高二数学选修2-2复数加减运算
人教B版高中数学选修2-2课件复数加减及几何意义.pptx
z1
a
bi,
z2
c
di
对应,则有
OuuZuur1
(a,b),
uuuur
OZ2
(c, d)
.由平面向量的坐标运算得
OZ1 OZ2 (a cuu,uburuduu)ur对应复数(a c) (b d )i
这说明两个向量
OZ1
,
OZ
的和就是与复数
2
(a c) (b d )i
对应的向量.
在复平面内对应的点关于原点对称,则 a =_____5____,
b ______2___.
问题四 1.小结 ☆你掌握并能够熟练应用复数的加减法则吗? ☆复数的加减运算的几何意义是什么呢? ☆会运用加减运算的几何意义解决相关问题. ☆了解待定系数法的运用.
显然,复数加法的几何意义是:复数的加法可以按照向量的 加法来进行.
1.复数加法运算的几何意义?
复数z1+z2
向量OZ1+OZ2
符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则
y
向量OZ
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
复数代数形式的加减运算及其几何意义
类比复数加法的几何意义,你知道复数减法的几何意义吗?
(x 2)2 ( y 3)2 1
复数代数形式的加减运算及其几何意义
解法二:设 z x yi(x, y R) ,则 | x yi 2 3i | 1
即
| (x 2) ( y 3)i | 1
所以
(x 2)2 ( y 3)2 1
于是复数 z对应点的轨迹方程为
(x 2)2 ( y 3)2 1
---------复数的加法运算法则
(完整版)高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入
第三章数系的扩充与复数的引入目录§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）§3.1.2 复数的几何意义（新授课）§3.2.1 复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）§3.2.2 复数的代数形式的乘除运算（新授课）第三章数系的扩充与复数的引入小结与复习（复习课）选修2-2 第三章复数基础练习（一）选修2-2 第三章复数基础练习（一）答案选修2-2 第三章复数基础练习（二）选修2-2 第三章复数基础练习（二）答案第三章数系的扩充与复数的引入一、课程目标：本章学习的主要内容是数系的扩充与复数的概念，复数代数形式的四则运算。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数得一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
二、学习目标：（1）、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
（2）、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）、了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
三、本章知识结构：四、课时安排：本章教学时间约4课时，具体分配如下：3.1 数系的扩充与复数的概念约2课时3.2 复数代数形式的四则运算约2课时§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）一、教学目标:知识与技能：了解数系的扩充过程，理解复数及其有关概念。
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
过程与方法：采取“阅读、质疑、探究”的过程，让学生体验数系的扩充过程。
情感、态度与价值观：让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时增强战胜困难的信心和技能。
选修2-2 3.2复数的加减运算
3.2复数的加减运算教学目标：1、掌握复数加减运算法则，并能熟练地进行加减运算；2、掌握复数加减运算的几何意义，并能应用数形结合的思想解决有关问题；重点：理解复数的加减运算法则；难点：理解复数加减运算的几何意义；教学过程：一、复习引入1、复数：形如(,)a bi a b R +∈的数即为复数01、复数中(,)a bi a b R +∈；02、数i 为虚数单位且21i =-；03、复数(,)a bi a b R +∈中a 为实部，b 为虚部；2、复数的表示：(,)Z a bi a b R =+∈3、复数集：（1）、全体复数所构成的集合；（2）、复数集通常用大写字母C 表示：{}|,C a bi a b R =+∈4、复数的分类：设(,)Z a bi a b R =+∈则（1）、当b=0则Z a =为实数；（2）、当a=0且0b ≠时Z bi =为纯虚数；（3）、当0b ≠时(,)Z a bi a b R =+∈为虚数；5、复数相等的充要条件为：12(,)(,)Z a bi a b R Z c di c d R =+∈=+∈（1）、若12Z Z =则a=c 且b=d ；（2）、若10Z a bi =+=则a=b=06、 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；7、复数的几何意义（书本104页）8、复数的摸：设(,)Z a bi a b R =+∈则复数(,)Z a bi a b R =+∈的摸为22Z a bi a b =+=+二、新课1、复数的加减运算：设12(,),(,)Z a bi a b R Z c di c d R =+∈=+∈则：（1）、12()(),(,,,)Z Z a c b d i c d a b R +=+++∈；（2）、12()(),(,,,)Z Z a c b d i c d a b R -=-+-∈；2、复数加法的运算律：（1）、123123()()Z Z Z Z Z Z ++=++；（2）、1221Z Z Z Z +=+3、复数加法的几何应用与向量的平行四边法则对应；4、应用举例：（1）、书本108页例题1计算(56)(2)(34)i i i -+---+（2）、书本109页练习1；（3）、全优53页尝试解答1、2、3、4和课堂演练1、2、3、4教学小结：01理解复数加减法的运算法则；02理解复数加减运算几何意义；作业布置：书本112页A1教学反思：。
