAF =+=++，即21BF m FC mAF =++．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2022·山东烟台·中考真题）(1)【问题呈现】如图1，∠ABC 和∠ADE 都是等边三角形，连接BD ，CE ．求证：BD ＝CE ．(2)【类比探究】如图2，∠ABC 和∠ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°．连接BD ，CE ．请直接写出BD CE的值．(3)【拓展提升】如图3，∠ABC 和∠ADE 都是直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，且AB BC ＝AD DE ＝34．连接BD ，CE ．①求BD CE的值；②延长CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ．求sin∠BFC 的值．【答案】(1)见解析(2)22(3)①35；②45 【分析】（1）证明△BAD ∠∠CAE ，从而得出结论； （2）证明△BAD ∠∠CAE ，进而得出结果；（3）①先证明△ABC ∠∠ADE ，再证得△CAE ∠∠BAD ，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE ＝∠ABD ，进而∠BFC ＝∠BAC ，进一步得出结果． (1)证明：∠∠ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∠AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ＝60°， ∠∠DAE ﹣∠BAE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，∠∠BAD ＝∠CAE ，∠∠BAD ∠∠CAE （S A S ），∠BD ＝CE ； (2)解：∠∠ABC 和∠ADE 都是等腰直角三角形，12AB AB AE AC ∴==，∠DAE ＝∠BAC ＝45°，∠∠DAE ﹣∠BAE ＝∠BAC ﹣∠BAE ， ∠∠BAD ＝∠CAE ，∠∠BAD ∠∠CAE ，1222BD AB CE AC ∴===； (3)解：①34AB AD AC DE ==，∠ABC ＝∠ADE ＝90°， ∠∠ABC ∠∠ADE ，∠∠BAC ＝∠DAE ，35AB AD AC AE ==， ∠∠CAE ＝∠BAD ，∠∠CAE ∠∠BAD ，35BD AD CE AE ∴== ； ②由①得：∠CAE ∠∠BAD ，∠∠ACE ＝∠ABD ，∠∠AGC ＝∠BGF ，∠∠BFC ＝∠BAC ，∠sin∠BFC 45BC AC ==． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 3．（2022·山东·东营市一模）【提出问题】（1）如图1，在等边∠ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等边∠AMN ，连结CN ．求证：∠ABC =∠ACN ．【类比探究】（2）如图2，在等边∠ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其它条件不变，（1）中结论∠ABC =∠ACN 还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰∠ABC 中，BA =BC ，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等腰∠AMN ，使顶角∠AMN =∠ABC ．连结CN ．试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）∠ABC=∠CAN，理由见解析．【分析】（1）利用SAS可证明∠BAM∠∠CAN，继而得出结论．（2）也可以通过证明∠BAM∠∠CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．（3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定∠ABC∠∠AMN，得到AB ACAM AN=，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定∠BAM∠∠CAN，得出结论．【详解】解：（1）证明：∠∠ABC、∠AMN是等边三角形，∠AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∠∠BAM=∠CAN．∠在∠BAM和∠CAN中，AB ACBAM CANAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAM∠∠CAN（SAS）．∠∠ABC=∠ACN．（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∠∠ABC、∠AMN是等边三角形，∠AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∠∠BAM=∠CAN．∠在∠BAM和∠CAN中，AB ACBAM CANAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAM∠∠CAN（SAS），∠∠ABC=∠ACN．（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：∠BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，∠底角∠BAC=∠MAN，∠∠ABC∠∠AMN，∠AB ACAM AN=，又∠∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∠∠BAM=∠CAN，∠∠BAM∠∠CAN，∠∠ABC=∠ACN．4．（2022·山西长治·九年级期末）问题情境：如图1，在∠ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E 分别在边AB，AC上，且∥DE BC．数学思考：(1)在图1中，BDCE的值为 ；(2)图1中∠ABC 保持不动，将∠ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD ，CE ，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)拓展探究：在图2中，延长BD ，分别交AC ，CE 于点F ，P ，连接AP ，得到图3，探究∠APE 与∠ABC 之间有何数量关系，并说明理由；(4)若将∠ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD ，CE ，延长BD 交CE 的延长线于点P ，BP 交AC 于点F ，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠APE 与∠ABC 之间的数量关系．【答案】(1)65(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析(3)∠APE =∠ABC ，理由见解析(4)结论不成立，∠APE +∠ABC =180°，理由见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；（2）根据旋转的性质得到∠BAD =∠CAE ，由（1）可证明∠BAD ∠∠CAE ，从而可证∠APE +∠ABC得到65BD AB CE AC ==；（3）由（2）可证∠ABD =∠ACE ，证明∠AFB ∠∠PFC 和∠AFP ∠∠BFC 即可得到结论；（4）证明∠ABD =∠ACE ，推出A 、B 、C 、P 四点共圆即可得到结论；（1）解：∠∥DE BC ，∠BD CE AB AC=，∠65BD AB CE AC ==；（2）解：中结论仍然成立，理由如下： ∠旋转的性质，∠∠ADE =∠ABC ，∠AED =∠ACB ， ∠∠ADE ∠∠ABC ，∠AD AE AB AC=，在图2中，由旋转的性质可知，∠BAC =∠DAE ，∠∠BAD =∠CAE ，∠∠BAD ∠∠CAE ，∠65BD AB CE AC ==； （3）解：∠APE =∠ABC ，理由如下： 由（2）得∠BAD ∠∠CAE ，∠∠ABD =∠ACE ， 又∠∠AFB =∠PFC ，∠∠AFB ∠∠PFC ，∠AF BFBAC BPC PF CF ==，∠∠，∠AF PF BF CF=，又∠∠AFP =∠BFC ，∠∠AFP ∠∠BFC ，∠∠CBF =∠P AF ，∠∠APE =∠ACE +∠P AF ，∠ABC =∠ABF +∠CBF ，∠∠APE =∠ABC ； （4）解：（3）结论不成立，∠APE +∠ABC =180°，理由如下： 由（2）知，∠BAD ∠∠CAE ，∠∠ABD =∠ACE ， ∠A 、B 、C 、P 四点共圆，∠∠APE +∠ABC =180°．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟练掌握相关三角形的性质与判定是解题的关键．课后专项训练：1．（2022·湖南·中考真题）如图，点O 是等边三角形ABC 内一点，2OA =，1OB =，3OC =，则AOB ∆与BOC ∆的面积之和为（ ）A ．34B ．32C ．334D ．3【答案】C【分析】将AOB ∆绕点B 顺时针旋转60︒得BCD ∆，连接OD ，得到BOD 是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得90COD ∠=︒，从而求解．【详解】解：将AOB ∆绕点B 顺时针旋转60︒得BCD ∆，连接OD ，OB OD ∴=，60BOD ∠=︒，2CD OA ==，BOD ∴∆是等边三角形， 1OD OB ∴==，∵()2222134OD OC +=+=，2224CD==，222OD OC CD ∴+=，90DOC ∴∠=︒， AOB ∴∆与BOC ∆的面积之和为23133113424BOC BCD BOD CODSSSS+=+=⨯+⨯⨯=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将AOB ∆与BOC ∆的面积之和转化为BOCBCDSS+，是解题的关键．2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC 内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则23CE =+．其中含所有正确结论的选项是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【答案】B【分析】证明BAD CAE ≌，即可判断①，根据①可得ADB AEC ∠=∠，由180ADC AEC ∠+∠=︒可得,,,A D C E四点共圆，进而可得DAC DEC ∠=∠，即可判断②，过点A 作AG BC ⊥于G ,交ED 的延长线于点H ，证明FAH FCE ∽，根据相似三角形的性质可得45CF AF =，即可判断③，将APC △绕A 点逆时针旋转60度，得到AB P ''△，则APP '是等边三角形，根据当,,,B P P C ''共线时，PA PB PC ++取得最小值，可得四边形ADCE 是正方形，勾股定理求得DP ， 根据CE AD AP PD ==+即可判断④． 【详解】解：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，,,AB AC AD AE BAD CAE ∴==∠=∠BAD CAE ∴△≌△BD CE ∴=故①正确；BAD CAE ≌ADB AEC ∴∠=∠180ADC AEC ∴∠+∠=︒,,,A D C E ∴四点共圆， CD CD =DAC DEC ∴∠=∠故②正确；如图，过点A 作AG BC ⊥于G ,交ED 的延长线于点H ，BAD CAE ≌,45,45ACE ABD ACB ∴∠=∠=︒∠=︒ 90DCE ∴∠=︒FC AH ∴∥2BD CD =，BD CE =1tan 2DC DEC CE ∴∠==,13CD BC = 设6BC a =，则2DC a =，132AG BC a ==，24EC DC a ==则32GD GC DC a a a =-=-= FC AH ∥1tan 2GD H GH ∴==22GH GD a ∴==325AH AG GH a a a ∴=+=+= AH ∠CE ，FAH FCE ∴∽CF CE AF AH ∴=4455CF a AF a ∴==则45CF AF =；故③正确 如图，将ABP 绕A 点逆时针旋转60度，得到AB P ''△，则APP '是等边三角形，PA PB PC PP P B PC B C '''+++∴'+=≥，当,,,B P P C ''共线时，PA PB PC ++取得最小值， 此时180********CPA APP '∠=-∠=︒-=︒︒︒，180********APB AP B AP P ∠=∠=︒-∠=︒-︒='''︒， 360360*********BPC BPA APC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，此时120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，AC AB AB '==，AP AP '=，APC AP B ''∠=∠， AP B APC ''∴≌， PC P B PB ''∴==， 60APP DPC '∠=∠=︒，DP ∴平分BPC ∠， PD BC ∴⊥，,,,A D C E 四点共圆，90AEC ADC ∴∠=∠=︒，又AD DC BD ==,BAD CAE ≌， AE EC AD DC ∴===，则四边形ADCE 是菱形， 又90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 是正方形，9060150B AC B AP PAC P AP ''''∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，则'B A BA AC ==，()1180152B ACB B AC '''∠=∠=︒-∠=︒，30PCD ∠=︒，3DC PD ∴=，DC AD =，2AP =，则()312AP AD DP DP =-=-=，23131DP ∴==+-， 2AP =，33CE AD AP PD ∴==+=+，故④不正确，故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，费马点，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2022·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）如图，已知AOB 和MON 都是等腰直角三角形(22OA <OM =ON )，∠AOB =∠MON =90°．