2023学年北师大版数学八年级上学期同步考点解读训练1-1 探索勾股定理(能力提升)
1.1 探索勾股定理-北师大版八年级数学上册习题课件(共19张PPT)
解:设旗杆AB的长为x.
S△EDA=S△CEB
如图,一棵大树在离地面6米高的B处断裂,树顶A落在离树底部C的8米处,则大树断裂之前的高度为( B )
b2=c2-a2
B.
即242-x2=182-(30-x)2,解得x=19.
答:配送途中飞行所需的时间是40分钟.
40÷1=40(分钟).
若无人机的配送路线是B→C→D→B,请求出配送途中飞行所需的时间.
如图所示,幸福小区C位于快递站点B的北偏东35°方向,沁苑小区D位于B的南偏东55°方向,无人机以1千米/分钟的速度配送快递时,从B到C需飞行8分钟,从B到D需飞行15分钟.
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
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7.数学兴趣小组要测量旗杆的高度,同学们发现系在旗杆顶端
的绳子垂到地面并多出一段( 如图1 ).聪明的小红发现:先测
出垂在地面的绳子长m,再将绳子拉直( 如图2 ),测出绳子末
端C到旗杆底部B的距离为n,利用所学知识就能求出旗杆的长.
若m=2 m,n=8 m,求旗杆AB的长.
聪明的小红发现:先测出垂在地面的绳子长m,再将绳子拉直( 如图2 ),测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为n,利用所学知识就能求出旗杆的长.
知识点3 勾股定理的实际应用
6.甲、乙两人从同一地点同时出发,甲往北偏东45°方向走了
48米,乙往南偏东45°方向走了36米,这时两人相距 60 米.
-6-
1.1 探索勾股定理
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
1.1 探索勾股定理
知识要点基础练
2024八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的验证与应用习题课件新版北师大版
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(1)请根据上述图形的面积关系说明勾股定理；
解：(1)根据题意可知 S梯形 ABCD ＝ a ( a ＋ b )，
S△ EBC ＝ b ( a － b )， S四边形 AECD ＝ c2，
因为 S梯形 ABCD ＝ S△ EBC ＋ S四边形 AECD ，所以 a ( a ＋ b )＝ b
理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，
则弦五”的记载.如图①是由边长相等的小正方形和直角
三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图②是
由图①放入长方形内得到的，∠ BAC ＝90°， AB ＝3，
AC ＝4，点 D ， E ， F ， G ， H ， I 都在长方形 KLMJ
的边上，则空白部分的面积为 60 .
(2) AD2＋ AE2＝ DE2.
解：(2)因为△ ACE ≌△ BCD ，所以
∠ EAC ＝∠ DBC .
因为∠ ACB ＝90°，所以∠ DBC ＋∠ DAC ＝90°，
所以∠ EAC ＋∠ DAC ＝90°，即∠ EAD ＝90°.
所以 AD2＋ AE2＝ DE2.
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端距离地面1.5 m，则小巷的宽度为(
A. 2.7 m
B. 2.5 m
C. 2 m
D. 1.8 m
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2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》选择题专题提升训练(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》选择题专题提升训练（附答案）1．在Rt△ABC中，AB2＝10，AC2＝6．则BC2＝（）A．8B．16或64C．4D．4或162．已知在△ABC中，∠B＝38°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的度数为（）A．38°B．52°C．62°D．90°3．如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，P为CD上的一点，且∠DAP＝10°，∠CBP＝80°，P A＝3，PB＝4．则AB的长为（）A．5B．6C．7D．84．在△ABC中，AB＝30，AC＝25，高AD＝24，则BC的长是（）A．25B．18C．25或11D．25或185．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．6B．12C．24D．306．课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（）A．①行，②不行B．①不行，②行C．①，②都行D．①，②都不行7．如图，字母A所代表的正方形的面积是（）A．12B．13C．25D．1948．设△ABC的三边长分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．c2＝a2﹣b2B．∠A+∠B＝90°C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝5：12：139．如图，某海域有相距10海里的两个小岛A和C，甲船先由A岛沿北偏东70°方向走了8海里到达B岛，然后再从B岛走了6海里到达C岛，此时甲船位于B岛的（）A．北偏东20°方向上B．北偏西20°方向上C．北偏西30°方向上D．北偏西40°方向上10．五根小木棒，其长度（单位：cm）分别为8，9，12，15，17，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A．B．C．D．11．课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（）A．6B．8C．10D．1112．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）尺．A．7.5B．8C．D．913．如图，将一根长为16cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升6cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为（）A．20cm B．22cm C．28cm D．32cm14．一个杯子的底面半径为6cm，高为16cm，则杯内所能容下的最长木棒为（）A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm15．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向北偏西30°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向北偏东60°方向航行，经过1.5小时后它位相距（）A．6海里B．25海里C．30海里D．42海里16．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（）米．A．0.9B．1.3C．1.5D．1.617．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（）A．4米B．8米C．9米D．7米18．如图，一棵树（树干与地面垂直）高3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为（）A．2.4米B．2.6米C．0.6米D．1米19．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，则阴影部分的面积是（）A．169cm2B．25cm2C．49cm2D．64cm220．如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且BC＝10cm，DC＝2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（）cm．A．14B．12C．10D．8参考答案1．解：当∠C＝90°时，BC2＝AB2﹣AC2＝10﹣6＝4，当∠A＝90°时，BC2＝AB2+AC2＝10+6＝16，故答案为：D．2．解：∵BC2﹣AC2＝AB2，∴BC2＝AC2+AB2，∴∠A＝90°，∵∠B＝38°，∴∠C＝90°﹣∠B＝52°，故选：B．3．解：过点P作PQ∥AD交AB于点Q，则∠APQ＝∠DAP＝10°，∵AD∥BC，PQ∥AD，∴PQ∥BC，∴∠BPQ＝∠CBP＝80°，∴∠APB＝90°，∴AB＝5，故选：A．4．解：如图1，在Rt△ABD中，BD＝18，在Rt△ADC中，CD＝7，∴BC＝BD+CD＝18+7＝25，如图2，BC＝BD﹣CD＝18﹣7＝11，综上所述，BC的长为25或11，故选：C．5．解：∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，BD＝CD＝4，∴AD＝3，S△BEF＝S△CEF，∴S阴影＝S△ABD＝，故选：A．6．解：由图①可得，（a+b）2＝ab×4+c2，化简，得：a2+b2＝c2，故图①可以证明勾股定理；根据图②中的条件，无法证明勾股定理；故选：A．7．解：由勾股定理得：字母A所代表的正方形的面积＝169﹣144＝25．故选：C．8．解：∵c2＝a2﹣b2，∴c2+b2＝a2，∴△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选项B不符合题意；∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5∴最大的∠C＝180°×＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故选项C符合题意；∵a：b：c＝5：12：13，52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，故选项D不符合题意；故选：C．9．解：如图：由题意得：∠DAB＝70°，AB＝8海里，BC＝6海里，AC＝10海里，∵AB2+BC2＝82+62＝100，AC2＝102＝100，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∵AD∥BE，∴∠ABE＝180°﹣∠DAB＝110°，∴∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC＝20°，∴此时甲船位于B岛的北偏西20°方向上，故选：B．10．解：∵82+152＝172，92+122＝152，∴用长度为8，15，17和9，12，15的小木棒能分别摆成两个直角三角形，故选：C．11．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝15（米），∴AC+BC﹣AB＝15+8﹣17＝6（米），故选：A．12．解：设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，即：，解得：x＝7.5，即芦苇的长度为：7.5尺，故选：A．13．解：Rt△ACD中，AC＝AB＝8cm，CD＝6cm；根据勾股定理，得：AD＝10（cm）；∴AD+BD＝2AD＝20（cm）；故拉伸后橡皮筋的长为20cm．故选：A．14．解：杯子最长对角线长为＝20（cm），故选：D．15．解：如图：∵∠BOD＝30°，∠DOA＝60°，∴∠AOB＝90°，根据题意的，OB＝12×1.5＝18（海里），OA＝16×1.5＝24（海里），根据勾股定理得，AB＝30海里．故选：C．16．解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝米，在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝米，由勾股定理得：AE＝0.9（米），∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），∴CD＝BE＝1.6米，故选：D．17．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝4（米），∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是3+4＝7（米）．故选：D．18．解：∵△ABC是直角三角形，AB+BC＝3.6m，AC＝2.4m，∴BC2＝AB2+AC2，即（3.6﹣AB）2＝AB2+2.42，解得：AB＝1，故选：D．19．解：在Rt△ABE中，AE＝12，∵4个直角三角形是全等的，∴AH＝BE＝5，∴小正方形的边长＝AE﹣AH＝12﹣5＝7，∴阴影部分的面积＝72＝49（cm2），故选：C．20．解：圆柱侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为12cm，∴AB＝6cm．∵BD＝8cm，在Rt△ABD中，AD2＝AB2+BD2，∴AD＝10（cm），即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是10cm．故选：C．。
北师大版八年级数学上册-第一章勾股定理(同步+复习)精品讲义课件
2.