高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课后习题 新人教A版选修2-2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时演练·促提升A组1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.答案:C2.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析:z=3-i-(i-3)=6-2i.答案:D3.若复数z1=a-i,z2=-4+b i,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为()A.-1-5iB.-1+5iC.3-4iD.3+3i解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+b i)=a+4-(1+b)i=6+i,∴a=2,b=-2,∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.答案:D4.若复平面上的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()A.-1-7iB.2+14iC.1+7iD.2-14i解析:设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.答案:A5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案:B6.计算(-1+2i)+(i+i2)-|1+2i|=.解析:原式=-1+2i+(i-1)-=-2+3i-=-(2+)+3i.答案:-(2+)+3i7.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,所以解得a=-1.答案:-18.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z1-z2=13-2i,求z1,z2.解:∵z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z1-z2=13-2i,∴(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.∴解得∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求对应的复数;(2)判断△ABC的形状;(3)求△ABC的面积.解:(1)对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.(2)∵||=,||=,||==2,∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.(3)S△ABC=×2=2.B组1.复数z=x+y i(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.4D.16解析:∵复数z=x+y i(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,∴|x+(y-4)i|=|(x+2)+y i|,化简得x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4,当且仅当x=2y=时,等号成立.答案:C2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.答案:A3.设纯虚数z满足|z-1-i|=3,则z=.解析:∵z为纯虚数,∴设z=b i(b∈R,且b≠0).由|z-1-i|=3,得|-1+(b-1)i|=3.∴1+(b-1)2=9.∴b-1=±2.∴b=1±2.答案:(1±2)i4.已知复数z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为.解析:∵z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,∴(x-2)2+y2=3.由图可知.答案:5.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.解:(1)∵点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),∴=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).∴对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是,代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,∴sin θ=±.又θ∈(0,π),∴sin θ=,∴θ=.6.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.解:设z=x+y i,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.7.设z1=1+2a i,z2=a-i,a∈R,A={z||z-z1|<},B={z||z-z2|≤2},已知A∩B=⌀,求a的取值范围.解:因为z1=1+2a i,z2=a-i,|z-z1|<,即|z-(1+2a i)|<,|z-z2|≤2,即|z-(a-i)|≤2,由复数减法及模的几何意义知,集合A是以 (1,2a)为圆心,为半径的圆的内部的点对应的复数,集合B是以(a,-1)为圆心,2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数,若A∩B=⌀,则两圆圆心距大于或等于半径和,即≥3,解得a≤-2或a≥.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
5.2 复数的四则运算 课件(北师大选修2-2)
[例 3] 1＋3i，求 z.
已知 z∈C，z 为 z 的共轭复数，若 z· －3i z ＝ z
[精解详析]
设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则 z ＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
a2＋b2－3b＝1， 则有 －3a＝3， a＝－1， 解得 b＝0， a＝－1， 或 b＝3.
1 2
观察下列三组复数 (1)z1＝2＋i；z2＝2－i； (2)z1＝3＋4i；z2＝3－4i； (3)z1＝4i；z2＝－4i.