(1)如图①，连接AM，BN，求证：AOM∠BON；(2)若将MON绕点O顺时针旋转，①如图②，当点N恰好在AB边上时，求证：22220BN AN N+=；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4，ON =3，请直接写出线段BN的长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②46322+或46322-．【分析】（1）利用SAS定理证明AOM BON≌即可；（2）①连接AM，证明AOM BON≌，即可证2222BN AN ON=+；②当点N在线段AM上时，连接BN，在Rt ANB中构造勾股定理的等量关系；当点M在线段AN上时，同理即可求得．（1）证明：90AOB MON︒∠=∠=，MON AON AOB AON∴∠+∠=∠+∠，即AOM BON∠=∠．MON和AOB是等腰直角三角形，,OM ON OA OB∴==，AOM BON∴≌(SAS) ．（2）解：①证明：如图，连接AM．90AOB MON︒∠=∠=，MON AON AOB AON∴∠-∠=∠-∠，即AOM BON∠=∠．MON和AOB是等腰直角三角形，,,45OM ON OA OB OAB OBA︒∴==∠=∠=，.()AOM BON SAS∴≌45,MAO OBA AM BN︒∴∠=∠==，90MAN︒∴∠=，222AM AN MN∴+=．MON是等腰直角三角形，222MN ON∴=，2222BN AN ON=∴+．②46322+或46322-．∠△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OB=4，ON =3，∠42,32AB MN==．当点N在线段AM上时，如图，连接BN，设BN x=，由(1)可知AOM BON≌．∠OAM OBN∠=∠，AM BN x==．∠NAB ABN OAM OAB ABN OBN ABN OAB∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠18090OBA OAB AOB =∠+∠=︒-∠=︒，∠()18090ANB NAB ABN ∠=︒-∠+∠=︒，∠ANB 是直角三角形，222+=AN BN AB ． 又∠32AN AM MN BN MN x =-=-=-，∠222(32)(42)x x -+=， 解得：1246324632,22x x +-+==（舍去）∠46322BN +=；当点M 在线段AN 上时，如图，连接BN ，设BN x =，由(2)①可知AOM BON ≌． ∠OAM OBN ∠=∠，AM BN x ==．∠NAB ABN OAM OAB ABN OBN ABN OAB ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠18090OBA OAB AOB =∠+∠=︒-∠=︒，∠()18090ANB NAB ABN ∠=︒-∠+∠=︒，∠ANB 是直角三角形，222+=AN BN AB ． 又∠32AN AM MN BN MN x =+=+=+，∠222(32)(42)x x ++=， 解得： 1246324632,22x x ---==（舍去）∠46322BN -=综上所述：BN 的长为46322+或46322-．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，三点共线分类讨论，对几何题目的综合把握是解题关键． 4．（2022·山西朔州·九年级期末）综合与实践问题情境：在数学课上老师出了这样一道题：如图1，在ABC 中6AB AC ==，30BAC ∠=︒，求BC 的长．(1)探究发现：如图2，勤奋小组经过思考后，发现：把ABC 绕点A 顺时针旋转90︒得到ADE ，连接BD ，BE ，利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求BC 的长； (2)探究拓展：如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把ABC 绕点A 顺时针旋转120︒后得到ADE ，连接BD ，CE 交于点F ，交AB 于点G ，请你判断四边形ADFC 的形状并证明；(3)奇异小组的同学把图3中的BGF 绕点B 顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF ，发现AF 的长度在不断变化，直接写出AF 的最大值和最小值．【答案】(1)BC 的长是3632-，见解析；(2)四边形ADFC 是菱形，见解析； (3)AF 的最大值是63，AF 的最小值是1263-，见解析．【分析】（1）过点B 作BH DE ⊥交DE 的延长线于点H ．由旋转性质进一步得AEB △是等边三角形， EBH △是等腰直角三角形，ABD △是等腰直角三角形，45BDA ∠=︒，在Rt EBH △中由勾股定理，1832HE HB ===，在Rt BDH 中，62BD =．在Rt BDH 中，求得36=DH ，进而得解；（2）利用旋转的性质得到相关结论，进一步证明四边形ADFC 是平行四边形．又有AD AC =，得证四边形ADFC 是菱形；（3）作AH ∠BD 于点H ，则90AHB ∠=︒，利用解直角三角形求得BF 的长，分两种情况进行分析，即可得解． （1）解：如图4，延长CB 、DE 交于点H .∠ABC 绕点A 顺时针旋转90︒得到ADE ∠ABC ADE △≌△，90CAE BAD ∠=∠=︒，∠H =90°， ∠AB AD ==6，AC AE ==6，DAE BAC ∠=∠，DE BC =∠6AB AC ==，30BAC ∠=︒∠∠ABC 是等腰三角形，60∠=∠-∠=︒BAE CAE BAC ∠180752-=︒∠∠=︒BAC ABC ， ∠=6AE AB = ∠AEB △是等边三角形∠6BE AB ==，60ABE ∠=︒∠18045∠=︒-∠-∠=︒EBH ABE ABC ∠EBH △是等腰直角三角形∠HE HB =．∠AD AB =，90DAB ∠=︒．∠ABD △是等腰直角三角形，45BDA ∠=︒．在Rt EBH △中，由勾股定理，得222+=HE HB BE ．∠2226+=HE HB =36．∠HE 2=HB 2=18∠1832HE HB ===．在BDH 中，90H ∠=︒，30∠=∠-∠=∠=︒-∠BDH EDA BDA ABC BDA ．在Rt BDH 中，1322==BH BD ．∠62BD =． 在Rt BDH 中，tan ∠=BH BDH DH ，∠3233=DH ， ∠36=DH ．∠3632=-=-DE DH EH ．∠DE BC =，∠BC 的长是3632-．（2）解：四边形ADFC 是菱形．理由如下：∠ABC 绕点A 顺时针旋转120︒得到ADE ，AB AC =，30BAC ∠=︒，∠ABC ADE △≌△，120∠=∠=︒BAD CAE ．∠AC AE =，AB AD =，30BAC DAE ∠=∠=︒．∠AC AE AB AD ===．∠∠ACE 是等腰三角形∠180302︒-∠=︒∠=∠=CAE ACE AEC ．同理可得：30ABD ADB ∠=∠=︒．∠180752-=︒∠∠=︒BAC ACB ．∠45∠=∠-∠=︒BCG ACB ACE ，105∠=∠+∠=︒FBC ABC ABF ．∠在BFC △中，18030∠=︒-∠-∠=︒BFG FBC BCG ．∠∠=∠BFG ACF ，∠=∠BFG ADB ．∠∥DB AC ，∥FC AD ．∠四边形ADFC 是平行四边形．∠AD AC =，∠四边形ADFC 是菱形．（3）如图5，作AH ∠BD 于点H ，则90AHB ∠=︒∠ABC 绕点A 顺时针旋转120︒得到ADE ， ∠ABC ADE △≌△，120BAD ∠=︒∠AB AD ==6∠∠ABD 是等腰三角形∠BH =DH =12BD ∠180302BAD ABD ADB ︒-∠∠=∠==︒ ．在Rt △ABH 中，∠AHB =90°，∠ABH =30°， AB =6∠cos cos30BH ABH AB==︒∠∠BH =33∠BD =2 BH =63 由（2）知四边形ADFC 是菱形∠DF =AD =6 ∠BF =BD -DF =63－6当BGF 绕点B 顺时针旋转，在旋转过程中，当旋转到A 、B 、F 第一次三点共线时，如图6，∠=BF ''BF此时AF 有最小值，此时AF =AF ''=AB -BF ''=AB -BF =6-（63－6）=12－63 当旋转到A 、B 、F 第二次三点共线时，如图7，BGF ''△≌△BGF ，∠=BF 'BF 此时AF 有最大值，此时AF =AB +BF '=AB +BF =6+63－6=63故AF 的最大值是63，AF 的最小值是1263-【点睛】本题以图形的变换——旋转为载体考查了全等三角形的性质和判定，菱形的判定，线段长度的最值问题等知识点，综合性较强，准确作出辅助线是解题的关键．5．（2022·湖北武汉·八年级期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN(3)若AB∠BC，延长AB交DE于M，DB=2，如图3，则BM=_______（直接写出结果）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)22【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出∠DBC∠∠ABE，即可得出结论；（2）先判断出∠ADN∠∠FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，进而判断出∠BAC=∠ACF，即可判断出∠ABC∠∠CF A，即可得出结论；（3）先判断出∠ABC∠∠HEB(ASA)，得出22=，再判断出∠ADM∠∠HEMBH AC==，AB EH(AAS)，得出AM=HM，即可得出结论．（1）解：∠∠ABD和∠BCE是等边三角形，∠BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∠∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∠∠DBC=∠ABE，∠∠ABE∠∠DBC（SAS），∠AE=CD；（2）解：如图，延长AN使NF=AN，连接FC，∠N为CD中点，∠DN=CN，∠∠AND=∠FNC，∠∠ADN∠∠FCN(SAS)，∠CF=AD，∠NCF=∠AND，∠∠DAB=∠BAC=60°∠∠ACD +∠ADN=60°∠∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，∠∠BAC=∠ACF，∠∠ABD 是等边三角形，∠AB =AD ，∠AB =CF ，∠AC =CA ，∠∠ABC ∠∠CF A (SAS )，∠BC =AF ，∠∠BCE 是等边三角形，∠CE =BC =AF =2AN ；（3）解： ∠∠ABD 是等边三角形，∠2AB AD DB ===，∠BAD =60°，在Rt ∠ABC 中，∠ACB =90°－∠BAC =30°，∠222AC AB ==，如图，过点E 作EH // AD 交AM 的延长线于H ，∠∠H =∠BAD =60°，∠∠BCE 是等边三角形，∠BC =BE ，∠CBE =60°，∠∠ABC =90°，∠∠EBH =90°－∠CBE =30°=∠ACB ，∠∠BEH =180°－∠EBH －∠H =90°=∠ABC ，∠∠ABC ∠∠HEB (ASA )，∠22BH AC ==，AB EH =，∠AD =EH ，∠∠AMD =∠HME ，∠∠ADM ∠∠HEM (AAS )，∠AM =HM ，∠()()1111122222BM AM AB AH AB AB BH AB BH AB BH AB =-=-=+-=-=- ∠22BH =，2AB =，∠22BM =．故答案为：22． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．6．（2022·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图1，在Rt ∠ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4，点D ，E 分别为边AB ，BC 上的中点，且BD ＝BE ＝2．(1)如图2，将∠BDE 绕点B 逆时针旋转任意角度α，连接AD ，EC ，则线段EC 与AD 的关系是；(2)如图3，DE∠BC，连接AE，判断∠EAC的形状，并求出EC的长；(3)继续旋转∠BDE，当∠AEC＝90°时，请直接写出EC的长．【答案】(1)EC＝AD，EC∠AD(2)等腰三角形，10(3)151【分析】（1）延长CE交AD于F，交AB于O，证明∠ABD∠∠CBE（SAS），得∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，再由∠AOF＝∠BOC，可得∠AFC＝∠ABC＝90°，即可得到结论；（2）设DE与AB的交点为H，可得AB是DE的垂直平分线，利用勾股定理可求出AE的长，由（1）知CE＝AD，从而得出答案；（3）分当点E在BC上方时和当点E在BC下方时，分别画图，利用勾股定理计算即可．(1)EC与AD垂直且相等，理由如下：延长CE交AD于F，交AB于O，∠∠BDE和△ABC都是等腰直角三角形，∠BD＝BE，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝90°，∠∠ABD＝∠CBE，∠∠ABD∠∠CBE（SAS），∠∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，∠∠AOF＝∠BOC，∠∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AD∠CE，∠故答案为：EC＝AD，EC∠AD；(2)设DE与AB的交点为H，∠DE∠BC，∠∠AHE＝∠ABC＝90°，∠BD＝BE，∠AB是DE的垂直平分线，∠AD ＝AE ，由（1）知AD ＝CE ，∠AE ＝CE ，∠∠ACE 是等腰三角形， ∠BE ＝2，∠BH ＝HE ＝1，∠AH ＝AB ﹣BH ＝4﹣1＝3，在Rt △AHE 中，由勾股定理得：AE ＝2210AH HE +=，∠CE ＝AE ＝10；(3)如图4，当点E 在BC 上方时，过点B 作BG ∠DE 于G ，∠∠AEC ＝90°，CE ∠AD ，∠A 、E 、D 三点共线，∠AG ＝2215AB BG -=，∠AD ＝AG +DG ＝151+，∠CE ＝AD ＝15+1；如图，当点E 在BC 下方时，同理可得CE ＝CG ﹣GE ＝15﹣1．综上：CE ＝15+1或15﹣1．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，根据前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．7．（2022·广东·惠州一中八年级期中）ABC 为等边三角形，4AB =，AD BC ⊥于点D ．E 为线段AD 上一点，3AE =．以AE 为边在直线AD 右侧构造等边AEF ．连结CE ，N 为CE 的中点．（1）如图1，EF 与AC 交于点G ，①连结NG ，求线段NG 的长；②连结ND ，求DNG ∠的大小．