高数练习题及答案

高等数学（下）模拟试卷一

一、 填空题（每空3分，共15分）

（1）函数

11z x y x y =+

+-的定义域为 （2）已知函数

arctan

y z x =，则z

x ?=

?

（3）交换积分次序，2

2

20

(,)y y dy f x y dx

??

＝

（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()L x y ds +=

? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分）

（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=??

--+=?，平面π为4220x y z -+-=，则

（ ）

A. L 平行于π

B. L 在π上

C. L 垂直于π

D. L 与π斜交 （2）设

是由方程222

2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处

的dz =（ ） A.dx dy + B.2dx dy + C.22dx dy +

D.2dx dy -

（3）已知Ω是由曲面222

425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将

2

2()x

y dv

Ω

+???在柱面坐标系下化成三次积分为（ ）

A.

22

530

d r dr dz

πθ?

?? B.

24

530

d r dr dz

πθ?

??

C.

22

5350

2r

d r dr dz

πθ?

?? D.

22

5

2

d r dr dz

πθ?

??

（4）已知幂级数

，则其收敛半径

（ ）

A. 2

B. 1

C. 1

2

2

（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *

=（ ）

A. B.()x ax b xe + C.()x

ax b ce ++ D.()x

ax b cxe ++

三、计算题（每题8分，共48分）

1、 求过直线1L :

123

101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z

+-==的平面方程

2、 已知

22

(,)z f xy x y =，求z

x ??， z y ?? 3、

设22

{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2

D

x dxdy

??

4、 求函数22

(,)(2)x f x y e x y y =++的极值

5、计算曲线积分2

(23sin )()y L

xy x dx x

e dy

++-?

， 其中L 为摆线

sin 1cos x t t y t =-??

=-?从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧

6、求微分方程 x

xy y xe '+=满足 11x y ==的特解

四.解答题（共22分）

1、利用高斯公式计算

2

2xzdydz yzdzdx z dxdy

∑

+-??ò，其中∑由圆锥面

22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体表面的外侧

(10)'

2、（1）判别级数1

11(1)3n n n n

∞

--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还

是条件收敛；（6'）

（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1

n

n nx

∞

=∑的和函数（6'）

高等数学（下）模拟试卷二

一．填空题（每空3分，共15分）

（1）函数

2

4x y z -=的定义域为 ； （2）已知函数xy

z e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；

（3）交换积分次序，ln 1

(,)e x dx f x y dy

?

?

＝ ；

（4）已知L 是抛物线2

y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则

得分 阅卷人

L

yds =

?

；

（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 . 二．选择题（每空3分，共15分）

（1）设直线L 为300x y z x y z ++=??

--=?，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹

角为（ ）；

A. 0

B. 2π

C. 3π

D. 4π

（2）设是由方程33

3z xyz a -=确定，则z x ?=?（ ）；

A. 2yz xy z -

B. 2yz z xy -

C. 2

xz xy z - D.

2xy z xy -

（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *

=（ ）； A.2()x ax b e + B.2()x

ax b xe + C.2()x ax b ce ++

D.2()x

ax b cxe ++

（4）已知Ω是由球面2222

x y z a ++=所围成的闭区域, 将dv

Ω

???在球

面坐标系下化成

三次积分为（ ）；

A 22

20

sin a

d d r dr

π

π

θ????? B.220

a

d d rdr

π

π

θ????

C.20

a

d d rdr

ππθ??

??

D.220

sin a

d d r dr

π

π

θ?????

（5）已知幂级数1212n

n

n n x ∞

=-∑，则其收敛半径

（ ）.

A. 2

B. 1

C. 1

2

2

三．计算题（每题8分，共48分）

5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .

6、

已知(sin cos ,)x y

z f x y e +=，求z

x ??， z y ?? .

7、 设22

{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctan D y dxdy x ?? .

8、 求函数

22

(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算

(sin 2)(cos 2)x

x L

e

y y dx e y dy

-+-?，其中L 为沿上半圆

周222

(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.

6、求微分方程 3

2

(1)1y y x x '-=++的通解.

四．解答题（共22分）

1、（1）（6'）判别级数11

(1)2sin

3n n n n π

∞

-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝

对收敛还是条件收敛；

（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞

=∑的和函数 .