问题1：每组复数中的z1与z2有什么关系？
提示：实部相等，虚部互为相反数． 问题2：试计算每组中的z1z2，你发现了什么规律吗？ 提示：z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和．
共轭复数 当两个复数的 实部 相等， 虚部 互为相反数时，这样的 两个复数叫做 共轭复数 ．复数z的共轭复数用 z 来表示，也
a－bi .于是z z ＝a2＋b2＝ |z|2 . 就是当z＝a＋bi时， z ＝
我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的 除法也是复数乘法的逆运算，给出两个复数 a＋bi，c＋di(c a＋bi ＋di≠0)．若(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi，则 x＋yi＝ 叫做复 c＋di 数 a＋bi 除以 c＋di 的商．
[一点通]
（1）复数的乘法可以把i看作字母，按多项式的乘
法法则进行，注意把i2化成－1，进行最后结果的化简； 复数的除法先写成分式的形式，再把分子与分母都乘 以分母的共轭复数，并进行化简． （2）im(m∈N＋)具有周期性，且最小正周期为4，
则：
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈ N＋)； ②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋)．
数学：《3.2复数的四则运算(1)》(选修2-2)
3.2复数的四则运算复习：我们引入这样一个数/ J把/叫做虚数单位"并且规定：*=-1;形如尹bid, bWR）的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示•复数的代数形式^通常用字母运表示，即i (a w R.b e R)。
复数集C 和实数集R 之间有什么关系?「实数b = o纯虚数o = 0, b 工0 非纯虚数QH O, b^O实部 虚部 其中「称为虚数单位。
复数a+bi< 虚数b 工0 Z = Q 讨如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.若a，b,c，d e R,a+bi = c + di 特别地，a=b=Oa+b i二Do问题：a=0是z二a+b i （a、bwR）为纯虚数白勺必要不充分条件注意:一般地，两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小？答案：当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小.1 •复数加减法的运算法则：(1)运算法则:设复数G二a+b i, z2=c+d i,那么:z1+z2=(a+c) + (b+d) i ;z〔-Z2二(a-c) + (b-d) i. 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)•⑵复数的加法满足交换律、结合律,即对任何Z” Z2, Z3ec,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2) +Z3二Z[+(Z2+Z3)-二二寸 — I —— 9—) + (T Z —「)H(Z寸+E)— — +—2 •复数的乘法(1)复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成T, 并且把实部合并•即：(a+b i) (c+d i)二ac+bc i +ad i +bd i2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对田可Z2, Z3有Z1Z2=Z2Z1：Z1Z2)Z3=Z1 Z2Z3)Zl(z2+z3)=z1z2+z1z3-例2：计算（1）（。
北师版数学高二选修2-2课件 5.2.1 复数的加法与减法
思考2
复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答案 满足.
答案
梳理 (1)复数的加、减法法则
设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R). ①数学表达式：z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； ②语言叙述：两个复数的和(或差)仍然是一个复数，它的实部是原来两个 复数的实部的和(或差) ，它的虚部是原来两个复数的 虚部 的和(或差). (2)复数加法的运算律 ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
60°，则
z1＋z2
等于
√A.1
B.－1
C.12－
3 2i
D.12＋
3 2i
解析 z1＋z2＝1.
12345
解析 答案
2.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四√象限
解析 ∵z1－z2＝5－7i， ∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限.
∴ x2＋y2＋x＝1， y＝3，
解得xy＝ ＝－ 3，4，
∴z＝－4＋3i.
解析 答案
类型二 复数加、减运算的应用 例2 (1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0， 3＋2i，－2＋4i.求：①A→O表示的复数；②C→A表示的复数；③O→B表示的复数.
解答
(2)已知 z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 3，求|z1－z2|.
∴∠AOC＝30°.
同理，得∠BOC＝30°，
∴△OAB 为等边三角形，则|B→A|＝1，B→A对应的复数为 z1－z2，
∴|z1－z2|＝1.
2018版高中数学人教A版选修2-2课件：3-2-1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
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1.掌握复数代数形式的加、减运算法则. 2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
重难聚焦
1.如何理解复数代数形式的加、减运算法则的合理性? 剖析:复数的代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆 运算,其合理性可以从以下几点理解: (1)当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致. (2)实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立. (3)两个复数的和(差)是唯一确定的复数. (4)可以推广到多个复数进行加、减运算.
典例透析 题型一 题型二 题型三
反思1.根据复数加、减运算的几何意义可以把复数的加、减运算 与向量的运算联系起来. 2.利用向量进行复数的加、减运算时,同样满足平行四边形法则 和三角形法则. 3.复数加、减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问 题提供了可能.
典例透析 题型一 题型二 题型三
7 2 10
= 7.