① ②
变式：
a2=c2- b2 ； b2=c2-a2 a=√ c2- b2 b=√c2-a2 c= √a2+b2
3.
注：
① ② ③
定理用途：三边知二求一；搭建需要的方程。 a,b,c是相对的，运用公式时要特别认准斜边。 斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的长。
【例1】△ABC中，∠C=90°
① 若a=3 ,b=4，求c。 ② 若C=41，b=40，求a。 ③ 若一条直角边a=5,斜边比另外一条直角边大1， 求斜边的长。 ④ 折叠长方形ABCD, 使点D落在BC边上的点F 处，折痕为AE，AB=8，BC=10，求EC的长
A D E B F C
【练习1】
二．勾股定理的证明
1. 2. 拼正方形法： 拼梯形法：
【例题】
【习题1】
【习题2】
【习题3】
【习题4】
【习题5】
【习题6】
下课了!
结束寄语
•悟性 •取决于有无悟心
看 一 看
探索-发现： 回答问题
（1）观察图2-1 正方形1中含有 9 个 小方格，即它的面积是 9 个单位面积。
3 1 2
图2-1
3 1 2
图2-2
正方形2的面积是 9 个单位面积。 正方形3的面积是 18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
一．勾股定理
1. 定理：
① 文直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ② 符如果a,b是直角边，c是斜边，则：a2+b2=c2
4.
5.
【例1】
1. 给定三边直接判定是否直角三角形。 2. 试一试：
二．勾股数
1. 定义：满足a 2 +b2=c2 的三个正整数，叫做 勾股数。 本质：以这三个数的长度为边的三角形是直 角三角形；知道直角三角形的两边是勾股数 之二，直接写出第三边。 每组勾股数的倍数还是勾股数。 构造公式：a为大于1的奇数：a与其平方分 别加减1除以2所得的数为一组勾股数；a为 大于1的偶数， a 与其一半的平方分别加减1 所得的数为一组勾股数。 常见的勾股数：3、4、5；6、8、10；8、 15、17；5、12、13；9、12、15。熟记。
2023年北师大版八年级上册数学同步课件第一章勾股定理第1节第二课时验证勾股定理及其计算
a2 + b2 = c2.
证明：
S梯形
1 (a b)(a b)， 2
又S梯形 3个三角形的面积和
= 1 ab 1 ab 1 c2，
222
1 (a b)(a b) 1 ab 1 ab 1 c2.
2
2
2
2
a2 b2 c2.
课程讲授
新课推进
青朱出入图 勾股定理的证明方法十分
丰富，达数百种之多.其中一 种方法尤为独特，单靠移动几 块图形就直观地证出了勾股定 理，被誉为“无字的证明”， 我们，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
S=29
S=8 S=9
S=5 S=8 S=9
结论1：若钝角三角形中较长边长为c，较短边长为a、b，则a2+b2<c2. 结论2：若锐角三角形中较长边长为c，较短边长为a、b，则a2+b2>c2.
习题解析
习题1 1.如果梯子的底端离一幢楼5米，那么13米长 的梯子可以达到该楼的高度是( A ) A.12米 B.13米 C.14米 D.15米
D bc Aa
C
c
a
bB
课程讲授
新课推进
探索1
在下图中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方 形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？
ac
如何计算大正方形 的面积呢？
b
课程讲授
新课推进
为了计算大正方形的面积，小明进行了适当的割补，如图所示.
