2018年高考数学总复习教师用书：第2章第8讲函数与方程、函数的模型及其应用含解析
高三新高考一轮复习(人教A版)第2章第8节函数模型及其应用课件
2. 在 实 际 应 用
写错，故建议复习时务必养成良好
问题中求最值
的审题习惯.
的方法有哪
2.在解应用题建模后一定要注意定
些？
义域，建模的关键是注意寻找量与
量之间的相互依赖关系.
课时三省
课堂回眸
思维升华
误区防范
1.解应用题思路的关键是审题，不仅
1. 在 实 际 应 用
要明白、理解问题讲的是什么，还
问题中构造函
要特别注意一些关键的字眼(如
数的解析式，你
“几年后”与“第几年后”)，学生
解决实际问题的思维过程
是否注明定义
常常由于读题不谨慎而漏读和错
域了？
读，导致题目不会做或函数解析式
：
cm)
满
足
关
系
：
C(x)
＝
k 3x＋5
(0≤x≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8
万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最大？并求最小值.
[自主解答] (1)当 x＝0 时，C＝8，∴k＝40， ∴C(x)＝3x4＋0 5(0≤x≤10)， ∴f(x)＝6x＋230x×＋450＝6x＋38x＋005(0≤x≤10).
►规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系 数. 2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实 际问题，并进行检验.
[巩固演练]
2.已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量 q(x)(单
2018年高考数学一轮复习专题函数模型及其应用教学案文WORD版
专题12 函数模型及其应用1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型(2)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：【疑点清源】1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质．(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题．(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题．(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．高频考点一、用函数图象刻画变化过程例1、(1)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )【答案】(1)D (2)B【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【变式探究】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )【答案】 D【解析】依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.高频考点二已知函数模型的实际问题例2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q10(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a、b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．【变式探究】某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.【答案】 19【解析】 由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19. 高频考点三 构造函数模型的实际问题例3、某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元 D ．43.025万元【答案】 C【解析】 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0,16]，且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元． 【变式探究】(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)( )A ．1.5%B ．1.6%C ．1.7%D ．1.8%(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A ．略有盈利 B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况 【答案】 (1)C (2)B【举一反三】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km 按起步价付费)；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km. 【答案】 9【解析】 设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋x －＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．【变式探究】 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过小时才能开车．(精确到1小时)(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A．10B．11C．13D．21【答案】(1)5 (2)A高频考点四、函数应用问题例4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7400x－40000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数【解析】式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40000x－16x ＋7360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40000x －16x ＋7360，x >40.当x ＝32时，W 取得最大值6104万元。
2018年高考数学(理科,课标Ⅱ专用)复习专题测试 §2.8 函数模型及函数的综合应用(共36张PPT)
1 ( x 0), ax x a 易知f(x)= ax x 1 ( x 0), a
1 a 2 1 2a 2 , 1 a2 1 1 1 , , ⊆A得 由 2 a 2 2 2 a 0, 1 5 解得 <a<0.故选A. 2
x a +a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围 2.(2017浙江,17,5分)已知a∈R,函数f(x)=
×192=24(小时).
考点二 函数的综合应用
, ⊆A, 1.(2013天津,8,5分)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A.若 2 2 1 1
则实数a的取值范围是 ( A. C.
1 5 ,0 2
4.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数” 为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x, f(x))对称.若h(x)是
∴符合题意的为①④.
思路分析 审清题意,逐项代入检验即可. 方法总结 判断函数单调性的一般方法: (1)定义法. (2)图象法.
(3)利用复合函数单调性的判断方法判断单调性.
(4)导数法.具体步骤:①确定函数的定义域;②当f '(x)>0时, f(x)为增函数,当f '(x)<0时, f(x)为减函 数,注意写单调区间时不能用“∪”连接.
2018届高考数学考点总复习课件14函数模型及其应用 精
⑤对数型函数模型：f x m log a x n (m、n、a为常数，m 0，a 0且a 1)； ⑥幂函数型模型：f x ax n b (a、b、n为常数，a 0，n 0)； ⑦“勾”函数模型：f x x (k为常数，k 0)， 这种函数模型应用十分广泛，因其图象是一个 “勾号”，故我们把它称之为“勾”函数模型； ⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或 多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
【解析】 将各组数据代入验证，选 B.