（2）如图2，将AEF 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α．M 为线段EF 的中点．连结DN 、MN ．当30120α︒<<︒时，猜想DNM ∠的大小是否为定值，并证明你的结论．【答案】（1）①72；②120︒；（2）120DNM ∠=︒，证明见解析 【分析】（1）①根据等边三角形的性质，AD BC ⊥，可得60,30AEF EAG ∠=︒∠=︒，NG 是Rt EGC △斜边EC 上的中线，勾股定理在Rt EDC 中可求得EC 的长，进而求得NG 的长；②根据①的结论可得NG NC ND ==，根据120NGC NCG NCD NDC ∠+∠+∠+∠=︒=GND ∠，即可求得GND ∠的度数； （2）连接,BE FC ，证明BAE CAF ≌，进而可得ABE ACF ∠=∠，则120EBC BCF ABC ABE ACB ACF ABC ACB ∠+∠=∠-∠+∠+∠=∠+∠=︒，进而根据D 为BC的中点，N 为EC 的中点，M 为EF 的中点，根据三角形中位线定理可得,DN BE MN CF ∥∥，进而可得MNE DNE ∠+∠=FCE DCE ∠+∠120=︒【详解】（1）①ABC 是等边三角形，4,AB AD BC =⊥222,23DB DC AD AC DC ∴===-=，60BAC ∠=︒3AE =3ED AD AE ∴=-=AEF 是等边三角形，60AEG ∴∠=︒1302DAG DAB CAB ∠=∠=∠=︒90EGC ∴∠=︒ N 为CE 的中点()22221117322222NG EC DE DC ∴==+=+= ②如图，连接DN ，11,22NG EC NC DN EC ===NG NC ND ∴== ==NGC NCG NCD NDC ∴∠∠∠∠，()2=2120NGC NCG NCD NDC NCD NCG BCA ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒NGC NCG NCD NDC GNE DNE GND ∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠120GND ∴∠=︒；（2）120DNM ∠=︒，理由如下，如图，连接,BE FC ABC，AEF 为等边三角形，,AB AC AE AF ∴==,60BAE BAC CAE CAE ∠=∠+∠=︒+∠60CAF CAE EAF CAE ∠=∠+∠=︒+∠BAE CAF ∴∠=∠BAE CAF ∴△≌△∴ABE ACF ∠=∠则120EBC BCF ABC ABE ACB ACF ABC ACB ∠+∠=∠-∠+∠+∠=∠+∠=︒D 为BC 的中点，N 为EC 的中点，M 为EF 的中点,DN BE MN CF ∴∥∥,MNE FCE EBC NDC ∴∠=∠∠=∠END NDC NCD ∠=∠+∠∴DNM DNE MNE NDC ACB ACN ECF∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒120EBC ACB ACF EBC BCFDNM∴∠=︒120【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的，勾股定理，中位线定理，三角形全等的性质与判定，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．8．（2022•新乡中考模拟）在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD 与BE的数量关系是，直线CD与BE的夹角为；【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D 三点共线．请直接写出CD的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，计算即可；（2）过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F，根据直角三角形的性质得到AB＝AC，AE＝AD，证明△CAD∽△BAE，根据相似三角形的性质解答即可；（3）分点E在线段BD上、点D在线段BE上两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠A＝∠B＝∠DEA＝45°，∴AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，∴CD＝AC﹣AD＝m，BE＝AB﹣AE＝m，∴BE＝CD，∵∠A＝45°，∴直线CD与BE的夹角为45°，故答案为：BE＝CD，45°；（2）不满足，BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°，理由如下：如图2，过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F，∵CA＝CB，∴AH＝HB，∵∠ACB＝∠ADE＝120°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠DAE＝∠DEA＝30°，∴AC＝2CH，∠CAD＝∠BAE，由勾股定理得：AH＝AC，∴AB＝AC，同理可得：AE＝AD，∴＝，∵∠CAD＝∠BAE，∴△CAD∽△BAE，∴＝＝，∠ACD＝ABE，∴BE＝CD，∠F＝∠CAB＝30°，∴BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°；（3）如图3，点E在线段BD上，∵m＝2，∴AD＝DE＝1，AB＝2，由勾股定理得：BD＝＝，∴BE＝BD﹣DE＝﹣1，∴CD＝BE＝，如图4，点D在线段BE上，BE＝BD+DE＝+1，∴CD＝BE＝，综上所述：当B，E，D三点共线．CD的长为或．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．（2022•虹口区期中）如图，在△ABC和△ADE中，△BAD＝△CAE，△ABC＝△ADE．（1）求证：△ABC△△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．【分析】（1）由△BAD＝△CAE，可得△BAC＝△DAE，又有△ABC＝△ADE，即可得出相似；（2）有（1）中可得对应线段成比例，又有以对应角相等，即可判定其相似．【解答】证明：（1）△△BAD＝△CAE，△△BAC＝△DAE，。
相似三角形中的基本模型-半角模型(学生版)
相似三角形中的基本模型--半角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型(相似模型)【常见模型及结论】1)半角模型(正方形中的半角相似模型)条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF=45°结论：如图1，△AMN∽△AFE且AFAM=AEAN=EFMN=2．(思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE)；图1图2结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且AFAM=ACAB=2；图3图4结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN.2)半角模型(特殊三角形中的半角相似模型)(1)含45°半角模型图1图2条件：如图1，已知∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=∠DAE=45°；结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②ABBE=ADAE=CDAC；③AB⋅AC=BE⋅CD(AB2=BE⋅CD)(2)含60°半角模型条件：如图1，已知∠BAC=120°，∠ADE=∠DAE=60°；结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②ADBD=CEAE=ACAB；③AD⋅AE=BD⋅CE(DE2=BD⋅CE)1(2023·山东济南·九年级期中)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M，N．下列结论：①AB2=BN⋅DM；②AF平分∠DFE；③AM⋅AE=AN⋅AF；④BE+DF=2MN．其中正确的结论是()A.①②③④B.①②③C.①③D.①②2(2023·山东滨州·统考中考模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD 上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF的长为．3(2023·福建龙岩·统考一模)如图，∠ACB=90°,AC=BC,∠DCE=45°，如果AD=3,BE=4，则BC 的长是( )．A.5B.52C.62D.74(2023·广东·九年级专题练习)如图，ΔABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点D为BC边上的点，点E为线段CD上一点，且CE=1，AB=23，∠DAE=60°，则DE的长为．5(2023·辽宁沈阳·统考二模)在菱形ABCD中，∠B=60°．点E，F分别在边BC，CD上，且BE= CF．连接AE，AF．(1)如图1，连接EF，求证：△AEF是等边三角形；(2)AG平分∠EAF交BC于点G．①如图2，AG交EF于点M，点N是BC的中点，当BE=4时，求MN的长．②如图3，O是AC的中点，点H是线段AG上一动点(点H与点A，点G不重合)．当AB=12，BE=4时，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出AHAG的值；若不存在，请说明理由．6(2023山东九年级期中)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点(不与点B，C，D重合)，AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．(1)求证：AFAM =22；(2)求证：AF⊥FM；(3)请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．7(2022·广东深圳·统考二模)【教材呈现】(1)如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，点A为公共顶点，∠BAC=∠G=90°，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF，AG与边BC分别交于点D，E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，则结论BE⋅CD= AB2是否成立(填“成立”或“不成立”)；【类比引申】(2)如图2，在正方形ABCD中，∠EAF为∠BAD内的一个动角，两边分别与BD，BC交于点E，F，且满足∠EAF=∠ADB，求证：△ADE∽△ACF；【拓展延伸】(3)如图3，菱形ABCD的边长为12cm，∠BAD=120°，∠EAF的两边分别与BD，BC相交于点E，F，且满足∠EAF=∠ADB，若BF=9cm，则线段DE的长为cm．课后专项训练1(2023·广东深圳·九年级校考阶段练习)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M，N，连接CN、EN，且CN=EN．下列结论：①AN=EN，AN⊥EN；②BE +DF=EF；③∠DFE=2∠AMN；④EF2=2BM2+2DN2．其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.12(2022·广东深圳·统考一模)如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，CF=2DF，连接AE，AF与对角线BD交于点M，N，连接MF，EN．给出结论：①∠EAF=45°；②AN⊥EN；③tan∠AMN=3；④DN:MN:BM=2:5:3．其中正确的是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④3如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C ，AB 、AC 分别交对角线BD于点E、F，若AE=4，则EF⋅ED的值为()A.4B.6C.8D.164如图，菱形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD边上的动点，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论：①ΔBEC≌ΔAFC；②ΔECF为等边三角形；③∠AGE=∠AFC；④若AF=1，则GFGE=12．其中正确个数为()A.4B.3C.2D.15(2023·浙江绍兴·校联考三模)矩形ABCD中，AB=6，AD=12，连接BD，E，F分别在边BC，CD上，连接AE ，AF 分别交BD 于点M ，N ，若∠EAF =45°，BE =3，则DN 的长为．6(2023·成都市·九年级专题练习)如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌△AEF ；②AE BE =AD CD ；③△ABC 的面积等于四边形AFBD 的面积；④BE 2+DC 2=DE 2；⑤BE =EF -DC ；其中正确的选项是(填序号)7(2023·上海宝山·校考一模)如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE =∠B =30°，且AD AE=32，那么DEBC 的值是．8(2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中)通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．(1)思路梳理∵AB =CD ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合.∵∠ADC =∠B =90°，∠FDG =180°，∴点F ，D ，G 共线.根据(从“SSS ，ASA ，AAS ，SAS ”中选择填写)，易证△AFG ≌，得EF =BE +DF ．(2)类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°.若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．(3)联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°.猜想BD，DE，EC 应满足的等量关系，并写出推理过程．(4)思维深化如图4，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左边，且∠DAE= 30°，当AB=4，BD=1时，直接写出CE的长．