电力系统课程设计-牛顿拉夫逊法潮流计算

课程设计说明书题目电力系统分析系(部)专业(班级)学号指导教师起止日期电力系统分析课程设计任务书系（部）：专业：指导教师：目录一、潮流计算基本原理1.1潮流方程的基本模型1.2潮流方程的讨论和节点类型的划分1.3、潮流计算的意义二、牛顿－拉夫逊法2.1牛顿-拉夫逊法基本原理2.2节点功率方程2.3修正方程2.4牛顿法潮流计算主要流程三、收敛性分析四、算例分析总结参考文献电力系统分析潮流计算一、潮流计算基本原理1.1潮流方程的基本模型电力系统是由发电机、变压器、输电线路及负荷等组成，其中发电机及负荷是非线性元件，但在进行潮流计算时，一般可以用接在相应节点上的一个电流注入量来代表。

因此潮流计算所用的电力网络系由变压器、输电线路、电容器、电抗器等静止线性元件所构成，并用集中参数表示的串联或并联等值支路来模拟。

结合电力系统的特点，对这样的线性网络进行分析，普通采用的是节点法，节点电压与节点电流之间的关系V Y I= （1－1）其展开式为j nj ij i V Y I ∑==1),,3,2,1(n i = （1－2）在工程实际中，已经的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率，为此必须应用联系节点电流和节点功率的关系式ii i i V jQ P I *-= ),,3,2,1(n i = （1－3） 将式（1－3）代入式（1－2）得到jnj ij iii V Y V jQ P ∑=*=-1),,3,2,1(n i = （1－4）交流电力系统中的复数电压变量可以用两种极坐标来表示i j ii e V V θ= （1－5）或 ii i jf e V += （1－6）而复数导纳为ij ij ij jB G Y +=（1－7）将式（1－6）、式（1－7）代入以导纳矩阵为基础的式（1－4），并将实部与虚部分开，可以得到以下两种形式的潮流方程。

潮流方程的直角坐标形式为∑∑∈∈++-=ij j ij i ij i ij j ij j ij i i e B f G f f B e G e P )()( ),,3,2,1(n i = （1－8） ∑∑∈∈+--=ij j ij i ij i ij j ij j ij i i e B f G e f B e G f Q )()(),,3,2,1(n i = （1－9）潮流方程的极坐标形式为∑∈+=ij ij ij ij ij i i i B G V V P )sin cos (θθ ),,3,2,1(n i = （1－10） ∑∈-=ij ij ij ij ij i i i B G V V Q )cos sin (θθ ),,3,2,1(n i =（1－11）以上各式中，i j ∈表示∑号后的标号j 的节点必须直接和节点i 相联，并包括i j =的情况。

这两种形式的潮流方程通常称为节点功率方程，实牛顿－拉夫逊等潮流算法所采用的主要数学模型。

1.2潮流方程的讨论和节点类型的划分对于电力系统中的每个节点，要确定其运行状态，需要由四个变量：有功注入注入有功P 、无功注入Q 、电压幅值U 及电压相角θ。

对于有n 个独立节点的网络，其潮流方程有n 2个，变量数为n 4个。

根据电力系统的实际运行情况，一般每个节点4个变量中总有两个是已知的，两个是未知的。

按各个节点所已经变量的不同，可把节点分成三种类型。

(1) PQ 节点。

这类节点已知节点注入有功功率i P 、无功功率i Q ，待求的未知量是节点电压值i U 及相位角i θ，所以称这类节点为PQ 节点。

一般电力系统中没有发电设备的变电所母线、发固定功率的发电厂母线可作为PQ 节点，这类节点在电力系统中占大部分。

(2) PV 节点。

这类节点已经节点注入有功功率i P 和电压值i U ，待求的未知量是节点注入无功功率i Q 及相位角i θ，所以称这类节点为PV 节点。

这类节点一般为有一定无功功率储备的发电厂母线和有一定无功功率电源的变电所母线，这类节点在电力系统中位数不多，甚至可有可无。

(3)平衡节点。

潮流计算时，一般只设一个平衡节点，全网的功率由平衡节点作为平衡机来平衡。

平衡节点电压的幅值s U 及相位角s θ是已知的，如果给定0.1=s U 、0.1=s θ，待求的则是注入功率s P 、s Q 。

1.3潮流计算的意义早在20世纪50年代中期，就已开始使用数字计算机进行电力系统潮流计算。

时至今日，潮流计算曾采用过多种不同的方法，这些方法的形成和发展都围绕着潮流计算的一些基本要求进行。

这些要求基本上可以归纳为以下几个方面：算法的可靠性和收敛性、结果的可信性；满足计算速度和存占用量的要求；计算方便灵活、适应性好。

电力系统潮流的计算和分析是电力系统运行和规划工作的基础。

运行中的电力系统，通过潮流计算可以预知,随着各种电源和负荷的变化以及网络结构的改变,网络所有母线的电压是否能保持在允许围，各种元件是否会出现过负荷而危及系统的安全，从而进一步研究和制订相应的安全措施。

规划中的电力系统，通过潮流计算，可以检验所提出的网络规划方案能否满足各种运行方式的要求，以便制定出既满足未来供电负荷增长的需求，又保证安全稳定运行的网络规划方案。

二、牛顿－拉夫逊法2.1牛顿-拉夫逊法基本原理设有单变量非线性方程()0f x = (4-1) 求解此方程时。

先给出解的近似值(0)x它与真解的误差为(0)x∆，则(0)(0)x xx =+∆将满足方程，即(0)(0)()0f x x +∆= (4-2)将(3-8)式左边的函数在(0)x附近展成泰勒级数，于是便得2'''()(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)()()()()......()....2!!()()nn f f n x x fffxx x x x x x +∆=+∆++++∆∆(4-3)式中，'(0)()f x,……()(0)()n fx 分别为函数()f x 在(0)x处的一阶导数，….，n 阶导数。