3.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运， 据市场分析，每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x (x ∈N*)的关系为 y＝－x2＋12x－25， 则为使其营运年平均利润 最大，每辆客车营运年数为( A．2 C．5 B．4 D．6 )
y －x2＋12x－25 【解析】 平均利润 ＝ x x 25 ＝12－(x＋ ) x ≤12－10＝2， 25 当且仅当 x＝ ，即 x＝5 时，等号成立，故选 C. x
①一次函数模型：f x kx b(k、b为常数，k 0)； k ②反比例函数模型：f x b(k、b为常数，k 0)； x ③二次函数模型：f x ax 2 bx c (a、b、c为常数，a 0)，二次函数模型是高中阶段应用 最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的； ④指数型函数模型：f x ka x b (k、a、b为常数，k 0，a 0且a 1)；
－ －
2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组数 据： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的 规律，其中最接近的一个是( A．y＝2x－2 ) 1 2 B．y＝2(x －1)
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.8函数与方程教师用书文
2.8 函数与方程(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根.对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数210【知识拓展】有关函数零点的结论(1)假设连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点.( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点.( √ )(5)假设函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点.( √ )1.(教材改编)函数f (x )＝12x －(12)x的零点个数为____________.答案 1解析 f (x )是增函数，又f (0)＝－1，f (1)＝12，∴f (0)f (1)<0，∴f (x )有且只有一个零点.2.(教材改编)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点为1,3，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是________. 答案 x ＝2解析 ∵y ＝a (x －1)(x －3)＝a (x －2)2－a ， ∴对称轴为x ＝2.3.(2016·长春检测)函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是________.①(1e ，1); ②(1,2)； ③(2，e); ④(e,3).答案 ③解析 因为f (1e )＝－12＋1e －e －2<0，f (1)＝－2<0，f (2)＝12ln 2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0，所以f (2)f (e)<0，所以函数f (x )＝12ln x ＋x －1x－2的零点所在区间是(2，e).f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 解析 ∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)<0，∴(－3a ＋1)·(1－a )<0，解得13<a <1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 5.(教材改编)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是__________.答案 (－2,0)解析 结合二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a 的图象知⎩⎪⎨⎪⎧f 0<0f1>0，故⎩⎪⎨⎪⎧a <01＋1＋a >0，所以－2<a <0.题型一 函数零点确实定 命题点1 确定函数零点所在区间例1 (1)(2016·盐城调研)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是________.(填序号) ①(0,1); ②(1,2); ③(2,3);④(3,4).(2)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，假设x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是______. 答案 (1)③ (2)(1,2)解析 (1)∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)为增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120<0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121>0，∴x 0∈(2,3).(2)令f (x )＝x 3－(12)x －2，则f (x 0)＝0，易知f (x )为增函数，且f (1)<0，f (2)>0，∴x 0所在的区间是(1,2).命题点2 函数零点个数的判断例2 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________.(2)假设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________. 答案 (1)2 (2)4解析 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (xf (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2. (2)由题意知，f (x )是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如图，观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点.思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.(1)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在以下区间中，包含f (x )零点的区间是________.(填序号) ①(0,1); ②(1,2)； ③(2,4);④(4，＋∞).(2)(教材改编)已知函数f (x )＝2x－3x ，则函数f (x )的零点个数为________. 答案 (1)③ (2)2解析 (1)因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4).(2)令f (x )＝0，则2x ＝3x ，在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝2x和y ＝3x 的图象，如下图，由图知函数y ＝2x和y ＝3x 的图象有2个交点，所以函数f (x )的零点个数为2.题型二 函数零点的应用例 3 (1)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是__________.(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，假设方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (1)(0,3) (2)(0,1)∪(9，＋∞)解析 (1)因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0.所以0＜a ＜3.(2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如下图.由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a 1－x 有两组不同解，消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a <1或a >9.又由图象得a >0，∴0<a <1或a >9. 引申探究本例(2)中，假设f (x )＝a 恰有四个互异的实数根，则a 的取值范围是________________.答案 (0，94)解析 作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a 的图象如下：当x ＝－32时，y 1＝94；当x ＝0或x ＝－3时，y 1＝0，由图象易知，当y 1＝|x 2＋3x |和y 2＝a 的图象有四个交点时，0<a <94.思维升华 已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围. (2)方法：常利用数形结合法.(1)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________.(2)(2016·江苏前黄中学调研)假设函数f (x )＝|x |x －1－kx 2有4个零点，则实数k 的取值范围是______________.答案 (1)(－2,0) (2)(－∞，－4) 解析 (1)∵－a ＝x 2＋x 在(0,1)上有解， 又y ＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，∴函数y ＝x 2＋x ，x ∈(0,1)的值域为(0,2)， ∴0<－a <2，∴－2<a <0. (2)令f (x )＝0，则方程|x |x －1＝kx 2有4个不同的实数根，显然，x ＝0是方程的一个实数根. 当x ≠0时，方程可化为1k＝|x |(x －1)，设h (x )＝1k，g (x )＝|x |(x －1)，由题意知h (x )与g (x )图象(如下图)有三个不同的交点，由g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －1，x >0，－x x －1，x <0，结合图象知－14<1k<0，所以k <－4.题型三 二次函数的零点问题例4 已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.解 方法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0， 即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.方法二 函数图象大致如图，则有f (1)<0，即1＋(a 2－1)＋a －2<0，∴－2<a <1. 故实数a 的取值范围是(－2,1).思维升华 解决与二次函数有关的零点问题 (1)利用一元二次方程的求根公式.(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系. (3)利用二次函数的图象列不等式组.(2016·江苏泰州中学质检)关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m 的取值范围是______. 