高数作业(一)(答案)
常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
1、试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.
.1ln )cos()4(;052)3(;
42)2(;)1(3
2
2
2
2+=+''=+??
?
??-+-??
?
??+=x y y xy dx dy dx y d x
x dx dy dx dy x y x dx
dy
解 (1)
是一阶线性微分方程，因方程中含有的
dx
dy
和y 都是一次. (2) 是一阶非线性微分方程，因方程中含有的dx
dy
的平方项. (3) 是二阶非线性微分方程，因方程中含有的
dx
dy
的三次方. (4)
是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数)cos(y ''和.ln y
2、设一物体的温度为100℃, 将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比, 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为
),(t T T = 则可建立起函数)(t T 满足的微分方程
)20(--=T k dt
dT
其中)0(>k k 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型. 根据题意, )(t T T =还需满足条件 .1000
==t T
3、设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度α成正比，即αm F =，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是0=t ，物体下落的距离x 与时间t 的函数关系为)(t x x =，则可建立起函数)(t x 满足的微分方程
g dt
x
d =22 其中g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.
根据题意，)(t x x =还需满足条件
.0,
0)0(0
===t dt dx
x 4、验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程
0sin 2cot =--x x x y dx
dy
的通解, 并求满足初始条件0|
2
==
π
x y 的特解.
解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得
dx
dy
,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和
dx
dy
代入方程左边得 x x x y dx
dy
sin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02
==π
x y 代入通解x C x y sin )(2
+=中，得C +=402
π, .4
2
π-=C 从而所求特解为 .s i n
422x x y ???
?
??-=π 第二节 一阶微分方程
1、形如 的微分方程为可分离变量的微分方程；
形如 的一阶微分方程称为齐次微分方程；
形如 的方程称为一阶线性微分方程. 当 时, 这个方程称为一阶齐次线性方程，它的通解为 ；当 时, 这个方程称为一阶非齐次线性方程，它的通解为 . 解: 形如
)()(y g x f dx
dy
=的微分方程为可分离变量的微分方程； 形如
??
?
??=x y f dx dy 的一阶微分方程称为齐次微分方程； 形如
)()(x Q y x P dx
dy
=+的方程称为一阶线性微分方程. 当,0)(≡x Q 这个方程称为一阶齐次线性方程，它的通解为.)(?-=dx
x P Ce y 当,0)(≡x Q 这个方程称为一阶非齐次线性方
程，它的通解为[]
?-?+=?dx x P dx x P e C dx e x Q y )()()(. 2、求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2
的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得
dx x dy y y 11
1
2-=-
两端积分
?
?
-=-dx x dy y y
111
2得 ||ln |1|ln |1|ln 2
1
12C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 3 、已知,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10< .1sin 1sin cos sin tan 2 2222 y y x x x x x -=-== 所以原方程变为,121)(y y y y f -+ -='即.11 2)(y y y f -+-=' 所以 =)(y f ??? ? ??-+-y y 112dy 2y -=,)1ln(C y +-- 故 C x x x f +-+-=)]1ln([)(2).10(< x y x y dx dy tan +=满足初始条件6 1π ==x y 的特解. 