割
ac
b 补
ac b
课程讲授
新课推进
毕达哥拉斯证法
D
C
ac
Ab
B
证明：
∵S正方形ABCD=(a+b)2=a2+b2+2ab，
勾股定理的应用(原卷版)-2023-2024学年八年级数学上册同步学与练(北师大版)
第03讲勾股定理的应用1.利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题（梯子滑动、风吹莲动、折竹抵地、台风和爆破、航行和信号塔、速度等问题）.2.解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.知识点01勾股定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．题型01求梯子滑落高度【典例1】（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，∠=︒，这时，梯子的底端B到墙底C的距离BC为1m．90C(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC．(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B外移0.5m吗？通过计算说明你的结论．【变式1】（2023春·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图，将长为25米长的云梯AB斜靠在建筑物的侧墙上，BE长7米．(1)求梯子上端到墙的底端E的距离AE的长；(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，则梯脚B将外移多少米？【变式2】（2023·全国·八年级假期作业）如图梯子斜靠在竖直的墙AO，AO长为24dm，OB为7dm．(1)求梯子AB的长．(2)梯子的顶端A沿墙下滑4dm到点C，梯子底端B外移到点D，求BD的长．题型02求旗杆高度【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，某攀岩中心攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了1米，教练把绳子的下端C拉开5米后，发现其下端刚好接触地面（即⊥，求攀岩墙AB的高度．BC=米），AB BC5【变式1】（2022春·八年级单元测试）思源中学八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：（1）测得BD的长度为25米；（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米；（3）牵线放风筝的小明身高1.68米，求风筝的高度CE．【变式2】（2023春·江西宜春·八年级统考期中）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．(1)求旗杆的高度OM；(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．题型03求小鸟飞行距离【典例1】（2023春·广西贵港·八年级统考期中）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？【变式1】（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是________．【变式2】（2023春·广西防城港·八年级统考阶段练习）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？题型04求大树折断前的高度【典例1】（2023春·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校考期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处地，去根四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈10离竹根4尺，试问折断处离地面多高？【变式1】（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中在离地某处折断倒下，树尖落在离树底部12米处，已知原树高是18米，你能求出大树在离地多少米的位置折断吗？【变式2】（2023春·全国·八年级期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高8m ，因刮大风旗杆从点C 处折断，顶部B 着地且离旗杆底部的距离4m AB =．(1)求旗杆折断处C 点距离地面的高度AC ；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C 的下方1.25m 的点D 处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点D 处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的B '处，形成一个直角ADB ' ，请求出AB '的长．题型05解决水杯中筷子问题【典例1】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm 的直吸管露在罐外部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A ．45a <<B ．34a ≤≤C ．23a ≤≤D ．12a ≤≤【变式1】（2023·江苏·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈10=尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺B．12尺C．13尺D．15尺【变式2】（2023春·内蒙古通辽·八年级校考期中）如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高h，则h的取值范围是________．为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是cm题型06解决航海问题【典例1】（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60︒方向上，继续向东航行20海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15︒方向上，此时轮船与小岛C的距离为____海里．【变式1】（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西40︒方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东50︒方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？【变式2】（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东60︒的方向航行100km到达B港口，然后再沿北偏西30︒方向航行100km到达C港口．(1)求A ，C 两港口之间的距离；（结果保留根号）(2)C 港口在A 港口的什么方向．题型07求台阶上地毯长度【典例1】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，5AC =米，13AB =米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A ．652mB ．852mC ．902mD ．1502m 【变式1】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）如图所示的一段楼梯，高BC 是3米，斜边AB 长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米【变式2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）某会展中心在会展期间准备将高5m 、长13m 、宽2m 的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道需要_______________元．题型08判断汽车是否超速【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）某条道路限速80km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m．(1)求BC的长；(2)这辆小汽车超速了吗？【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图，一辆小汽车在一条限速70km/h的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60m处的C点，过了5s后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100m．(1)求B，C间的距离．(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．(1)求小汽车6秒走的路程；(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？题型09判断是否受台风影响【典例1】（2023·全国·八年级假期作业）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB 由A 向B 移动，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点A 、B 的距离分别为300km AC =，400km BC =，又500km AB =，经测量，距离台风中心260km 及以内的地区会受到影响．(1)海港C 受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，某沿海城市A 接到台风警报，在该市正南方向150km 的B 处有一台风中心正以20km /h 的速度向BC 方向移动，已知城市A 到BC 的距离90km AD =，那么：(1)台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？(2)如果在距台风中心30km 的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D 点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km /h ）最好选择什么方向？【变式2】（2023春·湖南郴州·八年级校考阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路AB 由点A 向点B 行驶，已知点C 为一所学校，且点C 与直线AB 上两点A ，B 的距离分别为200m 和150m ，250m AB =，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域.(1)学校C 会受噪声影响吗？为什么？(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min ，求环卫车的行驶速度为多少？题型10求最短路径【典例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考阶段练习）有一圆柱形油罐，如图，要从点A 环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方点B ，问梯子最短要多少米？（已知油罐底面周长是12米，高AB 是5米）【变式1】（2023春·八年级单元测试）如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，点E 是棱''B C 的中点，已知3AB =cm ，4BC =cm ，'5AA =cm ．一只小虫从A 点出发沿长方体的表面到E 点处觅食，求小虫爬行的最短距离．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm ，宽为50cm 的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD ，木块从正面看是一个边长为20cm 的等边三角形．求一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过．．．的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接AC ．(2)线段AC 的长即蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程，依据是_____．(3)问题解决：如图②，展开图中AB =_____，BC =_____．(4)这只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是_____．