答案 (－∞，－214)解析 设f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14， 由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧f 3<0，f1<0，所以m <－214.典例 (1)假设函数f (x )＝a x－x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________.(2)假设关于x 的方程22x＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为________. 思想方法指导 (1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.(2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决.解析 (1)函数f (x )＝a x－x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，即方程a x－x －a ＝0有两个根，即函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点.当0<a <1时，图象如图(1)所示，此时只有一个交点. 当a >1时，图象如图(2)所示，此时有两个交点. ∴实数a 的取值范围为(1，＋∞).(2)由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－(t ＋2t ＋1－1)＝2－[(t ＋1)＋2t ＋1]，其中t ＋1>1， 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2. 答案 (1)(1，＋∞) (2)(－∞，2－22]1.(2016·江苏东海中学期中)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为______________.答案 1＋2或1解析 题目转化为求方程f (x )＝x 的根，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x ，解得x ＝1＋2或x ＝1，所以g (x )的零点为1＋2或1.f (x )＝log 3x ＋x －3的零点所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z )，则n ＝________.答案 2解析 由f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝1>0，知f (x )＝0的根在区间(2,3)内，即n ＝2.f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________. 答案 a <c <b解析 方法一 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0且f (x )为R 上的递增函数.故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0). ∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2； ∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0，且h (x )为(0，＋∞)上的增函数，∴h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a <c <b . 方法二 由f (x )＝0得2x＝－x ；由h (x )＝0得log 2x ＝－x ，作出函数y ＝2x，y ＝log 2x 和y ＝－x 的图象(如图).由图象易知a <0,0<c <1，而b ＝2， 故a <c <b .4.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________. 答案 2解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤0，x －2＋ln xx >0的零点个数为______.答案 2解析 当x ≤0时，令f (x )＝0，得x 2－1＝0，∴x ＝－1，此时f (x )有一个零点；当x >0时，令f (x )＝0，得x －2＋ln x ＝0，在同一个坐标系中画出y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象(图略)，观察其图象可知函数y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象在(0，＋∞)上的交点个数是1，所以此时函数f (x )有一个零点，所以f (x )的零点个数为2.x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，假设函数f (x )＝[x ]x－a (x ≠0)有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是________________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪[43，32)解析 当0<x <1时，f (x )＝[x ]x－a ＝－a ；当1≤x <2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ；当2≤x <3时，f (x )＝[x ]x－a ＝2x－a ；…f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x的图象，如下图，通过数形结合可知a ∈(34，45]∪[43，32).7.(2016·徐州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________.答案 x ＝0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解. 综上，函数f (x )的零点只有0.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，假设函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图.由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得0<m <1，即m ∈(0,1).R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 015x＋log 2 015x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________.答案 3解析 函数f (x )为R 上的奇函数，因此f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 015x ＋log 2 015x 在区间(0，12 015)内存在一个零点， 又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f (x )在R 上的零点的个数为3. a >1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n 的最小值为________.答案 1解析 设F (x )＝a x ，G (x )＝log a x ，h (x )＝4－x ，则h (x )与F (x )，G (x )的交点A ，B 横坐标分别为m ，n (m >0，n >0).因为F (x )与G (x )关于直线y ＝x 对称，所以A ，B 两点关于直线y ＝x 对称.又因为y ＝x 和h (x )＝4－x 交点的横坐标为2，所以m ＋nm >0，n >0，所以1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·m ＋n 4＝14(2＋n m ＋m n )≥14(2＋2 n m ×m n)＝1. 当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n ＝2时等号成立.所以1m ＋1n的最小值为1. 11.(2016·江苏淮阴中学期中)已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两个实根是α，β，且有1<α<2<β<3，则实数a 的取值范围是________.答案 (2，115) 解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ f 1>0，f 2<0，f 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋a ＋2>0，4－4a ＋a ＋2<0，9－6a ＋a ＋2>0，解得2<a <115，所以实数a 的取值范围为(2，115).x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围. 解 显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解，0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x ，又∵y ＝x ＋1x 在(0,1]上单调递减，[1,2]上单调递增， ∴y ＝x ＋1x 在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1，故m 的取值范围是(－∞，－1].y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)假设方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围.解 (1)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝x 2＋2x .又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解.即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点，作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如下图，故假设方程f (x )＝a 恰有3个不同的解只需－1<a <1，故a 的取值范围为(－1,1).。
高考数学一轮复习第二章函数2.8函数模型及其综合应用课件
,
5 2
D.
,
8 3
答案 B 本题考查了函数图象的应用以及不等式恒成立;考查数形结合思想的应用;以函数
间的递推关系为背景考查逻辑推理及数据分析的核心素养.
由题意可知,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x= 1 时,
2
f(x)min=- 14 ,且当x= 13 时,
个数分别为x,y,z,则
5x
3
y
1 3
z
100,当z=81时,x=
,y=
.
答案 8;11
解析 本题考查二元一次方程组的实际应用.
把z=81代入方程组,化简得
x y 19, 5x 3y 73,
解得
x y
8, 11.
B组 统一命题、省（区、市）卷题组
θ0
,
2
.
设f(θ)=sin
θcos
θ+cos
θ,θ∈ θ0 ,
2
.
则f '(θ)=cos2θ-sin2θ-sin θ=-(2sin2θ+sin θ-1)=-(2sin θ-1)(sin θ+1),
令f '(θ)=0,得θ= ,
6
当θ∈
θ0
,
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,
所以设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0).
