微积分方法建模11食饵—捕食者系统--数学建模案例分析
一类具Holling-Ⅱ型捕食者-食饵模型的稳定性与分叉分析
一类具Holling-Ⅱ型捕食者-食饵模型的稳定性与分叉分析生态系统中,由捕食者与食饵构成的种群之间相互作用的系统近年来受到生物学家和数学家的广泛关注.生物学家和数学家主要分析了具有功能反应函数的捕食者-食饵模型的稳定性与分叉,并利用数值模拟生动形象地丰富了种群动力学的研究内容.由于生物种群所生活的自然环境具有复杂性和多样性,分析研究生态系统时,具时滞与脉冲的微分方程比常微分方程所描述的动力系统的动力学行为更丰富,也更切实实际.本文主要研究一类具Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型和在此系统中分别加入单时滞和固定时刻脉冲的捕食者-食饵模型.对一类具Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型,本文首先介绍了具功能反应函数的捕食者-食饵模型的提出及研究现状,给出本章所用的基本理论和方法,讨论了具Holling-II型的捕食者-食饵系统平衡点的存在性与稳定性,正初始解的有界性.并通过构造合适的Dulac函数和张芷芬唯一性定理,研究了系统极限环的存在唯一性和稳定性的条件.其次对带有时滞的Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型,捕食者和食饵中分别加入时滞,利用时滞微分方程理论,得到系统平衡点的稳定性和Hopf分叉的充分条件.最后对带有脉冲和Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型,通过脉冲微分方程比较定理、Floquent定理等,得出了系统解的全局稳定性的充分条件.。
数学建模-微积分模型
需要对烧毁森林的损失费、救火费及火势蔓延程度的形式做出假设。
(1)损失费与森林烧毁面
积 成正比，比例系数为 ， 即烧毁单位面积森林的损失费，取决于森林的疏密程度和珍贵程度。
对于 ，火势蔓延程度 与时间t成正比，比例系数 称为火势蔓延速度。（注：对这个假设我们作一些说明，火势以着火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径与时间成正比，因为烧毁森林的面积与过火区域的半径平方成正比，从而火势蔓延速度与时间成正比）。
从起跳到落地的时间为 ，人在雨中奔跑的总距离为 ，不妨假设 为 的整倍数。由物理学的抛体运动定律可得 。
模型建立
计算人在每个方向上的淋雨量：
对于垂直方向上，每一个小段的淋雨量为 。利用相对坐标系得到
时的垂直方向的速度为 ，这期间扫过的雨水体积
据此计算得到在垂直方向总的淋雨量为
（4.13）
从（4.13）式中可以看出， 关于水平方向的速度是单调减少的，但与垂直方向速度 无关。
(2)效用函数为
根据（4.10）式可以求得最优比例为
结果表明均衡状态下购买两种商品所用的资金的比例与价格无关，只与消费者对这两种商品的偏爱程度有关。
(3)效用函数为
根据（4.10）式可以求得最优比例为
。
结果表明均衡状态下购买两种商品所用的资金的比例，与商品价格比成反比，与消费者对这两种商品偏爱程度之比的平方成正比。
实际应用这个模型时， 都是已知常数， 由森林类型、消防人员素质等因素确定。
4.4消费者的选择
本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢？
记购买甲乙两种商品的数量分别为 ，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是 的函数，记作 ，经济学中称之为效用函数。 的图形就是无差别曲线族，如图4.4所示。类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调下降、下凸、不相交的曲线。在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数值不变，即满意程度不变。而随着曲线向右上方移动， 的值增加。曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况。这里假设消费者的效用函数 ，即无差别曲线族已经完全确定了。
一类捕食者-食饵种群动力学模型及数值模拟的开题报告
一类捕食者-食饵种群动力学模型及数值模拟的开题报告一、研究背景食物链是自然界中广泛存在的生态现象，其中包括一类捕食者与一种或多种食饵之间的相互作用。