题型11选址使到两地距离相等【典例1】（2023春·江西赣州·八年级校考期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中AB 所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，分别在点C 和点D 处，CA AB ⊥于点A ，DB AB ⊥于点B ，已知25km 15km 10km AB CA DB ===，，，问：图书室E 应建在距点A 多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等？【变式1】（2023春·上海·八年级专题练习）如图，笔直公路上A 、B 两点相距10千米，C 、D 为两居民区，DA AB ⊥于A ，CB AB ⊥于B ，已知6DA =千米，8CB =千米，现要在公路AB 段上建一超市E ，使C 、D 两居民区到E 的距离相等，则超市E 应建在离A 处多远处．【变式2】（2023春·八年级课时练习）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB 所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C 和点D 处，CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，已知，2.5km AB =， 1.5km CA =， 1.0km DB =，试问，图书室E 应该建在距点A 多少km 知处．才能使它到两所学校的距离相等？1．（2023春·广东云浮·八年级统考期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m 处折断，倒下后树顶端着地点A 距树底端B 的距离为12m ，这棵大树在折断前的高度为（）A ．10mB ．15mC ．18mD ．20m2．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，点P 为观测站，一艘巡航船位于观测站P 的南偏西34︒方向的点A 处，一艘渔船在观测站P 的南偏东56︒方向的点B 处，巡航船和渔船与观测站P 的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（）A ．1.5小时B ．2小时C ．2.5小时D ．4小时3．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为8cm 和6cm ，高为10cm ，将一支长为18cm 的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（）A ．10cmB ．()18102cm -C ．8cmD ．102cm4．（2023·贵州贵阳·统考二模）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具，也是数形结合的纽带之一．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE =1m ，将它往前推6m 至C 处时（即水平距离CD =6m ），踏板离地的垂直高度CF =4m ，它的绳索始终拉直，则绳索AC 的长是（）A ．152mB ．92mC ．6mD ．212m 5．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）如图，长方体的长15cm BE =，宽10cm AB =，高20cm AD =，点M 在CH 上，且5cm CM =，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M ，需要爬行的最短距离是（）A ．22cmB ．25cmC ．529cmD ．537cm6．（2023春·天津滨海新·八年级校考期中）如图，从电杆上离地面5m 的C 处向地面拉一条长为7m 的钢缆，则地面钢缆A 到电线杆底部B 的距离是______．7．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高3米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行______米．8．（2023春·八年级课时练习）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A 处偏离欲到达地点B 处40m ，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m ．该河的宽度BC 为_____米．9．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，30QON ∠=︒，公路PQ 上A 处距离O 点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿MN 方向以72千米/小时的速度行驶时，A 处受到噪音影响的时间为________秒．10．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为___________cm ．（杯壁厚度不计）11．（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C ，而另一只爬到树顶D 后直扑池塘C ，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？12．（2023春·黑龙江大庆·七年级校联考期中）如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA AB ⊥于点A ，CB AB ⊥于点B ，已知15km DA =，10km CB =，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？13．（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域．(1)A 城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A 城受到这次台风影响，则A 城遭受这次台风影响有多长时间？14．（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A 、B 两个村子在笔直河岸的同侧，A 、B 两村到河岸的距离分别为2km AC =，5km BD =，6km CD =，现在要在河岸CD 上建一水厂E 向A 、B 两村输送自来水，要求水厂E 到A 、B 两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E 的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求水厂E 到A 、B 两村的距离之和的最小值．15．（2023·全国·八年级假期作业）如图，一架长10米的梯子AB ，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙()BO 6米(1)此时梯子顶端A 离地面多少米?(2)若梯子顶端A 下滑3米到C 处，那么梯子底端B 将向左滑动多少米到D 处?16．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C 移动到点E ，同时小船从点A 移动到点B ，且绳长始终保持不变，回答下列问题：(1)根据题意，可知AC ________BC CE +（填“>”“<”“=”）；(2)若5CF =米，12AF =米，4AB =米，求男孩需向右移动的距离CE （结果保留根号）．17．（2023·江苏·八年级假期作业）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN 的一侧点A 处有一村庄，村庄A 到公路MN 的距离AB 为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN 上沿MN 方向行驶．(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？18．（2023春·全国·八年级专题练习）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处；（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处．。
八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理训练pdf含解析新版北师大版
1 探索勾股定理基础闯关全练拓展训练1.如图,已知三个正方形中的两个正方形的面积分别为S1=25,S3=169,则另一个正方形的面积S2为 .2.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm)计算知两圆孔中心A和B的距离为 .3.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14,c=10,则Rt△ABC的面积等于 .能力提升全练拓展训练1.(2017湖北孝感云梦期中)有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形(如图1),其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出了4个正方形(如图2),如果按此规律继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”.在“生长”了2 017次后形成的图形中所有正方形的面积和是( )A.2 015B.2 016C.2 017D.2 0182.(2015贵州遵义中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)),图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若正方形EFGH 的边长为2,则S 1+S 2+S 3= .3.已知:如图,以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若AB=3,则图中阴影部分的面积为 .三年模拟全练拓展训练1.(2016福建泉州永春第一次月考,9,★☆☆)直角三角形的两直角边长分别为5厘米、12厘米,则斜边上的高是( )A.6厘米B.8厘米C. 厘米D. 厘米 801360132.(2016安徽芜湖南陵期中,4,★☆☆)已知x 、y 为正数,且|x 2-4|+(y 2-3)2=0,如果以x 、y 为直角边长作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为( )A.5B.25C.7D.153.(2016广西防城港期中,13,★★☆)如图,长方体的长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、12 cm,则BD'= .五年中考全练拓展训练 1.(2013贵州安顺中考改编,6,★★☆)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,则小鸟飞行( )A.8米B.10米C.12米D.14米2.(2016湖南益阳中考,20,★★☆)在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程. 作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD→根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”,建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形的面积核心素养全练拓展训练 在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠ACB=90°,如图①,则根据勾股定理,得a2+b2=c2.若△ABC 不是直角三角形,如图②和图③所示,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.1探索勾股定理基础闯关全练拓展训练1.答案144解析由S1+S2=S3得S2=S3-S1=169-25=144.2.答案100 mm解析在Rt△ABC中,∵AC=120-60=60(mm),BC=140-60=80(mm),∴AB2=AC2+BC2=10 000,∴AB=100 mm,∴两圆孔中心A和B的距离为100 mm.3.答案24解析在△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=c2,∵a+b=14,c=10,∴196-2ab=100,即ab=48,ab=24.则Rt△ABC的面积为12能力提升全练拓展训练1.答案D设正方形A,B,C围成的直角三角形的三条边长分别是a,b,c.如图,根据勾股定理,得a2+b2=c2,一次“生长”后,S A+S B=S C=1.第二次“生长”后,S D+S E+S F+S G=S A+S B=S C=1,推而广之,“生长”了2 017次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2 018×1=2 018.故选D.2.答案12解析设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2且a2+b2=c2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=3×22=12.3.