高中数学待定系数法
谈谈待定系数法的应用
知识导航待定系数法是一种求未知数的常用方法，在解答高中数学问题中应用广泛.在解题时，通过引入两个或者多个待定系数，建立方程或者方程组，求出待定的系数，便可快速求得问题的答案.下面，我们主要探讨一下如何运用待定系数法求函数的解析式、数列的通项公式、曲线的方程.一、运用待定系数法求函数的解析式待定系数法是求函数解析式的常用方法.在运用待定系数法求函数的解析式时，首先要明确问题中所求函数的类型，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，然后引入待定系数，设出函数的解析式，将函数解析式代入题设中进行求解，建立方程或者方程组，通过解方程或者方程组求出系数，进而得到函数的解析式.例1.已知f(x)是二次函数，满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1.求f(x)的解析式.分析：由题意可知该函数为二次函数，可设f(x)=ax2+bx+c，然后根据已知条件建立关于a、b、c的方程组，通过解方程组得到a、b、c的值，进而求出f(x)的解析式.解:设f(x)=ax2+bx+c，由f(x+1)-f(x)=2x可得a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2+bx+c=2x，化简得2ax+a+b=2x，而f(0)=1，则c=1，则2a=2ax，a+b=0，解得a=1，b=-1，所以f(x)=x2-x+1.二、运用待定系数求数列的通项公式有些非常规数列的递推式较为复杂，我们需用待定系数法，巧妙地将非常规的数列转化为等差数列或等比数列，从而快速求出数列的通项公式.在解题时，需根据已知递推式的特点引入待定系数，如将an+1=ka n+b（k,b为常数，且k、b≠0）型递推式设为an+1+A=k(a n+A)的形式，将a n+2=ka n+1+ba n（k,b为常数，且k,b≠0）型递推式设为a n+2+Aa n+1=B(a n+1+Aan)的形式等，再根据两个多项式的同类项系数相等的原理求出待定系数，从而构造出等差、等比数列，最后运用等差、等比数列的通项公式便可求得原数列的通项公式.例2.若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=3a n+2×2n，求数列{a n}的通项公式.分析：我们可引入待定系数λ，将递推公式转化为an+1+λc n+1=k(a n+λc n)的形式，即设a n+1+λ2n+1=3(a n+λ2n)，求出λ值，即可构造出等比数列{}an+λ2n，便能求得原数列的通项公式.解：设a n+1+λ2n+1=3()an+λ2n，即an+1=3a n+3λ2n-λ2n+1=3a n+λ2n，则λ=2，所以{}an+2n+1是首项为a1+22=5，公比为3的等比数列.则an+2n+1=5×3n-1，即a n=5×3n-1-2n+1，当n=1时,a1=5×30-22=1，满足上述通项公式，所以an=5×3n-1-2n+1.三、运用待定系数法求曲线的方程求曲线的方程主要是指求圆、直线、抛物线、椭圆、双曲线的方程.在求曲线的方程时，可以灵活运用待定系数法来求解.首先根据曲线的类型设出相应曲线的方程，然后根据题意列出关系式，求出待定系数，便可求得曲线的方程.例3.已知经过p(-2，1)点的圆与直线x-y=1相切，并且圆心在直线y=-2x上，求圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，由圆经过p(-2，1)点可得（-2-a）2+（1-b）2=r2，①而直线x-y=1与圆相切，所以r=，②由圆心在直线y=-2x上可得b=-2a，③由①②③可得a=9，b=-18，r=142或a=1，b=-2，c=22.故圆的方程为(x-9)2+(y+18)2=392或(x-1)2+(y+2)2=8.总之，待定系数法是一种重要的解题方法.运用待定系数法解题的思路是构建模型——设出系数——建立方程或者关系式——求出系数.同学们在解题的过程中只要明确所求目标和已知条件之间的联系，适当地引入待定系数，建立方程或者关系式，便能使问题顺利获解.（作者单位：南京师范大学附属扬子中学）37。
高一数学人教B版必修1课件2.2.3《待定系数法》
5．抛物线y＝ax2－4x＋c的顶点是(－1,2)，则a＝____，c
＝________. [答案] －2 0
a＝－2 ，解得 c＝0
2 a＝－1 [解析] 由题意，得 4ac－16＝2 4a
.
