2020年吉林省长春市中考数学试卷及答案解析

2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×1053．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A=BDAB B．cos A=ABAD C．tan A=ADBD D．sin A=ADAB6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC ．∠ACD ＝∠DCB D ．2∠B +∠ACD ＝90°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3，2），AB ⊥x 轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且AP ＝2PC ，函数y =k x（x ＞0）的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是（ ）A ．0＜k ≤2B ．23≤k ≤3C ．23≤k ≤2D ．83≤k ≤4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 元．10．（3分）分解因式：a 2﹣4＝ ．11．（3分）若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 度．13．（3分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ̂，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（4，2）．若抛物线y =−32（x ﹣h ）2+k （h 、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且CD =12AB ，则k 的值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a=√2．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率=今年空气质量为“优”的天数−去年空气质量为“优”的天数×100%）去年空气质量为“优”的天数（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为千米/时，a的值为．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A ′DE 为等腰三角形．现将图①中的点A ′沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么△PQF 还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC ＝QP 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C 与点P 重合，折痕为QG ，点G 在AB 上．要使四边形PGQF 为菱形，则AD AB = ．23．（10分）如图①，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3．点P 从点A 出发，沿折线AB ﹣BC 以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值．（2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当△PDQ 为等腰直角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与△ABC 的一条直角边平行时，直接写出t 的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.2【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×105【解答】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【解答】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形．故选：A．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：x≥3﹣2，x≥1，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A=BDAB B．cos A=ABAD C．tan A=ADBD D．sin A=ADAB【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sin A=BDAB，cos A=ADAB，tan A=BDAD，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DB＝DC，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴2∠B+∠ACD＝90°，故选项A，B，D正确，故选：C．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y=kx（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A ．0＜k ≤2B ．23≤k ≤3C ．23≤k ≤2D ．83≤k ≤4【解答】解：∵点A 的坐标为（3，2），AB ⊥x 轴于点B ， ∴OB ＝3，AB ＝2，设C （c ，0）（0≤c ≤3），过P 作PD ⊥x 轴于点D ， 则BC ＝3﹣c ，PD ∥AB ，OC ＝c ， ∴△PCD ∽△ACB ， ∴PD AB=CD CB=CP CA，∵AP ＝2PC ， ∴PD 2=CD 3−c=13，∴PD =23，CD ＝1−13c ， ∴OD ＝OC +CD ＝1+23c ， ∴P （1+23c ，23），把P （1+23c ，23）代入函数y =kx （x ＞0）中，得k =23+49c ， ∵0≤c ≤3 ∴23≤k ≤2，故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费（30m+15n）元．【解答】解：根据单价×数量＝总价得，（30m+15n）元，故答案为：（30m+15n）．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为72度．【解答】解：正五边形的一个外角=360°5=72°．故答案为：72．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作AD̂，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为π﹣2（结果保留π）．【解答】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，∴AC=√AB2+BC2=√22+22=2√2，∴∠C＝∠BAC＝45°，∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB=45⋅π⋅(2√2)2360−12×2×2＝π﹣2，故答案为π﹣2．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y=−32（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，则k的值为72．【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y=−32（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h=2c+22=c+1，∴抛物线2=−32[c﹣（c+1）]2+k，解得，k=7 2．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a=√2．【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2＝a2+7．当a=√2时，原式＝（√2）2+7＝9．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）【解答】解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种， 则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是19．17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB 为边画△ABC ． 要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点C 在格点上．【解答】解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？【解答】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x 万斤，则今年黑木耳的年销量为3x 万斤， 依题意，得：3603x−80x=20，解得：x ＝2，经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意． 答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在▱ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ． （1）求证：OE ＝OF ．（2）若BE ＝5，OF ＝2，求tan ∠OBE 的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD ，∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， ∴∠OEB ＝∠OFD ＝90°，在△OEB 和△OFD 中，{∠OEB =∠OFD ∠BOE =∠DOF OB =OD ，∴△OEB ≌△OFD （AAS ）， ∴OE ＝OF ；（2）解：由（1）得：OE＝OF，∵OF＝2，∴OE＝2，∵BE⊥AC，∴∠OEB＝90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE=OEBE=25．