电力系统稳态分析牛顿拉夫逊法

0 引言

潮流是配电网络分析的基础，用于电网调度、运行分析、操作模拟和设计规划，同时也是电压优化和网络接线变化所要参考的内容。潮流计算通过数值仿真的方法把电力系统的详细运行情况呈现给工作人员，从而便于研究系统在给定条件下的稳态运行特点。随着市场经济的发展，经济利益是企业十分看重的，而线损却是现阶段阻碍企业提高效益的一大因素。及时、准确的潮流计算结果，可以给出配电网的潮流分布、理论线损及其在网络中的分布，从而为配电网的安全经济运行提供参考。从数学的角度来看，牛顿-拉夫逊法能有效进行非线性代数方程组的计算且具有二次收敛的特点，具有收敛快、精度高的特点，在输电网中得到广泛应用。随着现代计算机技术的发展，利用编程和相关软件，可以更好、更快地实现配电网功能，本文就是结合牛顿-拉夫逊法的基本原理，利用C++程序进行潮流计算，计算结果表明该方法具有良好的收敛性、可靠性及正确性。

1 牛顿-拉夫逊法基本介绍

1.1 潮流方程

对于N个节点的电力网络（地作为参考节点不包括在内），如果网络结构和元件参数已知，则网络方程可表示为：

YV I（1-1）

=

式中，Y为N*N阶节点导纳矩阵；V为N*1维节点电压列向量；I为N*1维节点注入电流列向量。如果不计网络元件的非线性，也不考虑移相变压器，则Y 为对称矩阵。

电力系统计算中，给定的运行变量是节点注入功率，而不是节点注入电流，这两者之间有如下关系：

ˆ

ˆ=

EI S（1-2）式中，S为节点的注入复功率，是N*1维列矢量；ˆS为S的共轭；

ˆˆi diag ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

E V 是由节点电压的共轭组成的N*N 阶对角线矩阵。 由（1-1）和（1-2），可得：

ˆˆ=S EYV

上式就是潮流方程的复数形式，是N 维的非线性复数代数方程组。将其展开，有：

ˆi i i

ij j j i

P jQ V Y V ∈

-=∑ j=1,2，….，N （1-3）

式中， j i ∈表示所有和i 相连的节点j ，包括j i =。

将节点电压用极坐标表示，即令i i i V V θ=∠，代入式（1-3）中则有：

()i i i i ij ij j j j i

P jQ V G jB V θθ∈-=∠-+∠∑

()()cos sin i j ij ij ij ij j i

V V G jB j θθ∈=+-∑

故有：

()

()cos sin sin cos i i j ij ij ij ij j i

i i j ij ij ij ij j i P V V G B Q V V G B θθθθ∈∈⎧=+⎪⎨

=-⎪⎩

∑∑ i=1,2,…,N （1-4） 式（1-4）是用极坐标表示的潮流方程。

而节点功率误差：

(cos sin )θθ∈∆=-+∑SP

i i

i j ij

ij ij ij j i

P P V V G

B (1-5) (cos sin )θθ∈∆=--∑SP i i i

j ij

ij ij ij j i

Q Q V V G

B (1-6)

式中：SP i P ，SP i Q 为节点i 给定的有功功率及无功功率。

1.2 牛顿-拉夫逊法基本原理

1.2.1 牛拉法的一般描述

牛拉法是把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程式的求解过程，即非线性问题通过线性化逐步近似，这就是牛拉法的核心。下面以非线性方程式的求解过程来进行说明。

设电力网络的节点功率方程一般形式如下：

()SP =

y y x （1-7）

式中，SP y 为节点注入功率给定值；y 为SP y 对应的物理量和节点电压之间的函数表达式；x 为节点电压。写成功率偏差的形式：

()()SP =-=0f

x y y x （1-8）

应用牛拉法求解如下。在给定的初值()0

x 处将式（1-8）作一阶泰勒展开：

()()

()

00T x ∂+∆=∂f f x x x

定义T

∂=

∂f J x

为潮流方程的雅克比矩阵，0J 为J 在()0x 处的值，则有： ()()

10-∆=-x J f x

用∆x 修正()0

x 就得到x 的新值。如果用k 表示迭代次数，写成一般的表达式，

有：

()()()()()

()()()1

1k k k k k k -+⎧∆=-⎪

⎨⎪=+∆⎩

x J x f x x x x （1-9）

对于潮流收敛的情况，(

)

1k +x 应比()k

x 更接近于解点。收敛条件为：

()

()

max k

i f x ε<

由简单迭代法收敛性分析的结论知，越接近解点，牛顿-拉夫逊法收敛越快，它具有二阶收敛速度。由图1.1可以直观地了解牛拉法的步骤：

图1.1 牛顿-拉夫逊法的几何解释

1.2.2 极坐标的牛顿-拉夫逊法

在极坐标中，()f x 有如下的形式：

()

()()()(),,,,n

SP SP n r

-⎡⎤⎡⎤

∆-⎢

⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥∆-⎣⎦⎣⎦P V P P V f x Q V Q Q V θθθθ （1-10） 共2n-r 个方程，状态变量为：1212

T T T

n n r V V V θθθ-⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦

x V θ

共2n-r 个待求量。r 个PV 节点的电压幅值给定，不需求解。潮流雅克比矩阵的维数是（2n-r ）*(2n-r)，结构如下：

n

T T T

T

T

n r

-⎡⎤∂∆∂∆⎢⎥∂∂∂⎢⎥=

=∂∂∆∂∆⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦P

P

f

V J x Q Q V θθ 上式右侧的对电压幅值的偏导数项中的电压幅值的阶数减少了1，为使雅克比矩阵的各部分子矩阵具有一致的形式，在实际计算中，常将该项乘以电压幅值，并选取1122

////T

n r n r V V V V V V --⎡⎤⎡⎤∆=∆∆∆⎣⎦⎣⎦V V 作为待求的修正

量，则雅克比矩阵可写成：