第二章
2.2 2.2.3
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用待定系数法求一次函数解析式 已 知 f(x) 是 一 次 函 数 ， 且 f[f(x)] ＝ 4x ＋ 3 ， 求 f ( x) ． [分析] 设一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)，由f[f(x)]＝4x＋3得
a＝3 a＝－3 ，解得 1 或 1 . b＝4 b＝－2
1 1 ∴f(x)＝3x＋4或 f(x)＝－3x－2.
第二章 2.2 2.2.3
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课堂典例讲练
第二章
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[ 解析 ]
0，①
将 (1,0) ， (2,5) 代入 y ＝ x2 ＋ bx ＋ c 可得 1 ＋ b ＋ c ＝
4＋2b＋c＝5.② 由①②解得b＝2，c＝－3.
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3．已知f(x)＝ax＋b(a≠0)且af(x)＋b＝9x＋8，则( A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝－3x－4 C．f(x)＝3x－4
________. [答案] 6
[解析] 由 f(1)＝f(2)＝0，
1＋p＋q＝0 得 4＋2p＋q＝0 p＝－3 ，∴ q＝2
高中数学 2-2-3待定系数法课件 新人教版必修1
解：(1)设所求函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其 中a、b、c待定，根据已知条件得：
9c＝a＋－33b，＋c＝0， 4a－2b＋c＝5，
解得ba＝＝－1 2 c＝－3
因此所求函数解析式为y＝x2－2x－3.
(2)设所求函数为 y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，其中 a 待定． 根据已知条件得：a(2－4)2＋2＝0，解得 a＝－12. 因此所求函数为 y＝－12(x－4)2＋2＝－12x2＋4x－6. (3)y＝x2－4x＋h＝(x－2)2＋h－4，∴顶点 A(2，h－4)． 由已知得：－4×2－1＝h－4，即 h＝－5，因此所求函 数为 y＝x2－4x－5.
B(x2,0)，且x1，x2的倒数和为
2 3
，求这个二次函数的解析
式．
(1)证明：和这个二次函数对应的一元二次方 程是x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0.
∵Δ＝4(m－1)2－4(m2－2m－3)
＝4m2－8m＋4－4m2＋8m＋12＝16>0，
∴方程x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0必有两 个不相等的实数根．
∴对称轴为x＝－1.
∴可设计：已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点
(1,0)，对称轴为x＝－1，求它的解析式等等．
评析：(1)本题属于开放性问题，答案不唯一，能够较 好地考查学生的思维能力．
(2)用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的函数解析式； ②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式， 得到关于待定系数的方程组； ③解方程(组)，求出待定系数； ④将求得的待定系数的值代回所设的解析式．
由已知顶点为(1，－3)，可得h＝1，k＝－3.
即所求的二次函数为y＝a(x－1)2－3.
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利用待定系数法求函数解析式
•
求下列函数的解析式．
• (1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x －1)＝2x＋17，求f(x)．
• (2)已知二次函数y＝f(x)的图象过A(0，－5)、 B(5,0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个 二次函数的解析式．
【思路探究】 (1) 设fx＝ax＋b ―→ 列方程 ―→ 求a，b (2) 设二次函数顶点式或一般式 ―→ 列方程组 ―→ 求系数 【自主解答】 (1)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有 3f(x＋1) －2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b＝2x＋ 17，则ab＝ ＋25a＝17 ，∴a＝2，b＝7， 即 f(x)＝2x＋7.
书少成天才功就山壮是百=有艰分仰不之苦一路望的努的灵星勤感劳加空力上为动百，分，径+之脚正九老，十踏确九学的实大的汗水海地方！徒！无法伤+崖少悲苦谈作空话舟
课 标 1.了解待定系数法的概念； 解 2.会用待定系数法求函数的解析式． 读
待定系数法的定义
• 【问题导思】 • 已知一个正比例函数的图象过点（-3,4），如何求这
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2．已知一个反比例函数的图象过(2,8)点，则这个函数的
解析式为( )
A．y＝4x
B．y＝－4x
C．y＝1x6
D．y＝－1x6
【解析】 设 y＝kx，∵过(2,8)点，∴8＝2k，∴k＝16，
即 y＝1x6.故选 C.