答案92解析因为△ACH为直角三角形,所以AH 2+HC 2=AC 2.又因为AH=HC,所以AH 2=12AC 2,所以S △ACH =12AH·HC=12AH 2=14AC 2.同理,S △BCF =14BC 2,S △ABE =14AB 2.在Rt△ABC 中,AC 2+BC 2=AB 2,AB=3,故阴影部分的面积为S △ACH +S △BCF +S △ABE=14AC 2+14BC 2+14AB 2=14(AC 2+BC 2+AB 2)=14×2AB 2=12×9=92.三年模拟全练拓展训练1.答案D ∵直角三角形的两直角边长分别为5厘米、12厘米,又52+122=132,∴斜边长为13厘米,∴斜边上的高=5×1213=6013(厘米).故选D.2.答案C 依题意得x 2-4=0,y 2-3=0,∴x 2=4,y 2=3,∴正方形的面积=x 2+y 2=4+3=7.故选C.3.答案13 cm 解析连接BD,则BD 2=32+42=25,∴BD=5 cm,故BD'2=52+122=169,∴BD'=13 cm.五年中考全练拓展训练1.答案B 如图,设大树高AB=10米,小树高CD=4米,过C 点作CE⊥AB 于E,则四边形EBDC 是长方形,连接AC,∴EB=CD=4米,EC=BD=8米,AE=AB-EB=10-4=6(米).∵在Rt△AEC 中,AC 2=AE 2+EC 2=100,∴AC=10米.故选B.2.解析设BD=x,则CD=14-x.由勾股定理得AD 2=AB 2-BD 2=152-x 2,AD 2=AC 2-CD 2=132-(14-x)2,∴152-x 2=132-(14-x)2,解得x=9.∴AD=12.∴S △ABC =12BC·AD=12×14×12=84.核心素养全练拓展训练解析若△ABC 是锐角三角形,则有a 2+b 2>c 2;若△ABC 是钝角三角形,∠C 为钝角,则有a 2+b 2<c 2.证明:当△ABC 是锐角三角形时,过点A 作AD⊥CB,垂足为D.设CD=x,则有DB=a-x.根据勾股定理,得b 2-x 2=c 2-(a-x)2,即b 2-x 2=c 2-a 2+2ax-x 2,所以a 2+b 2=c 2+2ax.因为a>0,x>0,所以2ax>0.所以a 2+b 2>c 2.当△ABC 是钝角三角形,且∠C 为钝角时,过点B 作BD⊥AC,交AC 的延长线于点D.设CD=x,则BD 2=a 2-x 2,根据勾股定理,得(b+x)2+a 2-x 2=c 2,即b 2+2bx+x 2+a 2-x 2=c 2,所以a 2+b 2+2bx=c 2.因为b>0,x>0,所以2bx>0,所以a 2+b 2<c 2.。
探索勾股定理(直通中考)-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
探索勾股定理（直通中考）一、单选题1．（2023·四川泸州·统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a ，b ，c 的计算公式：()2212a m n =−，b mn =，()2212c m n =+，其中0m n >>，m ，n 是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能．．由该勾股数计算公式直接得出的是（ ） A ．3，4，5 B ．5，12，13 C ．6，8，10 D ．7，24，252．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，三角形纸片ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3．沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B 落在边BC 上的点D 处；再折叠纸片，使点C 与点D 重合，若折痕与AC 的交点为E ，则AE 的长是（ ）A ．136B ．56C ．76D ．653．（2021·山东滨州·统考中考真题）在Rt ABC 中，若90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则点C 到直线AB 的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．2.44．（2021·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将边BC 沿CN 折叠，使点B 落在AB 上的点B '处，再将边AC 沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点N 、M ，则线段A M '的长为（ ）A ．95B ．85C ．75D ．655．（2021·四川凉山·统考中考真题）如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE V 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（ ）A ．198B ．2C ．254D ．746．（2020·山东淄博·统考中考真题）如图，在△ABC 中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD ⊥BE ，垂足为点F ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a 2+b 2＝5c 2B ．a 2+b 2＝4c 2C ．a 2+b 2＝3c 2D ．a 2+b 2＝2c 27．（2020·广西·统考中考真题）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kun ，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺(1尺10=寸)，则AB 的长是（ ）A ．50.5寸B ．52寸C ．101寸D ．104寸8．（2011·福建泉州·中考真题）如图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）A ．22()()4m n m n m +−−=B ．()222()2m n m n mn +−+=C ．222()2m n mn m n −+=+D ．22()()m n m n m n +−=−9．（2019·湖北黄冈·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O 是这段弧所在圆的圆心，40AB m =，点C 是AB 的中点,D 是AB 的中点，且10CD m =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A ．25mB ．24mC ．30mD ．60m10．（2019·浙江宁波·统考中考真题）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．较小两个正方形重叠部分的面积D ．最大正方形与直角三角形的面积和11．（2012·湖北武汉·中考真题）如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 的点F 处．若AE ＝5，BF ＝3，则CD 的长是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．（2011·北京·中考真题）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m ．按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（ ）A ．2mB ．3mC ．6mD ．9m13．（2014·江苏淮安·统考中考真题）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A 、B 都是格点，则线段AB 的长度为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．25二、填空题14．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中，9086C AC BC ∠=︒==，，，D 为AC 上一点，若BD 是ABC ∠的角平分线，则AD =___________．15．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，分别以点B 和点C 为圆心、大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于E ，F 两点，作直线EF 交AB 于点D ，连接CD ，则ACD 的周长是_____．16．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，AB ⊥BC 于点B ，AB ⊥AD 于点A ，点E 是CD 中点，若BC ＝5，AD ＝10，BE ＝132，则AB 的长是 _____．17．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m （m ≥3，m 为正整数），则其弦是________（结果用含m 的式子表示）．18．（2022·四川遂宁·统考中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．19．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，AC=6，BC=8，CD=_______．20．（2021·湖南常德·统考中考真题）如图．在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥于E ，若3,5CD BD ==，则BE 的长为________．21．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高AB 为x 尺，根据题意，可列方程为________．22．（2021·四川成都·统考中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为_________．23．（2020·湖北武汉·中考真题）如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在AB 边的点M 处，EF 为折痕，1AB =，2AD =．设AM 的长为t ，用含有t 的式子表示四边形CDEF 的面积是________．24．（2020·黑龙江绥化·中考真题）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，若2,8AB AC BC −==，则AB 的长是________．25．（2011·湖南常德·中考真题）ABC 中，13AB =，15AC =，BC 边上的高12AD =，则BC 长为__________．26．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）如图，在Rt △ABC 的纸片中，∠C ＝90°，AC ＝5，AB ＝13．点D 在边BC 上，以AD 为折痕将△ADB 折叠得到△ADB ′，AB ′与边BC 交于点E ．若△DEB ′为直角三角形，则BD 的长是___．27．（2019·湖南邵阳·统考中考真题）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾6a =，弦10c =，则小正方形ABCD 的面积是____.三、解答题28．（2020·浙江温州·统考中考真题）如图，在△ABC 和△DCE 中，AC ＝DE ，∠B ＝∠DCE ＝90°，点A ，C ，D 依次在同一直线上，且AB ∥DE ．（1）求证：△ABC ≌△DCE ；（2）连结AE ，当BC ＝5，AC ＝12时，求AE 的长．29．（2019·河北·统考中考真题）已知：整式()()22212A n n −＝+，整式0B >． 尝试: 化简整式A ．发现: 2A B =，求整式B ．联想:由上可知，222212B n n +＝（﹣）（），当n ＞1时2,1,2,n n B −为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B 的值：30．（2019·四川巴中·统考中考真题）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C 在直线m 上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．=；①求证：EC BD②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．31．（2019·浙江·中考真题）如图，在76⨯的方格中，ABC的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF（E,F 均为格点），各画出一条即可．32．（2011·浙江湖州·中考真题）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？33．（2018·湖南湘西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．参考答案：1．