直角坐标系下牛顿法潮流计算

1电力系统潮流计算潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，它的任务是对给定的运行条件确定系统的运行状态，如母线上的电压(幅值及相角)、网络中的功率分布及功率损耗等。

在电力系统规划设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性.可靠性和经济性。

此外，电力系统潮流计算也是计算系统动态稳定和静态稳定的基础。

2节点导纳矩阵的形成在图1（a ）的简单电力系统中，若略去变压器的励磁功率和线路电容，负荷用阻抗表示，便可以得到一个有5个节点（包括零电位点）和7条支路的等值网络，如图1（b ）所示。

将接于节点1和4的电势源和阻抗的串联组合变换成等值的电流源和导纳的并联组合，变得到图1（c ）的等值网络，其中1101I y E =和4404I y E =分别称为节点1和4的注入电流源。

(a)24İİ4y (c)图1 电力系统及其网络以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据基尔霍夫定律，可以写出4个独立节点的电流平衡方程如下：1011212112212022323242423323434244234434044()()()()0()()0()()y U y U U I y U U y U y U U y U U y U U y U U y U U y U U y U I ⎫+-=⎪-++-+-=⎪⎬-+-=⎪⎪-+-+=⎭ （2-1） 上述方程组经过整理可以写成1111221211222233244322333344422433444400Y U Y U I Y U Y U Y U Y U Y U Y U Y U Y U Y U Y U I ⎫+ =⎪+++=⎪⎬++=⎪⎪ ++=⎭ （2-2）式中，111012Y y y =+；2220232412Y y y y y =+++；332334Y y y =+；44402434Y y y y =++；122112Y Y y ==-；233223Y Y y ==-；244224Y Y y ==-；344334Y Y y ==-。

一般的，对于有n 个独立节点的网络，可以列写n 个节点方程11112211211222221122n n n n n n nn n n Y U Y U Y U I Y U Y U Y U I Y U Y U Y U I ⎫+++=⎪+++=⎪⎬ ⎪⎪+++=⎭（2-3）也可以用矩阵写成1111121212222212n n n n nn n n U I Y Y Y Y Y Y U I Y Y Y U I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2-4）或缩写为YU I = （2-5）矩阵Y 称为节点导纳矩阵。

它的对角线元素ii Y 称为节点i 的自导纳，其值等于接于节点i 的所有支路导纳之和。

非对角线元素ijY 称为节点i 、j 间的互导纳，它等于直接接于节点i 、j 间的支路导纳的负值。

若节点i 、j 间不存在直接支路，则有ij Y =。

由此可知节点导纳矩阵是一个稀疏的对称矩阵。

3牛顿-拉夫逊法潮流计算牛顿-拉夫逊法的基本原理牛顿—拉夫逊法（Newton —Raphson 法）是求解非线性方程代数方程组的有效迭代计算方法。

在牛顿—拉夫逊法的每一次迭代过程中，对非线性方程通过线性化处理逐步近似。

下面以单变量加以说明。

设有单变量非线性方程()0f x = (3-1)求解此方程时。

先给出解的近似值(0)x它与真解的误差为(0)x∆，则(0)(0)x x x=+∆将满足方程，即(0)(0)()0f x x +∆= (3-2)将(3-8)式左边的函数在(0)x附近展成泰勒级数，于是便得2'''()(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)()()()()......()....2!!()()nn f f n x x f f fxx x xx xx +∆=+∆++++∆∆ （3-3）式中'(0)()fx ,……()(0)()n fx 分别为函数()f x 在(0)x 处的一阶导数，….，n阶导数。

如果差值(0)x ∆很小，3-9式右端(0)x∆的二次及以上阶次的各项均可略去。

于是，3-9便简化为'(0)(0)(0)(0)(0)()()()f f f xx x xx+∆=+∆＝0 (3-4)这是对于变量的修正量(0)x∆的现行方程式，亦称修正方程式。

解此方程可得修正量(0)(0)'(0)()()f x xf x∆=-(3-5)用所求的(0)x∆去修正近似解，变得(0)(1)(0)(0)(0)'(0)()()f x xx xx f x=+∆=-(3-6)由于3-10是略去高次项的简化式，因此所解出的修正量(0)x∆也只是近似值。

修正后的近似解(1)x 同真解仍然有误差。

但是，这样的迭代计算可以反复进行下去，迭代计算的通式是()(1)()'()()()k k k k f x xxfx +=-(3-7)迭代过程的收敛判据为()1()k f x ε< (3-8)或()2k xε∆< (3-9)式中1ε，2ε为预先给定的小正数。

这种解法的几何意义可以从图3－1得到说明。

函数y ＝f(x)为图中的曲线。

f(x)＝0的解相当于曲线与x 轴的交点。

如果第k 次迭代中得到()k x，则过()()(),()k k k f y x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点作一切线，此切线同x 轴的交点便确定了下一个近似值(1)k x+。