【答案】 C
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• 3．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x且 f(0)＝1，则f(x)的解析式为________．
最新人教版高中数学必修1第三章《待定系数法》教案
示范教案整体设计教学分析在初中阶段，学生已经对待定系数法有了认知基础．由于待定系数法是解决数学问题的重要方法，所以本节进一步学习．教材利用实例引入了待定系数法，并且通过两个例题介绍了其应用．值得注意的是本节重点应放在运用待定系数法求函数的解析式上，对于其他方面的应用不必过多延伸．三维目标1．了解待定系数法，通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲，培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力．2．掌握用待定系数法求函数解析式的方法及其应用，提高学生解决问题的能力． 重点难点教学重点：待定系数法及其应用．教学难点：待定系数法的应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.已知一次函数y ＝f(x)的图象经过点(1,2)和(2，－1)，求一次函数y ＝f(x)的解析式，我们用什么方法？(待定系数法)教师指出本节课题．思路2.这节课我们学习求一次函数和二次函数解析式的方法——待定系数法，教师指出本节课题．推进新课新知探究提出问题①两个关于x 的一元多项式ax 2－x ＋4与2x 2＋bx ＋c 相等，即任意x ∈R ，总有ax 2－x ＋4＝2x 2＋bx ＋c ，求a ，b ，c 的值.②两个一元多项式相等的条件是什么？③已知一次函数y ＝f x 的图象经过点 1，2 和 2，－1 ，求一次函数y ＝f x 的解析式 即前面导入中的问题 .④这种求函数解析式的方法称为什么？⑤待定系数法有什么优点？讨论结果：①a ＝2，b ＝－1，c ＝4.②两个一元多项式分别整理成标准式(按降幂排列)之后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，则称这两个多项式相等．③设f(x)＝kx ＋b(k≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－1，解得k ＝－3，b ＝5. 即f(x)＝－3x ＋5.④待定系数法．⑤待定系数法的特点是先根据数量之间的关系所具有的形式，假定一个含有待定的系数的恒等式，然后根据恒等式的性质列出几个方程，解这个方程组，求出各待定系数的值或从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，从而使问题得到解决．应用示例思路1例1已知一个二次函数f(x)，f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝－5，求这个函数．解：设所求函数为f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 待定．根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 0＋0＋c ＝－5，a －b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝5，解此方程组，得a ＝2，b ＝1，c ＝－5.因此所求函数为f(x)＝2x 2＋x －5.点评：求二次函数解析式可用待定系数法，已知图象上任意三点的坐标时，二次函数解析式设为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；已知顶点坐标时，二次函数解析式设为顶点式y ＝a(x －m)2＋n(a≠0)比较简便；已知抛物线与x 轴的两个交点的坐标，或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时，二次函数解析式设为零点式y ＝a(x －x例2已知y ＝f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．解：设f(x)＝kx ＋b(k≠0)，其中k ，b 待定．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2(2k ＋b)－3(k ＋b)＝5，2b －(－k ＋b)＝1， 解得k ＝3，b ＝－2，即这个函数的解析式f(x)＝3x －2.点评：用待定系数法求函数解析式的一般步骤是：(1)设出函数解析式，其中包括待定的系数；(2)把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组．思路2例1已知f(x)＝ax ＋7，g(x)＝x 2＋2x ＋b ，且f(x)＋g(x)＝x 2＋22x ＋9，试求a 、b 的值．解：f(x)＋g(x)＝ax ＋7＋x 2＋2x ＋b ＝x 2＋(2＋a)x ＋(7＋b)，则⎩⎨⎧ 2＋a ＝22，7＋b ＝9，解得a ＝2，b ＝2.点评：对任意x ∈R ，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ＝a′x 2＋b′x ＋c′⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a′，b ＝b′，c ＝c′.例2一根弹簧原长是12厘米，它能挂的重量不超过15 kg ，并且每挂重量1 kg 就伸长0.5厘米，挂后的弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)是一次函数的关系．(1)求y 与x 的函数解析式；(2)写出函数的定义域；(3)画出这个函数的图象．解：(1)设y ＝kx ＋b(k≠0)．由于弹簧原长是12厘米，则f(0)＝12，所以b ＝12，每挂重量1kg 就伸长0.5厘米，则k ＝0.5，所以y 与x 的函数解析式是y ＝0.5x ＋12.