则年总产值为4k×800(4sin θcos θ+cos θ)+3k×1 600(cos θ-sin θcos θ)=8 000k(sin θcos θ+cos θ),θ
高考数学总复习 2-8 函数与方程、函数模型及其应用 新人教B版
2-8 函数与方程、函数模型及其应用基础巩固强化1.(文)(2011·湘潭调研)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )[答案] C[解析]能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A、B选项中不存在f(x)<0，D选项中零点两侧函数值同号，故选C.(理)若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值( )A．大于0 B．小于0C．等于0 D．不能确定[答案] D[解析]若函数f(x)在(－2,2)内有且仅有一个零点，且是变号零点，才有f(－2)·f(2)<0，故由条件不能确定f(－2)·f(2)的值的符号．2．(文)(2012·天津理)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3[答案] B[解析]本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f(x)＝2x＋x3－2,0<x<1，∴f′(x)＝2x ln2＋3x2>0在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．[点评] 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数．(理)已知函数f(x)＝a x－x－a(a>0，a≠1)，那么函数f(x)的零点个数是( )A．0个B．1个C．2个D．至少1个[答案] D[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝a x与y ＝x ＋a 的图象，a >1时，如图(1)，0<a <1时，如图(2)，故选D.[点评] 解决这类问题的有效方法是数形结合法．3．(文)(2012·新疆维吾尔自治区检测)在以下区间中，函数f (x )＝x 3－4x 2－x ＋4不存在零点的区间是( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[3,4][答案] C[解析] ∵f (0)＝4，f (1)＝0，f (3)＝－8<0，f (4)＝0，f (2)＝－6，由于在区间[0,1]，[1,2]，[3,4]内都存在零点，故选C.[点评] 注意，不能由f (2)＝－6<0，f (3)＝－8<0，做出判断f (x )在区间[2,3]内无零点．(理)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12 B.58 C.1116D.34[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1＋a －b ≤0f ＝8＋2a －b ≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有：a ＝1,2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8.a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.4．偶函数f (x )在区间[0，a ](a >0)上是单调函数，且f (0)·f (a )<0，则方程f (x )＝0在区间[－a ，a ]内根的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 [答案] B[解析] ∵f (0)·f (a )<0，∴f (x )在[0，a ]中至少有一个零点，又∵f (x )在[0，a ]上是单调函数，∴f (x )在[0，a ]上有且仅有一个零点．又∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )在[－a,0)中也只有一个零点，故f (x )在[－a ，a ]内有两个零点，即方程f (x )＝0在区间[－a ，a ]内根的个数为2个．故选B.5．某航空公司经营A 、B 、C 、D 这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A —B 为2000元；A —C 为1600元；A —D 为2500元；B —C 为1200元；C —D 为900元．若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B —D 的机票价格为( )(注：计算时视A 、B 、C 、D 四城市位于同一平面内) A ．1000元 B ．1200元 C ．1400元 D ．1500元[答案] D[解析] 注意观察各地价格可以发现：A 、C 、D 三点共线，A 、C 、B 构成以C 为顶点的直角三角形，如图可知BD ＝5×300＝1500.[点评] 观察、分析、联想是重要的数学能力，要在学习过程中加强培养．6．(文)(2012·龙岩质检)若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝(110)x 在[0，103]上根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 由题意知f (x )是周期为2的偶函数，故当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，画出f (x )的图象，结合y ＝(110)x 的图象可知，方程f (x )＝(110)x 在x ∈[0，103]时有3个根．[点评] 要注意在x ∈(3，103]时方程无解． (理)(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x ，x ∈－∞，0]，x 3－3x ＋1，x ∈，＋，若方程f (x )－m ＝0有且仅有两个实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．－1<m ≤1B ．－1<m <0或m ＝1C ．－1<m ≤0或m ＝1D ．－1<m ≤1[答案] C[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x x ∈－∞，0]，x 3－3x ＋1 x ∈，＋，∴当x ≤0时，f (x )＝11－x单调递增，且0<f (x )≤1，又x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ≥1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－1，∴当m ＝1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象有两个交点，当－1<m ≤0时，直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有两个交点，故选C.7．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )，当x ≥0时，y ＝f (x )是单调递增的，f (1)·f (2)<0.则函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点个数是________．[答案] 2[解析] 由已知可知，在(0，＋∞)上存在惟一x 0∈(1,2)，使f (x 0)＝0，又函数f (x )为偶函数，所以存在x ′0∈(－2，－1)，使f (x ′0)＝0，且x ′0＝－x 0.故函数的图象与x 轴有2个交点．8．有一批材料可以建成200m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．[答案] 2500m 2[解析] 设所围场地的长为x ，则宽为200－x 4，其中0<x <200，场地的面积为x ×200－x4≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋200－x 22＝2500m 2，等号当且仅当x ＝100时成立． 9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d (km)(d <200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d 达到n (km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n 的值为________.[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 3≥y 1，y 3≥y 2，y 3≥y 4，d <200.⇒50≤d <200，故n ＝50.10．(文)某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1(元)关于x 的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y (元)最少，并求出这个最小值．[解析] (1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x －1天．∴每次购买的原材料在x 天内的保管费用为y 1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x －1)]＝6x 2－6x .(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x 2－6x ＋600＋1.5×400x ＝6x 2＋594x ＋600(元)，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y ＝600x ＋6x ＋594≥2600x·6x ＋594＝714.当且仅当600x＝6x ，即x ＝10时，取得等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元． (理)当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小．请根据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12km ；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16km ；③一辆出租车日平均行程为200km.(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱．[解析] (1)设出租车行驶的时间为t 天，所耗费的汽油费为W 元，耗费的液化气费为P 元，由题意可知，W ＝200t 12×2.8＝140t 3(t ≥0且t ∈N )，200t 16×3≤P ≤200t15×3 (t ≥0且t ∈N )， 即37.5t ≤P ≤40t . 又140t3>40t ，即W >P ，所以使用液化气比使用汽油省钱． (2)①令37.5t ＋5000＝140t3，解得t ≈545.5，又t ≥0，t ∈N ，∴t ＝546.②令40t ＋5000＝140t3，解得t ＝750.所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t ∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱.能力拓展提升11.(文)函数f (x )在[－2,2]内的图象如图所示，若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象也是连续不间断的，则导函数f ′(x )在(－2,2)内有零点( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．至少3个[答案] D[解析] f ′(x )的零点，即f (x )的极值点，由图可知f (x )在(－2,2)内，有一个极大值和两个极小值，故f (x )在(－2，2)内有三个零点，故选D.