典例透析 题型一 题型二 题型三
综合应用 【例 3】 设 z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 2, 求|������1 − ������2|. 分析:方法一:设出z1,z2的代数形式,利用模的定义求解. 方法二:利用复数加、减运算的几何意义求解. 解:方法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R). 由题意知a2+b2=1,c2+d2=1, (a+c)2+(b+d)2=2,∴2ac+2bd=0. ∴|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2 =a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2, ∴|z1-z2|= 2. 方法二:设复数 z1,z2,z1+z2 分别对应向量������������1 , ������������2 , ������������. ∵|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 2, ∴平行四边形 OZ1ZZ2 为正方形. ∴|z1-z2|=|������2 ������1 | = |������������| = 2.
最新的高二数学苏教版选修2-2讲义：第3章 3.2 第一课时 复数的加减与乘法运算 Word版含解析
_3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac －bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)．2．复数乘法的运算律对于任意z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3共轭复数问题：复数3＋4i与3－4i，a＋b i与a－b i(a，b∈R)有什么特点？提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1]计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨]解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析](1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通]复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2]计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨]应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析](1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.[一点通](1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2 ＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .[思路点拨] 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i (a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1. ∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数，∴由 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、填空题1．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为________．解析：(－i＋3)－(－2＋5i)＝－i＋3＋2－5i＝－6i＋5.答案：5－6i2．若复数z＝1－2i，(i为虚数单位)则z·z＋z的实部是________．解析：∵z＝1－2i，∴z＝1＋2i，∴z·z＝(1－2i)(1＋2i)＝5，∴z·z＋z＝5＋1－2i＝6－2i.答案：63．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，则z＝________.解析：∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ， ∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2 ＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝⎛⎭⎫2－12i ＋⎝⎛⎭⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫2＋12－⎝⎛⎭⎫12＋2i ＝52－52i ； (3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ； (3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝⎛⎭⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝⎛⎭⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z . 解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i又z ＋z ＝2.∴z －z ＋(z ＋z )＝－2i ＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.。
人教版数学高二-人教B版选修2-2学案复数的加法与减法
3.2复数的运算3．2.1复数的加法与减法1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算．(重点) 2．理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题．(难点、易混点)教材整理1复数代数形式的加减法阅读教材P91例1以上部分．1．运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2．加法运算律设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．()【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2复数加减法的几何意义阅读教材P 92练习A 以上部分，完成下列问题． 若复数z1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→. 复数加法 的几何意义复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数复数减法的 几何意义复数z 1－z 2是从向量OZ 2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2Z 1→所对应的复数已知向量O Z →1对应的复数为2－3i ，向量O Z →2对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为__________．【解析】 Z 1Z 2→＝O Z →2－O Z →1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i. 【答案】 1－i预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：复数的加减法运算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝________.(2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z .(3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，求z .【自主解答】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i ＝1＋i. 【答案】 1＋i(2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2，解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. (3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，又|z |＋z ＝1＋3i ，所以x 2＋y 2＋x ＋y i ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，所以z ＝－4＋3i.1．