由此可见，牛顿－拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步线性化的方法。

应用牛顿法求解多变量非线性方程组3-1时，假定已给出各变量的初值1(0)x ，2(0)x ….(0)nx ，令1(0)x ∆，2(0)x ∆，…..(0)nx ∆分别为各变量的修正量，使其满足方程3-2即11122211221122(0)(0)(0)(0)(0)(0)(,,....,)0(0)(0)(0)(0)(0)(0)(,,....,)0......(0)(0)(0)(0)(0)(0)(,,....,)0n n n n nn n f x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x ⎧+∆+∆+∆=⎪⎪+∆+∆+∆=⎪⎨⎪⎪+∆+∆+∆=⎪⎩(3-10)将上式中的n 个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数,并略去含有)0(1x ∆，)0(2x ∆，……，)0(n x ∆二次及以上阶次的各项，便得111001121212111002121212101211(0)(0)(0)(0)(0)(0)(,,...,)...0(0)(0)(0)(0)(0)(0)(,,...,) 0......(0)(0)(0)(0)(,,...,)|||||||nnn n nnnnf f f f x x x x x x x xx f f f f x x x x x x x xxf fx x x x x ∂∂∂+∆+∆++∆=∂∂∂∂∂∂+∆+∆++∆=∂∂∂∂∂+∆+∂110022(0)(0) 0||nnf f x x xx⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪∂⎪∆++∆=⎪∂∂⎩.(3-11)方程式3-17也可以写成矩阵形式1110001211222221200121200012...(0)(0)(0)(,,...,)(0)(0)(0)(,,...,).....................(0)(0)(0)(,,...,)...|||||||||nn n nn n n n n n f f f x x x f x x x f f f f x x x x xx fx x x f f f x xx ⎡∂∂∂⎢∂∂∂⎢⎡⎤⎢⎢⎥∂∂∂⎢⎢⎥⎢⎢⎥=-∂∂∂⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∂∂∂∂∂∂⎣12(0)(0)...(0)n x x x ⎤⎥⎥⎡⎤∆⎥⎢⎥⎥⎢⎥∆⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎦(3-12)方程式3-18是对于修正量)0(1x ∆，)0(2x ∆，……，)0(n x ∆ 的线性方程组,称为牛顿法的修正方程式.利用高斯消去法或三角分解法可以解出修正量)0(1x ∆，)0(2x ∆，……，)0(n x ∆。

然后对初始近似值进行修正(1)(0)(0)iiix x x =+∆ (i=1,2,….,n) (3-13)如此反复迭代，在进行k ＋1次迭代时，从求解修正方程式11112112222212121212...()()()(,,...,)()()()(,,...,).....................()()()(,,...,)...|||||||||kkk nn n k kknn n n n n k kk n k k k k k k k k k f f f x x x f x x x f f f f x x x x xx fx x x f f f x xx ⎡∂∂∂⎢∂∂∂⎢⎡⎤⎢⎢⎥∂∂∂⎢⎢⎥⎢⎢⎥=-∂∂∂⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∂∂∂∂∂∂⎣12()()...()n k k k x x x ⎤⎥⎥⎡⎤∆⎥⎢⎥⎥⎢⎥∆⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎦(3-14)得到修正量1()k x ∆，2()k x ∆，()nk x ∆，并对各变量进行修正(1)()()iiik k k x x x +=+∆ (i=1,2,…,n) (3-15)式3-20和3-21也可以缩写为())()()(k k k x Jx F∆-= (3-16)和 )()()1(k k k x x x∆+=+ (3-17)式中的X 和X ∆分别是由n 个变量和修正量组成的n 维列向量；F(X)是由n 个多元函数组成的n 维列项量；J 是n 阶方阵，称为雅可比矩阵，它的第i 、j 个元素iijif Jx=∂∂是第n 个函数12(,,...,,)nif x x x 对第j 个变量jx的偏导数；上角标(k)表示J 阵的每一个元素都在点,,,()()()(...,)12ik k k n f x x x 处取值。

迭代过程一直到满足收敛判据{}112()()()max(,,...,)ink k k f x x x ε< (3-18)或{}2()max ik x ε∆< (3-19)为止。

1ε和2ε为预先给定的小正数。

将牛顿－拉夫逊法用于潮流计算，要求将潮流方程写成形如方程式3-1的形式。

由于节点电压可以采用不同的坐标系表示，牛顿－拉夫逊法潮流计算也将相应的采用不同的计算公式。

节点电压用直角坐标表示是的牛顿-拉夫逊法潮流计算采用直角坐标时，节点电压可表示为ii i jf e V += 导纳矩阵元素则表示为ij ij ij jB G Y +=将上述表示式代入ni ji i i i i ij j iS P jQ U I U Y U***==+==∑的右端，展开并分出实部和虚部，便得11()()nni i ij j ij j i ij j ij j j j P e G e B f f G f B e ===-++∑∑（11-45）假定系统中的第1，2，3···，m 号节点为PQ 节点，第i 个节点的给定功率设为is P 和is Q ，对对该节点可列写方程0)()(0)()(1111=+---=-=∆=+---=-=∆∑∑∑∑====nj j ij j ij i n j j ij j ij i is i is i nj j ij j ij i n j j ij j ij i is i is i e B f G f f B e G e P P P P e B f G f f B e G e P P P P（i=1,2，···，m ） （11-46）假定系统中的第m+1，m+2，···，n-1号节点为PV 节点，则对其中每一个节点可以列写方程⎪⎭⎪⎬⎫=+-=-=∆=+---=-=∆∑∑==0)(0)()(22222211i i is i is i n j nj j ij j ij i j ij j ij i is i is i f e V V V V e B f G f f B e G e P P P P （i=m+1，m+2，···，n-1） （11-47）第n 号节点为平衡点，其电压n n n jf e V +=是给定的，故不参加迭代。