(理)(2012·河南六市模拟)若定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x － x ，2xx则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6 [答案] B[解析] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，又x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，∴f (x )的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g (x )的图象，可见y ＝f (x )(－5≤x ≤5)与y ＝2x(x ≤1)有5个交点，y ＝f (x )(－5≤x ≤5)与y ＝log 3(x －1)(x >1)的图象有3个交点，∴共有8个交点．12．(文)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 令g (x )＝x 3－22－x，可求得g (0)<0，g (1)<0，g (2)>0，g (3)>0，g (4)>0.易知函数g (x )的零点所在区间为(1,2)．(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1x，f x －＋x把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －2(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝2n －2(n ∈N *) [答案] C[解析] 当x ≤0时，f (x )＝2x －1；当0<x ≤1时，f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －1－1＋1＝2x－1；当1<x ≤2时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝2x －2－1＋2＝2x －2＋1；…∴当x ≤0时，g (x )的零点为x ＝0；当0<x ≤1时，g (x )的零点为x ＝1；当1<x ≤2时，g (x )的零点为x ＝2；…当n －1<x ≤n (n ∈N *)时，g (x )的零点为n ， 故a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，…，a n ＝n －1.13．(2012·山西四校联考)设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x＋2)＝0(a >1)恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围为________．[答案] (34，2) [解析]依题意得，f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的函数．关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有三个不同的实数根，等价于函数f (x )与g (x )＝log a (x ＋2)(a >1)的图象恰有三个不同的交点．结合题意分别画出函数f (x )在(－2,6]上的图象与函数g (x )＝log a (x ＋2)(a >1)的图象(如图所示)，结合图象分析可知，要使两函数的图象有三个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a ＋，log a ＋，由此解得34<a <2，即a 的取值范围是(34，2)．14．已知点(2,4)在幂函数f (x )的图象上，点(12，4)在幂函数g (x )的图象上．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)问当x 取何值时有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． [解析] (1)设f (x )＝x α， ∵点(2,4)在f (x )的图象上， ∴4＝2α，∴α＝2，即f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，∵点(12，4)在g (x )的图象上，∴4＝(12)β，∴β＝－2，即g (x )＝x －2.(2)∵f (x )－g (x )＝x 2－x －2＝x 2－1x2＝x2－x2＋x2(*)∴当－1<x<1且x≠0时，(*)式小于零，即f(x)<g(x)；当x＝±1时，(*)式等于零，即f(x)＝g(x)；当x>1或x<－1时，(*)式大于零，即f(x)>g(x)．因此，①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；③当－1<x<1时且x≠0时，f(x)<g(x)．15．(2012·岳阳模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．[分析] 由题意可知，方程4x＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．[解析]∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ>0时，即m>2或m<－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.16．甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量q(t)满足函数关系：x＝2000q.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格)．(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量q(t)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)在乙方年产量为q(t)时，甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002q2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？[解析](1)因为赔付价格为s元/t，所以乙方的实际年利润为：w＝2000q－sq(q≥0)因为w ＝2000q －sq ＝－s (q －1000s )2＋10002s，所以当q ＝⎝⎛⎭⎪⎫1000s 2时，w 取得最大值．所以乙方取得最大利润的年产量q ＝⎝⎛⎭⎪⎫1000s 2t(2)设甲方净收入为v 元，则v ＝sq －0.002q 2， 将q ＝⎝⎛⎭⎪⎫1000s 2代入上式，得到甲方纯收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式：v ＝10002s －2×10003s4， 又v ′＝－10002s 2＋8×10003s 5＝10002－s3s 5，令v ′＝0得s ＝20.当s <20时，v ′>0；当s >20时，v ′<0. 所以s ＝20时，v 取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格s ＝20(元/t)时，获最大纯收入．1.如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为( )A ．15B ．16C ．17D ．18 [答案] B[解析] 由题意知：应从A 中调出10件，从B 中调出5件，C 调入4件，D 调入11件，以就近原则，先从A 调10件给D ，B 调4件给C ，则已经调14次，B 需调出1件给D ，应通过A 或C ，都需2次调动，∴共需14＋2＝16次．2．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()A ．f (x )＝tan xB ．f (x )＝12x －1＋12C ．f (x )＝x 23D ．f (x )＝lgsin x[答案] C[解析] 根据程序框图知，输出的函数f (x )为偶函数，且此函数存在零点．f (x )＝tan x 为奇函数；f (x )＝12x －1＋12不存在零点(若12x －1＋12＝0，则12x －1＝－12，∴2x －1＝－2，∴2x＝－1与2x>0矛盾)；f (x )＝lgsin x 不具有奇偶性(∵x ＝π2时，f (π2)＝0，x ＝－π2时，f (x )无意义)；f (x )＝x 23是偶函数，且f (0)＝0，故选C.3．(2012·湖南文)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8 [答案] B[解析] 本题考查函数奇偶性，利用导数研究函数单调性，图象交点个数等．由x ∈(0，π)，x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0知，当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．当x ∈(π2，π)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x ∈(－π，0)时，f (x )∈(0,1)，且f (x )是最小正周期为2π的偶函数，则画出函数y ＝f (x )示意图如下：而y ＝f (x )－sin x 的零点个数，即f (x )＝sin x 的根，即y ＝sin x 与y ＝f (x )图象交点个数．由图象知有4个交点．4．(2012·昆明一中检测)已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] 解法1：不妨设a <b ，∵f (x )＝|lg(x －1)|，f (a )＝f (b )，∴1<a ≤2，b >2，∴f (a )＝－lg(a －1)，f (b )＝lg(b －1)，∴－lg(a －1)＝lg(b －1)，∴(a －1)(b －1)＝1， ∴a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2>2a －b －＋2＝4.解法2：结合f (x )的图象得－lg(b －1)＝lg(a －1)，得lg(a －1)＋lg(b －1)＝0，所以(a －1)(b －1)＝1，化简得，a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2＝4，当a ＝b 时取“＝”，而由已知a ≠b ，故选B.5．(2012·北京市东城区综合练习)函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且都不是常数函数，对于定义域内的任何x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)g(－x)＝1，且当x≠0时，g(x)≠1，则F(x)＝2f xg x－1＋f(x)为( )A．奇函数非偶函数B．偶函数非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数[答案] B[解析]∵g(x)－1≠0⇒g(x)≠1⇒x≠0，∴y＝F(x)的定义域关于坐标原点对称．F(x)＝f(x)[2g x－1＋1]＝f(x)·g x＋1g x－1，F(－x)＝f(－x)·g－x＋1g－x－1＝－f(x)·1g x＋11g x－1＝－f(x)·1＋g x1－g x＝f(x)·g x＋1g x－1＝F(x)，∴y＝F(x)是偶函数．又由于y＝f(x)和y＝g(x)都不是常数函数，∴f(x)不恒为0，g(x)不恒为－1，即F(x)不恒为0，所以F(x)不是奇函数，故选B.6．定义域为D的函数f(x)同时满足条件：①常数a、b满足a<b，区间[a，b]⊆D，②使f(x)在[a，b]上的值域为[ka，kb](k∈N*)，那么我们把f(x)叫做[a，b]上的“k级矩形”函数．函数f(x)＝x3是[a，b]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a，b)共有( ) A．1对B．2对C．3对D．4对[答案] C[分析] 由“k级矩形”函数的定义可知，f(x)＝x3的定义区间为[a，b]时，值域为[a，b ]，可考虑应用f (x )的单调性解决．[解析] ∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上单调递增， ∴f (x )的值域为[a 3，b 3]．又∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上为“1级矩形”函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a ，b 3＝b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.故满足条件的常数对共有3对．