复数加减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i 看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般要用待定系数法，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )【导学号：05410068】A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－i【解析】 (1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A. 【答案】 A复数加减法的几何意义(1)在复平面内，平行四边形ABCD (顶点顺序为ABCD )的三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，则点D 对应的复数为__________．(2)已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|.【精彩点拨】 (1)先写出点A ，B ，C 的坐标，利用向量AB →＝D C →列方程求解．(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．【自主解答】 (1)设D (x ，y )，类比向量的运算知A B →＝D C →，所以有复数－i －(1＋3i)＝2＋i －(x ＋y i)，得x ＝3，y ＝5，所以D 对应的复数为3＋5i.【答案】 3＋5i(2)设复数z 1，z 2，z 1＋z 2在复平面上对应的点分别为Z 1，Z 2，Z ，由|z 1|＝|z 2|＝1知，以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ 1Z 中，由余弦定理，得cos ∠OZ 1Z ＝|z 1|2＋|z 2|2－|z 1＋z 2|22|z 1||z 2|＝－12，所以∠OZ 1Z ＝120°，所以∠Z 1OZ 2＝60°， 因此△OZ 1Z 2是正三角形， 所以|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1|＝1.利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论1．技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：(1)为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．2．若把上例(2)中的条件“|z1＋z2|＝3”改为“|z1－z2|＝1”，则|z1＋z2|等于多少？【解】设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由|z1|＝|z2|＝1，|z1－z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，得|z1＋z2|2＝|z1|2＋|z2|2－2|z1|·|z2|cos∠OZ1Z，因为∠Z1OZ2＝60°，所以∠OZ1Z＝120°，所以|z1＋z2|＝ 3.复数加减法的几何意义的应用探究1 在实数范围内a －b ＞0⇔a ＞b 恒成立，在复数范围内是否有z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2恒成立呢？【提示】 若z 1，z 2∈R ，则z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2成立．否则z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2.如果z 1＝1＋i ，z 2＝i ，虽然z 1－z 2＝1＞0，但不能说1＋i 大于i. 探究2 复数|z 1－z 2|的几何意义是什么？【提示】 复数|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应两点Z 1与Z 2间的距离．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D按逆时针顺序作▱ABCD ，求|BD →|.【精彩点拨】 首先由A ，C 两点坐标求解出AC 的中点坐标，然后再由点B 的坐标求解出点D 的坐标．【自主解答】 如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ，所以BD →＝OD →－OB →＝3＋3i －1＝2＋3i ，所以|BD →|＝13.1．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．2．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．3．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．【解】由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O 的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4.1．设z1＝2＋i，z2＝1－5i，则|z1＋z2|为()A.5＋26 B ．5 C ．25D.37【解析】 |z 1＋z 2|＝|(2＋i)＋(1－5i)| ＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5.【答案】 B2．设复数z ＝a ＋b i 对应的点在虚轴右侧，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．b >0，a ∈RD ．a >0，b ∈R【解析】 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．【答案】 D3．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________. 【导学号：05410069】 【解析】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴x 2＋y 2＝3①，且z ＋3i ＝x ＋y i ＋3i ＝x＋(y ＋3)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋3≠0，由①可得y ＝3. ∴z ＝3i. 【答案】 3i4．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________ .【解析】 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到点(－2,0)距离相等的点即虚轴，|z －1|表示z 对应的点到点(1,0)的距离，∴|z －1|最小值＝1. 【答案】 15．集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N .(1)指出集合P 在复平面内所表示的图形； (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值．【解】 (1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此，集合P 在复平面内所表示的图形是圆面截直线l 所得的一条线段AB ，如图．(2)由(1)知，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 直线l 的方程为y ＝x －1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，－22. 所以|OA |＝2＋2，|OB |＝2－ 2.因为点O 到直线l 的距离为22，且过点O 向l 作垂线，垂足在线段BE 上，22<2－2，所以集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为22.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1【解析】 z 1－z 2＝y ＋x i －(y i －x )＝x ＋y ＋(x －y )i ＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴x ＝y ＝1. ∴xy ＝1. 【答案】 A2．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z 1－z 2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i ，在复平面内z 1－z 2对应点的坐标为(5，－7)，位于第四象限． 