(2)[0,15]．(3)图象如下图所示．点评：解决本题的关键是审清题意，读懂题．弹簧原长是12厘米是指当x ＝0时，y ＝12；每挂重量1 kg 就伸长0.5厘米，是指斜率k ＝0.5.知能训练1．已知在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，将y 表示成x 的函数关系式( )A ．y ＝c －a c －b x B ．y ＝c －a b －c x C ．y ＝c －b c －a x D ．y ＝b －c c －ax 解析：由题意得xa%＋yb%x ＋y ＝c%，解得y ＝c －a b －cx. 答案：B2．二次函数的图象过点A(0，－5)，B(5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝3，求这个二次函数的解析式．解：∵二次函数的图象过点B(5,0)，对称轴为直线x ＝3，∴设抛物线与x 轴的另一个交点C 的坐标为(x 1,0)，则对称轴：x ＝ x 1＋x 2 2， 即 5＋x 1 2＝3，∴x 1＝1.∴C 点的坐标为(1,0)． 设二次函数解析式为y ＝a(x －1)(x －5)，又∵图象过A(0，－5)，∴－5＝a(0－1)(0－5)，即－5＝5a.∴a ＝－1.∴y ＝－(x －1)(x －5)＝－x 2＋6x －5.拓展提升二次函数图象经过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)三点，求二次函数的解析式．解法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，∵二次函数图象过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)，∴a ＋b ＋c ＝4，①a －b ＋c ＝0，②9a ＋3b ＋c ＝0，③解得a ＝－1，b ＝2，c ＝3，∴函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.解法二：∵抛物线与x 轴相交两点(－1,0)和(3,0)，∴1＝ －1＋3 2.∴点(1,4)为抛物线的顶点． 设二次函数解析式为y ＝a(x ＋h)2＋k ，∴y ＝a(x －1)2＋4.∵抛物线过点(－1,0)，∴0＝a(－1－1)2＋4，得a ＝－1.∴函数的解析式为y ＝－1(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.解法三：由题意可知两根为x 1＝－1、x 2＝3，设二次函数解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，∵函数图象过点(1,4)，∴4＝a(1＋1)(1－3)，得a ＝－1.∴函数的解析式为y ＝－1(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3.课堂小结本节课学习了待定系数法及其应用．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节教学设计中，注重了待定系数法的应用，其理论基础只是简单地作了介绍，这符合课程标准．教师在实际教学中可以对教材适当拓展以适应高考的要求．备课资料待定系数法1．要确定变量间的函数关系，根据所给条件设出某些未定系数，并确定这一关系式的基本表达形式，从而进一步求出表达式中含有的未定系数的方法，叫做待定系数法．其理论依据是多项式恒等原理．也就是依据了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)≡g(a)．或者两个标准多项式中各同类项的系数对应相等．待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未定系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否用待定系数法求解．主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式．如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，设出含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步，解方程或方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．2．运用待定系数法求二次函数的解析式时，一般可设出二次函数的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，但如果已知函数的对称轴或顶点坐标或最值，则解析式设为y ＝a(x －h)2＋k 会使求解比较方便，具体来说：(1)已知顶点坐标为(m ，n)，可设y ＝a(x －m)2＋n ，再利用一个独立条件求a ；(2)已知对称轴方程x ＝m ，可设y ＝a(x －m)2＋k ，再利用两个独立的条件求a 与k ；(3)已知最大值或最小值为n ，可设y ＝a(x ＋h)2＋n ，再利用两个独立条件求a 与h ；(4)二次函数的图象与x 轴只有一个交点时，可设y ＝a(x ＋h)2，再利用两个独立条件求a 与h.对于用待定系数法求二次函数的解析式，在课堂上要展开讨论，要让学生探索所需的已知条件，然后可由学生自行设计问题、解决问题．(设计者：张新军)。
待定系数法
3c . 2
b ) |) 2a | c| + | b | 2a
即
2a c = 3c , 所以 a2 = 3b 2 . 2 a + b 2
2
c=
a - b =
2
2
6a , 3
f ( 1) - f (- 1 ) | 4
故离心率 e = c = 6 . a 3 ( Ⅱ) 证明 : 由 ( Ⅰ) 知 a = 3 b , 所以椭圆
2 2 2
a= 1 b= 3
(- 5) + 24 = - 1 x = - 2.