[点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力，解决这类问题的关键是先仔细审题，弄清“定义”的含义，把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识．然后加以解决．7．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a )经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (图中阴影部分)，若函数y ＝f (t )的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )[答案] C[解析] A 、B 、D 的面积都是随着t 的增大而增长的速度越来越快，到t ＝a2时，增长的速度又减慢，而C 图则从t ＝a2开始匀速增大与f (t )不符．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0.的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] C[解析] 令x 2＋2x －3＝0得，x ＝－3或1 ∵x ≤0，∴x ＝－3，令－2＋ln x ＝0得，ln x ＝2 ∴x ＝e 2>0，故函数f (x )有两个零点．9．已知y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则方程f (x )＝0.①有三个实根②当x <－1时，恰有一实根 ③当－1<x <0时，恰有一实根 ④当0<x <1时，恰有一实根 ⑤当x >1时，恰有一实根 正确的有________． [答案] ①②[解析] ∵f (－2)＝－5.99<0，f (－1)＝0.01>0， 即f (－2)·f (－1)<0，∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象知，方程在(－∞，－1)上恰有一个实根．所以②正确．又∵f (0)＝0.01>0，结合图象知f (x )＝0在(－1,0)上没有实数根，所以③不正确． 又∵f (0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，f (1)>0.所以f (x )＝0在(0.5,1)上必有一实根，在(0，0.5)上也有一个实根．∴f (x )＝0在(0,1)上有两个实根．所以④不正确．由f (1)>0结合图象知，f (x )＝0在(1，＋∞)上没有实根，∴⑤不正确，由此可知①正确．10．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能最快完成全部任务？[分析] 弄清题意，建立完成全部任务的时间与制课桌或椅子的人数的函数关系，转化为求函数的最值问题．[解析] 设x 名工人制课桌，(30－x )名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为P (x )＝1007x ，制作200把椅子所需时间为Q (x )＝200－x ＝2030－x， 完成全部任务所需的时间为P (x )与Q (x )的最大值F (x )．为求得F (x )的最小值，需满足P (x )＝Q (x )，即1007x ＝2030－x，解得x ＝12.5， 考虑到x 表示人数，所以x ∈N *.∵P (12)>P (13)，Q (12)<Q (13)，故考查P (12)与Q (13)．P (12)＝10084≈1.19，Q (13)＝2017≈1.18. 即F (12)>F (13)．所以用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．。
2018届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第八节函数与方程学案文
第八节函数与方程1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．知识点一函数的零点1．定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y＝f(x)有______．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．答案1．f(x)＝0 2.x轴零点3．f(a)·f(b)<0 (a，b) f(c)＝01．(必修①P92习题3.1A组第2题改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：A．(1,2) B．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)解析：由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)<0，所以函数的零点在(2,3)内，故选B.答案：B2．(必修①P88例1改编)函数f (x )＝x 12 －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：函数f (x )＝x 12 －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数是方程x 12 －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0的解的个数，即方程x 12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的解的个数，也就是函数y ＝x 12 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.答案：B3．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上有零点．∴f (0)f (1)<0.即a (a ＋2)<0，解得－2<a <0.答案：(－2,0) 知识点二 二分法 1．二分法的定义对于在区间[a ，b ]上连续不断且____________的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤第一步，确定区间[a ，b ]，验证__________，给定精确度ε； 第二步，求区间(a ，b )的中点x 1； 第三步，计算f (x 1)：①若____________，则x1就是函数的零点；②若____________，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若____________，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．温馨提示：用二分法求一个方程的近似解时，选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|a－b|<ε的同时，再保证区间(a，b)的两个端点a，b在精确度ε下的近似值相同．这样所选的区间不同，但所得结果相同．答案1．f(a)f(b)<0 一分为二零点2．f(a)f(b)<0 ①f(x1)＝0 ②f(a)f(x1)<0③f(x1)f(b)<04．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )答案：A5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2，1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.答案：1.56热点一零点所在区间的判断【例1】 (1)(2017·吉林长春监测)函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(e,3)(2)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】 (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－12＋1e －e －2<0，f (1)＝－2<0，f (2)＝12ln2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0，所以f (2)f (e)<0，所以函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是(2，e)，故选C.(2)函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.【答案】 (1)C (2)B(1)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)(2)(2017·永州模拟)若x 0是函数f (x )＝2x－x －3的零点，则[x 0](表示不超过x 0的最大整数)的值为________．解析：(1)因为f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，且f (1)＝ln2－2<0，f (2)＝ln3－1>0，所以函数的零点所在的大致区间是(1,2)，故选B.(2)函数f (x )＝2x－x －3的零点即函数y ＝2x与y ＝x ＋3的交点的横坐标．如图，因为f (－3)·f (－2)＝18×(14－1)<0，f (2)·f (3)＝(－1)×2＝－2<0.所以x 0∈(－3，－2)或x 0∈(2,3)， 所以[x 0]的值为－3或2.答案：(1)B (2)－3或2 热点二 函数零点个数的判断【例2】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)函数f (x )＝cos x －log 8x 的零点个数为________．【解析】 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)由f(x)＝0得cos x＝log8x，设y＝cos x，y＝log8x，作出函数y＝cos x，y＝log8x的图象，由图象可知，函数f(x)的零点个数为3.【答案】(1)2 (2)3(2017·佳木斯一模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝e x＋x－3，则f(x)的零点个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x>0时，令f(x)＝e x＋x－3＝0.则e x＝－x＋3.分别画出函数y＝e x和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x <0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.故选C. 答案：C热点三 函数零点的应用 考向1 二次函数的零点问题【例3】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)因为不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，所以a ＝－3，于是f (x )＝x 2－3x ＋2. 由f (x )≥1－x 2得，1－x 2≤x 2－3x ＋2，解得x ≤12或x ≥1，所以不等式f (x )≥1－x 2的解集为{x |x ≤12或x ≥1}．(2)函数g (x )＝2x 2＋ax ＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g ，g，1<－a4<2，a 2－24>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5>0，2a ＋11>0，－8<a <－4，a <－26或a >26，解得－5<a <－2 6.所以实数a 的取值范围是(－5，－26).已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解：设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0，即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1. 故实数a 的取值范围为(－2,1)．