9(2023·陕西西安·九年级校考期中)问题研究，如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D、E为底边BC 上的两个动点(不与B、C重合)，且∠DAE=∠B．(1)请在图中找出一个与△ABE相似的三角形，这个三角形是；(2)若∠BAC=90°，分别过点D、E作AB、AC的垂线，垂足分别为F、G，且DF、EG的反向延长线交于点M，若AB=1，求四边形AFMG的面积；问题解决(3)如图所示，有一个矩形仓库ABCD，其中AB=40米，AD=30米，现计划在仓库的内部的E、F两处分别安装监控摄像头，其中点E在边BC上，点F在边DC上．设计要求∠EAF=45°且CE=CF，则CE的长应为多少米？10(2023·陕西汉中·九年级统考期末)如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点D为BC边上一点．(1)如图1，若AD=AM，∠DAM=120°．①求证：BD=CM；②若∠CMD=90°，求BDCD的值．(2)如图2，点E为线段CD上一点，且CE=4，AB=63，∠DAE=60°，求DE的长．11(2023·辽宁沈阳·九年级统考期末)【教材呈现】(1)如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠G=90°，BC=6，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF、AG与边BC分别交于点D，E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)①求证：AE2=DE•BE；②求BE•CD的值；【拓展探究】(2)如图2，在△ABC中，∠C=90°，点D，E在边BC上，∠B=∠DAE=30°，且AD=34 AE，请直接写出DEBC的值．12(2022秋·广东·九年级深圳市福田区北环中学校考期中)如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN=MN．【实践探究】(1)在图①条件下，若CN =6，CM =8，则正方形ABCD 的边长是．(2)如图②，点M 、N 分别在边CD 、AB 上，且BN =DM ．点E 、F 分别在BM 、DN 上，∠EAF =45°，连接EF ，猜想三条线段EF 、BE 、DF 之间满足的数量关系，并说明理由．(3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点M 、N 分别在边DC 、BC 上，连接AM ，AN ，已知∠MAN =45°，BN =2，求DM 的长．13(2023春·江苏·八年级专题练习)问题背景：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ．洋洋同学给出了部分证明过程，请你接着完成剩余的证明过程．证明：延长FD 到点P 使DP =BE ，连接AP ，∵正方形ABCD ，∴AB =AD ，∠ADP =∠ABE =90°，在 Rt △ABE 和Rt △ADP 中，AB =AD∠ABE =∠ADPBE =DP∴Rt △ABE ≌Rt △ADP (SAS )迁移应用：如图2，在正方形ABCD 中，QA 、QB 交CD 于点G 、H ，若∠AQB =45°，CH =3，GH =1，求AG的长．联系拓展：如图3，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°，若DF :AD :AB =1:2:4，探究BE 与EC 的数量关系，并给出证明．14(2023·浙江杭州·九年级期中)已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与边BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ．设CE =a ,CF =b ．(1)如图1，当∠EAF 被对角线AC 平分时，求a 、b 的值；(2)当△AEF 是直角三角形时，求a 、b 的值；(3)如图3，探索∠EAF 绕点A 旋转的过程中，△CEF 的面积是否发生变化？请说明理由．15(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD 中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C 重合，绕点C 旋转三角尺时，45°角的两边CM ，CN 始终与正方形的边AD ，AB 所在直线分别相交于点M ，N ，连接MN ，可得△CMN ．【探究一】如图②，把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，同时得到点H 在直线AB 上．求证：∠CNM =∠CNH ；【探究二】在图②中，连接BD ，分别交CM ，CN 于点E ，F ．求证：△CEF ∽△CNM ；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD 与三角尺45°角两边CM ，CN 分别交于点E ，F ．连接AC 交BD 于点O ，求EFNM的值．。
中考数学一轮复习专题解析—相似三角形
中考数学一轮复习专题解析—相似三角形复习目标1.了解相似图形和相似三角形的概念。
2.掌握三角形相似的判定方法和性质并学会运用。
考点梳理一、相似图形1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.2.比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． 3. 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． 等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．4.比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．5.黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB 例1．如果0ab cd =≠，则下列正确的是（ ）A ．::a c b d =B ．::a d c b =C ．::a b c d =D ．::d c b a = 【答案】B【分析】根据比例的基本性质，列出比例式即可．【详解】解：∵0ab cd =≠，∵::a d c b =，故选：B ．例2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，那么它们的相似比为（ ）A ．23B C ．49 D ．94【答案】A【分析】根据相似多边形的性质求解即可；【详解】两个相似多边形一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，∵它们的相似比为：6293=．故选A ．二、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∵”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：∵对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．∵顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．∵两个三角形形状一样，但大小不一定一样．∵全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∵ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∵'''C B A ∆，则'''C B A ∆∵ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∵C B A '∆''，且C B A '∆''∵C B A ''''''∆，则ABC ∆∵C B A ''''''∆．四、相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：五、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
人教版数学九年级下相似三角形专题复习公开课优秀教学案例
（二）过程与方法
1.通过案例分析、小组讨论、师生互动等多种教学活动，培养学生独立思考和解决问题的能力。
2.引导学生运用相似三角形的知识进行几何图形的变换和分析，提高学生的空间想象能力。
3.培养学生运用数学知识进行逻辑推理和证明的能力，提升学生的数学素养。
在教学内容上，我选取了与相似三角形相关的几个重要知识点，包括相似三角形的性质、判定方法以及相似三角形在实际问题中的应用。在教学过程中，我将采用案例分析、小组讨论、师生互动等多种教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索，培养他们的独立思考能力和团队合作精神。
在教学实践中，我发现许多学生在解决相似三角形问题时，往往对基础知识掌握不牢，导致解题思路混乱。因此，在本次公开课中，我将重点强调相似三角形的性质和判定方法，并通过典型例题的讲解和练习，使学生能够熟练运用这些知识解决实际问题。
此外，我还注意到，学生在学习过程中，往往对理论知识较为抵触，容易产生厌学情绪。因此，在本次公开课中，我将尽量使用生动的语言和贴近生活的案例，让学生在轻松愉快的氛围中学习，提高他们的学习积极性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.掌握相似三角形的性质和判定方法，能够灵活运用这些知识解决实际问题。
2.学会使用相似三角形的知识对图形进行变换和分析，提高空间想象能力。
人教版数学九年级下相似三角形专题复习公开课优秀教学案例
一、案例背景
本节公开课的主题是“人教版数学九年级下相似三角形专题复习”，旨在帮助学生巩固和深化对相似三角形知识的掌握。九年级的学生已经学习了相似三角形的性质和判定方法，但他们在实际解决问题时，往往对这些知识运用不够灵活。因此，本节课的设计目的是让学生在复习中强化对相似三角形知识的理解，提高解决问题的能力。
九年级数学中考复习压轴题相似三角形构造技巧方法技巧(四)巧用反A型相似——公共角型专题训练含答案解析
△ACB，典例精讲类型一直接利用反A型相似【例】如图，在锐角△ABC中，点D．E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF ＝∠GA C．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若12ADAB=，求AFAG的值；（3）设AG与DE交于点0，延长ED，BC交于点H，连接AH，在（2）的条件下，若AH＝sin∠EHB＝35，求FG的长．类型二作辅助线构反A型相似(2020武汉模拟题)如图，在Rt△ABC中．∠C＝ 90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在边BC，AC上，若35BDAE=，∠AOE＝∠BAC，求AE的长．EDCBAHGFEDCBAEDC BAOFEDC BAO△ACB，典例精讲类型一直接利用反A型相似【例】如图，在锐角△ABC中，点D．E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF ＝∠GA C．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若12ADAB=，求AFAG的值；（3）设AG与DE交于点0，延长ED，BC交于点H，连接AH，在（2）的条件下，若AH＝sin∠EHB＝35，求FG的长．【思路分析】（1）因∠EAD＝∠CA B．故只证∠AED＝∠ACB即可；（2）证△AFE∽△AGC；（3）设参表示OF，AF，A0，0G，证△FOG∽△AOH．【解答】（1）∵∠EAF＝∠GAC，∠AFE＝∠AGC＝90°，∴∠AEF＝∠ACG，又∵∠BAC公共，∴△ADE ∽△ABC；（2）易证AFE∽△AGC，∵△ADE∽△ABC，∴12 AF AE ADAG AC AB===；（3）sin∠EHB＝sin∠F AO＝35OFOA=，由△A0F∽△HOG易得△FOG∽△AOH，∴FG OFAH OA=，∴35=，∴FG=．【方法总结】1．运用相似三角形的性质转化相似比；2．已知三角函数值，转化为直角三角形中边的关系．典题精练类型二作辅助线构反A型相似(2020武汉模拟题)如图，在Rt△ABC中．∠C＝ 90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在边BC，AC上，若35BDAE=，∠AOE＝∠BAC，求AE的长．EDCBAHGFEDCBA解：过点E 作EF ⊥AB 于点F ，设AE ＝5k ，BD ＝3k ．∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB＝＝5．又∵∠EAF ＝∠CAB ，∠AFE ＝∠C ＝90°，∴△AEF ∽△ABC ，∴AE AF EF AB AC CB==，∴AF ＝4k ，EF ＝3k ，∵∠AOE ＝ ∠BAC ，∴∠OAB ＋∠OBA ＝∠CAD ＋∠OA B ．∴∠CAD ＝∠ABO ，∵∠C ＝∠EFB ＝90°，∴△ACD ∽△BFE ，∴AC CD BF EF =，∴433543k k k-=- ，整理得4k 2－ 13k ＋5＝0，解得k（舍去），∴AE ＝5k．E D C B A OFE D CB AO。
数学人教版九年级下册三垂直模型--相似三角形专题
三垂直模型相似三角形（教学设计）广州市东晓中学王智君一、学习目标1、掌握相似三角形的性质和判定，并能熟练运用三垂直模型解决问题。
2、经历运用相似三角形的基础知识解决的过程，体验图形的运动以及方程等数学思想。
二、授课（一）【导入新课】相似三角形在初中的应用非常广泛，用于线段、面积的计算；用于线段关系式、线段的数量关系、位置关系的证明。
前段时间我们学习了相似三角形的A字形、8字形等模型的应用，今天我们继续探索相似三角形的性质和应用。
（二）【探究活动】【探究1】构造格点三角形请在图1中画一个直角三角形ABC，满足条件：（1）以线段AC为斜边；（2）顶点B落在线段MT的格点上。
师问：怎样画出这样一个直角三角形？生答：用直角三角板，把直角顶点B放在线段MT的任一格点上，以点B为顶点旋转三角板，若使得两直角边与点A、点C同时重合，则三角形ABC为直角三角形了。
师问：你能确定你这个三角形一定是直角三角形吗？生答：利用格点图，易知AC=5，AB=5, BC=25,在利用勾股定理的逆定理，可以知道AB²+BC²=AC², 所以ΔABC必定为直角三角形。
师说：由于题目要求∠ABC恒为90°，由此我们还可以考虑直径所对的圆周角也恒为90°。
那么我们以线段AC为直径作圆，圆弧与线段MT交点，便为点B.师问：今天我们要研究不是ΔABC，而是ΔAMB与ΔBTC。
请问ΔAMB与ΔBTC相似吗?生答:相似。
因为夹角为直角，两边对应成比例。
