16.1 二次根式

第16章 二次根式

§16.1 二次根式 知识精要

1.二次根式的概念

在实数这一章里，我们学习了开平方运算.当0a ≥，a 表示a 的一个平方根.把它看作由平方根号“

”与a 所成的式子时，这是一个代数式.

代数式)0(≥a a 叫做二次根式.仍然读作“根号a ”，其中a 是被开方数，可以为整式或分式. 例如：222212,

,1,4(40),(2)32

a b ac b ac x x +--≥>-等，都是二次根式. 注意：3-0)b b <这样的式子没有意义.

a 有意义的条件是0a ≥.

2.二次根式的性质

在平方根的学习中，我们根据开平方与平方互为逆运算的关系，得到了下列等式.现在把这两个等式作为二次根式的性质. 性质1

a a =2 (0≥a ).

性质2 a a =2)( (0≥a ). 问题1：当a 2a a 有什么关系?

试填写下列表格：

a

3-

1- 3

2-

0 3

2 1 3

2a a

一般来说，由2

2a a =，得2

2a a =，其中0≥a .利用二次根式的性质1，可知a a

=2

.所

以有 推论

⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>==).0(),0(0),0(2a a a a a a a

性质3 b a ab ⋅= )0,0(≥≥b a .

性质4

b

a b

a = )0,0(≥≥

b a .

说明：性质3、4两个等式中，左边是以两个数的积(或商)为被开方数的二次根式，右边是分别

以这两个数为被开方数的两个二次根式的积(或商).在二次根式的运算或变换中，可以据此从左到右或从右到左进行转化.

问题2 18与23相等吗?为什么?

将18分解素因数，得23218⨯=.利用二次根式的性质3和性质1，可知它们相等.

推论 a b b a ab =⋅=22 问题3

83与4

6相等吗?为什么? 利用分数的基本性质以及二次根式的性质4和性质1，可知它们相等. 推论

b ab b

ab b b b a b a ==⋅⋅=2

3.二次根式的化简

把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”.

通常把形如)0(≥a a m 的式子也叫做二次根式.如23，3-，122+b a 等也是二次根式.

经典题型精析

(一)二次根式的概念

例1.设x 实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义?

(1) (3) (5)4

3--x x 答案: (1)2

1

≥x ；(2)2≤x ； (3)0>x ；(4)x 为一切实数(5)3≥x 且4≠x .

试一试：设x 实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义? (1)x 231- (2)x 2- (3)122+-x x (4)x

x --332 (5)x x --+111

答案：(1)61≤x (2)0

3

<≤x (5)11≤≤-x 且0≠x

例2.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

1x

0)x >、、1

x y +)0,0(≥≥y x ．

答案：二次根式：2、(0)x x >、0、2-、x y +)0,0(≥≥y x ．

例3.在沙坪坝住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区计划修建一个广场，平面图形如图所示。

(1)用含n m ,的代数式表示该广场的面积S 。 (2)若n m ,满足05)6(2=-+-n m ，求出该广场的面积。

(二)二次根式的性质

例4.求下列二次根式的值.

(1)22)3()4(-+-ππ (2)221x x -+，其中3x =-.

(3)a c -，其中21

,2-==c a ； (4)2

)2(1+m ，其中5-=m .

答案：72-π；13+；21；3

1

.

试一试：(1)已知x 、y 为实数，且994y x x =---+，求y x +的值． 5

(2)若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 2005

例5. (1)化简：)10(121222

22<<++-+

-x x

x x x . (2)化简：2)3(1-+-a a 的结果为 ( )

A .a 24-

B .0

C .42-a

D .4

试一试：(1)已知三角形c b a 、、为三角形的三边，化简：22)()(a c b c b a --++-.

c b a 222+-

(2)在实数范围内分解因式：=-52x _________；=+-9624m m _________；

=+-2222x x _________.

例62()0x y +=，求2x xy -的值. 2,2=-=y x ，原式8=

(2)已知132012+与132012-的小数部分分别是a 和b ，求代数式843++-b a ab 的值。 8

试一试：(1)若y x 、是实数，且12y <，求11y y --的值. 2

1

,1<=y x ，原式1-=.

(2)设24-的整数部分为a ，小整数部分为b ，则a

b 2

-的值为____________.

例7.(1)在计算2)1(+a ，其中4-=a 时，小华和小明算出了不同的答案： 小明的做法是：当4-=a 时，3)3()14()1(222-=-=+-=+a 小华的做法是：当4-=a 时，39)14()1(22==+-=+a

你认为谁的答案正确?说说你的理由。

试一试：已知x 是正整数，且满足x x y -+-=21

4

，求y x +的平方根。 6±