考向2 利用函数的零点求参数的取值范围 【例4】 (2016·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a －x ＋3a ，x <0，log a x ＋＋1，x ≥0，(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 【解析】 要使函数f (x )在R 上单调递减，只需⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2≥0，0<a <1，3a ≥1，解之得13≤a ≤34，因为方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，所以直线y ＝2－x 与函数y ＝|f (x )|的图象有两个交点．如图所示．易知y ＝|f (x )|的图象与x 轴的交点的横坐标为1a －1，又13≤1a－1≤2，故由图可知，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在x >0时有一个交点；当直线y ＝2－x 与y ＝x 2＋(4a －3)x ＋3a (x <0)的图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x 0＝x 20＋a －x 0＋3a ，－1＝2x 0＋a －，整理可得4a2－7a ＋3＝0，解得a ＝1(舍)或a ＝34.而当3a ≤2，即a ≤23时，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在y 轴左侧有一个交点，综合可得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.【答案】 C(2017·南昌模拟)对于实数m ，n 定义运算“⊕”：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2mn －m ≤n ，n 2－mn m >n ，设f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．解析：由2x －1≤x －1，得x ≤0，此时f (x )＝－(2x －1)2＋2(2x －1)·(x －1)－1＝－2x ，由2x －1>x －1，得x >0，此时f (x )＝(x －1)2－(2x －1)(x －1)＝－x 2＋x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0，作出函数f (x )的图象如图所示，要使方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1<0,0<x 2<12<x 3<1，且x 2，x 3关于x ＝12对称，所以x 2＋x 3＝1，当－2x ＝14时，解得x ＝－18，∴－18<x 1<0，∴78<x 1＋x 2＋x 3<1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫78，11．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．2．函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.3．研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．4．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．。
高考数学一轮复习第2章第8节函数与方程及函数模型的应用课件理2
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与 x 轴的交点 零点个数
5 _(_x_1_，__0_)，__(_x_2_，__0_) _ 两个
6 _(_x_1，__0_)___ 一个
Δ<0
无交点 零个
3.指数、对数、幂函数模型性质比较
‖知识梳理‖ 1．函数的零点 (1)函数的零点的概念 对于函数 y＝f(x)，把使 1 __f(_x_)_＝__0__的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)函数的零点与方程的根的关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 2 _x_轴_______有交点⇔函数 y＝f(x)有 3 __零__点_____．
三、易错自纠
6．函数 f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致范围是( )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．1e，1和(3，4)
D．(4，＋∞)
解析：选 B 易知 f(x)为增函数，由 f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－23>0，得 f(2)·f(3)<0，
故选 B．
7．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过 100 km，票价是 0.5 元/km，如果超过 100 km，超过 100 km 的部分按 0.4 元/km 定价，则客运票价 y(元)与行 驶千米数 x(km)之间的函数关系式是_______________________________．
●命题角度二 函数零点所在区间的判定
【例 2】 (2019 届太原模拟)函数 f(x)＝12ln x＋x－1x－2 的零点所在的区间是( )
2018版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I2.9函数模型及其应用教师用书文北师大版
2018版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.9函数模型及其应用教师用书 文 北师大版1．几类函数模型2.三种函数模型的性质1．解函数应用题的步骤2．“对勾”函数形如f (x )＝x ＋ax(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( √ )(2)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (3)不存在x 0，使ax 0<0nx <log a x 0.( × )(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x(a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a(a >0)的增长速度．( √ )(5)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × )1．(教材改编)已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( ) A ．100只 B ．200只 C ．300只 D ．400只 答案 B解析 由题意知100＝a log 3(2＋1)， ∴a ＝100.∴y ＝100log 3(x ＋1)， 当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.2．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图像表示为( )答案 B解析 根据题意得解析式为h ＝20－5t (0≤t ≤4)，其图像为B.3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q2B.p ＋q ＋－12C.pqD.p ＋q ＋－1答案 D解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝＋p＋q －1.4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．12 答案 A解析 设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x 2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大．5．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元． 答案 2 500解析 L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500.当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元.题型一用函数图像刻画变化过程例1 (1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是( )(2)(2016·日照模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案(1)C (2)B解析(1)小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图像应一直是下凹的，故选B.思维升华判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图像为( )答案 D解析 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，应随时间增大而增大，故排除A ，C ；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B ，故选D. 题型二 已知函数模型的实际问题例2 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.(2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 答案 (1)19 (2)16解析 (1)由图像可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19. (2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， ∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．(2015·四川)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 答案 24解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b＝48，∴e 22k＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·e b ＝18×192＝24.题型三 构造函数模型的实际问题 命题点1 构造二次函数模型例3 (2016·武汉模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为(30－52R )万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( ) A ．[4,8] B ．[6,10] C ．[4%,8%] D ．[6%,10%]答案 A解析 根据题意得，要使附加税不少于128万元，需(30－52R )×160×R %≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]． 命题点2 构造指数函数、对数函数模型例4 光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k ，通过x 块这样的玻璃以后强度为y .(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解 (1)光线通过1块玻璃后，强度y ＝(1－10%)k ＝0.9k ； 光线通过2块玻璃后，强度y ＝(1－10%)·0.9k ＝0.92k ； 光线通过3块玻璃后，强度y ＝(1－10%)·0.92k ＝0.93k ； ……光线通过x 块玻璃后，强度y ＝0.9xk .故y 关于x 的函数解析式为y ＝0.9x k (x ∈N ＋)． (2)由题意，得0.9xk <k4，即0.9x <14，两边取对数，得x lg 0.9<lg 14.因为lg 0.9<0，所以x >lg 14lg 0.9.又lg 14lg 0.9＝－2lg 22lg 3－1＝－0.602 00.954 2－1＝－0.602 0－0.045 8≈13.14， 且x ∈N ＋，所以x min ＝14.故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下．