由 f ( x ) = x + 4x + 3 = - 1, 即 f (- 2 ) = f (- 5a + b) = - 1. 5 a- b = 2, 故填 2.
评注: 方法 1 利用对应系数相等列方程 , 是解 决此类问题的基本方法 , 比较常用. 方法 2 任意值 法 , 解法灵活, 运算简捷, 但具有一定的思维能力. 例2 x x 已知二次函数 f ( x ) = ax + bx + c, 当 1 时, 有 - 1 2 时, 有 - 7 f ( x) f (x ) 1, 求证: 当 7.
2 2
2 + y 2 = 1 可化为 x 2 + 3y 2 = 3b 2 . 设 OM = ( x , y ) b
由已知得 ( x , y) = x= y= ( x1+ 即
2 2
( x 1, y 1) +
( x 2 , y 2)
x1 + y1+
2 2
x2 y2
2
M ( x , y ) 在椭圆上, y 2 ) = 3b
待定系数法求直线方程-高中数学知识点讲解(含答案)
待定系数法求直线方程（北京习题集）（教师版）一．选择题（共2小题）1．（2018春•通州区期末）过点(1,3)-且与直线230x y -+=平行的直线方程是( ) A ．250x y --=B ．270x y -+=C ．210x y +-=D ．250x y +-= 2．（2016秋•海淀区校级期中）经过点(10,4)-，且倾斜角的余弦值为513-的直线方程是( ) A ．12(10)45y x =-+ B ．12(10)45y x =--C ．12(10)45y x =--- D ．12(10)45y x =--+ 二．填空题（共4小题）3．（2019•北京模拟）如果平面直角坐标系内的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为 ． 4．（2017秋•西城区期末）经过点(2,1)M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为 ．5．（2016秋•西城区校级期中）直线l 在y 轴上的截距为3-，且经过点(2,1)，则直线l 的方程为 ．6．（2016秋•海淀区校级期中）已知1l ，2l 是分别经过(1,1)A ，(0,2)B -两点的两条平行直线，当1l ，2l 之间的距离最大时，直线1l 的方程是 ． 三．解答题（共2小题）7．（2017秋•丰台区期中）已知圆C 的圆心(3,1)C -，过点(1,1)A -． （1）求圆C 的标准方程；（2）直线l 经过点(1,2)P -与圆C 相切，求直线l 的方程．8．（2017秋•丰台区期中）已知(2,0)A -，(1,3)B ，直线l 经过点B 且垂直于直线AB ，直线l 与x 轴相交于点C ． （1）求直线AB 的方程以及线段BC 的垂直平分线； （2）求ABC ∆的外接圆方程．待定系数法求直线方程（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2018春•通州区期末）过点(1,3)-且与直线230x y -+=平行的直线方程是( ) A ．250x y --=B ．270x y -+=C ．210x y +-=D ．250x y +-=【分析】根据直线平行求出直线方程，利用代入法进行求解即可． 【解答】解：设直线方程为20x y c -+=，(3)c ≠， 直线过点(1,3)-，∴代入直线方程的1230c --⨯+=，得7c =，则所求直线方程为270x y -+=， 故选：B ．【点评】本题主要考查直线方程的求解，利用直线平行设出平行线系，利用代入法是解决本题的关键． 2．（2016秋•海淀区校级期中）经过点(10,4)-，且倾斜角的余弦值为513-的直线方程是( ) A ．12(10)45y x =-+ B ．12(10)45y x =--C ．12(10)45y x =--- D ．12(10)45y x =--+ 【分析】根据条件求出直线的斜率，结合点斜式方程进行求解即可． 【解答】解：设直线的倾斜角为θ， 则5cos 13θ=-，则倾斜角为钝角，则12sin 13θ=，即直线的斜率sin 12tan cos 5k θθθ===-， 直线过点(10,4)-，∴直线的方程为124(10)5y x +=--， 即12(10)45y x =---． 故选：C ．【点评】本题主要考查直线方程的求解，根据条件求出直线的斜率，结合点斜式方程进行求解是解决本题的关键． 二．填空题（共4小题）3．（2019•北京模拟）如果平面直角坐标系内的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为 10x y -+= ．