2、(12)'利用高斯公式计算

2xdydz ydzdx zdxdy

∑

++??，∑为抛物面

22z x y =+(01)z ≤≤的下侧

高等数学（下）模拟试卷三

一． 填空题（每空3分，共15分）

1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .

2、2

2

(2)lim 332n n n n →∞++-= .

3、已知2

ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = .

4、定积分1200621

(sin )x x x dx -+=

?

.

5、求由方程

57

230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dy

dx =

.

二．选择题（每空3分，共15分）

1、2x =是函数

22

132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃 （C ）无穷 （D ）振荡

2

、积分10

?

= .

(A) ∞ (B)-∞

(C) 0 (D) 1

3、函数

1x

y e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。 （A ）单调增加； （B ）单调减少；

（C ）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。 4、1sin x

tdt

?

的一阶导数为 .

（A ）sin x （B ）sin x - （C ）cos x （D ）cos x -

5、向量{1,1,}a k =-r 与{2,2,1}b =--r

相互垂直则k = .

（A ）3 （B ）-1 （C ）4 （D ）2 三．计算题（3小题，每题6分，共18分） 1、求极限1

23lim()

21x x x x +→∞

+- 2、求极限30

sin lim

x x x x →-

3、已知ln cos x

y e =，求dy

dx

四．计算题（4小题，每题6分，共24分）

1、已知221t x y t ?=

???=-?，求22

d y dx

2、计算积分2

cos x xdx

? 3、计算积分1

arctan xdx

?

4

、计算积分?

五．觧答题（3小题，共28分）

1、(8)'求函数

42

341y x x =-+的凹凸区间及拐点。

2、(8)'设11

01()101x x x

f x x e +?≥??+=?

?

3、（1）求由2y x =及2

y x =所围图形的面积；(6)'

（2）求所围图形绕x 轴旋转一周所得的体积。(6)'

高等数学（下）模拟试卷四

一． 填空题（每空3分，共15分）

1、

函数1

y x =的定义域为 .

2、0

,0

ax e dx a +∞

->?= .

3、已知sin(21)y x =+，在0.5x =-处的微分dy = .

4、定积分1

2

1sin 1x

dx x -+?= .

5、函数43

341y x x =-+的凸区间是 . 二．选择题（每空3分，共15分）

1、1x =是函数

211x y x -=

-的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃 （C ）无穷 （D ）振荡

2、若

()

0,(0)0,(0)1,lim

x f ax a f f x →'≠==-==

(A)1 (B)a

(C)-1 (D) a -

3、在[0,2]π内函数sin y x x =-是 。 （A ）单调增加； （B ）单调减少；

（C ）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。

4、已知向量{4,3,4}a =-r 与向量{2,2,1}b =r

则a b ?r r 为 .

（A ）6 （B ）-6 （C ）1 （D ）-3

5、已知函数()f x 可导，且0()f x 为极值，

()

f x y e =，则

x x dy

dx

==

.

（A ）0()

f x e （B ）0()f x ' （C ）0 （D ）0()f x 三．计算题（3小题，每题6分，共18分）

1、求极限10lim(1-)

k x

x kx +→ 2、求极限12cos 2

sin lim

sin x

x t dt x x

→?

3、已知1lnsin

x

y e

=，求dy dx

四． 计算题（每题6分，共24分）

1、设10y

e xy --=所确定的隐函数()y

f x =的导数0

x dy

dx

=。

2、计算积分arcsin xdx ? 3

、计算积分0π

?

4

、计算积分0

,0

a >?

五．觧答题（3小题，共28分）

1、(8)'已知22

23131at x t at y t ?=??+??=

?

+?，求在2t =处的切线方程和法线方程。 2、(8)'求证当0a b >>时，

1ln ln 1a b a a b b -<<

- 3、（1）求由3

y x =及0,2y x ==所围图形的面积；(6)'

（2）求所围图形绕y 轴旋转一周所得的体积。(6)'

高等数学（下）模拟试卷五

一． 填空题（每空3分，共21分） 1．函数y y x z )ln(-=

的定义域为 。

2．已知函数2

2

y x

e

z +=，则=dz 。

3．已知xy e z =，则=

??)

0,1(x

z

。

4．设L 为12

2=+y x 上点()0,1到()0,1-的上半弧段，则=?ds L

2 。

5．交换积分顺序?