【探究2】构造三垂直模型师问：我把图2中格线擦掉后，条件不变，依然在正方形中，且∠ABC=90°，请问图3中ΔAMB 与ΔBTC这两个三角形还相似吗？依据呢？生答：相似，由于∠1+∠2=90°且∠1+∠2=90°，所以∠1=∠3，又因为∠M =∠T = 90°,因此这两个三角形相似。
师说：很好。
我们利用同角的余角相等，易于得出这两个三角形有两组角相等，所以相似。
全等与相似模型-手拉手模型(解析版)
全等与相似模型-手拉手模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点(即头)旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
1)双等边三角形型条件：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
图1图22)双等腰直角三角形型条件：如图2，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。
3)双等腰三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠BFD。
图3图44)双正方形形型条件：△ABCFD 和△CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG ，ED 交于点N 。
结论：①△△BCG ≌△DCE ；②BG =DE ；③∠BCM =∠DNM =90°；④CN 平分∠BNE 。
1(2022·北京东城·九年级期末)如图，在等边三角形ABC 中，点P 为△ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到AP ，连接PP ，BP ．(1)用等式表示BP 与CP 的数量关系，并证明；(2)当∠BPC =120°时， ①直接写出∠P BP 的度数为；②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．【答案】(1)BP =CP ，理由见解析；(2)①60°；②PM =12AP ，见解析【分析】(1)根据等边三角形的性质，可得AB =AC ，∠BAC =60°，再由由旋转可知：AP =AP ，∠PAP =60°，从而得到∠BAP =∠CAP ，可证得△ABP ≌△ACP ，即可求解；(2)①由∠BPC =120°，可得∠PBC +∠PCB =60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC =60°，从而得到∠ABC +∠ACB =120°，进而得到∠ABP +∠ACP =60°．再由△ABP ≌△ACP ，可得∠ABP =∠ACP ，即可求解；②延长PM 到N ，使得NM =PM ，连接BN ．可先证得△PCM ≌△NBM ．从而得到CP =BN ，∠PCM =∠NBM ．进而得到BN =BP ．根据①可得∠P BP =60°，可证得△PNB ≌△PP B ，从而得到PN =PP ．再由△PAP 为等边三角形，可得P P =AP ．从而得到PN =AP ，即可求解．【详解】解：(1)BP =CP ．理由如下：在等边三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC =60°，由旋转可知：AP =AP ，∠PAP =60°， ∴∠PAP -∠BAP =∠BAC -∠BAP 即∠BAP =∠CAP在△ABP 和△ACP 中AB =AC∠BAP =∠CAP AP =AP∴△ABP ≌△ACP (SAS )．∴BP =CP ．(2)①∵∠BPC =120°，∴∠PBC +∠PCB =60°．∵在等边三角形ABC 中，∠BAC =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠ABP +∠ACP =60°．∵△ABP ≌△ACP ．∴∠ABP =∠ACP ，∴∠ABP +∠ABP ＇=60°．即∠P BP =60°；②PM =12AP ．理由如下：如图，延长PM 到N ，使得NM =PM ，连接BN ．∵M 为BC 的中点，∴BM =CM ．在△PCM 和△NBM 中PM =NM∠PMC =∠NMB CM =BM∴△PCM ≌△NBM (SAS )．∴CP =BN ，∠PCM =∠NBM ．∴BN =BP ．∵∠BPC =120°，∴∠PBC +∠PCB =60°．∴∠PBC +∠NBM =60°．即∠NBP =60°．∵∠ABC +∠ACB =120°，∴∠ABP +∠ACP =60°．∴∠ABP +∠ABP ＇=60°．即∠P BP =60°．∴∠P BP =∠NBP ．在△PNB 和△PP B 中BN =BP∠NBP =∠P BP BP =BP∴△PNB ≌△PP B (SAS )．∴PN =PP ．∵AP =AP ，∠PAP =60°， ∴△PAP 为等边三角形，∴P P =AP ．∴PN =AP ，∴PM =12AP ．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．2(2022·黑龙江·中考真题)△ABC 和△ADE 都是等边三角形．(1)将△ADE 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P (点P 与点A 重合)，有PA +PB =PC (或PA +PC =PB )成立；请证明．(2)将△ADE 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【答案】(1)证明见解析(2)图②结论：PB =PA +PC ，证明见解析(3)图③结论：PA +PB =PC【分析】(1)由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；(2)在BP 上截取BF =CP ，连接AF ，证明△BAD ≌△CAE (SAS )，得∠ABD =∠ACE ，再证明△CAP ≌△BAF (SAS )，得∠CAP =∠BAF ，AF =AP ，然后证明△AFP 是等边三角形，得PF =AP ，即可得出结论；(3)在CP 上截取CF =BP ，连接AF ，证明△BAD ≌△CAE (SAS )，得∠ABD =∠ACE ，再证明△BAP ≌△CAF (SAS )，得出∠CAF =∠BAP ，AP =AF ，然后证明△AFP 是等边三角形，得PF =AP ，即可得出结论：PA +PB =PF +CF =PC ．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，∴PA +PB =PC 或PA +PC =PB ；(2)解：图②结论：PB =PA +PC证明：在BP 上截取BF =CP ，连接AF ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°∴∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD ，∴∠BAD =∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴∠ABD =∠ACE ，∵AC =AB ，CP =BF ， ∴△CAP ≌△BAF (SAS )，∴∠CAP =∠BAF ，AF =AP ，∴∠CAP +∠CAF =∠BAF +∠CAF ，∴∠FAP =∠BAC =60°，∴△AFP 是等边三角形，∴PF =AP ，∴PA +PC =PF +BF =PB ；(3)解：图③结论：PA +PB =PC ，理由：在CP 上截取CF =BP ，连接AF ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°∴∠BAC +∠BAE =∠DAE +∠BAE ，∴∠BAD =∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴∠ABD =∠ACE ，∵AB =AC ，BP =CF ，∴△BAP ≌△CAF (SAS )，∴∠CAF =∠BAP ，AP =AF ，∴∠BAF +∠BAP =∠BAF +∠CAF ，∴∠FAP =∠BAC =60°，∴△AFP 是等边三角形，∴PF =AP ，∴PA +PB =PF +CF =PC ，即PA +PB =PC ．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．3(2022·湖北·襄阳市九年级阶段练习)如图，已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形22OA <OM =ON ，∠AOB =∠MON =90°．(1)如图①，连接AM ，BN ，求证：△AOM ≌△BON ；(2)若将△MON 绕点O 顺时针旋转，①如图②，当点N 恰好在AB 边上时，求证：BN 2+AN 2=20N 2；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若OB =4，ON =3，请直接写出线段BN 的长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②46+322或46-322．【分析】(1)利用SAS 定理证明△AOM ≌△BON 即可；(2)①连接AM ，证明△AOM ≌△BON ，即可证BN 2+AN 2=2ON 2；②当点N 在线段AM 上时，连接BN ，在Rt △ANB 中构造勾股定理的等量关系；当点M 在线段AN 上时，同理即可求得．(1)证明：∵∠AOB =∠MON =90°，∴∠MON +∠AON =∠AOB +∠AON ，即∠AOM =∠BON ．∵△MON 和△AOB 是等腰直角三角形，∴OM =ON ,OA =OB ，∴△AOM ≌△BON (SAS )．(2)解：①证明：如图，连接AM ．∵∠AOB =∠MON =90°，∴∠MON -∠AON =∠AOB -∠AON ，即∠AOM =∠BON ．∵△MON 和△AOB 是等腰直角三角形，∴OM =ON ,OA =OB ,∠OAB =∠OBA =45°，∴△AOM ≌△BON .(SAS )∴∠MAO =∠OBA =45°,AM =BN ，∴∠MAN =90°，∴AM 2+AN 2=MN 2．∵△MON 是等腰直角三角形，∴MN 2=2ON 2，∴BN 2+AN 2=2ON 2．②46+322或46-322．∵△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，OB =4，ON =3，∴AB =42,MN =32．当点N 在线段AM 上时，如图，连接BN ，设BN =x ，由(1)可知△AOM ≌△BON ．∴∠OAM =∠OBN ，AM =BN =x ．∴∠NAB +∠ABN =∠OAM +∠OAB +∠ABN =∠OBN +∠ABN +∠OAB =∠OBA +∠OAB =180°-∠AOB =90°，∴∠ANB =180°-∠NAB +∠ABN =90°，∴△ANB 是直角三角形，AN 2+BN 2=AB 2．又∵AN =AM -MN =BN -MN =x -32，∴(x -32)2+x 2=(42)2，解得：x 1=46+322,x 2=-46+322(舍去)∴BN =46+322；当点M 在线段AN 上时，如图，连接BN ，设BN =x ，由(2)①可知△AOM ≌△BON ．∴∠OAM =∠OBN ，AM =BN =x ．∴∠NAB +∠ABN =∠OAM +∠OAB +∠ABN =∠OBN +∠ABN +∠OAB =∠OBA +∠OAB =180°-∠AOB =90°，∴∠ANB =180°-∠NAB +∠ABN =90°，∴△ANB 是直角三角形，AN 2+BN 2=AB 2．又∵AN =AM +MN =BN +MN =x +32，∴(x +32)2+x 2=(42)2，解得：x 1=46-322,x 2=-46-322(舍去)∴BN =46-322综上所述：BN 的长为46+322或46-322．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，三点共线分类讨论，对几何题目的综合把握是解题关键．4(2022·重庆忠县·九年级期末)已知等腰直角△ABC 与△ADE 有公共顶点A ,∠BAC =∠DAE =90°,AB =AC =4,AD =AE =6．(1)如图①，当点B ,A ,E 在同一直线上时，点F 为DE 的中点，求BF 的长；(2)如图②，将△ADE 绕点A 旋转α0°<α≤360° ，点G 、H 分别是AB 、AD 的中点，CE 交GH 于M ，交AD 于N ．①猜想GH 与CE 的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结论；②参考图③，若K 为AC 的中点，连接KM ，在△ADE 旋转过程中，线段KM 的最小值是多少(直接写出结果)．【答案】(1)BF =58；(2)①GH =12CE ,GH ⊥CE ；证明见解析；②线段KM 的最小值是5-1．【分析】(1)如图：过点F 作FQ ⊥AE 于点Q ，先说明FQ 是△ADE 的中位线，然后再求得FQ 、BQ ，最后再运用勾股定理解答即可；(2)①连接BD 交CE 于P ，先证明△ABD ≌△ACE 可得AB =AC ,∠BAD =∠CAE ,AD =AE ，然后再说明GM 是△ABD 的中位线可得GH =12CE ，然后再根据角的关系证明GH ⊥CE ﹔②如图：连接CG ，取中点O ，连接OK 、OM ，再根据勾股定理和三角形中位线的性质求得CG 和OK ,进而求得OM ,最后根据三角形的三边关系即可解答．【详解】解：(1)过点F 作FQ ⊥AE 于点Q ，∵点F 是DE 的中点，∴FQ 是△ADE 的中位线∴FQ =12AD =3,AQ =12AE =3，∴BQ =AB +AQ =7∴BF =FQ 2+BQ 2=32+72=58；(2)①GH =12CE ,GH ⊥CE ﹔证明:连接BD 交CE 于P ．∵∠ABC =∠DAE =90°，∴∠ABC +∠CAD =∠DAE +∠CAD ．即∠BAD =∠CAE ；在△ABD 和△ACE 中，∵AB =AC ,∠BAD =∠CAE ,AD =AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴BD =CE ,∠ADB =∠AEC∵G ,H 分别是AB ,AD 的中点，∴GM 是△ABD 的中位线∴GH =12BD =12CE 且GH ⎳BD ∵∠AEN +∠ANE =90°,∠ANE =∠DNP ，∴∠ADP +∠DNP =90°∴∠DPN =90°∴∠HMN =∠DPN =90°，∴GH ⊥CE ﹔②如图：连接CG ，取中点O ，连接OK 、OM ∴CG =AG 2+AC 2=22+42=25，OK =12AG =1∵∠CMG =90°，O 为CG 的中点∴OM =12CG =5∵MK >OM -OK ∴当O 、K 、M 共线时，MK 取最小值OM -OK =5-1．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．5(2022·山西大同·九年级期中)综合与实践：已知△ABC 是等腰三角形，AB =AC ．(1)特殊情形：如图1，当DE ∥BC 时，DB EC ．