C【分析】首先证明出222+=a b c ，得到a ，b 是直角三角形的直角边然后由0m n >>，m ，n 是互质的奇数逐项求解即可．解：∵()()222211,,22a m n b mn c m n =−==+， ∴()()22222222222422411111()24424a b m n mn m n m n m m n n ⎡⎤+=−+=−+=++⎢⎥⎣⎦． ∵()()222222242241111124424c m n m n m m n n ⎡⎤=+=+=++⎢⎥⎣⎦， ∴222+=a b c ．∴a ，b 是直角三角形的直角边，∵m ，n 是互质的奇数，∴A ．313=⨯，∴当3m =，1n =时，()22142a m n =−=，3b mn ==，()22152c m n =+=， ∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；B ．515=⨯，∴当5m =，1n =时，()221122a m n =−=，5b mn ==，()221132c m n =+=， ∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；C ．623=⨯，824=⨯，∵m ，n 是互质的奇数，∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；D ．717=⨯，∴当7m =，1n =时，()221242a m n =−=，7b mn ==，()221252c m n =+=， ∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．故选：C ．【点拨】本题考查了勾股数的应用，通过0m n >>，m ，n 是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t 的值是解决本题的关键．2．A【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB ， CE = DE ， ∠C =∠CDE ，可得∠ADE = 90°，继而设AE =x ，则CE =DE =3-x ，根据勾股定理即可求解．解：∵沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B 落在边BC 上的点D 处，∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB ，∵折叠纸片，使点C 与点D 重合，∴CE = DE ， ∠C =∠CDE ，∵∠BAC = 90°，∴∠B + ∠C = 90°，∴∠ADB + ∠CDE = 90°，∴∠ADE = 90°，∴AD 2 + DE 2 = AE 2，设AE =x ，则CE =DE =3-x ，∴22+(3-x )2 =x 2， 解得136x =即AE =136故选A【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．3．D【分析】根据题意画出图形，然后作CD ⊥AB 于点D ，根据勾股定理可以求得AB 的长，然后根据面积法，可以求得CD 的长．解：作CD ⊥AB 于点D ，如右图所示，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =4，∴AB =5， ∵22AC BC AB CD ⋅⋅=，∴34522CD ⨯=， 解得CD =2.4，故选：D ．【点拨】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．4．B【分析】利用勾股定理求出AB =10，利用等积法求出CN ＝245，从而得AN ＝325，再证明∠NMC ＝∠NCM ＝45°，进而即可得到答案．解：∵90,8,6ACB AC BC ∠=︒==∴AB =10，∵S △ABC ＝12×AB ×CN ＝12×AC ×BC∴CN ＝245，∵AN 325， ∵折叠∴AM ＝A'M ，∠BCN ＝∠B'CN ，∠ACM ＝∠A'CM ，∵∠BCN +∠B'CN +∠ACM +∠A'CM =90°，∴∠B'CN +∠A'CM ＝45°，∴∠MCN ＝45°，且CN ⊥AB ，∴∠NMC ＝∠NCM ＝45°，∴MN ＝CN ＝245， ∴A'M ＝AM ＝AN −MN ＝325-245=85． 故选B ．【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．5．D【分析】先在RtABC 中利用勾股定理计算出AB =10，再利用折叠的性质得到AE =BE ，AD =BD =5，设AE =x ，则CE =AC -AE =8-x ，BE =x ，在Rt △BCE 中根据勾股定理可得到x 2=62+（8-x ）2，解得x ，可得CE ．解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=12AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=254，∴CE=2584−=74，故选：D．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．6．A解：设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．【解答】解：设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．7．C【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．解：设OA =OB =AD =BC =x ，过D 作DE ⊥AB 于E ，则DE =10，OE =12CD =1，AE =1x −．在Rt △ADE 中，222AE DE AD +=，即()222110x x −+=， 解得2101x =．故门的宽度（两扇门的和）AB 为101寸．故选：C ．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．B【分析】根据图示可知，m +n 的正方形的面积减去中间白色的正方形的面积m 2+n 2，即为四个直角边长分别为m 、n 的直角三角形的面积.解：∵大正方形面积减去小正方形面积得到图②的面积，∴()2221()42m n m n mn +−+=⨯. 即()222()2m n m n mn +−+=，故选B.【点拨】本题是利用几何图形的面积来验证等式()222()2m n m n mn +−+=，解题的关键是利用勾股定理及三角形面积公式正确表示出左右两边的阴影部分的面积.9．A【分析】根据题意，可以推出AD ＝BD ＝20，若设半径为r ，则OD ＝r ﹣10，OB ＝r ，结合勾股定理可推出半径r 的值．解：OC AB ⊥，20AD DB m ∴==，在Rt AOD ∆中，222OA OD AD =+，设半径为r 得：()2221020r r =−+，解得：25r m =，∴这段弯路的半径为25m 故选A ．【点拨】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r 后，用r 表示出OD 、OB 的长度．10．C【分析】根据勾股定理得到c 2=a 2+b 2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．解：设直角三角形的斜边长为c ，较长直角边为b ，较短直角边为a ，由勾股定理得，c 2=a 2+b 2，阴影部分的面积=c 2-b 2-a （c -b ）=a 2-ac+ab=a （a+b -c ），较小两个正方形重叠部分的长=a -（c -b ），宽=a ，则较小两个正方形重叠部分底面积=a （a+b -c ），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选C ．【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．11．C解：∵△DEF 由△DEA 翻折而成，∴EF=AE=5，在Rt △BEF 中，∵EF=5，BF=3，∴BE=4，∴AB=AE+BE=5+4=9，∵四边形ABCD 是长方形，∴CD=AB=9故选：C ．【点拨】本题考查翻折变换（折叠问题）．12．C【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形的面积公式，Rt △ABC 的面积等于△AOB 、△AOC 、△BOC 三个三角形面积的和列式求出点O 到三边的距离，然后乘以3即可．解：设内切圆半径为r ，由勾股定理可得斜边=10， 则利用面积法可得：11(6810)6822r ++=⨯⨯， 解得2r =．∴管道为23=6⨯（m ）， 故选：C ．【点拨】本题考查了角平分线上的点到两边的距离相等的性质，以及勾股定理，三角形的面积的不同表示，根据三角形的面积列式求出点O 到三边的距离是解题的关键．13．A【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解AB 的长度即可．解：如图所示：AC=4,BC=3所以AB=5．故选：A ．【点拨】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．14．3【分析】首先证明CD DP =，6BC BP ==，设CD PD x ==，在Rt ADP 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．解：如图，过点D 作AB 的垂线，垂足为P ，在Rt ABC △中，∵86AC BC ==，，∴AB=10，∵BD 是ABC ∠的角平分线，∴CBD PBD ∠=∠，∵90C BPD BD BD ∠=∠=︒=，，∴()AAS BDC BDP ≌，∴6BC BP ==，CD PD =，设CD PD x ==，在Rt ADP 中，∵4PA AB BP =−=，8AD x =−，∴2224(8)x x +=−，∴3x =，∴3AD =．故答案为：3．【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．18【分析】由题可知，EF 为线段BC 的垂直平分线，则CD ＝BD ，由勾股定理可得AC ，则△ACD 的周长为AC +AD +CD ＝AC +AD +BD ＝AC +AB ，即可得出答案．解：由题可知，EF 为线段BC 的垂直平分线，∴CD ＝BD ，∵∠ACB ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，∴AC=5，∴△ACD 的周长为AC +AD +CD ＝AC +AD +BD ＝AC +AB ＝5+13＝18．故答案为：18． 【点拨】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理是详解本题的关键．16．12【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长．解：如图，延长BE交AD于点F，∵点E是DC的中点，∴DE＝CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴DF＝BC＝5，BE＝EF，∴BF＝2BE＝13，AF=5,在Rt△ABF中，由勾股定理可得12．故答案为：12．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．17．m2+1【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．解：∵2m为偶数，∴设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，∴弦长为m2+1，故答案为：m2+1．【点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．18．127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个）， 故答案为：127．【点拨】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．19．3．解：试题分析：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵AD 平分∠CAB ，∴CD=DE ，∴S △ABC =12AC•CD+12AB•DE=12AC•BC ， 即12×6•CD+12×10•CD=12×6×8，解得CD=3．考点：1．角平分线的性质，2．勾股定理20．4【分析】证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．解：由题意：AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥于E , CAD EAD ∴∠=∠，90AED ∠=︒，又AD 为公共边，()ACD AED AAS ≌，3CD DE ∴==，在Rt DEB 中，5BD =，由勾股定理得：BE=4，故答案是：4．【点拨】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，再利用勾股定理进行计算可得．21．()2226.810x x +−=【分析】先表示出BC 的长，再利用勾股定理建立方程即可．