解 题设方程为齐次方程,设,x y u =则,dx du x u dx dy += 代入原方程得,tan u u dx du x u +=+分离变量得.1 cot dx x udu = 两边积分得||ln ||ln |sin |ln C x u +=，,sin Cx u = 将x y u = 回代，则得到题设方程的通解为.sin Cx x y = 利用初始条件,6/|1π==x y 得到.2 1=C 从而所求题设方程的特解为.21 sin x x y = 5、求解微分方程.2 2dx dy xy dx dy x y =+ 解 原方程变形为 =-=2 2 x xy y dx dy ,12 -??? ??x y x y （齐次方程） 令,x y u =则,ux y =,dx du x u dx dy +=故原方程变为,12-=+u u dx du x u 即.1-=u u dx du x 分离变量得?? ? ??-u 11.x dx du =两边积分得||ln ||ln x C u u =+-或.||ln C u xu += 回代,x y u = 便得所给方程的通解为 .||ln C x y y += 6、求方程x x y x y sin 1=+ '的通解. 解 ,1)(x x P = ,s i n )(x x x Q =于是所求通解为 ? ?? ? ? ?+?=???-C dx e x x e y dx x dx x 1 1 sin ?? ? ? ?+?=?-C dx e x x e x x ln ln sin ).cos (1C x x +-= 7、求方程 2/5)1(1 2+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程.先求对应齐次方程的通解. 由012 =+-y x dx dy ?12+=x dx y dy ?C x y ln )1ln(2ln ++=?.)1(2+=x C y 用常数变易法,把C 换成,u 即令,)1(2+=x u y 则有 ),1(2)1(2+++'=x u x u dx dy 代入所给非齐次方程得,)1(1/2+='x u 两端积分得,)1(3 2 2/3C x u ++= 回代即得所求方程的通解为 .)1(32)1(2/32?? ? ???+++=C x x y 第三节 可降阶的二阶微分方程 1、求方程x e y x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 解 对所给方程接连积分二次,得 ,sin 2 112C x e y x +-= ' (1) ,cos 4 1 212C x C x e y x +++= (2) 在(1)中代入条件,1)0(='y 得,211=C 在(2)中代入条件,0)0(=y 得,4 52-=C 从而所求题设方程的特解为 .4 521cos 412-++=x x e y x 2、求方程02)1(222 =-+dx dy x dx y d x 的通解. 解 这是一个不显含有未知函数y 的方程.令),(x p dx dy =则,22dx dp dx y d =于是题设方程降阶为,02)1(2=-+px dx dp x 即.122dx x x p dp +=两边积分,得 |,|ln )1ln(||ln 12C x p ++=即)1(21x C p +=或 ).1(21x C dx dy += 再积分得原方程的通解 .3231C x x C y +??? ? ??+= 3、 求微分方程初值问题 3,1 ,2)1(0 02=' ='=''+==x x y y y x y x 的特解. 解 题设方程属),(y x f y '=''型.设,p y ='代入方程并分离变量后,有.122 dx x x p dp += 两端积分，得,)1ln(||ln 2C x p ++=即)1(21x C y p +='=).(1c e C ±= 由条件,30='=x y 得,31=C 所以).1(32x y +=' 两端再积分,得.323C x x y ++=又由条件,10==x y 得,12=C 于是所求的特解为 .133++=x x y 4、求方程02='-''y y y 的通解. 解 设),(y p y ='则,dy dp p y =''代入原方程得,02=-?p dy dp p y 即.0=??? ? ??-?p dy dp y p 由,0=-? p dy dp y 可得,1y C p =所以,1y C dx dy = 原方程通解为 .12x C e C y = 5、 求微分方程)(22 y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解. 解 令,p y ='由,dy dp p y =''代入方程并化简得 ).1(2-=p dy dp y 上式为可分离变量的一阶微分方程，解得,12+='=Cy y p 再分离变量,得 ,1 2dx Cy dy =+由初始条件,1)0(=y 2)0(='y 定出,1=C 从而得 ,12 dx y dy =+再两边积分,得1arctan C x y +=或),tan(1C x y += 由1)0(=y 定出,4 1arctan 1π ==C 从而所求特解为).4 tan(π + =x y 第四节 ~ 第六节 二阶线性微分方程 1、二阶线性微分方程的一般形式是 ，其中 是自变量x 的已知函数，当右端项 时, 方程成为 ，这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，右端项 时，原方程称为二阶非齐次线性微分方程. 