【分析】利用垂直平分线的性质即可得出． 【解答】解：111AB a a k a a +-==---，线段AB 的中点为2121(,)22a a -+，两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线L 对称，1L k ∴=，其准线方程为：212122a a y x +--=-， 化为：10x y -+=． 故答案为：10x y -+=．【点评】本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（2017秋•西城区期末）经过点(2,1)M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为 350x y +-= ． 【分析】根据已知中的定点及直线方程，由垂直系方程可得答案．【解答】解：经过点(2,1)M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为：(2)3(1)0x y -+-=， 即：350x y +-=， 故答案为：350x y +-=【点评】本题考查的知识点是直线系方程，熟练掌握垂直系方程，是解答的关键．5．（2016秋•西城区校级期中）直线l 在y 轴上的截距为3-，且经过点(2,1)，则直线l 的方程为 23y x =- ． 【分析】先根据直线的条件设出直线的斜截式方程，然后利用代入法进行求解即可． 【解答】解：直线l 在y 轴上的截距为3-，且经过点(2,1)，∴设直线方程为3y kx =-，则123k =-， 得24k =，2k =， 即直线方程为23y x =-， 故答案为：23y x =-【点评】本题主要考查直线方程的求解，根据条件结合斜截式方程，利用待定系数法是解决本题的关键．6．（2016秋•海淀区校级期中）已知1l ，2l 是分别经过(1,1)A ，(0,2)B -两点的两条平行直线，当1l ，2l 之间的距离最大时，直线1l 的方程是 1433y x =-+ ．【分析】根据直线平行的距离的性质，得当平行直线和AB 垂直，平行直线的距离最大，求出直线的斜率，结合点斜式方程进行求解即可．【解答】解：过A ，B 两点的直线的斜率21301k --==-， 若两平行直线间的距离最大值，满足平行直线和AB 垂直， 即直线1l 的斜率13k =-，则直线1l 的方程为11(1)3y x -=--，即1433y x =-+，故答案为：1433y x =-+【点评】本题主要考查直线方程的求解，结合平行直线的性质，得到平行直线和AB 垂直，平行直线的距离最大是解决本题的关键． 三．解答题（共2小题）7．（2017秋•丰台区期中）已知圆C 的圆心(3,1)C -，过点(1,1)A -． （1）求圆C 的标准方程；（2）直线l 经过点(1,2)P -与圆C 相切，求直线l 的方程． 【分析】（1）半径||2r AC ==，由此能求出圆C 的标准方程．（2）直线l 过点(1,2)P -，当直线l 的斜率不存在时，其方程为：1x =，l 与圆C 相切；直线l 的斜率存在时，设:20l kx y k ---=，由点C 到l 的距离2d ==，求出34k =-．由此能求出l 的方程．【解答】（本小题9分）解：（1）圆C 的圆心(3,1)C -，过点(1,1)A -．||2r AC ∴=，⋯（2分）所以圆C 的标准方程为22(3)(1)4x y -++=．⋯（3分） （2）直线l 过点(1,2)P -，①当直线l 的斜率不存在时，其方程为：1x =， l 与圆C 相切，符合题意．⋯（4分）②直线l 的斜率存在时，设:2(1)l y k x +=-， 即20kx y k ---=，⋯（5分） 则点C 到l 的距离2d ==，⋯（7分）解得34k =-．⋯（8分）此时3:2(1)4l y x +=--，即3450x y ++=．综上所述，l 的方程为：1x =或3450x y ++=．⋯（9分）【点评】本题考查圆的方程、直线方程的求法，考查直线、圆、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．8．（2017秋•丰台区期中）已知(2,0)A -，(1,3)B ，直线l 经过点B 且垂直于直线AB ，直线l 与x 轴相交于点C ． （1）求直线AB 的方程以及线段BC 的垂直平分线；（2）求ABC ∆的外接圆方程．【分析】（1）求出直线AB 的方程，从而求出直线BC 的方程，进而求出(4,0)C 和BC 的中点，由此能求出BC 的垂直平分线方程．（2）由AB BC ⊥，得到圆心坐标为点A 和点C 的中点坐标(1,0)，||32AB r ==，由此能求出圆的方程． 