解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，∴BC=()6.8x −尺，∴可列方程为：()2226.810x x +−=， 故答案为：()2226.810x x +−=．【点拨】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转可．22．100．【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A 所代表的正方形的面积A =36+64=100．解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64． 故答案为：100．【点拨】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理．23．211144t t −+ 【分析】首先根据题意可以设DE =EM =x ，在三角形AEM 中用勾股定理进一步可以用t 表示出x ，再可以设CF =y ，连接MF ，所以BF =2−y ，在三角形MFN 与三角形MFB 中利用共用斜边，根据勾股定理可求出用t 表示出y ，进而根据四边形的面积公式可以求出答案.解：设DE =EM =x ，∴222(2)x x t =−+，∴x =244t + ， 设CF =y ，连接FM ，∴BF =2−y ，又∵FN = y ，NM =1，∴22221(2)(1)y y t +=−+−，∴y =2244t t −+， ∴四边形CDEF 的面积为：1()2x y CD +=221424()244t t t +−++∙1， 故答案为：211144t t −+. 【点拨】本题主要考查了勾股定理的综合运用，熟练掌握技巧性就可得出答案.24．17【分析】在Rt △ABC 中，根据勾股定理列出方程即可求解．解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB -AC=2，BC=8，∴AC 2+BC 2=AB 2，即（AB -2）2+82=AB 2，解得AB=17．故答案为：17．【点拨】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式． 25．4或14/14或4【分析】根据题意，ABC 可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解．解：解；在ABC 中，13AB =，15AC =，BC 边上高12AD =，如图所示，当ABC 为锐角三角形时，在Rt △ABD 中,13AB =，12AD =，由勾股定理得：22222131225BD AB AD =−=−=，∴5BD =，在Rt ACD △中15AC =，12AD =，由勾股定理得：22222151281CD AC AD =−=−=，∴9CD =，∴BC 的长为：5914BC BD DC =+=+=；如图所示，当ABC 为钝角三角形时，在Rt △ABD 中13AB =，12AD =，由勾股定理得：22222131225BD AB AD =−=−=，∴5BD =，在Rt ACD △中15AC =，12AD =，由勾股定理得：22222151281CD AC AD =−=−=，∴9CD =，∴BC 的长为：954BC CD BD =−=−=；综上可得：BC 的长为：4或14．故答案为：4或14．【点拨】题目主要考查勾股定理，进行分类讨论作出图象运用勾股定理解直角三角形是解题关键． 26．7或263． 【分析】由勾股定理可以求出BC 的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD 的长．解：在Rt △ABC 中，由AB=13,AC=5，所以BC=12，（1）当∠EDB ′＝90°时，如图1，过点B ′作B ′F ⊥AC ，交AC 的延长线于点F ，由折叠得：AB ＝AB ′＝13，BD ＝B ′D ＝CF ，设BD ＝x ，则B ′D ＝CF ＝x ，B ′F ＝CD ＝12﹣x ，在Rt △AFB ′中，由勾股定理得：22251213x x ++（）（﹣）＝，即：x 2﹣7x ＝0，解得：x 1＝0（舍去），x 2＝7，因此，BD ＝7．（2）当∠DEB ′＝90°时，如图2，此时点E 与点C 重合，由折叠得：AB ＝AB ′＝13，则B ′C ＝13﹣5＝8，设BD ＝x ，则B ′D ＝x ，CD ＝12﹣x ，在Rt B CD '中，由勾股定理得：222128x x +（﹣）＝，解得：263x ＝， 因此263BD ＝． 故答案为7或263． 【点拨】考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．27．4【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．解：∵勾a 6=，弦c 10=，∴股b=8，∴小正方形的边长＝862−=，∴小正方形的面积224==故答案为4【点拨】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．28．（1）见分析；（2）13【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS 以及勾股定理进行求解．解：（1）∵//AB DE∴BAC CDE ∠=∠在△ABC 和△DCE 中，B DCE BAC CDE AC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DCE（2）由（1）可得BC=CE=5在直角三角形ACE 中,AC=12所以AE=13【点拨】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键．29．尝试：221（）A n =+；发现：21＝B n +；联想：17，37. 【分析】先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A ，进而求出B ，再把n 的值代入即可解答． 解：A =（n 2﹣1）2+（2n ）2=n 4﹣2n 2+1+4n 2=n 4+2n 2+1=（n 2+1）2．∵A =B 2，B ＞0，∴B =n 2+1，当2n =8时，n =4，∴n 2+1=42+1=17；当n 2﹣1=35时，n 2+1=37．故答案为17；37．【点拨】本题考查了勾股数的定义．掌握勾股数的定义是解答本题的关键．30．①证明见分析；②见分析.【分析】①通过AAS 证得CAE BCD ∆≅∆，根据全等三角形的对应边相等证得结论；②利用等面积法证得勾股定理．解：①证明：∵90ACB ︒∠=，∴90ACE BCD ︒∠+∠=．∵90ACE CAE ︒∠+∠=，∴CAE BCD ∠=∠．在△AEC 与△BCD 中，CEA BDC CAE BCD AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CAE BCD AAS ∆∆≌．∴EC BD =；②解：由①知：BD CE a ==CD AE b == ∴1()()2AEDB S a b a b =++梯形221122a ab b =++． 又∵AEC BCD ABC AEDB S S S S =++梯形2111222ab ab c =++212ab c =+． ∴222111222a ab b abc ++=+． 整理，得222+=a b c ．【点拨】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等．31．见分析.【分析】图1，根据格点的特征，利用全等三角形画出图形即可；图2：根据格点的特征，利用全等三角形及两锐角互余的三角形为直角三角形画出图形即可；图3：根据格点的特征，结合线段垂直平分线的判定定理画出图形即可.解：如图所示：【点拨】本题考查了格点三角形中的作图，正确利用格点的特征是解决问题的关键．32．10【分析】试题分析：由题意可构建直角三角形求出AC 的长，过C 点作CE ⊥AB 于E ，则四边形EBDC 是矩形．BE=CD,AE 可求，CE=BD,在Rt △AEC 中,由两条直角边求出AC 长．试题解析：如图，设大树高为AB=10m ，小树高为CD=4m ，过C 点作CE ⊥AB 于E ，则四边形EBDC 是矩形．∴EB=CD=4m ，EC=8m ．AE=AB －EB=10－4=6m ．连接AC ，在Rt △AEC 中，AC=10cm ．考点：1．勾股定理的运用；2．矩形性质．解：请在此输入详解！33．（1）证明见分析；（2）16.【分析】（1SAS 即可证得结论；（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE 的长度，结合三角形的周长公式解答． 解：证明：（1）在矩形ABCD 中，AD=BC ，∠A=∠B=90°．∵E 是AB 的中点，∴AE=BE ，在△ADE 与△BCE 中，AD BC A B AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）； （2）由（1）知：△ADE ≌△BCE ，则DE=EC ，在直角△ADE 中，AE=4，AE=12AB=3，由勾股定理知，DE=5，∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．。
2023学年北师大版数学八年级上同步考点解读训练(挑战压轴)1-6 运用勾股定理证明线段间的平方关系
（挑战压轴）专题1.6 运用勾股定理证明线段间的平方关系【方法点拨】线段之间的平方和或平方差的关系，通常是将它们转换同一个直角三角形中求解，或转换到具有公共边的直角三角形中求解。
【典例分析】【类型一直接运用勾股定理探究线段间的平方关系】【例1】如图，四边形ABCD中，BD⊥AC．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2．【变式1】（2019秋•宿州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2﹣BN2＝AC2．【变式2】（2020春•塔河县校级期末）如图，∠C ＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P，求证：BP2＝AP2+BC2．【变式3】（2020春•海阳市期中）如图：△ABC中，∠C＝90°，D 是AC中点，求证：AB2+3BC2＝4BD2．【类型二构造直角三角形探究线段间的平方关系】【例2】如图，P长方形ABCD内的一点，P A＝3，PB＝4，PC＝5，求PB²+PD²的值。
【变式】（2020秋•下城区校级期中）（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．①求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2；②已知AB＝8，AC＝6，M是AD上的任意一点，求BM2﹣CM2的值；（2）如图2，P是矩形ABCD内的一点，若P A＝3，PB＝4，PC＝5，求PD的值．【类型三构造全等三角形探究线段间的平方关系】【例3】（2019春•江岸区校级期中）等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°且CA＝CB．如图，若△ECD也是等腰Rt△且CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：AE2+AD2＝2AC2；【变式1】（2019春•海珠区校级月考）（1）如图1，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．①已知AC＝2，求AB的长度；②求证：AE2+AD2＝2AC2；（2）如图2，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为线段BC上一点，连接AD．求证：BD2+CD2＝2AD2．【变式2】（2020•张家港市校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2．【变式3】如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的外部，且∠ADC＝30°，求证：BD2＝AD2+CD2．【课后巩固】1．（2019春•双鸭山期末）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2，求证：AB＝BC．2．（2019春•武昌区期中）如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．（1）求证：AE2+AD2＝2AC2；（2）如图2，若AE＝2，AC＝2，点F是AD的中点，求CF的长．3．（2021秋•金牛区校级月考）如图，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，D是斜边BC上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）若AB＝AC时，①求证：AF＝BE；②当BE＝12，CF＝5，求△DEF的面积．（2）求证：BE2+CF2＝EF2．4．（2019秋•长兴县期中）已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．①求证：BE＝AF；②若S△BDE＝S△ABC＝2，求S△CDF；（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF．①BE＝AF还成立吗？请利用图②说明理由；②若S△BDE＝S△ABC＝8，直接写出DF的长．（挑战压轴）专题1.6 运用勾股定理证明线段间的平方关系【方法点拨】线段之间的平方和或平方差的关系，通常是将它们转换同一个直角三角形中求解，或转换到具有公共边的直角三角形中求解。