解 二阶线性微分方程的一般形式是)()()(22x f y x Q dx dy x P dx y d =++，其中)(x P 、)(x Q 及 )(x f 是自变量x 的已知函数，当右端项0)(=x f 时, 方程成为0)()(22=++y x Q dx dy x P dx y d ， 这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，右端项()0f x ≠时，原方程称为二阶非齐次线性微分方程. 2、设*y 是方程二阶非齐次线性微分方程 的一个特解，而Y 是其对应的齐次方程 的通解，则 就是二阶非齐次线 性微分方程的通解. 解 设* y 是方程)()()(22x f y x Q dx dy x P dx y d =++的一个特解，而Y 是其对应的齐次方程 0)()(2 2=++y x Q dx dy x P dx y d 的通解，则*+=y Y y 就是二阶非齐次线性微分方程的通解. 3、求方程032=-'-''y y y 的通解. 解 所给微分方程的特征方程为,0322=--r r 其根3,121=-=r r 是两个不相等的实根，因此所求通解为.321x x e C e C y +=- 4、求方程044=+'+''y y y 的通解. 解 特征方程为,0442=++r r 解得1r 2r =,2-=故所求通解为.)(221x e x C C y -+= 5、求方程052=+'+''y y y 的通解. 解 特征方程为,0522=++r r 解得2,1r ,21i ±-=故所求通解为 ).2sin 2cos (21x C x C e y x +=- 6、下列方程具有什么样形式的特解? (1) ;653x e y y y =+'+'' (2) ;3652x xe y y y -=+'+'' (3) .)13(22x e x y y y -+-=+'+'' 解 (1) 因3=λ不是特征方程0652=++r r 的根,故方程具有特解形式：;30*x e b y = (2) 因2-=λ是特征方程0652=++r r 的单根,故方程具有特解形式:;)(210*x e b x b x y -+= (3) 因1-=λ是特征方程0122=++r r 的二重根，所以方程具有特解形式： .)(21202*x e b x b x b x y -++= 7、求方程1332+=-'-''x y y y 的一个特解. 解 题设方程右端的自由项为x m e x P x f λ)()(=型，其中,13)(+=x x P m .0=λ 对应的齐次方程的特征方程为,0322=--r r 特征根为,11-=r .32=r 由于0=λ不是特征方程的根，所以就设特解为.10*b x b y += 把它代入题设方程,得 ,13323100+=---x b b x b 比较系数得,1323 3100? ??=--=-b b b 解得.1110?? ?=-=b b 于是，所求特解为.3 1 *+-=x y 8、求方程x y y sin 4=+''的通解. 解 对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1i r ±=故对应齐次方程的通解 .sin cos 21x C x C Y += 作辅助方程.4ix e y y =+'' i =λ 是单根,故设.* ix Axe y =代入上式得42=Ai ?,2i A -= ∴*y ix ixe 2-=),cos 2(sin 2x x i x x -=取虚部得所求非齐次方程特解为.cos 2* x x y -= 从而题设方程的通解为 .cos 2sin cos 21x x x C x C y -+= 9、设函数)(x y 满足,1)0(,)](sin 6[1)(02=-+='? y dt t y t x y x 求)(x y . 解 将方程两端对x 求导，得微分方程 ,sin 62x y y =+''即),2cos 1(3x y y -=+'' 特征方程为,012=+r 特征根为,1i r =,2i r -=对应齐次方程的通解为,sin cos 21x C x C Y += 注意到方程的右端)(x f x 2cos 33-=),()(21x f x f +=且i i 2±=±βα不是特征根，根据非齐次方程解的叠加原理，可设特解 *y * 2 *1y y +=,2sin 2cos x c x b a ++= 代入方程定出,0,1,3===c b a 从而原方程的通解为 y .32cos sin cos 21+++=x x C x C 又在原方程的两端令,0=x 得 ,1)0(=y ,1)0(='y 又在原方程的两端令,0=x 得,1)0(='y ,1)0(=y ,1)0(='y ,1)0(='y 定出,1,321=-=C C 从而所求函数为 .32cos cos 3sin )(++-=x x x x y 第八节 数学建模——微分方程的应用举例 逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型. 一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型. 如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比. 设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为h (t ), 则有 )]()[() (t h H t kh dt t dh -= 其中0>k 是比例常数. 这个方程为Logistic 方程. 请求解该方程. 解 分离变量得 ,)(kdt h H h dh =- 两边积分,) (??