2015年高考天津市文科数学真题含答案解析(超完美版)

2015年高考天津市文科数学真题

一、选择题

1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3,5}A =，集合{1,3,4,6}B =，则集合A U C B = （ ） A ．{3}

B ．{2,5}

C ．{1,4,6}

D ．{2,3,5}

2．设变量,y x 满足约束条件2020280

x x y x y ì-???

-?í?+-???，则目标函数的最大值为3y z x =+（ ）

A ．7

B ．8

C ．9

D ．14

3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

4．设R x ?，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆()22

2y 3x -+=相

切，则双曲线的方程为（ ）

A ．

221913x y -= B ．221139

x y -= C ．2213x y -= D ．22

13y x -= 6．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM=2，MD=4，CN=3，

则线段NE 的长为（ ）

A ．

8

3

B ．3

C ．

103

D ．

52

7．已知定义在R 上的函数||()21(m )x m f x -=-为实数为偶函数，

记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==，则,b,c a ,的大小关系为（ ）

A ．b c a <<

B ．b c a <<

C ．b a c <<

D ．c b a <<

8．已知函数2

2||,2()(2),2

x x f x x x ì-??=í->??，函数()3(2)g x f x =--，则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

二、填空题

9．i 是虚数单位，计算

122i

i

-+ 的结果为 ． 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 ．

11．已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '= ，则a 的值为 ．

12．已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ?取得最大值。

13．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ，2,1,60,AB Bc ABC ==∠=

点E 和点F 分别在线段BC 和

CD 上，且21,,36

BE BC DF DC == 则AE AF ?

的值为 ．

14．已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数

()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为 ．

三、解答题

15．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛。

（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；

（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为123456,,,,,A A A A A A ，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛。

（i ）用所给编号列出所有可能的结果；

（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A 发生的概率。

16．△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为1

2,cos ,4

b c A -==- （Ⅰ）求a 和sinC 的值； （Ⅱ）求cos 26A π??

+ ??

?

的值。

17．如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11,BB AA AB=AC=3，1BC AA =，1BB = 点E ，F 分别是BC ，1AC 的中点，

（Ⅰ）求证：EF 平面11A B BA ；（Ⅱ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB 。 （Ⅲ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小。

18．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且112331,2a b b b a ==+=,

5237a b -=.

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.

19．已知椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>的上顶点为B ，左焦点为F ,离心率为5

（Ⅰ）求直线BF 的斜率；

（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ），故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与x 轴交于点M ，|PM|=|MQ|l . （i ）求l 的值；

（ii ）若|PM|sin D，求椭圆的方程.

20．已知函数4()4,,f x x x x R =-?其中*n N ?，且n 23.

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的实数x ，都有()()f x g x ￡;

（Ⅲ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <，求证：1

321-43

a x x <-+.

2015年高考天津市文科数学真题

一、选择题 1．答案：B 解析过程：

{2,3,5}A =，{}2,5U C B =，则{}()2,5U A C B = ，选B

2．答案： C 解析过程：

51

3(2)(28)9922

z x y x x y =+=-++-+≤

当2,3x y ==时取得最大值9，选C 3．答案：C

解析过程：

由程序框图可知：2,8i S ==；3,5i S ==；4,1i S ==，选C 4．答案：A 解析过程：

由2112113x x x -

可知“12x <<”是“|2|1x -<”的充分而不必要条件,选A. 5．答案：D 解析过程：

双曲线的渐近线为0bx ay -=

=，

又2c =，解得1a =，b = D

6．答案：A 解析过程：

由相交弦定理可得

18,33

CM MD CM MD CN NE AB AB NE CN ??=?=

??== 选A. 7．答案：B 解析过程：

由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,选B. 8．答案：A

解析过程：

当0x <时，()2

2f x x -=，

此时方程()()2

1f x g x x x -=--+的小于零的零点为12

x +=-

； 当02x ≤≤时，()222f x x x -=--=， 方程()()22f x g x x x -=-+=无零点； 当2x >时，()2224f x x x -=--=-，

方程()()()2

2

2733f x g x x x x x -=-+-=--大于2的零点有一个

选A

二、填空题 9．答案：-i 解析过程：

()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i

-+---===-+++ 10．答案：83

π

解析过程：

该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成, 所以该几何体的体积为3

18π2π1π2(m )33

???+?= 11．答案：3 解析过程：

因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 12．答案：4 解析过程：

()()2222log log 2log log 22a b a b +??

?≤ ???

()221log 24ab =

()2

21log 1644

== 当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>= 可得4, 2.a b == 13．答案：

29

18

解析过程：

在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=

得12AD BC ?= ,1AB AD ?=

,12

DC AB = ,

所以()()

AE AF AB BE AD DF ?=+?+

21312AB BC AD AB ????=+?+ ? ?????

221131218

AB AD BC AD AB BC AB =?+?++?

111291331818

=++-=

14

解析过程：

由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称, 可得π

2ωω

≤

,且(

)222πsin cos sin 14f ωωωω?

?=+=

?+= ??