在生态学中，一类捕食者-食饵种群动力学模型是常见的研究对象，其关注点在于探究捕食者和食饵种群数量之间的互动过程，以及这种互动过程对生态系统的影响。
近年来，随着数值模拟技术的不断发展，研究者可以通过模拟程序模拟真实生态系统中的捕食者与食饵的数量变化，从而深入研究生态系统中的动态变化规律，梳理生态系统中的关键变量及相互关系。
二、研究内容本文拟以一类捕食者-食饵种群动力学模型为研究对象，通过数学模型与数值模拟相结合的方式，探究捕食者和食饵数量之间的相互作用，并分析它们对生态系统的影响。
具体来说，本文将研究以下几点内容：1.建立一类捕食者-食饵种群动力学模型，并探究其数量变化规律；2.采用数值模拟方法模拟不同捕食者和食饵初始数量时的数量变化过程，分析动态过程与变化规律；3.通过对动态过程的分析，研究捕食者和食饵数量之间的相互作用，并揭示它们对生态系统的影响机制。
三、研究方法1.建立数学模型：采用典型的捕食者-食饵模型，通过运用微积分和差分方程求解，建立二者之间的动态变化方程；2.数值模拟：采用数值计算方法求解数学模型，运用Python语言编写仿真程序，模拟不同条件下捕食者和食饵数量的变化过程；3.结果分析：对仿真结果进行分析，探究捕食者与食饵数量之间的相互作用，并揭示其对生态系统的影响机制。
四、预期效果与意义1.建立一类捕食者-食饵种群动力学模型，拓展捕食者-食饵模型的应用范围，为生态系统研究提供新的理论框架；2.运用数值模拟技术研究捕食者和食饵数量的动态变化和相互作用，获得更为精准的结果，进一步理解生态系统的演化机制；3.揭示生态系统中捕食者和食饵数量之间的相互作用和对生态系统的影响机制，为生态保护和可持续发展提供参考。
数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析
实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。
其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。
（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。
具非单调增长率和功能反应的食饵-捕食者模型的定性分析
中图分类 号 ： ７ ． ２ Ｏ１ ５ １
文献标 识码 ： Ａ
０ 引言
一
一
般的捕食者 一 食饵系统是 ： 主一ｘ （ ） （ ） ｇ ｘ 一 ， （ ＋ （ ）． １ 就 ｇ ｚ 一ａ 一 一 ）文［］ （ ） 一髓一如。
具 非单调增长率和功能反应 的食饵一 捕食者
模 型 的定 性 分析
彭卫丽 ， 卢 琨 ， 王 莉
（ 陕西科技大学理学院 ， 陕西 西安 ７０２） １０１
摘 要 ： 究了一类具非单调增长率和功能反应的食饵 一 研 捕食者 系统， ｘ ａ ｚ （ ］ 立一 Ｅ —ｈ 一＾ ）
一
ｋ ， ［ ＋ ４ ］ 先用微分方程稳定性和定性理论讨论了该 系统存在正平衡 点的 ｙ 一 一 Ｙ， 条件 ， 再构造 Ｄ ｌ 函数给 出了该系统极 限环不存在 的相关条件 ， ｕａ ｃ 最后 用 Ｐ ｉ ａ －ｅｄ ｓｎ ｏ ｃｒ Ｂ ｎ ｉ ｏ ｎ ｅ ｘ 环域定理和张芷芬惟一性定理 ， 证明了该 系统在不稳定的正平衡点周 围存在唯一的极限环 ， 最 后用 Ｍａ ａ 数值模拟对结果进行 了验证 ， ｔｂ ｌ 推广 了已有的一些结论．
一
＋，ｚ一 ，［ 就 （ 一 ＋ｇ一 一 ， 一 上 系 进 了 究文 １（ ｒ 矗文２ ｇ ） 口 ｂ 凹 ） 对 述 统 行 研 ， ） ］ ｚ Ｙ （
本文考 虑模 型
［］ ｇ ｚ ： ｎ 旺，（ ） ｚ ， ３ 就 （ ） ： 一 ｚ 一 将文［ ，］ ： １２ 进行了推广 ， 得到了一些结论．
设之 ， 于是模型（） １ 化为如下等价系统 ： 主一 ０ ５ｚ 。 （ ） ］ ・［ — 一 一 ＇
两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析
南京航空航天大学硕士学位论文两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20070301南京航空航天大学硕士学位论文摘要近年来，捕食关系成为数学与生态学界研究的一个重要课题。
食饵—捕食者相互作用的研究具有非常重要的理论意义和应用价值，其中生物种群持续生存是捕食理论中的一个重要而又广泛的问题，它受到越来越多的学者的关注。
本文在已有的Lotka-Volterra模型的基础上，对两类具有Holling型功能反应函数的食饵—捕食者模型进行了讨论。