=-kdt h H h dh 得 ,)]ln([ln 1 1C kt h H h H +=-- 或 ,21k H t H C k H t e C e h H h ==-+ 故所求通解为 ,11)(22kHt kHt kHt Ce H e C He C t h -+=+= 其中的??? ? ??>== -01 12H C e C C C 是正常数. 向量代数与空间解析几何 第一节 ~ 第三节 向量的基本概念与运算 1、在平行四边形ABCD 中, 设?→ ?AB =a , ?→ ?AD =b . 试用a 和b 表示向量?→ ?MA 、?→ ?MB 、?→ ?MC 、 ?→ ?MD , 其中M 是平行四边形对角线的交点. 解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以 a +b ?→??→?==AM AC 2, 即 -(a +b )?→ ?=MA 2, 于是 21-=?→ ?MA (a +b ). 因为?→ ??→ ?-=MA MC , 所以 2 1=?→ ?MC (a +b ). 又因-a +b ?→ ??→ ?==MD BD 2, 所以21=?→?MD (b -a ). 由于?→ ??→?-=MD MB , 所以2 1=?→ ?MB (a -b ). 2、已知三点M (1,,、A (2,,和B (2,,,求∠AMB . 解 从M 到A 的向量记为a , 从M 到B 的向量记为b , 则∠AMB 就是向量a 与b 的夹角. a ={1,,,b ={1,,. 因为a ?b =1?1+1?0+0?1=1, 2011||222=++=a , 2101||222=++=b . 所以21221||||cos =?=?=∠b a b a AMB .从而3π=∠AMB . 3、设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，求b a ?和b a ?． 解 51)2(10)3(1-=?-+?+-?=?b a ． }1,5,2{521 1 320 1=++=--=?k j i k j i b a 4、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求： (1) 向量21P P 的坐标表示；(2) 向量21P P 的模； (3) 向量21P P 的方向余弦；(4)与向量21P P 方向一致的单位向量． 解 (1) }2,6,3{}57),2(4,21{21-=-----=P P ； 74926)3(222==++-= ； (3) 21P P 在z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为 B C D 362 cos ,cos ,cos 777 αβγ=-==； (4) k j i k j i 7 2 76737263)(21++-=++-= = P P ． 5、求与}3,2,1{-=a 共线，且28=?b a 的向量b ． 解 由于b 与a 共线，所以可设 }3,2,{λλλλ-==a b ， 由28=?b a ，得 28}3,2,{}3,2,1{=-?-λλλ， 即2894=++λλλ，所以2=λ，从而 }6,4,2{-=b ． 6、已知}0,1,1{},2,0,1{=-=b a ，求c ，使b c a c ⊥⊥,且6=c ． 解 先求出与向量b a ?方向一致的单位向量，然后乘以6±． k j i k j i b a +-=-=?220 11201， 31)2(2222=+-+=?b a ， 故与b a ?方向一致的单位向量为}1,2,2{3 1-．于是 }1,2,2{3 6 -±=c ， 即 }2,4,4{-=c 或}2,4,4{--=c ． 第四节 平面与空间直线 1、求通过点)4,1,2(0-M 和z 轴的平面方程． 解 因为z 轴的单位向量}1,0,0{=k 和1,4}{2,0-=OM 均在所求平面内，故可取该平面的一个法向量为}0,2,1{0=?=OM k n ，于是所求方程为 0)4(0)1(2)2(1=-?+++-?z y x ， 即 02=+y x ． 2、求满足下列条件的平面方程： (1) 过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P ； (2) 过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为 π 3 ． 解 }1,1,1{ -= }2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为 k j i k j i n 452 131113121--=--=?=P P P P ， 又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为 0)2(4)1(5)0(=-----z y x ， 即 01345=+--z y x ． （2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影 0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为 0=+Cz By ， 由题设可知0≠B （因为0=B 时，所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为 π1 cos 32= ≠=，所以0≠B ） ，令C B C '=，则有0='+z C y ，由题设得 2222221 2)5(10121503cos ++'++?'