如果差值(0)x∆很小，(3-9)式右端(0)x∆的二次及以上阶次的各项均可略去。

于是，(3-9)便简化为'(0)(0)(0)(0)(0)()()()f f f xx x xx+∆=+∆＝0 (4-4)这是对于变量的修正量(0)x∆的现行方程式，亦称修正方程式。

解此方程可得修正量(0)(0)'(0)()()f x xf x∆=-(4-5)用所求的(0)x∆去修正近似解，变得(0)(1)(0)(0)(0)'(0)()()f x xx xx f x=+∆=-(4-6)由于(3-10)是略去高次项的简化式，因此所解出的修正量(0)x∆也只是近似值。

修正后的近似解(1)x同真解仍然有误差。

但是，这样的迭代计算可以反复进行下去，迭代计算的通式是()(1)()'()()()k k k k f x xx f x+=-(4-7)迭代过程的收敛判据为()1()k f x ε< (4-8)或 ()2k xε∆< (4-9)式中1ε，2ε为预先给定的小正数。

这种解法的几何意义可以从图3－1得到说明。

函数y ＝f(x)为图中的曲线。

f(x)＝0的解相当于曲线与x 轴的交点。

如果第k 次迭代中得到()k x，则过()()(),()k k k f yxx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点作一切线，此切线同x 轴的交点便确定了下一个近似值(1)k x+。

由此可见，牛顿－拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步线性化的方法。

应用牛顿法求解多变量非线性方程组(3-1)时，假定已给出各变量的初值1(0)x ，2(0)x ….(0)nx ，令1(0)x ∆，2(0)x ∆，…..(0)nx ∆分别为各变量的修正量，使其满足方程(3-1)即11122211221122(0)(0)(0)(0)(0)(0)(,,....,)0(0)(0)(0)(0)(0)(0)(,,....,)0......(0)(0)(0)(0)(0)(0)(,,....,)0nnnnnnnf x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x ⎧+∆+∆+∆=⎪⎪+∆+∆+∆=⎪⎨⎪⎪+∆+∆+∆=⎪⎩(4-10)将上式中的n 个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数,并略去含有1(0)x∆,2(0)x∆，……，(0)nx ∆二次及以上阶次的各项，便得11100011212121110002121212101211(0)(0)(0)(0)(0)(0)(,,...,)...0(0)(0)(0)(0)(0)(0)(,,...,)...0......(0)(0)(0)(0)(,,...,)|||||||n n n n n n n n f f f f x x x x x x x x x f f f f x x x x x x x x x f f x x x x x ∂∂∂+∆+∆++∆=∂∂∂∂∂∂+∆+∆++∆=∂∂∂∂∂+∆+∂110022(0)(0) 0||nn f f x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪∂⎪∆++∆=⎪∂∂⎩(4-11)方程式(3-17)也可以写成矩阵形式1110001211222221200121200012...(0)(0)(0)(,,...,)(0)(0)(0)(,,...,).....................(0)(0)(0)(,,...,)...|||||||||nn n nn n n n n n f ff x x x f x x x f f f f x x x x xx fx x x f f f x xx ⎡∂∂∂⎢∂∂∂⎢⎡⎤⎢⎢⎥∂∂∂⎢⎢⎥⎢⎢⎥=-∂∂∂⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∂∂∂∂∂∂⎣12(0)(0)...(0)n x x x ⎤⎥⎥⎡⎤∆⎥⎢⎥⎥⎢⎥∆⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎦(4-12)方程式(3-18)是对于修正量1(0)x∆,2(0)x∆,……, (0)nx∆ 的线性方程组,称为牛顿法的修正方程式.利用高斯消去法或三角分解法可以解出修正量1(0)x ∆,2(0)x∆,……, (0)nx∆。

然后对初始近似值进行修正(1)(0)(0)iiix x x =+∆ (i=1,2,….,n) (4-13)如此反复迭代，在进行k ＋1次迭代时，从求解修正方程式11112112222212121212...()()()(,,...,)()()()(,,...,).....................()()()(,,...,)...|||||||||k kk nn n k kknn n n n n k kk n k k k k k k k k k f ff x x x f x x x f f f f x x x x xx fx x x f f f x xx ⎡∂∂∂⎢∂∂∂⎢⎡⎤⎢⎢⎥∂∂∂⎢⎢⎥⎢⎢⎥=-∂∂∂⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∂∂∂∂∂∂⎣12()()...()n k k k x x x ⎤⎥⎥⎡⎤∆⎥⎢⎥⎥⎢⎥∆⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎦(4-14)得到修正量1()k x∆，2()k x∆，()nk x∆，并对各变量进行修正(1)()()iiik k k x x x +=+∆ (i=1,2,…,n) (4-15)式(3-20)和(3-21)也可以缩写为()()()()k k k F J XX=-∆ (4-16) 和(1)()()k k k XXX+=+∆ (4-17)式中的X 和X ∆分别是由n 个变量和修正量组成的n 维列向量；F(X)是由n 个多元函数组成的n 维列项量；J 是n 阶方阵，称为雅可比矩阵，它的第i 、j 个元素i ij ifJ x=∂∂是第n 个函数12(,,...,,)nif x x x 对第j 个变量jx的偏导数；上角标(k)表示J 阵的每一个元素都在点,,,()()()(...,)12ik k k n f x x x 处取值。