【解答】（9分） 解：（1）(2,0)A -，(1,3)B ，∴由已知3012(1)AB k -==--，则直线AB 的方程为：31y x -=-，即:20AB x y -+=．⋯（1分） 直线l 经过点B 且垂直于直线AB ，直线l 与x 轴相交于点C ．1BC k ∴=-，则直线BC 的方程为：3(1)y x -=--，即:40BC x y +-=，⋯（2分）令0y =，则4x =，(4,0)C ∴．⋯（3分） BC 的中点是53(,)22，⋯（4分）则线段BC 的垂直平分线方程为：3522y x -=-， 即BC 的垂直平分线方程为：10x y --=．⋯（6分） （2）AB BC ⊥，∴圆心坐标为点A 和点C 的中点坐标(1,0)⋯（7分）||32AB r ==，⋯（8分） ∴圆的方程为22(1)9x y -+=．⋯（9分）【点评】本题考查直线方程、圆的方程的求法，考查直线、圆、中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
数列求和待定系数法
数列求和待定系数法数列求和是高中数学中的一个非常重要的知识点，它在数学和物理的学习中都有着广泛的应用。
而其中，数列求和待定系数法，则是其中一种非常常用的求和方法。
本文将从以下几个方面对这种方法进行详细介绍：1. 数列求和的定义与性质2. 数列求和常用的方法3. 数列求和待定系数法的原理4. 数列求和待定系数法的步骤与例题5. 数列求和待定系数法的应用1. 数列求和的定义与性质数列求和，是指对数列中的每一项进行求和，得到最终的结果。
其中，数列的通项公式一般会给出。
而数列求和的性质主要包括：1）数列求和可以分为有限求和与无限求和两类。
有限求和是将数列的前n项进行求和，得到一具体的数值。
而无限求和则是将数列无限延伸下去，将其所有项的和表示为一个极限值。
2）数列求和的结果可以使用等差数列或等比数列的求和公式来计算。
3）数列求和的结果具有可加性，即对于两个数列，它们各自的前n项或无穷项的和相加再求和，等于它们的总和的前n项或无穷项的和。
2. 数列求和常用的方法对于不同的数列类型，其求和方法也多样化。
下面列出几种常用的方法：1）等差数列的求和公式：对于一般的等差数列a1，a2，a3，……，an，其前n项和S(n)可以表示为S(n) = n/2[(a1 + an)]2）等比数列的求和公式：对于一般的等比数列a1，a2，a3，……，an，其前n项和S(n)可以表示为：S(n)=(a1*(1-q^n))/(1-q)，其中q是公比。
3）差分法：对于某些具有递推关系的数列，它们可以通过差分法转化为等差数列。
4）待定系数法：对于一些具有多项式系数的数列，可以通过待定系数法来求和。
3. 数列求和待定系数法的原理待定系数法是一种通过假定数列求和的结果为P(n)为某一多元函数，然后通过构造P(n)的一个线性方程组来求解多项式系数的方法。
假设数列{an}的通项公式为：an = f(n)，其中f(n)是一个关于n的多项式函数，P(n)表示数列{an}的前n项和，则有：P(n) = a0 + a1f(1) + a2f(2) + … + anf(n)通过将n分别带入以上式子，可以得到n+1个方程：P(1) = a0 + a1f(1)P(2) = a0 + a1f(1) + a2f(2)…P(n) = a0 + a1f(1) + a2f(2) + … + anf(n)P(n+1) = a0 + a1f(1) + a2f(2) + … + anf(n) + (n+1)f(n+1)其中，a0，a1，a2，…，an为待定系数。
高中人教B版数学必修1课件2.2.3 待定系数法
[精解详析] (1)设二次函数解析式为 y＝a(x－2)·(x－4)． 整理，得 y＝ax2－6ax＋8a. ∴8a＝3，∴a＝38. ∴解析式为 y＝38(x－2)(x－4). (2)设二次函数解析式为 y＝a(x－1)2＋2. 整理，得 y＝ax2－2ax＋a＋2. ∴a＋2＝4，∴a＝2. ∴解析式为 y＝2(x－1)2＋2.
1．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)＝________.
解析：设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，则 f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋3， 所 以kk2b＝＋4b，＝3， 解得kb＝ ＝21， 或kb＝＝－－23，. 所以函数解析式为 f(x)＝2x＋1 或 f(x)＝－2x－3.