(填“>”“<”或“=”)；(2)发现结论：若将图1中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α(0°<α<180°)到图2所示的位置，则(1)中的结论还成立吗？请说明理由．(3)拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点P 是等腰直角三角形ABC 内一点，∠BAC =90°，且BP =1，AP =2，CP =3，求∠BPA 的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将△BAP 绕点A 顺时针旋转90°得到△CAE ，连接PE ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出∠BPA 的度数．【答案】(1)=；(2)成立，理由见解析；(3)∠BPA =135°．【分析】(1)由DE ∥BC ，得到∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ，结合AB =AC ，得到DB =EC ；(2)由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB =CE ；(3)由旋转构造出△APB ≌△AEC ，再用勾股定理计算出PE ，然后用勾股定理逆定理判断出△PEC 是直角三角形，在简单计算即可．【详解】解：(1)∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴∠ADE =∠AED ，∴AD =AE ，∴DB =EC ，故答案为：=；(2)成立．证明：由①易知AD =AE ，∴由旋转性质可知∠DAB =∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD =AE∠DAB =∠EAC AB =AC，∴△DAB ≌△EAC (SAS )，∴DB =CE ；(3)如图，将△APB绕点A旋转90°得△AEC，连接PE，∴△APB≌△AEC，∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，在Rt△PAE中，由勾股定理可得，PE=22，在△PEC中，PE2=(22)2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，又∵△APB≌△AEC，∴∠BPA=∠CEA=135°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．6(2022·青海·中考真题)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD= CE；(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.图1 图2【答案】(1)见解析(2)∠DCE=90°；AE=AD+DE=BE+2CM【分析】(1)先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；(2)同(1)的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．【解析】(1)证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS ，∴BD=CE．(2)解：∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由如下：由(1)的方法得，△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，∴∠BEC=∠ADC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴DE=2CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．7(2022·广东广州市·八年级期中)如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．(1)证明：△ADG≌△CDE；(2)请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；(3)连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】(1)答案见解析；(2)AG=CE，AG⊥CE；(3)△ADE的面积=△CDG的面积【分析】(1)利用SAS证明△ADG≌△CDE；(2)利用△ADG≌△CDE得到AG=CE，∠DAG=∠DCE，利用∠DAG+∠AMD=90°得到∠DCE+∠CMG=90°，即可推出AG⊥CE；(3)△ADE的面积=△CDG的面积，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，证明△DPG≌△DNE，得到PG= EN，再利用三角形的面积公式分别表示出△ADE的面积，△CDG的面积，即可得到结论△ADE的面积=△CDG的面积.【详解】(1)∵四边形ABCD与DEFG都是正方形，∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDE(SAS)，(2)AG=CE，AG⊥CE，∵△ADG≌△CDE，∴AG=CE，∠DAG=∠DCE，∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG，∴∠DCE+∠CMG=90°，∴∠CHA=90°，∴AG⊥CE；(3)△ADE的面积=△CDG的面积，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，则∠DPG=∠DNE=90°，∵∠GDE=90°，∴∠EDN+∠GDN=90°，∵∠PDG+∠GDN=90°，∴∠EDN=∠PDG，∵DE=DG，∴△DPG≌△DNE，∴PG=EN，∵△ADE的面积=12AD⋅EN，△CDG的面积=12CD⋅GP，∴△ADE的面积=△CDG的面积.【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，利用三角形面积公式求解，根据图形得到三角形全等的条件是解题的关键.8(2023·福建福州市·九年级月考)如图，和均为等边三角形，连接BE、CD．(1)请判断：线段BE与CD的大小关系是；(2)观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变?(3)观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是,在如图中证明你的猜想.(4)这些结论可否推广到任意正多边形(不必证明),如图,BB1与EE1的关系是;它们分别在哪两个全等三角形中;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？【答案】(1)BE=CD(2)线段BE与CD的大小关系不会改变(3)AE=CG，证明见解析(4)这些结论可以推广到任意正多边形.如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．图形见解析.【分析】本题是变式拓展题，图形由简单到复杂，需要从简单图形中探讨解题方法，并借鉴用到复杂图形中；证明三角形全等时，用旋转变换寻找三角形全等的条件．【详解】(1)线段BE与CD的大小关系是BE=CD；(2)线段BE与CD的大小关系不会改变；(3)AE=CG．证明：如图4，正方形ABCD与正方形DEFG中，∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG．(4)这些结论可以推广到任意正多边形．如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．【点睛】本题综合考查全等三角形、等边三角形和多边形有关知识．注意对三角形全等的证明方法的发散．模型2.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
专题02 8字型(解析版)-2022-2023学年九年级数学相似三角形基本模型探究(北师大版)
专题02 “8”字型【基本模型】①如图1，AB ∥CD ⇔△AOB ∽△COD ⇔AB OA OB CD OC OD==；②如图2，∠A ＝∠D ⇔△AOB ∽△DOC ⇔AB OA OB CD OD OC ==．③模型拓展：如图，∠A ＝∠C ⇔△AJB ∽△CJD ⇔AB JA JB CD JC JD==．【例题精讲】例1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC ，BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为( )A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】C 【详解】∵平行四边形ABCD∴AD BC ∥，AD =BC∵E 为边AD 的中点∴BC =2AE∵AE BC∥∴∠EAC =∠BCA又∵∠EFA =∠BFC∴△AEF ∽△CBF如图，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，FG ⊥BC 于点G ，则12EF AF AE HF BF CF BC FG ====，∴111221362AEFABC AE FH BC FH S S BC FH BC HG D D ×××===×××， ∵△AEF 的面积为2∴66212ABC AEF S S D D ==´=故选C ．例2.如图，在▱ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是 36 ．【答案】36【解析】∵在▱ABCD 中，AO =12AC ，∵点E 是OA 的中点，∴AE =13CE ，∵AD ∥BC ，∴△AFE ∽△CBE ，∴AF BC =AE CE =13，∵S △AEF ＝4，S △AEF S △BCE =（ AF BC ）2=19，∴S △BCE ＝36例3．如图，在△ABC 中，BC ＝6，AE AF EB FC=，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ ＝14CE 时，EP +BP 的值为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．24【答案】C【详解】解：如图，延长EF 交BQ 的延长线于G ．∵AEAFEB FC =，∴EG ∥BC ，∴∠G ＝∠GBC ，∵∠GBC ＝∠GBP ，∴∠G ＝∠PBG ，∴PB ＝PG ，∴PE +PB ＝PE +PG ＝EG ，∵CQ ＝14EC ，∴EQ ＝3CQ ，∵EG ∥BC ，∴△EQG ∽△CQB ，∴EG CB ＝EQQC ＝3，∵BC ＝6，∴EG ＝18，∴EP +PB ＝EG ＝18，故选：C ．例4.如图，,AB CD AE FD ∥∥，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是（ ）A ．DH CH FH BH =B ．GE CG DF CB =C ．AF HG CE CG =D ．=FH BF AG FA【答案】D【详解】解：∵AB ∥CD ，∴DH CH FH BH=，∴A 选项正确，不符合题目要求；∵AE ∥DF ，∴∠CGE =∠CHD ，∠CEG =∠D ，∴△CEG ∽△CDH ，∴GE CG DH CH=，∴EG DH CG CH =，∵AB ∥CD ，∴CH DH CB DF =，∴DH DF CH CB =，∴GE DF CG CB =，∴GE CG DF CB =，∴B 选项正确，不符合题目要求；∵AB ∥CD ，AE ∥DF ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴AF =DE ，∵AE ∥DF ，∴DE GH CE GC =，∴AF HG CE CG=； ∴C 选项正确，不符合题目要求；∵AE ∥DF ，∴△BFH ∽△BAG ，∴FH BF AG AB=，∵AB ＞FA ，∴FH BF AG FA¹∴D 选项不正确，符合题目要求．故选D ．【变式训练1】如图，在Rt ACB △中，90ACB Ð=°，4AC =，3BC =，点D 为AC 上一点，连接BD ，E为AB 上一点，CE BD ^于点F ，当AD CD =时，求CE 的长．【详解】解：如解图，补成矩形ACBH ，延长CE 交AH 于点G ，∵90ACB Ð=°，CE BD ^，∴90ACG BCG Ð+Ð=°，90ABD BCG Ð+Ð=°，∴ACG CBD Ð=Ð，∴BCD CAG △△∽，∴CDAG ∴2AG ∴AG∴设x -，又∵在矩形ACBH 中，//AGBC ，∴AEG BEC △△∽∴AG EG BC CE =，即833=x=∴CE =【变式训练2】如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q ．（1）求证：△PCQ ∽△RDQ ；（2）求BP ：PQ ：QR 的值．【答案】（1）见解析；（2）::3:1:2BP PQ QR =【解析】解：（1）∵PC DR ∥，∴PCQ RDQ Ð=Ð．又∵PQC RQD Ð=Ð．∴PCQ RDQ △∽△．（2）∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，∴BC AD CE ==，//AC DE ．∴PB PR =，12PC RE =．又∵点R 是DE 中点，∴DR RE =．由（1）知PCQ RDQ △∽△，∴12PQ PC PC QR DR RE ===，∴2QR PQ =．又∵3BP PR PQ QR PQ ==+=，∴::3:1:2BP PQ QR =．【变式训练3】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别为边AB ，AD 的中点，BF 与EC ，ED 分别交于点M ，N ．已知4AB =，6BC =，则MN 的长为_________．【答案】43【详解】解：过点E 作EH ∥AD ，交点BF 于点G ，交CD 于点H ，由题意可知：EH ∥BC ，∴△BEG ∽△BAF ，∴BE EG BG AB AF GF==，∵AB=4，BC=6，点E 为AB 中点，F 为AD 中点，∴BE=2，AF=3，∴243EG =，∴EG=32，∵EH ∥BC ，∴△EGN ∽△DFN ，△EGM ∽△CBM ，∴EG NG EN DF NF DN ==，EG MG EM BC MB CM==,∴323NG NF =，326MG MB=，即12NG NF =，14MG MB =，∴2NG NF =，4MG MB =，∵E 为AB 中点，EH ∥BC ，∴G 为BF 中点，∴BG=GF=1252=，∴NG=13GF =56，MG=15BG=12，∴MN=NG+MG=43，故答案为：43.【变式训练4】如图，在ABC D 中6BC =，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，CBP Ð的平分线交CE 于点Q ，当13CQ CE =时，EP BP +=_____．