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表空气质量级别天数年份优良轻度污染中度污染重度污染严重污染201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是2018年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为7天，平均数为8天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为89%（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率=今年空气质量为“优”的天数−去年空气质量为“优”的天数去年空气质量为“优”的天数×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．【解答】解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年， 故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为5+92=7，因此中位数是7天，这6年的“重度污染”的天数的平均数为13+15+5+9+1+56=8天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为： 2015年，43﹣30＝13天； 2016年，51﹣43＝8天； 2017年，65﹣51＝14天； 2018年，123﹣65＝58天； 2019年，126﹣123＝3天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为123−6565×100%≈89%，故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时）之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为 40 千米/时，a 的值为 480 ．（2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）； a ＝40×6×2＝480， 故答案为：40；480；（2）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b ， 由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480）， ∴{2k +b =806k +b =480，解得{k =100b =−120， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝100x ﹣120；（3）两车相遇前：80+100（x ﹣2）＝240﹣100，解得x =135； 两车相遇后：80+100（x ﹣2）＝240+100，解得x =235， 答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD （AB ＞AD ），将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A ′，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA ′D 是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A ′DE 为等腰三角形．现将图①中的点A ′沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么△PQF 还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC ＝QP 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C 与点P 重合，折痕为QG ，点G 在AB 上．要使四边形PGQF 为菱形，则AD AB=√35．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠ADA ′＝90°，由翻折可知，∠DA ′E ＝∠A ＝90°， ∴∠A ＝∠ADA ′＝∠DA ′E ＝90°， ∴四边形AEA ′D 是矩形， ∵DA ＝DA ′，∴四边形AEA ′D 是正方形．（2）解：结论：△PQF 是等腰三角形． 理由：如图②中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠QFP ＝∠APF ，由翻折可知，∠APF ＝∠FPQ ，∴∠QFP ＝∠FPQ ，∴QF ＝QP ，∴△PFQ 是等腰三角形．（3）如图③中，∵四边形PGQF 是菱形，∴PG ＝GQ ＝FQ ＝PF ，∵QF ＝QP ，∴△PFQ ，△PGA 都是等边三角形，设QF ＝m ，∵∠FQP ＝60°，∠PQD ′＝90°，∴∠DQD ′＝30°，∵∠D ′＝90°，∴FD ′＝DF =12FQ =12m ，QD ′=√3D ′F =√32m ，由翻折可知，AD ＝QD ′=√32m ，PQ ＝CQ ＝FQ ＝m ，∴AB ＝CD ＝DF +FQ +CQ =52m ，∴AD AB =√32m 52m =√35． 故答案为√35． 23．（10分）如图①，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3．点P 从点A 出发，沿折线AB ﹣BC 以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为等腰直角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．【解答】解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t=4 5．（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC=√AB2+BC2=√42+32=5，∴sin A=35，cos A=45，如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cos A＝4t，∴EC＝5﹣4t．如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cos C=3 5，∴EC＝PC•cos C=35（7﹣5t）=215−3t．（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，如图④中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，PE＝P A•sin A＝3t，∵DE＝AC﹣AE﹣CD﹣5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，∵PE＝DE，∴3t＝5﹣6t，∴t=5 9．如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt △PCE 中，PE ＝PC •sin C =45（7﹣5t ）=285−4t ，∵DE ＝CD ﹣CE ＝2t −35（7﹣5t ）＝5t −215，∴285−4t ＝5t −215， 解得t =5945．观察图象可知满足条件的t 的值为0＜t ＜59或4945＜t ＜75．（4）如图⑥中，当点P 在线段AB 上，QM ∥AB 时，过点Q 作QG ⊥AB 于G ，延长QN 交BC 于N ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵PB ∥MN ∥DH ，PM ＝DM ，∴BN ＝NH ，在RtPQG 中，PQ ＝2PE ＝6t ，∴QG =45PQ =245t ，在Rt △DCH 中，HC =35DC =65t ，∵BC ＝BH +CH =245t +245t +65t ＝3， 解得t =518．如图⑦中，当点P 在线段BC 上，QM ∥BC 时，点点D 作DH ⊥BC 于H ，过点P 作PK ⊥QM 于K ．∵QM ∥BC ，DM ＝PM ，∴DH ＝2PK ，在Rt △PQK 中，PQ ＝2PE =85（7﹣5t ），∴PK =35PQ =2425（7﹣5t ），在Rt △DCH 中，DH =45DC =85t ，∵DH ＝2PK ，∴85t ＝2×2425（7﹣5t ）， 解得t =65，综上所述，满足条件的t 的值为518或65． 24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y ＝x 2﹣2ax ﹣1（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，∴点A的坐标为：（0，﹣1）；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得：2＝1﹣2a﹣1，解得：a＝﹣1，∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A（0，﹣1），∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，∴2a﹣（﹣1）＝2，解得：a=1 2；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，如图3所示：∴2a ﹣（﹣a 2﹣1）＝2，整理得：（a +1）2＝2，解得：a 1＝﹣1−√2，a 2＝﹣1+√2（不合题意舍去）；综上所述，a 的值为12或﹣1−√2； （4）∵a ＜0，Rt △EFG 三个顶点的坐标分别为E （﹣1，﹣1）、F （﹣1，a ﹣1）、G （0，a ﹣1），∴直角边为EF 与FG ，∵抛物线y ＝x 2﹣2ax ﹣1＝（x ﹣a ）2﹣a 2﹣1的对称轴为：x ＝a ，A （0，﹣1）， ∴AA ′＝﹣2a ，当点P 在EF 边上时，如图4所示：则x p ＝﹣1，∵EA ＝OA ＝1，∴点P 在对称轴x ＝a 的左侧，∴PP ′＝2（a +1），∵AA ′＝2PP ′，∴﹣2a ＝2×2（a +1），解得：a =−23；当点P 在FG 边上时，如图5所示：则y p ＝a ﹣1，∴x 2﹣2ax ﹣1＝a ﹣1，解得：x 1＝a +√a 2+a ，x 2＝a −√a 2+a ，∴PP ′＝a +√a 2+a −（a −√a 2+a ）＝2√a 2+a ，∵AA ′＝2PP ′，∴﹣2a ＝4√a 2+a ，解得：a 1=−43，a 2＝0（不合题意舍去）；综上所述，a 的值为−23或−43．。