本文首先讨论了一类两种群具有密度制约的Holling III类功能反应模型。
利用定性分析的方法，讨论了模型在收获率条件下平衡点的稳定性，解的有界性，极限环的存在性问题。
然后本文讨论了一类具有两捕食者和一食饵三种群并有Holling型功能反应的周期系数的三维模型，利用Brouwer不动点定理，得到系统存在唯一、全局渐近稳定周期解的充分条件。
最后本文进一步考虑概周期情形，讨论了对应的概周期系统的一致持续生存性，得到了存在唯一、全局渐近稳定正概周期解的充分条件。
这些结果推广了已知的一些结论。
关键词：食饵—捕食者系统，Holling III功能反应，正周期解，正概周期解，全局渐近稳定性I两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析IIAbstractIn recent years, the predator-prey relation has become a very important part inmathematics and ecology. The predator-prey theory has a great importance in both theory and applications. One of the most important questions in population ecology is to find the permanence conditions for the species, which has received a great deal of attention of many mathematicians and biologists. Based on the Lotka-V olterra population models, this thesis studies two classes of predator-prey systems with Holling functional responses. Firstly, this thesis studies the predator-prey system with Holling’s type III functional response under density restriction and linear harvesting rate. Using qualitative analysis methods, the paper studies the boundedness of solutions and the existence of limit cycles. Secondly, two-predator and one-prey systems of three species with Holling’s type III functional response and periodic coefficients are studied. With the help of differential inequality and Liapunov functions, some sufficient conditions are obtained for the existence and global stability of positive periodic solutions and positive almost periodic solutions. These results generalize some existing results.KEY WORDS: prey-predator system, Holling’s type III functional response, positive periodic solution, positive almost periodic solution, global asymptotic stability承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
数学建模--微分方程新
得
3a0 3a1 2 0 a0 1 6 1 a 3 a 5 a 3 0 1 0 1 2
1 P ( x) 1 命令 P = polyfit(x, y, n);
x, y分别为已知点的横纵坐标，n为拟合多 项式的次数；P为输出的多项式系数向量。
dN N(t+t)-N(t) rN rN (t ) dt t 求解可得 N (t ) N0er (t t0 )