北师大版八年级上册第一章勾股定理能力提升卷(一)(无答案)
专题一：《勾股定理》能力提升卷（一）本卷难度系数中上，题目类型多样，比较灵活。
涉及到以下问题：（1）勾股定理及逆定理的经典题型（2）利用面积法求线段问题（3）D 折叠问题（4）蚂蚁问题（两点之间线段最短问题）（5）配方法（6）动点问题（7）分类讨论思想建议：耐心认真思考，不懂多问，多整理，学完这个专题，相信你能学到很多解题技巧，对勾股定理有更深刻的理解，加油！一：选择题1．下面四组数是勾股数的有( )①1.5，2.5，2；②16，18，110；③12，16，20；④0.5，1.2，1.3. A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组2．等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长为（ ）A ．B ．C ．或D ．4或3．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（ ）A. 0.7米 B ．0.8米 C ．0.9米 D ．1.0米4．如图，圆柱的底面半径是4，高是5，一只在A 点的蚂蚁想吃到B 点的食物，需要爬行的最短路径是（π取3）（ ）A ．9B ．13C ．14D ．255．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（）A．121B．144C．169D．1966．若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是()A.42B.52C.7D.52或77．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P 是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为()A．4 B．5 C．6 D．78．如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12, 则BM的最小值为( )A．8 B．9.6 C．10 D．4.59．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（）A．或B．或12或4 C．或或12 D．或12或4二：填空题10.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．11.已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，则判断△ABC的形状是____________________．12．如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24 m，高为10 m．从A处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点B正好在点A的正上方，梯子最短需要________m.13．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，若AD＝5，AB＝3，则EF的长度为______．14.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是．15.如图，长方体的底面是边长为1 cm的正方形，高为3 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请计算所用细线最短需要cm.三：解答题16．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC 的形状，并说明理由．17．如图，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20 m 处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它跃过的路线为直线)．如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高．18.如图，铁路MN和铁路PQ在点P处交汇，点A处是某中学，AP＝160米，点A到铁路MN 的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．(1)火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；(2)如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时，那么学校受到影响的时间是多少秒？。
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专题1.1 探索勾股定理（能力提升）一、选择题。
1．（2022春•中山市期中）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（）A．14B．4C．14或4D．以上都不对2．（2022春•定远县期中）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m 3．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想4．（2021秋•丰泽区校级期末）在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（）A．AC2+BC2＝AB2B．AB2+BC2＝AC2C．AC2﹣BC2＝AB2D．AC2+AB2＝BC25．（2022春•紫金县期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC 于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是（）A．2B．7C．9D．146．（2022春•寿光市期中）如图，为了求出分别位于池塘两岸的点A与点B的距离，小亮在点C处立一标杆，使∠ABC是直角，测得AC的长为85m，BC的长为75m，则点A与点B的距离是（）A．20m B．40m C．30m D．50m 7．（2022春•延津县期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（）A．128B．64C．32D．144 8．（2022春•香河县期中）如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3，若S1＝40，S3＝18，则S2＝（）A．18B．20C．22D．24 9．（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（）A．225B．250C．275 D．30010．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．二、填空题。
11．（2022春•渌口区期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AB＝10，AC＝6，BD＝5，则点D到AB的距离是．12．（2022春•济源期末）如图，已知所有的四边形是正方形，三角形是直角三角形，且其中最大的正方形面积为6cm2，则图中所有的正方形的面积之和为cm2．13．（2022春•青秀区校级期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形（连同空白部分）的面积是36，则大正方形ABCD的边长是．14．（2022春•东港市期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB ＝3，BC＝5，BC的垂直平分线交AC于点D，垂足为点E，则AD＝．15．（2022春•郑州期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝4，则CD＝．16．（2022春•咸安区期末）如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA10中，长度为整数的线段有条．17．（2022春•崇阳县期末）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，…按此规律继续下去，则S2022的值为．18．（2021秋•龙湾区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是．三、解答题。
19．（2022春•阳高县月考）4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．20．（2021春•南开区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝135°，CD＝6，AB＝2，求四边形ABCD的面积．21．（2022春•夏邑县期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC ＝+，BC＝﹣，求：（1）Rt△ABC的面积；（2）求斜边AB上的高．22．（2022春•玉山县期中）在Rt△ABC中，两条直角边AB，BC的长c，a满足|4﹣c|+a2﹣10a+25＝0．（1）求AC的长．（2）求Rt△ABC的面积．23．（2022春•工业园区校级期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1＝∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．24．（2022春•宁波期中）图1是一个“有趣“的图形，它是由四个完全一样的直角三角形围成的一个大正方形ABCD，并且直角三角形的斜边又围成一个小正方形MNQP．已知每个直角三角形直角边分别是a，b（a＜b），斜边为c．根据这个图形我们可以得到一些很好用的结论．（1）如图1，设中间的小正方形MNQP面积为S1，请用两种方法来表示S1．（2）如图2，将四个三角形向里面翻折，刚好又能形成一个更小的正方形A'B'C′D'．已知正方形A'B'C′D'的边长为3，正方形ABCD的边长为9．请求出a，b的值．（3）连结B'D'，若B'D′∥AD，请问∠DMN是多少度？请说明理由．25．（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？26．（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．专题1.1 探索勾股定理（能力提升）一、选择题。
1．（2022春•中山市期中）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（）A．14B．4C．14或4D．以上都不对【答案】C。
【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC＝BD+DC＝9+5＝14；（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．故选：C．2．（2022春•定远县期中）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m 【答案】C。
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AC＝5m∴AB＝＝＝4m，∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝7米．故选：C．3．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想【答案】C。
【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：C．4．（2021秋•丰泽区校级期末）在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（）A．AC2+BC2＝AB2B．AB2+BC2＝AC2C．AC2﹣BC2＝AB2D．AC2+AB2＝BC2【答案】A。
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2＝AB2，故选项A正确，选项B、C、D错误，故选：A．5．（2022春•紫金县期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC 于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是（）A．2B．7C．9D．14【答案】B。
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，AD＝2，∴AD＝DE＝2，∵BC＝7，∴△BDC的面积＝•BC•DE＝×7×2＝7，故选：B．6．（2022春•寿光市期中）如图，为了求出分别位于池塘两岸的点A与点B的距离，小亮在点C处立一标杆，使∠ABC是直角，测得AC的长为85m，BC的长为75m，则点A与点B的距离是（）A．20m B．40m C．30m D．50m【答案】B。