?=

x e

dy y x f dx ln 0

1

),( 。

6.级数∑∞

=-1)1(n n n 是绝对收敛还是条件收敛？ 。

7．微分方程x y sin ='的通解为 。 二．选择题（每空3分，共15分）

1．函数()y x f z ,=在点()00,y x 的全微分存在是()y x f ,在该点连续的

（ ）条件。

A ．充分非必要

B ．必要非充分

C ．充分必要

D ．既非充分，也非必要

2．平面012:1=+++z y x π与022:2=+-+z y x π的夹角为（ ）。

A ．6π

B ．4π

C ．2π

D ．3π 3．幂级数∑∞

=-1)5(n n n

x 的收敛域为（ ）。

A ．[)6,4

B ．()6,4

C ．(]6,4

D ．[]6,4

4．设)(),(21x y x y 是微分方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两特解且≠

)()

(21x y x y 常数，则下列（ ）是其通解（21,c c 为任意常数）。

A ．)()(211x y x y c y +=

B ．)()(221x y c x y y +=

C ．)()(21x y x y y +=

D ．)()(2211x y c x y c y +=

5．

???Ω

zdv

在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中Ω为3,0,3,0x x y y ====，0,3z z ==所围的闭区域。

A ．0

33

3

dx dy zdz

??? B ．3

33

dx dy zdz

??? C ． 3

03

3

dx dy zdz

???

D ．3

3

3

dx dy zdz

???

三．计算下列各题（共21分，每题7分）

1、已知0ln =-+xy e z z

，求

y z x z ????,。 2、求过点)2,0,1(且平行直线

32211z

y x =

-+=-的直线方程。 3、利用极坐标计算??

+D d y x δ)(22，其中D 为由42

2=+y x 、0=y 及x

y =所围的在第一象限的区域。

四．求解下列各题（共20分，第1题8分，第2题12分）

1、利用格林公式计算曲线积分dy

y x xy dx e y x L

)sin 52()(22++++?

，其中

L 为圆域D ：42

2≤+y x 的边界曲线，取逆时针方向。 2、判别下列级数的敛散性：

五、求解下列各题（共23分，第1、2题各8分，第3题7分）

1、求函数1

3321

),(23++--=y x y x y x f 的极值。

2、求方程x

e y dx dy

-=+满足20==x y 的特解。

3、求方程282x

y y y e '''+-=的通解。

高等数学（下）模拟试卷六

一、填空题：（每题3分,共21分.）

1．函数arccos()z y x =-的定义域为 。

2．已知函数ln()z xy =，则()2,1z

x ?=? 。

3．已知

()

22sin z x y =+，则=dz 。

4．设L 为1y x =+上点(1,0)-到()1,0的直线段，则

2

L

ds =

? 。

5．将1220

()dx f x y dy

+?

?

化为极坐标系下的二重积

分 。

6.级数∑∞

=-12

)1(n n n 是绝对收敛还是条件收敛？ 。

7．微分方程2y x '=的通解为 。

二、选择题：（每题3分,共15分.）

1．函数()y x f z ,=的偏导数在点()00,y x 连续是其全微分存在的（ ）

条件。

A ．必要非充分，

B ．充分，

C ．充分必要，

D ．既非充分，也非必要，

2．直线22:

110x y z l -+==与平面:23x y z π++=的夹角为（ ）。 A ．6π B ．3π C ．2π D ．4π

3．幂级数2

13n

n n x n ∞

=∑的收敛域为（ ）。

A ．(3,3)-

B ．[3,3]-

C ．(3,3]-

D ．[3,3)-

4.设*

()y x 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的特解，()y x 是方程

()y p x y '''+()q x y +

0=的通解，则下列（ ）是方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的通

解。

A ．()y x

B ．*()()y x y x -

C ．*()y x

D ． *

()()y x y x +

5．

2

z dv Ω

???在柱面坐标系下化为三次积分为（ ），其中Ω为

2222x y z R ++≤的上半球体。

A ．2200

R R

d rdr z dz

πθ??? B ．2200

R r

d rdr z dz

π

θ???

C ．22

R

d dr z dz

π

θ?? D ．220

R

d rdr dz

π

θ??

三、计算下列各题（共18分，每题6分）

1、已知3

35z xyz -=，求y z x z ????,

2、求过点(1,0,2)且平行于平面235x y z ++=的平面方程。

3、计算

22()D

x y dxdy +??，其中D 为y x =、0y =及1x =所围的闭区域。

四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）

1、计算曲线积分2()(sin )L

x y dx x y dy

--+?