【答案】12【详解】如图，延长BQ 交射线EF 于点MQ E 、F 分别是AB 、AC 的中点，//EF BC \，M CBM\Ð=ÐBQ Q 平分CBP Ð，CBM PBM\Ð=ÐPBM B \Ð=Ð，BP MP \=，EP BP EP MP EM\+=+=13CQ CE =Q 2EQ CQ\=由//EF BC 得EMQ CBQ D ~D ，2EM EQBC CQ \==22612EM BC \==´=，即12EP BP +=故答案为：12．【课后训练】1.如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD ＝3，DE ＝5，BD ＝4，则DC 的长等于 ．【解析】∵∠ADC ＝∠BDE ，∠C ＝∠E ，∴△ADC ∽△BDE ，∴AD BD =CD DE，∵AD ＝3，DE ＝5，BD ＝4，∴34=CD 5，∴CD =154，2．如图，一人站在两等高的路灯之间走动，GB 为人AB 在路灯EF 照射下的影子，BH 为人AB 在路灯CD 照射下的影子．当人从点C 走向点E 时两段影子之和GH 的变化趋势是（ ）A ．先变长后变短B ．先变短后变长C ．不变D ．先变短后变长再变短【答案】C 【详解】解：连接DF ，已知CD=EF ，CD ⊥EG,EF ⊥EG,∴四边形CDFE 为矩形. ∴DF ∥GH,∴.DF AD GH AH =又AB ∥CD ，∴AB AH CD DH =.设AB AH CD DH ==a ，DF=b,∴11DH AD AH AD AH a AH AH +===+,∴11,AD AH a =-∴11,DF AD GH AH a==-∴GH=11a DF ab a a =--g ，∵a,b 的长是定值不变，∴当人从点C 走向点E 时两段影子之和GH 不变．故选：C.3．如图在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，CF 交BE 于点G ，若8BE =，则GE =___．【答案】2【详解】解：延长CF 、BA 交于M ，∵E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，∴EF ＝AF ，CE ＝12DC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，DC ＝AB ，∴CE ＝12AB ，∠ECF ＝∠M ，在△CEF 和△MAF 中EFC AMF ECF M EF AF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△CEF ≌△MAF （AAS ），∴CE ＝AM ，∵CE ＝12AB ，∴BM ＝3CE ，∵DC ∥AB ，∴△CEG ∽△MBG ，∴13CE EG BM BG == ，∵BE ＝8，∴183GE GE =- ，解得：GE ＝2，故答案为：2．4．已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取BE ＝AB ，点F 在AE 的延长线上，CE 和DF 交于点M ，BC 和DF 交于点N ，联结BD ．（1）求证：△BND ∽△CNM ；（2）如果AD 2＝AB •AF ，求证：CM •AB ＝DM •CN ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，而BE =AB ，∴BE =CD ，而BE ∥CD ，∴四边形BECD 为平行四边形，∴BD ∥CE ，∵CM ∥DB ，∴△BND ∽△CNM；（2）∵AD 2=AB •AF ，∴AD ：AB =AF ：AD ，而∠DAB =∠FAD ，∴△ADB ∽△AFD ，∴∠1=∠F ，∵CD ∥AF ，BD ∥CE ，∴∠F =∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC =∠CMD ，∴△MNC ∽△MCD ，∴MC ：MD =CN ：CD ，∴MC •CD =MD •CN ，而CD =AB ，∴CM •AB =DM •CN ．5．如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD 的中点．求:AN NC 的值．【答案】12【详解】解法1：如图2，过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ．因为//DH AC ．所以BDH BCN V V ∽，所以DH BD CN BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DH BD CN BC ==．因为//DH AN ，所以DHM ANM V V ∽，所以DH DM AN AM=．因为M 为AD 的中点，所以1DH DM AN AM ==．所以DH AN =，所以12AN CN =．解法2：如图3，过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//DM CH ，所以BDM BCH △∽，所以DM BD CH BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DM BD CH BC ==．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以12AM CH =．因为//DM CH ，所以AMN CHN △∽△，所以12AN AM CN CH ==．解法3：如图4，过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//AH BD ，所以AHM DBM △∽△，所以AH AM BD DM=．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以AH BD =．因为//AH BD ，所以AHN CBN △∽△，所以AN AH CN BC=．因为D 为BC 的中点，且AH BD =，所以12AN BD CN BC ==．解法4：如图5，过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ．在ADH V 中，因为M 为AD 的中点，//MN DH ，所以N 为AH 的中点，即AN NH =．在CBN V 中，因为D 为BC 的中点，//DH BN ，所以H 为CN 的中点，即CN HN =，所以AN NH CH ==．所以12AN CN =．6．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，连接AE ，若AE 的延长线和BC 的延长线相交于点F ．（1）求证：BC CF =；（2）连接AC 和BE 相交于点为G ，若GEC V 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）24．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//B AD C ，AD BC =，∴ADE ECF ÐÐ＝，∵点E 为DC 的中点，∴DE CE =，在ADE V 和ECF △中ADE ECF DE CEAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ADE ECF ASA V V ≌，∴AD CF =，∴BC CF =；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，点E 为DC 的中点，∴//AB DC ，2AB EC =，∴GEC ABG Ð=Ð，GCE GAB Ð=Ð，∴CEG ABG V :V ，∵GEC V 的面积为2，∴221124ABG CEG S AB S CE æöæö===ç÷ç÷èøèøV V ，即4428ABG CEG S S ==´=V V，∵CEG ABGV :V ∴12AG AB GC CE ==， ∴118422BGC ABG S S ==´=V V ，∴8412ABC ABG BCG S S S =+=+=V V V ，∴221224ABCD ABC S S ==´=Y V ．7．已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，点F 在边AB 上，BC 2=BF•BA ，CF 与DE 相交于点G ．（1）求证：DF•AB=BC•DG ；（2）当点E 为AC 中点时，求证：2DF•EG=AF•DG ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【详解】证明：（1）∵BC 2=BF•BA ，∴BC ：BF=BA ：BC ，而∠ABC=∠CBF ，∴BAC BCF V V ∽，∵DE ∥BC ，∴BCF DGF V V ∽，∴DGF BAC \V V ∽，∴DF ：BC=DG ：BA ，∴DF•AB=BC•DG ；（2）作AH ∥BC 交CF 的延长线于H ，如图，∵DE ∥BC ，∴AH ∥DE ，∵点E 为AC 的中点，EG \为CAH V 的中位线，∴AH=2EG ，∵AH ∥DG ，∴AHF DGF \V V ∽，∴AH AF DG DF =，∴2EG AF DG DF=，即2DF•EG=AF•DG ．8．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如：在线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题，请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O 是ABC V 的重心（如图），连结AO 并延长交BC 于D ，证明：23AO AD =；（2）若AD 是ABC V 的一条中线（如图），D 是AD 上一点，且满足23AO AD =，试判断O 是ABC V 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O 是ABC V 的重心，过O 的一条直线分别与AB 、AC 相交于G 、H （均不与ABC V 的顶点重合）（如图），求证：1BG CH AG AH+=．【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【详解】（1）证明：如图，连结CO 并延长交AB 于点P ，连结PD ．∵点O 是ABC V 的重心，∴P 是AB 的中点，D 是BC 的中点，PD 是ABC V 的中位线，∴2AC PD =，AC PD P ，∴DPO ACO Ð=Ð，PDO CAO Ð=Ð，∴OPD △∽O C A V ，∴12OD PD AO AC ==，12322OD OA OA ++==，∴23AO AD =．（2）点O 是ABC V 的重心．证明：如图，作ABC V 的中线CP ，与AB 边交于点P ，与ABC V 的另一条中线AD 交于点Q ，则Q 是ABC V 的重心，根据（1）中的证明可知23AQ AD =，而由条件23AO AD =，点Q 与点O 重合（是同一个点），所以点O 是ABC V 的重心．（3）如图，分别过A 、B 、D 、C 作GH 的垂线，垂足分别为M 、N 、F 、Q ，证明：∵BN AM P ，∴BNG △∽AMG V ，∴BG BN AG AM=．又∵CQ AM P ，∴CQH △∽AMH V ，∴CH CQ AH AM =，∴BG CH BM CQ BN CQ AG AH AM AM AM++=+=．又在四边形BNQC 中可证2BN CQ FD +=，∴2BG CH BN CQ FD AG AH AM AM++==．又∵FD AM P ，∴FDO △∽MAO △，∴FD OD AM AO=．∵点O 是ABC V 的重心，∴12OD AO =，∴12FD OD AM AO ==，∴2AM FD =，∴21BG GH BN CQ FD AG AH AM AM++===，即原命题得证．9．（1）如图，若AD 为ABC V 的内角平分线，请问：AC CD AB BD=成立吗？并说明你的理由．（2）如图，Rt ABC △中，90ACB Ð=°，8AC =，403AB =，E 为AB 上一点且5AE =，CE 交其内角角平分线AD 与F ．试求DF FA的值．【答案】(1)见解析;(2)58.【详解】（1）结论成立．理由如下：如图，过B 点作BG AC P 交AD 的延长线于点G ．∵BG AC P ，AD 平分BAC Ð，∴G CAD BAD Ð=Ð=Ð，∴BG AB =，GBD △∽ACD △，∴AC CD GB BD =，∴AC CD AB BD=．（2）如图，连结ED ．∵AD 为ABC V 的内角角平分线，8AC =，403AB =，∴由（1）得，834053CD AC DB AB ===．又∵5AE =，∴4025533EB AB AE =-=-=，∴532553AE EB ==∴CD AE DB EB=．∴DE AC P ．∴DEF V ∽ACF V ．∴58DF EF DE FA FC AC ===．。
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专题九相似三角形模型47 “A”字模型模型展示基础模型正“A字”型怎么用？1、找模型在三角形中遇到“平行”，则考虑正“A字”模型2、用模型“A字”模型用相似三角形结题结论分析结论:△ADE~△ABC证明:△DE△BC，△△ADE=△ABC，△AED=△ACB.△△ADE~△ABC，△ADAB =AEAC=DEBC模型拓展斜“A字”型（共角）满分技法在△ABC中，点D、E分别是AB、AC 上的点，若△ADE与△ABC相似，则分两种情况:△△ADE=△ABC，此时为正“A字”型;△△ADE=△ACB，此时为斜“A字”型，然后再结合已知条件求解.巧学巧记相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.典例小试例1 如图，在上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，且头部影子重合于点A，(点拔：影子平行，则DE△BC)已知甲、乙同学相距1米，甲身高1.8米，乙身高1.5米，(点拔：CD=1米，BC=1.8米，DE=1.5米)则甲的影长是( )A.4米B.5米C.6米D.7米考什么？相似三角形的判定与性质思路点拨根据题意得到DE与BC的位置关系，再直接使用结论即可求解.例2 如图，在△ABC中，△BAC=△CBD，（点拔：在三角形中，遇一组角相等，再找一组等角，利用相似解题）CD=2，AC=6，则BC的长为( )A.√3B.2√3C.3√3D.4√3考什么？相似三角形的判定与性质例3 如图，在ABCD(点拨：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD)中，点E 在边AD上，且AE=ED，连接BE并延长交CD的延长线于点F，则△FED与ABCD 的面积之比为( )A.1:2B.1:3C.1:4D.1:5考什么？平行四边形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定思路点拨根据平行四边形的性质及AE=ED,可得到△AEB与△DEF的关系，再剥离出模型即可解题,自己快动手试一试吧!思路点拔根据平行四边形的性质及AE=ED，可得到△AEB与△DEF的关系，再剥离出模型即可解题，自己快动手试一试吧!实战实演1.如图，在△ABC中，△B=45°，过点A作AD△AB交BC于点D，过点D作DE△AD 交AC于点E，若AB=4，DE=2，则CD的长为（）A B . C . D . 2. 在△ABC 中，点D ,E 分别是AB ,AC 上的点，若△ADE 与△ABC 相似，AD =2，BD =4，AE =3，则CE 的长为（ ）A .1B .2或6C .6D .1或63. 如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，若AC =2，AB =32CD ，则⊙O 的半径为（ ）A . 54B . 32C . 2D . 2 4. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，连接CD ,AD =9，BD =7，AC =12，△ABC 的角平分线AE 交CD 于点F .（1）求证：2=AC AB AD ；（2）若AF =8，求AE 的长。
