高中数学必修三角函数知识点与题型总结

高中数学必修三角函数知识点与题型总结

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

三角函数典型考题归类

1．根据解析式研究函数性质

例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤

⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．

【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭．

求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间．

【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭，1()1sin 22g x x =+．

（I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．

2．根据函数性质确定函数解析式

例2（江西）如图，函数π

2cos()(00)2

y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且

该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；

（2）已知点π02A ⎛⎫

⎪⎝⎭

，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA

的中点，当0y =

0ππ2x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2

ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛

⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交

点间的距离为

π

2

，求函数()y f x =的单调增区间．

（理）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间． 【相关高考2】（全国Ⅱ）在ABC △中，已知内角A π

=

3

，边BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的最大值． 3．三角函数求值

例3（四川）已知cos α=7

1,cos(α-β)＝

14

13

，且0<β<α<2π,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.

【相关高考1】（重庆文）已知函数f (x )=

)

2

sin(42cos 2π

π+

⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

-x x .（Ⅰ）求f (x )的定义域；（Ⅱ）若角a 在第一

象限，且）。（求a f a ,5

3

cos =

【相关高考2】(重庆理)设f(x )=x x 2sin 3cos 62-（1）求f(x )的最大值及最小正周期；（2）若锐

角α满足323)(-=αf ，求tan α5

4

的值.

4．三角形中的函数求值

例4（全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．

（Ⅰ）求B

的大小；（文）（Ⅱ）若a =5c =，求b ．（理）（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．

【相关高考1】（天津文）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4

cos 5A =-．

（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的值．

【相关高考2】（福建）在ABC △中，1tan 4A =

，3

tan 5

B =．（Ⅰ）求角

C 的大小；文（Ⅱ）若AB

BC 边的长．理（Ⅱ）若ABC △

5三角函数与不等式

例7

（湖北文）已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，．（I ）求()f x 的最大值和最小

值；

（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，上恒成立，求实数m 的取值范围．

6．三角函数与极值

例8（安徽文）设函数()R x t t t x

x t x x f ∈+-++--=,4342

cos 2sin 4cos 232

其中t ≤1，将()x f 的最小值记为g (t ).

(Ⅰ)求g (t )的表达式；(Ⅱ)讨论g (t )在区间（-1,1）内的单调性并求极值.

2011三角函数集及三角形高考题

1.（2011年北京高考9）在ABC 中，若

1

5,,sin 4

3b B A π

=∠=

=

，则a =.

2.（2011年浙江高考5）.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则

2sin cos cos A A B +=

(A)-12(B)1

2(C)-1(D)1

3.（2011年全国卷1高考7）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于

（A ）1

3（B ）3（C ）6（D ）9

5.（2011年江西高考14）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若

()

4,p y 是角θ终边

上一点，且

sin θ=，则y=_______.

6．（2011年安徽高考9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若

()()

6f x f π

≤对x R ∈恒成立，且()()

2f f π

π>，则()f x 的单调递增区间是

（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（B ）,()2k k k Z πππ⎡

⎤+∈⎢⎥⎣⎦