数字信号处理DSP第一章1离散时间信号与系统

n
2019/9/21
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6）正弦序列
x(n) Asin(0n )
模拟正弦信号：
xa (t) Asin(t )
x(n) xa (t) tnT Asin(nT )
0 T / fs 0：数字域频率
T：采样周期
：模拟域频率
f
：采样频率
s
数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率
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5）累加
n
y(n) x(k) k
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6）差分
前向差分：
x(n) x(n 1) x(n)
后向差分：
x(n) x(n) x(n 1)
x(n) x(n 1)
x(n) x(n 1)
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y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m)
m
令 nmk

x(n k)h(k)
nk
则 mnk

h(k)x(n k) h(n) x(n)
k
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2、几种典型序列
1）单位抽样序列

(n)

1 0
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令：T0 N
Tk
N，k为互为素数的正整数
即 NT kT0
N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期
例： x(n) sin( 3 2 n)
14
0

3 14

2
2 14 N T0 0 3 k T
当14T 3T0时，x(n)为周期为14的周期序列
该序列是周期为5的周期序列
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3）当 2 为无理数时， 0
取任何整数k都不能使N为正整数， x(n)不是周期序列
如sin( 1 n)， 4
0

1， 4
2 8 0
该序列不是周期序列
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例：判断
j ( n )
x(n) e 6
是否是周期序列
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7）任意序列
x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和， 也可表示成与单位取样序列的卷积和。

x(n) x(m) (n m) x(n) (n)
m
例：x(n) 2 (n 1) (n) 1.5 (n 1) (n 2) 0.5 (n 3)
x(n)代表第n个序列值， 在数值上等于信号的采样值
x(n)只在n为整数时才有意义
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1、序列的运算
移位 翻褶 和 积 累加 差分 时间尺度变换 卷积和
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1）移位
序列x(n)，当m>0时 x(n-m)：延时/右移m位 x(n+m)：超前/左移m位
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4）实指数序列 x(n) anu(n) a 为实数
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5）复指数序列 x(n) e( j0 )n en e j0n
en cos(0n) jen sin(0n) 0 为数字域频率
例：
x(n)=0.9ne
j 3
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2）翻褶
x(-n)是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n) 加以翻褶
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6
3）和
x(n) x1(n) x2 (n)
同序列号n的序列值 逐项对应相加
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4）积
x(n) x1(n) x2 (n)
同序号n的序列值 逐项对应相乘
4
0
，
4
2 8 N 0
该序列是周期为8的周期序列
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2）当 2 为有理数时， 0
表示成 2 P ，P，Q为互为素数的整数 0 Q
取k Q，则N P，x(n)即是周期为P的周期序列
如sin( 4
5
n)，
0

4 ，
5
2 5， 0 2
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3）矩形序列
1 0 n N 1
RN (n) 0
其它n
与其他序列的关系
RN (n) u(n) u(n N )
N 1
RN (n) (n m) (n) (n 1) ... [n (N 1)] m0
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3、序列的周期性
若对所有n存在一个最小的正整数N，满足
x(n) x(n N ) n
则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。
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例： x(n) sin( n) sin[ (n 8)]
4

4
因此，x(n)是周期为8的周期序列
第一章学习目标
掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌 握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。
掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的 概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/ 稳定性判断的充要条件。
理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单 位抽样响应。
了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯 特抽样定理，了解抽样的恢复过程。
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讨论一般正弦序列的周期性
x(n) Asin(0n )
x(n N ) Asin[0 (n N ) ] Asin(0n 0N )
要使x(n N ) x(n)，即x(n)为周期为N的周期序列
则要求0 N

2 k，即N
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本章作业练习
P42:
2(2)(3)(4) 3 4(1) 6(2) 7 8(3)(4)(5)(6)(7) 10 12 14(1)(2)
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第一章 离散时间信号与系统
一、离散时间信号—序列
序列：对模拟信号xa (t) 进行等间隔采样，采样间隔为T，
解：x(n

N)

j ( nN )
e6

j ( n N )
e6 6
若x(n)为周期序列，则必须满足x(n) x(n N )，
即满足 N 2 k，且N，k为整数
6
而不论k取什么整数，N 12 k都是一个无理数
x(n)不是周期序列
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讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样 得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号 的周期T0之间应是什么关系才能使所得 到的抽样序列仍然是周期序列？
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4、序列的能量
序列的能量为序列各抽样值的平方和
E


x(n) 2
n
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得到
xa (t) tnT xa (nT) n
n取整数。对于不同的n值，xa (nT ) 是一个有序的数字序列： ...xa (T ), xa (0), xa (T ), xa (2T ),... 该数字序列就是离散时间信 号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮 器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔， 形成x(n)信号，称为序列。
1）翻褶： x(n) x(m) h(n) h(m) h(m)
2）移位： h(m) h(n m)
3）相乘： x(m) h(n m) m

4）相加： x(m)h(n m)
m
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举例说明卷积过程
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设连续正弦信号：
x(t) Asin(0t )
抽样序列：
0 2 f0 T0 1/ f0 2 / 0
x(n) x(t) tnT Asin(0nT ) Asin(0n )
当 2 T0
0 T
0

0T

2
f0T

2
T T0
为整数或有理数时，x(n)为周期序列

2 0
k，N，k为整数，
且k的取值保证N是最小的正整数
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分情况讨论
1）当
2 0
为整数时
2
2）当 0 为有理数时
3）当
2 为无理数时
0
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1）当 2 为整数时， 0
取k 1，x(n)即是周期为 2 的周期序列 0
如sin( n)，
n -2, y(n)=0
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n=-1
n=0
n=1
y(-1)=8
y(0)=6+4=10
y(1)=4+3+6=13
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n=5
n=6
n=7
y(5)=-1+1=0
y(6)=0.5
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y(n)=0, n 7
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