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需 的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：
故
T ln 2 r
2 N0 N0erT
N (t ) N0e
11
模型总结 Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总 数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有 限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。
所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数 ，它应当与人口数量有关。
最小二乘拟合：
若f(x)是一个列表函数: （xi，yi）(i=0,1,…,m)
% bbb2.m xxdata=1:1:16; xdata=1./xxdata; yydata=[4,6.40,8,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10,10.2,10.32,10.42, 10.5,10.55,10.58,10.60]; ydata=log(yydata); p=polyfit(xdata,ydata,1) %一次拟合 x=[1:16]; xx=1./x; z1=polyval(p,xx); y1=exp(z1); plot(xxdata,yydata,'*',x,y1,'r-') legend(‘数据’,‘拟合')
捕食模型 微分方程
捕食模型微分方程
捕食模型是一种数学模型，它是由微分方程来描述捕食者和被捕食者之间的相互作用的。
这个模型的最早的形式是 Lotka-Volterra模型。
在这个模型中，存在一条捕食者和一条被捕食者的动物，它们之间形成了一个特定的相互作用。
Lotka-Volterra模型能够使用两个微分方程来描述捕食者和被捕食者的数量变化情况，这两个微分方程要求捕食者和被捕食者的数量会根据时间做出动态的变化。
捕食者的数量一般是由捕食的数量和死亡率（包括无可捕食的情况）来控制的，而被捕食者的数量是由出生率和捕食者捕食的数量来控制的。
此外，还有一些新的模型，它们比Lotka-Volterra模型更加精细，能够更好的模拟出捕食者和被捕食者之间的相互作用。
如Holling模型，它是一个三维微分方程，它包含三个变量：捕食者、被捕食者和捕食者活动等级，而不仅仅是捕食者和被捕食者的数量，模拟的情况也更加复杂和精确。
捕食模型的应用范围很广泛，它们可以被用来模拟海洋生态系统中动物数量的变化，也可以被用在植物有害有益昆虫的控制上，可以用来研究工业资源的投入和产出关系。
总而言之，捕食模型是一种由微分方程构造而成的模型，它对捕食者和被捕食者之间的相互作用有着良好的模拟能力，由于它能够把这类生态系统的变化简化，所以它几乎应用于各行各业，从工业资源投入到海洋生态系统，几乎任何一个需要模拟捕食者和被捕食者之间的关系的问题，都可以采用捕食模型来解决。
捕食者与被捕食者模型——Logistic-Volterra
捕⾷者与被捕⾷者模型——Logistic-Volterra捕⾷者与被捕⾷者模型——Logistic-Volterra模型摘要Logistic模型是最常⽤的模型之⼀，在其基础上⼜可以发展出许多其他数学模型，其重要性不⾔⽽喻，⽽Volterra模型则是经典的被捕⾷者与捕⾷者模型之⼀。
本⽂尝试结合两者，建⽴⼀个Logistic-Volterra模型，并做出数值解和分析。
关键词：Logistic模型 Volterra模型数值解⼀、问题的提出Volterra模型显⽰的被捕⾷者与捕⾷者系统存在着显著的周期振荡，⽽实际上，多数的捕⾷者与捕⾷者系统都是观察不到的。
尝试建⽴模型，描述这种现象。
⼆、符号说明r：被捕⾷者固有增长率d：捕⾷者固有死亡率a：捕⾷者掠取被捕⾷者的能⼒b：被捕⾷者供养捕⾷者的能⼒N1：被捕⾷者的最⼤环境容纳量N2：捕⾷者的最⼤环境容纳量三、模型假设1.在没有天敌的情况下，被捕⾷者数量增加的固有速度与被捕⾷者数量x和阻滞作⽤因⼦(1-x/N1)成正⽐，即dxdt =rx(1?xN1)2.在没有⾷物的情况下，捕⾷者数量减少的固有速度与捕⾷者数量y和阻滞作⽤因⼦(1+y/N2)成正⽐，即dydt =?dy(1+yN2)3.捕⾷者与被捕⾷者在同⼀环境下⽣存，它们的种群变化速度互相影响，影响因⼦应与它们相遇的频率成正⽐，即捕⾷导致被捕⾷者数量减少的速度为-axy，捕⾷导致捕⾷者数量增加的速度为bxy四、模型建⽴与求解1.Volterra模型的分析意⼤利数学家Volterra在上世纪20年代提出的Volterra模型：dxdt=rx?axydydt=?dy+bxy取r=1 d=0.5 a=0.1 b=0.02，运⽤matlab的ode45功能函数，做出数值解，并绘图分析。