[例1] 若函数y＝kx＋b的图象经过点P(3，－2)和Q
(－1,2)，则这个函数的解析式为
()
A．y＝x－1
B．y＝x＋1
C．y＝－x－1
D．y＝－x＋1
[思路点拨] 把P、Q的坐标代入函数关系式，求k和
b的值．
[精解详析] 把点 P(3，－2)和 Q(－1,2)的坐标分别代入 y＝kx＋b，得－2＝2－＝3k＋k＋b，b， 即kb＝＝－1. 1， ∴y＝－x＋1.
(3)设函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c，
a＋b＋c＝1， 由题设知c＝2，
9a＋3b＋c＝5，
a＝1， 即b＝－2，
c＝2.
∴函数解析式为 y＝x2－2x＋2.
[一点通] 求二次函数解析式，应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的 形式，利用待定系数法求解． (1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式 y ＝ax2＋bx＋c，a，b，c 为常数，a≠0． (2)若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值， 则设所求二次函数为顶点式 y＝a(x－h)2＋k，其中顶点为(h，k)，a 为 常数，a≠0． (3)若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)， 则设所求二次函数为两根式 y＝a(x－x1)(x－x2)a 为常数，且 a≠0．
课件4：2.2.3 待定系数法
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同理可求 x≥3 时，∵点(3,1)(4,2)在右侧射线上， 函数的解析式为 y＝x－2(x≥3)， 据图象，当 1≤x≤3 时，抛物线对应的函数为二次函 数．设其方程为 y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a<0)， 由点(1,1)在抛物线上可知 a＋2＝1，所以 a＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为 y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．
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综上，函数的解析式为：
y＝－－xx＋2＋24x－2
x<1 1≤x<3
.
x－2
x≥3
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在体育测试时，高一的一名高个男同学推铅球，已知铅 球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示．
又∵抛物线过点(0，－2)，∴－2＝a(0－2)(0－5)， ∴a＝－15， ∴y＝－15(x－2)(x－5)，即 y＝－15x2＋75x－2.
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[辨析] 由抛物线过点(2,0)及抛物线与 x 轴两个交点之 间的距离为 3，可得抛物线与 x 轴交点应分两种情况，即(5,0) 或(－1,0)，因此这个问题应分两种情况讨论．
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已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17， 求f(x)的解析式．
[解析] 设 f(x)＝ax＋b(a≠0) 则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ ax＋b＋5a＝2x＋17， ∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.
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高中数学待定系数法
【最新版】
目录
一、高中数学待定系数法概述
二、待定系数法的应用举例
三、待定系数法的解题技巧和方法
四、待定系数法在函数问题中的应用
五、待定系数法的实际意义和作用
正文
一、高中数学待定系数法概述
高中数学待定系数法是一种解决函数问题的有效方法。
它是一种通过假设函数中的某些系数，然后根据题目所给条件，通过一系列的运算和化简，最终求解出这些系数的值的方法。
待定系数法在高中数学中被广泛应用，是解决函数问题的一种重要手段。
二、待定系数法的应用举例
举例来说，如果我们要解决一个二次函数的问题，即 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是待求的系数。
我们可以通过待定系数法，假设 a、b、c 的值，然后根据题目所给条件，如函数的零点、极值点等，求解出这些系数的值。
三、待定系数法的解题技巧和方法
待定系数法的解题技巧和方法主要包括以下几个步骤：
1.假设系数：根据题目所给条件，假设函数中的某些系数，如 a、b、
c 等。
2.列方程：根据题目所给条件，列出关于假设系数的方程或不等式。
3.化简：通过一系列的运算和化简，将方程或不等式化为简单的形式。
4.求解：解出方程或不等式，得到假设系数的值。
5.验证：将求得的系数带入原函数，验证是否满足题目所给条件。
四、待定系数法在函数问题中的应用
待定系数法在函数问题中的应用非常广泛，如求解二次函数的问题、三角函数的问题、指数函数的问题等。
它可以有效地解决各种复杂的函数问题，提高解题效率和准确度。
五、待定系数法的实际意义和作用
待定系数法在实际问题中的意义和作用非常重要。
它可以帮助我们解决各种复杂的函数问题，提高我们的解题能力和技巧。