?,

所以2ππ422

ωω+

=?= 15．答案：见解析

解析过程：

（I ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2； （II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为

{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A , {}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.

（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为

{}15,A A ,{}16,A A , {}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A , {}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,

所以事件A 发生的概率()93

.155

P A =

= 16．△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC

的面积为12,cos ,4

b c A -==- （Ⅰ）求a 和sinC 的值；

（Ⅱ）求cos 26A π??

+ ??

?

的值。 答案：见解析 解析过程：

（Ⅰ）ABC ?中，由1cos 4A =-，得sin 4

A =，

由

1

sin 2

bc A =24bc =， 又由2b c -=，解得6,4b c ==。 由2222cos a b c bc A =+-，可得8a =.

由

sin sin a c A C =，得sin C =（Ⅱ）cos(2)cos 2cos

sin 2sin

6

6

6

A A A π

π

π

+

=-

21)sin cos A A A =

--=

17．答案：见解析 解析过程：

（I ）证明：如图,连接1A B ,

在△1A BC 中,因为E 和F 分别是BC ,1AC 的中点, 所以1EF BA ,又因为EF ? 平面11A B BA , 所以EF 平面11A B BA .

（II ）因为AB =AC ,E 为BC 中点,所以AE BC ⊥, 因为1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA 所以1BB ⊥平面ABC ,从而1BB AE ⊥, 又1BC BB B = ,所以AE ⊥平面1BCB ,

又因为AE ?平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1BCB .

（Ⅲ）取1BB 中点M 和1BC 中点N ，连接1A M ，1A N ， 因为N 和E 分别为1BC ，

BC 中点， 所以1//NE BB ，11

2

NE BB =

， 故1//NE AA ，1NE AA =， 所以1//A N AE ，1A N AE =，

又因为AE ⊥平面1BCB ，所以1A N ⊥平面1BCB ， 从而11A B N ∠就是直线11A B 与平面1BCB 所成角， 在ABC ?中，可得2AE =，所以12A N AE ==，

因为1//BM AA ，1BM AA =，所以1//A M AB ，1A M AB =， 又由1AB BB ⊥，有11AM BB ⊥， 在11Rt AMB ?中，可得114A B =， 在11Rt A NB ?中，11111

sin 2

A N A

B N A B ∠==， 因此0

1130A B N ∠=，所以，直线11A

B 与平面1BCB 所成角为0

30. 18．答案：见解析 解析过程：

（I ）设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,

由题意0q > ,由已知,有24232,

310,

q d q d ?-=?-=?

消去d 得4

2

280,q q --= 解得2,2q d == ,

所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N ,

{}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .

（II ）由（I ）有()1

212

n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,

则()0

1

2

1

123252212

,n n S n -=?+?+?++-?

()1232123252212,n n S n =?+?+?++-?

两式相减得()()2

3

12222122323,n

n

n

n S n n -=++++--?=--?-

所以()2323n

n S n =-+ .

19．答案：见解析 解析过程：

（I ）(),0F c - ,

由已知

c a =

及222,a b c =+

可得,2a b c == ,又因为()0,B b , 故直线BF 的斜率()020b b

k c c

-=

==-- .

（II ）设点()()

(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ,

（i ）由（I ）可得椭圆方程为22

221,54x y c c

+=

直线BF 的方程为22y x c =+ ,

两方程联立消去y 得2

350,x cx += 解得53

P c x =-

. 因为BQ BP ⊥,所以直线BQ 方程为1

22

y x c =-

+ , 与椭圆方程联立消去y 得2

21400x cx -= ,

解得4021Q c

x =

.又因为PM MQ

λ= , 及0M x = 得7

.8M P P

Q M

Q x x x x x x λ-=

=

=-

（ii ）由（i ）得

78

PM MQ =

, 所以

77

7815

PM PM MQ

=

=++,即157PQ PM = ,

又因为||sin PM BQP D

所以=||sin BP PQ BQP D=15

||sin 7PM BQP ?又因为4223

P P y x c c =+=-

,

所以BP ==,

1,c == 所以椭圆方程为22 1.54x y +

= 20．答案：见解析

解析过程：

（I ）由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ￠=-, 当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增； 当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.

所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞. （II ）设()0,0P x ,则1

3

04x = ,()012,f x '=-

曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=- , 即()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =-

即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-. 由于3

()44f x x =-在(),-∞+∞ 单调递减,

故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,

所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,

所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减, 所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= , 对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ￡. （Ⅲ）由（II ）知13

()12(4)g x x =--，

设方程()g x a =的根为2x '，可得1

32412

a

x '=-+， 因为()g x 在(),-∞+∞单调递减，

又由（II ）知222()()()g x f x a g x '≥==，所以22x x '≤。

类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线为()y h x =，可得()4h x x =， 对任意的(),x ∈-∞+∞，有()()4

0f x h x x -=-≤即()()f x h x ≤。

设方程()h x a =的根为1x '，可得14

a x '=

， 因为()4h x x =在(),-∞+∞单调递增，且()

()()111h x a f x h x '==≤，

因此，11x x '≤，所以1

3212143

a

x x x x ''-≤-=-+