，其中L 为圆周2

2x x y -=上

点)0,0(到)1,1(的一段弧。

2、利用高斯公式计算曲面积分：

xdydz ydzdx zdxdy

∑

++??ò，其中∑是由

220,3,1z z x y ==+=所围区域的整个表面的外侧。

3、判别下列级数的敛散性：

五、求解下列各题（共21分,每题7分）

1、求函数1

231

63),(232++-+=y y x x y x f 的极值。

2、求方程x

dy

y e dx -=满足01x y ==的特解。 3、求方程=+'-''y y y 65(1)x

x e +的通解。

高等数学（下）模拟试卷七

一． 填空题（每空3分，共24分）

1．二元函数z =

的定义域为

2．一阶差分方程

121

35t t y y +-

=的通解为

3．y

z x =的全微分=dz _

4．0ydx xdy -=的通解为 ________________

5．设

x y z arctan

=，则z

x ?=

?______________________ 6．微分方程250y y y '''-+=的通解为

7．若区域{}4|),(2

2

≤+=y x y x D ，则??=

D

dxdy 2

8．级数012n

n ∞

=∑的和s=

二．选择题：（每题3分，共15分）

1．()y x f ,在点()b a ,处两个偏导数存在是()y x f ,在点()b a ,处连续的

条件

（A ）充分而非必要 （B ）必要而

非充分

（C ）充分必要 （D ）既非充

分也非必要 2

．累次积分10

(,)dx f x y dy

?

改变积分次序为

(A) 1

10

(,)dy f x y dx ?? （B

）1

00

(,)dy f x y dx

?

（C ）21

(,)y dy f x y dx

??

（D ）21

1

(,)y

dy f x y dx

??

3．下列函数中， 是微分方程356x

y y y xe '''-+=的特解形式(a 、b 为常数)

（A ）x

e b ax y 3)(+= （B ）

x e b ax x y 3)(+=

（C ）x e b ax x y 32)(+= （D ） x

ae y 3= 4．下列级数中，收敛的级数是

（A ） ∑

∞

=+1

121

n n （B ） 121n n

n ∞

=+∑ （C ） 1(3)2n n n ∞

=-∑ （D ）

1

(1)n n n ∞

=-∑

5．设222

4x y z z ++=，则z

x ?=? (A) x z (B) 2x z - (C) 2x

z -

(D)

x

z -

三、求解下列各题（每题7分，共21分）

1. 设2ln ,,34x z u v u v x y y ===-而，求

y z

x z ????,

2. 判断级数132n

n

n n ∞

=∑的收敛性 3.计算

22

x y D

e

dxdy

+??，其中D 为

22

1x y +≤所围区域 四、计算下列各题（每题10分，共40分）

1. 求微分方程1

ln y y x

x '-=的通解.

2.计算二重积分

()D

I x y dxdy

=+??，其中D 是由直线,1y x x ==及x 轴围

成的平面区域.

3.求函数32

(,)6125f x y y x x y =-+-+的极值.

4.求幂级数214n

n

n x n ∞

=?∑的收敛域.

高等数学（下）模拟试卷一参考答案

一、填空题：（每空3分，共15分）

1、 {(,)|0,0}x y x y x y +>->

2、22y

x y -

+ 3

、4102(,)x

dx f x y dy ??

4

5、312x x

y C e C e -=+

二、选择题：（每空3分，共15分） 1.C 2.D 3.C 4A 5.D 三、计算题（每题8分，共48分）

1、解： 12(1,2,3){1,0,1}{2,1,1}A s s →

→

=-= 2'

∴平面方程为 320x y z -++= 8' 2、解： 令2

2

u xy v x y == 2' 3、解：:0202D r θπ≤≤≤≤， 3'

4．解： 22

2(,)(2241)0(,)(22)0x x x y f x y e x y y f x y e y ?=+++=??=+=?? 得驻点1(,1)2- 4'

22

20,40A e AC B e =>-=>∴Q 极小值为11(,1)22f e -=-

8' 5．解：223sin ,

y P xy x Q x e =+=-，有2,P Q

x y x ??==∴

??

曲线积分与路径无关 2'

积分路线选择：1:0,L y x =从0π→，2:,L x y π=从02→

4'

6．解：

11

,x x y y e P Q e x x '+

=?== 2'

∴通解为

11

()()[()][]

dx dx P x dx

P x dx

x x

x y e Q x e dx C e e e dx C -

-???