图1被捕⾷者与捕⾷者随时间变化图图2捕⾷者与被捕⾷者相图从图形可以看出，捕⾷者与被捕⾷者共同⽣存，数量随时间作周期变化。
2.建⽴Logistic-Volterra模型在Volterra模型中的物种⾃⾝增长率中，考虑⾃⾝阻滞作⽤，即加⼊Logistic项，得到以下模型：dx dt =rx(1?xN1)?axydy=?dy(1+y2)+bxy取r=1 d=0.5 a=0.1 b=0.02 N1=100 N2=25，运⽤matlab的ode45功能函数，做出数值解，并绘图分析。
无密度制约的Lotka-Volterra模型捕食-食饵系统同时捕获的最优化
型及其以最大收益为管理 目标 的最优捕获策
略 。无 捕 获 的情 行 下 无 密 度 制 约 的 Ｌｔａ ｏ — ｋ
Ｖ ｌ ｒ 捕食 一 饵模 型为 ｏ ｅｒ ｔ ａ 食
【 章编 号】１ ７ － ３ ０ ２ １ ）５ ０ ４ ０ 文 ６ ４ ９ （０ ０ ０ — ４ — ４ ４
一 血
其 中 ）（表示在 ｔ 种群 的数 量 ， Ｏ， ｙ） 时刻 和Ｙ ｒｒ １１ 为种群 的内禀增 长率 ，表 示捕 获 ，分别 和Ｙ ６ 能力 ｒｒ，，均 为正 常数 。此外 本 文约定 用 Ｅ ｌ，ｃｂ ， 表示 最优 捕 获努 力量 ， 表示 最大 纯 收益 ， 设 种群 的捕 获物 的销售 单价 分别 为 常数ｐ 和Ｙ 和 口单位 捕获 努力量 的成 本为云 ， 。
系统 的两 种 群 同时捕 获 时 的最 大 持 续受 益 的
无密度制约同时捕获的捕食一 食饵模型为
条件 ， 具有一定的现实意义。
本 文 阐述 了Ｌｔａ Ｖ ｈｒ 捕食 一 饵 模 ｏｋ － ｏｅｒ ａ 食
其 中Ａ 为正常数 。这种 捕获 方式是 用努力
量Ｅ 同时去捕获种群 的。 和Ｙ 以捕鱼业为例 ， 一
究工作 较为全 面 ， 由于多 种群 出现 了复 杂的 但 种群 相互 间关 系 ， 因此 难 度较 大 ， 成果 不 甚 其 理想 。例 如对 两种群 的竞争 系统 ， 文献 ［】 供 ２ 提 了很好 的思路 ， 但并 不适用 于其 它类 型 的多种 群 系统 。受 文献［１ ］ 发 ， ３１ 启 ４ 对捕 获 强度 系 数Ａ 为 已知 正 常 数 和 Ａ 为未 知 两 种 情 况 给 出 了此
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§11 食饵—捕食者系统
一个包含两个群体的系统，其中一个群体紧密地依赖于另一个群体。
例如：害虫与其天敌、肿瘤细胞与正常细胞等。
称为一个食饵—捕食者系统。
设()t x —t 时刻食饵数量 ()t y —t 时刻捕食者数量
如果各自独立生活，则 ⎪⎩⎪⎨⎧-==y dt
dy x
dt dx μλ ()0,>μλ 现在两者生活在一起，则有 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--=-=)2()1(0,βαβμαλy x dt dy x
y dt dx 称为Volterra —Lotka 方程，初始条件()00x x =，()00y y =，()()21÷得到 ()()x
y y x dx dy αλμβ--= 得通解c x y x y ln ln ln =++--μλβα 或 c e
x e y x y =⋅βμ
αλ 以初始条件代入，可得到特解，它是xoy 平面上的一条闭轨线，见下图。
当食饵较多时，捕食者增多因而食饵必定减少，使得捕食者也随之减少，从而食饵又会增多。
两者的数量如此起伏，周而复始，维持着生态平衡。
现在来考虑一个有趣的问题，例如食饵和捕食者由于别的因素（如狩猎或火灾）同时按比例消亡。
一旦这种因素作用停止，谁恢复得较快？我们用方程组（1）、（2）来回答这个问题。
当()t x 和()t y 都减小时，乘积项xy 也减小（例如，x 和y 减半,x λ和y μ都减半，xy α和xy β却减为1/4）。
乘积项对捕食者是生长项，而对食饵来说是消亡项，xy 的减小使捕食者受到较大的损失，所以这场悲剧过后，食饵恢复较快，称为Volterra 原理。
这个原理已在许多方面得到证实：如杀
虫剂的使用、临床医学中用化疗抑制癌细胞生长等。