模型48 “8字”模型模型展现基础模型正“8字”型结论：△AOB△△COD证明：△AB△CD△.△OAB=△OCD，△AOB=△COD，△.△AOB△△COD,△AO B AB CO DO CD==怎么用？1.找模型有一组角为对顶角，则考虑“8字”模型2. 用模型“8字”模型找对顶角之外的另一组角相等，并用相似三角形的性质解题模型拓展斜“8字”型满分技法已知△AOB与△COD相似时，则分两种情况：△△A=△C，此时为正“8字”型；△△A=△D，此时为斜“8字”型，然后再结合已知条件求解。
典例小试例1已知AC与BD交于点O，若△AOB与△COD相似，△A=40°，△A0B=80°（利用三角形内角和可得到△B的度数），则△C的度数为（）A.40°B.60°C.80°D.40°或60°考什么？相似三角形的性质，三角形的内角和思路点拨看到“相似”，则需要分情况讨论；看到“△”，则可以直接利用相似三角形的性质解题.例2如图，在△ABC中，中线CD和中线BE交于点F，若△DEF的周长为4，则△BCF的周长为（）A.4B.6C.8D.10考什么？中线性质，中位线的性质，相似三角形的判定与性质思路点拨若三角形有两条中线，则两个中点所连线段为中位线，中位线平行且等于第三边的一半.例3如图，在△ABC中，E是线段AC上一点，且AE:CE=1:2（BE将△ABC分为1:2两部分），过点C作CD△AB（△A=△ACD，△ABD=△BDC），交BE的延长线于点D.若△BCE的面积等于4，则△CDE的面积等于（）A.8B.16C.24D.32考什么？相似三角形的判定与性质思路点拨△BCE和△ABE是同高不同底的两个三角形，可以根据面积比等于底边之比即可求得另一个三角形的面积.例4（2021连云港）如图，BE是△ABC的中线（AE=CE），点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF=3FE（有线段数量关系，找线段所对应的三角形相似），则BD DC=考什么？中线性质，相似三角形的判定与性质思路点拨此题也可通过作平行线构造“A字”相似三角形解题，即“飞鱼”模型，详见模型51.实战实演1.如图，线段AE，BD交于点C，连接AB，DE，若AC=9，CE=4，BC=CD=6，DE=3，则AB=（）A.3B. 72c.92D.52.如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，连接DE，过点B作BF△DE，垂足为点F，BF交边CD于点G. 求证:DG·AB=DF·BG.3.如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，过点B的直线分别与AC，AD，CD 的延长线交于点E，F，G.(1)求证：△ABF△△DGF；(2)若BE=5，EF=2，求FG的长.模型49 “一线三等角”相似模型模型展现基础模型锐角一线三等角锐角一线三等角怎么用？1．找模型在两个三角形中有一条边共线，且有三个角相等时，考虑“一线三等角”相似模型2.用模型确定一线三等角后，依据平角性质，三角形的内角和及内外角关系导角证得相似，再利用相似性质解题结论分析结论1: △CAP△△PBD证明:△△CPB是△ACP的外角，△△CPB= △1+△C，即△2+△BPD=△1+△C，又△△1=△2，△△BPD= △C.△△1=△3，△△CAP△△PBD.结论2: △CAP△△PBD证明:△△2=△C+△APC，△3=△APC+△BPD，△2=△3，△△C=△BPD，△△1=△2，△△CAP= △PBD，△△CAP△△PBD.拓展延伸当AC = BP或AP = BD或CP= DP时，△CAP△△PBD.此时为“一线三等角”全等模型，详见模型17.模型拓展拓展延伸当△1=△2=△3 = 90°时，也叫一线三垂直，即K型.满分技法如图，△1=△2=△3，点P是AB的中点，则△CAP△△PBD△△CPD.(相似具有传递性)典例小试例1如图，在边长为7的等边△ABC中，点D是BC上的动点，△MDN=60°，若BD=2，NC=4，则BM的长为（）A.53B.2 c.52D.3例2 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D，E分别在BC，AC上，连接AD，DE，若△ADE=△B，则线段CE的最大值为（）A.74B.2C.94D.3例3 如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E是DC延长线上一点，连接BE，过点E作EF△BE，与AD的延长线交于点F.若CE=2，则DF的长为________.实战实演1. 如图，点E是AB的中点，AC=7，BD=3，若△A=△CED=△B，则AB的长为（）A.B C.10 D.72. 如图，在四边形ABCD中，AD=4，AB=10，点E是AB的中点，连接DE，CE，若△A=△B=△DEC，则BC的长为（）A.258B.256C.254D.2523. 如图，在平面直角坐标系中，已知A （0，1），B （2，0），AC △AB ，AC =3，则点C 的坐标为（ ）A .3515） B .3515） C .6515） D .6515） 4. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 上一点，沿AE 折叠∆ADE ，使得点D 落在BC 边上的点F 处，若AF =10，且34CE CF ，则矩形ABCD 的周长为 ( )A .36B .28C .20D .165.如图，在∆ABC 中，点D 是边AB 上一点，点E 是BC 的中点，连接DE ，作△DEF =45°，交CA 的延长线于点F ，已知△B =△C =45°，连接DF .（1）求证：∆BDE △∆CEF ；（2）若BD =2，CF =25，求DF 的长.模型50 “射影定理”模型模型展现基础模型怎么用？1.找模型在直角三角形中，有斜边上的高存在，考虑“射影定理”模型.2.用模型确定“射影定理”模型后，直接用“射影定理”模型解题.满分技法射影定理只能在直角三角形中存在，且必须有斜边上的高，线段之间的对应关系，大家再用的时候不要搞混啦.拓展延伸做一做：试一试自己证明结论3吧.结论分析结论1：AD2=BD· CD证明：在∆ABD在∆ACD中，△△BAD+△CAD = 90°，且△CAD+△C = 90°，△△BAD =△C .又△△ADB=△ADC = 90°，△∆ABD △∆CAD，△BD AD，即AD2=BD· CD .AD CD结论2：AB2=BD· BC证明：在∆ABD在∆BAC中，△△BAD+△B = 90°，且△B+△C = 90°，△△BAD =△C .又△△ADB=△BAC = 90°，△∆DBA △∆ABC ， △BD BA BA BC，即AB 2=BD· BC .典例小试例1 如图，在矩形ABCD 中（点拨：°=∠90ABC ），点E ，F 分别是BC ，CD 边上的点，且AE △BF ，AE 与BF 交于点G .若AE ＝8、EG ＝2，则AB 的长为（ ）考什么矩形的性质，直角三角形的性质思路点拨利用矩形的性质分析出有直角三角形存在，在结合已知条件求解32.A 33.B 34.C 5.D例2 如图，AB 是∥O 的直径（点拨：连接BC ，则°=∠90ACB ），CD 是∥O 的弦，AB 与CD 交于点E ，且AB △CD （点拨：斜边AB 的高线），若CD ＝AE ＝8，则OE 的长为（）A .2B .3C .4D .5实战实演1.如图，在∥ABC 中，CD 是AB 边上的高，且AB BD BC •=2.若CD ＝4，BD ＝6，则AD 的长为（ ）38.A 58.B 2.C 23.D2.如图在∥ABC 中，°=∠90ACB ,CE 是∥ACB 的角平分线，CD 为AB 边上的高线，若AC =9，BC =12，则CE 的长为（ ）715.A 7215.B 7216.C 7236.D 3. 如图，在∥ABC 中，°=∠90BAC ，AD △BC 于点D ，AD =6，BD =12，则CD = ，AC = ,AB:AC =4.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 是边BC 上一点，AE BF ⊥于点F ，连接OF .（1）求证：∥AOF △∥AEC ；（2）若AB =6，CE =2BE ,求AF 的长模型51 “飞鱼模型”模型展现基础模型1.找模型若题图中有或者包含两个三角形共顶点且顶点的两条边也共线，形似“鱼”型，考虑“飞鱼”模型2.用模型确定“飞鱼”模型，可通过作平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质解题巧学巧记遇到“飞鱼”模型，常作平行线，其本质是构造“8字”模型或“A 字”模型解题 结论分析 结论：已知mn DF AF n CD DE m BC AB 1,1,1+===则 证明：如图，过点D 作DG △BE 交AC 于点G ，，∥∵BE DG ∥∥CDG∥∥CEB ，∥ABF∥∥AGD ，，，BGAB DF AF n CG BG CD DE ===∴1CG nBG 1=∴ 1:1nCG BG =∴： )11:1:nn BC BG +=∴（ BC n BG 11∴+= ,:1:m BC AB =∵,m 1BC AB =∴ △m n BC n BC m BG AB DF AF 1111+=+==拓展延伸做一做：请你试着选择两个关系式作为条件，一个关系式作为结论进行证明.典例小试例1（2021宿迁改编）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，AE :CE = 1:2(点拔：飞鱼模型出现)，F 是BE 的中点(点拔：BF=EF)，连接AF 并延长交BC 于D ，则BD :CD =（ ）A .1:2B .1:3C .1:4D .2:3考什么?相似三角形的判定与性质思路点拨根据AE :CE = 1:2，BD :CD ，“飞鱼”模型出现，点E ，F .D 为鱼腰上的点，作AC .BC ，AD ，BE 的平行线即可解题，可用多种方法解题.例2（2020山西）如图，在Rt △ABC 中，△ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，CD △AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AB 与CD 交于点F .(点拔：BE=CE)则DF 的长为________ .考什么?相似三角形的判定与性质实战实演1.如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 边的三等分点，BF 是AC 边的中线，AD ，AE 分别与BF 交于点G ，H ，若S △ABC = 1，则△AGH 的面积为( )A . 103B . 51C . 203D . 412.在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，点E 为AB 上一点.（1）如图△，若点E 是AB 的中点，CE 与AD 交于点O ，证明:AO = 2OD ；（2）如图△，点F 为AC 上一点，连接EF 交AD 于点O ，若23 FG AF .AO = 2OD ，求BEAE 的值.模型52 “手拉手”相似模型模型展现基础模型怎么用1.找模型“非等腰、共顶点，顶角相等、有旋转”即考虑“手拉手”模型2.用模型根据旋转角转换及线段成比例证明三角形相似结论分析结论1:△ADE △△ABC ，△ADB △△AEC证明: △DE △BC ，△△ADE △△ABC ，△AC AE AB AD =，即ACAB AE AD = 由旋转的性质得.△BAD = △CAE ，△△ADB △△AEC .拓展延伸若题中已知“双等腰、共顶点、顶角相等、有旋转”，此时连接“拉手线”，构造全等三角形解题，详见模型19.结论2:两条拉手线BD ，CE 交于点F ，则△BFC = △BAC证明:△△ADB △△AEC .△△ABD = △ACE.△△DFE = △FBC + △BCF = △DBC + △ACB + △ACE，△BAC = 180°－△ABC－△ACB = 180°－△ABD－△DBC－△ACB= 180°－△ACE－△DBC－△ACB = 180°－△DFE = △BFC，△△BAC = △BFC.满分技法在相似三角形的判定方法中，“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是“手拉手”模型中证明相似最核心心的判定方法.模型拓展BD CE满分技法若原来的两个三角形相似,则旋转后的两个三角形也是相似的,再利用旋转的性质得到角度相等,转化比例关系即可得到由拉手线构成的两个三角形相似.典例小试例1如图,在Rt∥ABC中,AB=BC=2，∥ABC=90°（点拨：∥ACB=∥BAC=45°），将∥ABC绕点C（点拨：共顶点）顺时针旋转后得到∥CDE（点拨：即CD=DE=AB=BC,CE=AC,∥DCE=∥ACB）,连接AE,BD相交于点F,则∥BFE的度数为（）A. 115°B. 125°C. 135°D. 145°考什么?旋转的性质,等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质例2如图,在∥ABC和∥ADE中，∥ABC=∥ADE= 90°，∥BAC=∥DAE= 30°,0是BC的中点（点拨：OB=OC）,连接EO并延长至点F，使得EO=OF（点拨：连接BE,CE ,CF,由对角线互相平分可得四边形BECF的形状）,则BDBF的值为（）A.2B. D.考什么?直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质思路点拨在几何问题中,有时模型比较隐晦,分析已知条件,作辅助线,构造模型很重要.实战实演1.如图,在正方形ABCD中,点E是AD边上一点,连接CE,以CE为对角线作正方形CFEG ,点G在四边形ABCD内,连接AC,BG , DG.求证:DG△AC.2.如图△,在矩形ABCD中,AB= 6,AD =8,点E是AD边的中点,连接AC,过点E作EF△AD交AC于点F.(1)求DECF的值;(2)如图△,将∥AEF绕点A逆时针旋转 ,求证:在旋转过程中,CF与DE的夹角始终为定值.。