?

=+=+?? 4'

代入

11x y ==，得

1

C =，∴特解为

1

[(1)1]

x y x e x =-+

8'

四、解答题

1、解：2

2(22)xzdydz yzdzdx z dxdy z z z dv zdv ∑ΩΩ

+-=+-=??

??????ò 4'

方

法

一： 原式

＝

234

cos sin 2d d dr π

ππ

θ???=

?

??

10'

方法二： 原式

＝

21

1

20

2(1)2r

d rdr zdz r r dr ππ

θπ=-=

?

??

?

10'

2、解：（1）令11(1)3n n n n u --=-1111131lim lim 1333n n n n n n n n u n n u n -∞

+-→∞→∞=+=?=<∴∑收敛，

4'

1

11

(1)3n n n n

∞

--=∴-∑绝对收敛。 6'

（2）令

111

1

()()

n

n n n s x nx x nx xs x ∞

∞

-=====∑∑ 2'

高等数学（下）模拟试卷二参考答案

一、填空题：（每空3分，共15分）

1、 2

2

2

{(,)|4,01}x y y x x y ≤<+< 2、2

2

2e dx e dy + 3、1

(,)y e

e

dy f x y dx

??

4

、1

1)12 5、12()x

y C C x e =+

二、选择题：（每空3分，共15分） 1. A 2.B 3. B 4.D 5. A

三、计算题（每题8分，共48分）

1、解： 12(0,2,4){1,0,2}{0,1,3}A n n →→

==- 2'

∴直线方程为242

31x y z --==

- 8'

2、解： 令sin cos x y

u x y v e +== 2'

3、解：

:001

4

D r π

θ≤≤

≤≤， 3'

4．解： (,)260(,)10100x y f x y x f x y y =-=???

=+=?? 得驻点(3,1)- 4' 220,

200

A AC

B =>-=>∴Q 极小值为(3,1)8f -=- 8'

5．解：

sin 2,cos 2x x P e y y Q e y =-=-，

有cos 2,cos ,x x P

Q

e y e y y

x ??=-=??2'

取(2,0),:0,A a OA y x =从02a → 4'

∴原式＝2

a π－OA

Pdx Qdy

+?＝22

0a a ππ-= 8'

6．解：3

2

1

,(1)1P Q x x =-=++ 2'

∴

通解为

11

3()()112

[()][(1)]

dx dx P x dx

P x dx x x y e Q x e dx C e x e dx C --++???

?=+=++??

4'

四、解答题

1、解：（1）令

1(1)2sin

3n n n n

u π

-=-1112sin

23lim

lim

132sin 3

n n n n n n n n

u u π

π+++→∞

→∞==<4'

12sin

3n n n π

∞

=∴∑收敛，

11

(1)2sin

3n n n n π

∞-=∴-∑绝对收敛 6'

（2）令

1()n

n x s x n ∞

==∑

111

1

()1n n n n x s x x n x ∞

∞

-=='??'===

?-??∑∑， 2' 2、解：构造曲面1:1,z ∑=上侧

高等数学（下）模拟试卷三参考答案

一．填空题：（每空3分，共15分）

1.10X x ≤≠且；

2.1a ；

3. 2dx ；

4.0；

5. 20,3??????或20,3?? ???

二．选择题：（每空3分，共15分） 1.;2.;3.;4.;5..A D A A C

三．计算题：

1.

()

()

1

()420

lim 11k k

k

kx

x kx kx e ?-'

'

--→=-?-=

2.

1

22222cos 3

2

0sin (sin cos )(sin )

lim

lim 3x

x x t dt x x x x '

'

'

→→---===∞

?

3.

1

1lnsin lnsin 422211111cos cot

1sin x x dy e e dx x x x x

x '

'

??=-=- ?

??

四．计算题：

1.

2130

0;0,0;

0y x y x dy y e y y xy x y dx

e x

'''

==''--=====-；

2.

原式

222sin sin (1)

xarc x xarc x x ''

=-=+-??

3. 原式333

231222

20024(sin )cos (sin )sin (sin )sin 5x x dx x d x x d x ππππ'''

==-=??? 4.

原式

223210

'

'

'

?===?。

五．解答题: 1

．

2111224612,2,,,,:43120,1355

t a a y t k x y x y a t '

'

'

''

'===-==+-=-1切线法线：3x-4y+6a=0

2.