【答案】 D3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →， OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD→对应的复数是( ) A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i【解析】 在平行四边形ABCD 中，CD→＝BA →＝OA →－OB →＝3＋i －(－1＋3i)＝4－2i ，故选D.【答案】 D4．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 复数z 1对应向量OA →，复数z 2对应向量OB →.则|z 1＋z 2|＝|OA →＋OB →|，|z 1－z 2|＝|O A →－OB →|，依题意有|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|.∴以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形是矩形．∴△AOB 是直角三角形．【答案】 B5．已知复数z ＋3i －3＝3－3i ，则z ＝( )A ．0B ．6iC ．6D ．6－6i【解析】 ∵z ＋3i －3＝3－3i ，∴z ＝(3－3i)－(3i －3)＝6－6i.【答案】 D二、填空题6．实部为5，模与复数4－3i 的模相等的复数的个数为________个. 【导学号：05410070】【解析】 依题意设z ＝5＋b i ，则|z |＝25＋b 2，而|4－3i|＝42＋(－3)2＝5， 所以25＋b 2＝5，即b ＝0.【答案】 17．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i(x ，y ∈R )，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝__________，z 2＝__________.【解析】 z ＝z 1－z 2＝[](3x ＋y )＋(y －4x )i －[](4y －2x )－(5x ＋3y )i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i.【答案】 5－9i －8－7i8．已知z 1＝2－2i ，且|z |＝1，则|z －z 1|的最大值为________．【解析】 如图所示，因为|z |＝1，所以z 的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z 1对应坐标系中的点为(2，－2)，所以|z －z 1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z －z 1|的最大值为22＋1.【答案】 22＋1三、解答题9．如图3-2-1所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：图3-2-1(1)向量AO→对应的复数； (2)向量CA→对应的复数； (3)向量OB→对应的复数． 【解】 (1)因为AO→＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i. (2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA→对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB→对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 10．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2.【解】 ∵z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，∴z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.1．(2016·南昌高二检测)如图3-2-2，设向量OP→， PQ →，OQ →所对应的复数为z 1，z 2，z 3，那么( )图3-2-2A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0→＋QP→＝0，∴PQ→＋OP→－OQ→＝0，【解析】由题图可知，PQ∴z1＋z2－z3＝0.【答案】 D2．复数z＝x＋y i(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为()【导学号：05410071】A．2B．4C．42D．16【解析】由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋y i|，∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，∴2x＋4y＝2x＋22y≥22x＋2y＝223＝42，时，2x＋4y取得最小值4 2.当且仅当x＝2y＝32【答案】 C3．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝__________.【解析】∵z1＋z2＝－2＋4i＋5－i＝3＋3i，∴f (z 1＋z 2)＝(3＋3i)－3i ＋|3＋3i|＝3＋32＋32＝3＋3 2.【答案】 3＋3 24．已知复平面上的四个点A ，B ，C ，D 构成平行四边形，顶点A ，B ，C 对应复数－5－2i ，－4＋5i,2，求点D 对应的复数．【解】 因为BA →＝CD →，所以z A －z B ＝z D －z C， 所以z D ＝z A －z B ＋z C ＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i.即点D 对应的复数为1－7i ，如图①.用相同的方法可求得另两种情况下点D 对应的复数z .图②中点D 对应的复数为3＋7i ，图③中点D 对应的复数为－11＋3i.故点D 对应的复数为1－7i 或3＋7i 或－11＋3i.。
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3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义导学案
【学习目标】 1．理解复数加法的交换律、结合律，知道减法是加法的逆运算；能熟练运用法则进行复数代数形式的加减运算. 2．理解复数加减法的几何意义，能熟练使用几何法作出复数的向量及进行加减运算. 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第56页～第 58页） 1.复数的加法运算及其几何意义 ⑴我们规定复数的加法运算法则为：设z1=a+bi，z2=c+di是两个任意复dicbia= ⑵两个复数的和仍然是 . ⑶复数的加法满足交换律、结合律，即： . ⑷设21OZOZ、分别与复数a+bi和c+di对应，则21OZOZ对应复数就是 ⑸复数加法的几何意义是 . 2.复数减法及几何意义 ⑴类比实数减法的意义，我们规定复数的减法是 . ⑵复数减法的运算法则为 . ⑶两个复数的差是 . ⑷复数减法的几何意义是 . 典型例题 例1. 计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i); 例2. 已知复数12zi，233zi， (1)求21zz； (2)在复平面内作出复数21zz所对应的向量. 例3.已知复数z满足33zii，求复数z的值。 例4.若11z，试说明复数z对应点的轨迹。
限时训练
1. 复数z对应的点在第二象限，则zi对应点在 （ ）
A．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.复数1122zi，iz2212，则12zz等于（ ）
A．0 B.i2523 C.i2525 D.i2325
3.设,,221iazbiz当021zz时，复数bia为（ ）.
（A）1+i （B）2+i （C）3 （D）-2-i
4.复数,3,421biziaz若它们的和为实数、差为纯虚数，则实数ba、的值为（ ）.
（A）a=-3 ,b=-4 （B）a=-3,b=4 （C）a=3,b=-4 （D）a=3,b=4
5. 已知方程2(4)40()xixaiaR有实数根b，则abi的值是
6.在复平面内，向量AB对应的复数是2i，向量CB对应的复数是13i，则向量CA对应的复
数是（ ） A.12i B.12i C.34i D.34i
7.已知,AB分别是复数12,zz在复平面内对应的点，O是原点，若1212zzzz，则AOB一
定是（ ）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
8.复数z的模为1，求1zi的最大值和最小值。