命题点3 构造分段函数模型例5 (2016·武汉模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)解 (1)由题意可知当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x <20，13－x ， 20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x <20，13x －x ， 20≤x ≤200，当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋－x 2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时． 思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________． 答案 (1)5 (2)300解析 (1)设经过x 小时才能开车． 由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19.∴x 最小为5. (2)由题意，总利润 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －x，60 000－100x x，当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，y max ＝25 000， 当x >400时，y ＝60 000－100x <20 000， 综上，当x ＝300时，总利润最大为25 000元．2．函数应用问题典例 (12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 思维点拨 根据题意，要利用分段函数求最大利润．列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论． 规范解答解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－6x 2＋384x －40，[2分] 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.[4分](2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104；[6分]②当x >40时，W ＝－40 000x－16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号， 所以W 取最大值为5 760.[10分] 综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6 104万美元．[12分]解函数应用题的一般步骤：第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x答案 D解析根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是( )答案 A解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A．118元 B．105元 C．106元 D．108元答案 D解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 3答案 A解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx x ，10m ＋x －m x ，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ， 解得x ＝13.5．(2016·北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N ＋)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18 答案 B解析 由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N ＋，－x ＋1.2x t ≥100t ，解得0<x ≤503.因为x ∈N ＋，所以x 的最大值为16.6．(2016·武汉检测)某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元 D ．43.025万元答案 C解析 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0,16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．7．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x >0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大． 答案 4解析 由题意得L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ＝432－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x 2(x >0)．当x －4x ＝0，即x ＝4时，L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．8．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt(其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 答案 2ln 2 1 024解析 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，y ＝e10ln 2＝210＝1 024.9．(2016·宝鸡模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案 20解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)， 当x ＝20时，S max ＝400.10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________． 答案5－12解析 依题意得x ＝c －a b －a，(c －a )2＝(b －c )(b －a )， ∵b －c ＝(b －a )－(c －a )，∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )，两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0， 解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12. 11．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位． 12．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200 (1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋30 (1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45 (31≤t ≤50，t ∈N )．(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值． 解 (1)依题意得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋200⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30t ≤30，t ∈N ，－2t ＋t ≤50，t ∈N ，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋t ≤30，t ∈N ，－90t ＋t ≤50，t ∈N(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 取得最大值为6 400. ②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为递减函数，∴当t ＝31时，S 取得最大值为6 210.综合知，当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.13.(2016·太原模拟)某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15－0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋105＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0，解得0<x <150.依题意，单套丛书利润P ＝x －(30＋1015－0.1x )＝x －100150－x －30，所以P ＝－[(150－x )＋100150－x ]＋120.因为0<x <150，所以150－x >0， 则(150－x )＋100150－x ≥2－x100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x ，即x ＝140时等号成立， 此时，P max ＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．。
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第8讲 函数与方程、函数的模型及其应用
最新考纲 1.了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；2.了解
指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增
长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数
等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
知 识 梳 理
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函
数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的
根.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b
2
－4ac Δ>0 Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点 (x1，0)， (x2，0) (x1，0) 无交点
零点个数
2 1 0
3.常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0).
(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0).
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).
(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0).
4.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化
而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.( )
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)
(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(必修1P88例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－3<0，f(0)＝1>0，
因此函数f(x)有且只有一个零点.
答案 B
3.(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A.y＝cos x B.y＝sin x
C.y＝ln x D.y＝x2＋1
解析 由函数是偶函数，排除选项B、C，又选项D中函数没有零点，排除D，y＝cos x为偶
函数且有零点.
答案 A
4.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100
只，到第8年它们发展到( )
A.100只 B.200只