[]2221

1ln ln 1

()ln ,,,0,ln ln (),,a b f x x x b a a b a b a b b a a a b b

ζζ'

'

'

-=∈>>-=-<<<<

-设3.（1）

2

42

32220

4

4x S x dx '

'

'

??=== ?

???

（2）、

8

25

8

2

2233003644455y V y dy y y πππ

'''

????=-=-= ? ??????

高等数学（下）模拟试卷四参考答案

一．填空题：（每空3分，共15分）

1.24x ≤≤；

2.13；

3. dx ；

4. 2

3；5. 64

12125x y ++。

二．选择题：（每空3分，共15分）

1. C ；

2. D ；

3. B ；

4. B ；

5. C 。

三．1.

23

332

5322(2)333111222lim lim 111111222x x

x x x x x x e x x x ?'

'

-?-→∞→∞??????+++ ? ? ???=== ? ??? ? ?

--- ???

????

g

2.2

22222002sin 1cos 12

lim

lim 336x x x x x

x ''

'

→→-===

3.331(sin )cot cos x x x x

x

dy e e e e dx e ''

=?-?=-

四．

1.

222

2

3

221

1,d y t y t t dx t '

''

-'=-=

=；

2.

42

2

22

sin sin sin 2sin 2cos 2sin x d x x x x xdx

x x x x x c

'

'

==-?=+-+??

3.

21

21

2120

0201ln(1)ln 2

arctan 1424

2

x x x x dx x ππ

'

''

+=-?=-=

-

+?

4.

2212

10

sin 2,22t x t t tdt t π

π'

'

'

'

??===+=

????。 五．解答题

1.()3222121212,3624,20,3220033y x x y x x x x '

'

''''=-=-==????-∞+∞ ? ?????24为拐点，

，、，为凹区间，， 为

凸区间

2.

121

12

01011

,111(1),(2)(2)ln ln(1)ln (2)

11,1

1x

x x x x x f x dx dx e e x e x x e ?≥??'''-==+=-++?+?

??

3.（1）

、

)

1

3

31

24222

021

3

33

x x dx x ''

'

??==-=

?

???

（2）、

()1

251

44220

32510

x x x V x x dx

πππ'

'

'

??=-=-=

?

???

高等数学（下）模拟试卷五参考答案

一、填空题：（每空3分，共21分）

1、{}0,),(≠>y y x y x ，

2、dy ye dx xe y x y x 2

22222+++，3、0,4、2π，

5、?

?e e y

dx

y x f dy ),(1

，6、条件收敛，7、c x y +-=cos （c 为?

常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、A ，2、D ，3、A ，4、D ，5、B

三、解：1、令xy e z z y x F z

-+=ln ),,(1'ΛΛΛ

2、所求直线方程的方向向量可取为{

}3,2,1-2'ΛΛΛ 则直线方程为：32

21

1-=-=-z y x 7'ΛΛΛ 3、原式

??=2

340

dr

r d π

θ4'ΛΛΛ

四、解：1、令

52,2,

sin 52),(,),(22+=??=??++=+=y x Q

y y P y x xy y x Q e y y x P x 3'ΛΛΛ

原式dxdy y P

x Q D

)(

??-??=??6'ΛΛΛ

2、)1( 此级数为交错级数 1'ΛΛΛ

因0

1

lim

=∞→n n ，11

1

+>

n n

),2,1(ΛΛ=n 4'ΛΛΛ 故原级数收敛 6'ΛΛΛ

(2) 此级数为正项级数1'ΛΛΛ

因13133)1(lim 2

12

<=++∞→n n n n n 4'ΛΛΛ 故原级数收敛

6'ΛΛΛ

五、解：1、由

033),(2=-=x y x f x ，03),(=-=y y x f y 得驻点)3,1(),3,1(- 2'ΛΛΛ

在)3,1(处 1)3,1(,0)3,1(,6)3,1(-======yy xy xx f C f B f A

因,02

<-B AC ，所以在此处无极值 5'ΛΛΛ

在)3,1(-处 1)3,1(,0)3,1(,6)3,1(-=-==-=-=-=yy xy xx f C f B f A 因0,02

<>-A B AC ，所以有极大值

215

)3,1(=

-f 8'ΛΛΛ

2、通解

?

+?=--?dx

dx

x e c dx e e y 1][ 3'ΛΛΛ

特解为x

e x y -+=)2( 8'ΛΛΛ

3、1)其对应的齐次方程的特征方程为 0822=-+r r 有两不相等的实根4,221-==r r

所以对应的齐次方程的通解为 x

x e c e c y 4221-+=（21,c c 为?常数）

3'L L L

)2设其特解*()x

y x ae =

将其代入原方程得

252,5x x ae e a -==-

故特解

*2

()5x

y x e =-6'ΛΛΛ )3原方程的通解为2412x

x

y c e c e

-=+2

5x

e -7'L L L

高等数学（下）模拟试卷六参考答案

一、 填空题：（每空3分，共21分）

1、{}11),(+≤≤-x y x y x ，

2、21

，3、

dy y x y dx y x x )cos(2)cos(22

222+++, 4、22

，5、1

22

()d f r rdr

π

θ?

?，6、绝对收敛，7、c x y +=2

（c 为?常

数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、B ，2、B ，3、B ，4、D ，5、D 三、解：

1、令53),,(3

--=xyz z z y x F 2'ΛΛΛ

2、所求平面方程的法向量可取为{}3,1,22'ΛΛΛ

则平面方程为：0)2(3)1(2=-++-z y x 6'ΛΛΛ 3、原式dy

y x dx x

??+=0

2210

)(4'ΛΛΛ

四、解：1、令

2(,),(,)(sin ),

1P Q P x y x y Q x y x y y x ??=-=-+==-??3'ΛΛΛ

原式1

1

2

0(0)(1sin )x dx y dy

=

--

+??6'ΛΛΛ 2、令z R y Q x P ===,,2'ΛΛΛ

原式(

)P Q R

dv x y z Ω

???=++??????5'ΛΛΛ

3、)1( 此级数为交错级数 1'ΛΛΛ

因0

ln 1lim =∞→n n ，)1ln(1ln 1+>n n )3,2(ΛΛ=n 4'ΛΛΛ

故原级数收敛 5'ΛΛΛ

(2) 此级数为正项级数1'ΛΛΛ

因1

3

43sin 43sin

4lim 11>=++∞→n

n n n n ππ

4'ΛΛΛ 故原级数发散

5'ΛΛΛ

五、解：1、由066),(=+=x y x f x ，

04),(2

=-=y y y x f y 得驻点)4,1(),0,1(--

3'ΛΛΛ

在)0,1(-处 4)0,1(,0)0,1(,6)0,1(=-==-==-=yy xy xx f C f B f A 因

0,02

>>-A B AC ，所以有极小值2)0,1(-=-f 5'ΛΛΛ 在

)

4,1(-处 4)4,1(,0)4,1(,6)4,1(-=-==-==-=yy xy xx f C f B f A

因,02

<-B AC ，所以在此处无极值 7'ΛΛΛ

2、通解

1[]dx

dx

x y e e dx c e -?

?

=+? 3'ΛΛΛ

特解为(1)x

y x e =+ 7'ΛΛΛ

3、)1对应的齐次方程的特征方程为 0652=+-r r , 有两不相等的

实根3,221==r r

所以对应的齐次方程的通解为 x

x e c e c y 3221+=（21,c c 为?常数）

3'L L L

)2设其特解x

e b ax x y )()(*+=

将其代入原方程得

15

2321,,24ax a b x a b -+=+==

故特解

*15

()()24x

y x x e =+6'L L L )3原方程的通解为x

x

e

c e

c y 3221+=15

()24x

x e ++7'L L L

高等数学（下）模拟试卷七参考答案

一．填空题：（每空3分，共24分）

1.{}2

2

(,)|025x y x y <+< 2.23()35t t y C =?+ 3.

1ln y y yx dx x xdy -+ 4. y Cx = 5.22

1y

x y + 6.12(cos 2sin 2)x y e C x C x =+ 7.8π8. 2

二．选择题：（每题3分，共15分）

1. D

2. D

3. B

4. C

5. B 三．求解下列微分方程（每题7分，共21分）

1.解：2

2223ln(34)(34)z z u z v x x x y x u x v x y

x y y ?????=+=-+

?????- ………(4分) 22

3224ln(34)(34)z z u z v x x x y y u y v y y x y y ?????-=+=--?????- ………(7分)

四．计算下列各题（每题10分，共40分）