+?+?= π C C ， 解得 3='C 或1 3 C '=-， 于是所求平面方程为03=+z y 或03=-z y ． 3、已知平面在x 轴上的截距为2，且过点)0,1,0(-和)3,1,2(，求此平面方程． 解 设所求平面方程为 1=++c z b y a x ， 由题设知 1,2-==b a ， 平面过点)3,1,2(，所以 131122=+-+c ，得3=c ．于是，所求平面方程为 13 12=+-+z y x ， 即 06263=-+-z y x ． 4、求过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线. 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量s =n ={0， 2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为 z y x -==2 0 ． 5、求过点)0,1,0(0M 且垂直于平面023=+-y x 的直线方程． 解 因所求直线的方向向量s 与已知平面的法向量同向，所以可取}0,1,3{-=s ，故所求方程为0 113z y x =--=． 6、求过点)1,1,2(，平行于直线1 2 2132--=+=-z y x 且垂直于平面0532=+-+z y x 的平面方程． 解 用点法式．所给直线的方向向量}1,2,3{-=s ，所给平面的法向量}3,2,1{1-=n ． 1321484123 ?=-=-++-i j k s n i j k ， 由题设知，所求平面的法向量s n ⊥且1⊥n n ，取11 ()24 =-?=--n s n i j k ，于是所求平面方程为 0)1()1(2)2(=-----z y x ， 即 012=+--z y x 7、求与两平面 x -4z =3和2x -y -5z =1的交线平行且过点(-3, 2, 5)的直线的方程. 解平面x -4z =3和2x -y -5z =1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s , 因为 )34( 512 401 )52()4(k j i k j i k j i k i s ++-=---=--?-=, 所以所求直线的方程为 1 5 3243-= -=+z y x . 8、求直线2 4 1312-= -=-z y x 与平面2x +y +z -6=0的交点. 解 所给直线的参数方程为 x =2+t , y =3+t , z =4+2t , 代入平面方程中, 得 2(2+t )+(3+t )+(4+2t )-6=0. 解上列方程, 得t =-1. 将t =-1代入直线的参数方程, 得所求交点的坐标为 x =1, y =2, z =2. 9、求过点(2, 1, 3)且与直线12131-=-=+z y x 垂直相交的直线的方程. 解 过点(2, 1, 3)与直线 1 2131-=-=+z y x 垂直的平面为 3(x -2)+2(y -1)-(z -3)=0, 即3x +2y -z = 直线12131-=-=+z y x 与平面3x +2y -z =5的交点坐标为)73 ,713 ,72(-. 以点(2, 1, 3)为起点, 以点)73 ,713 ,72(-为终点的向量为 )4 ,1 ,2(7 6)373 ,1713 ,272(--=----. 所求直线的方程为43 1122-= --=-z y x . 第一章函数 极限 连续 §1函数 1． 解：（1） 要使24sin x -有意义，必须.2,042≤≥-x x 即使所以定义域为[-2，2]. （2）当时，且1 3≠≠x x 3 41 2+-x x 有意义;而要使2+x 有意义，必须,2-≥x 故函数 的定义域为：).,3()3,1()1,2[+∞-、、 （3）,1010.101110ln 110ln arccos e x e e x e x x ≤≤∴≤≤≤≤-，即有意义，则使要使即 定义域为].10,10 [ e e （4）要使)1(+x tg 有意义，则必有.,2,1,0,2 1 ±±=+≠ +k k x ππ ;即函数定义域为 .,2,1,0,12? ?? ?? ?±±=-+≠∈ k k x R x x ππ且 （5）当有意义，时有意义；又当时x arctg x x x 1 033≠-≤故函数的定义域为： ].3,0()0(、，-∞ （6）x k k x k sin )2,1,0()12(2时当 ±±=+≤≤ππ有意义；有要使216x -有意义， 必须有.44≤≤-x 所以函数的定义域为：].,0[],4[ππ、 -- 2． .2)2 1(,2)21 (,2)0(,1)2(,2)3(2 1-=-====f f f f f 3． 解：3134,34)]([22≤≤-+--+-= x x x x x x g f 有意义；必须因此要使， 即[])(x g f 的定义域为[1，3]。 4．解? ?? ??>-=<=???? ???>-=<=; 0,1,0,0,0, 1,1, 1,1, 0, 1,1)]([x x x e e e x g f x x x ?????????>=<==, 1,1,1,1,1,)]([) (x e x x e e x f g x f 。 5．有意义，时当)(sin 1sin 0x f x ≤≤故其定义域为).2,1,0]()12(,2[ ±±=+k k k ππ。 6．???-<++-≥+=+?? ?<+-≥-=-; 1,52, 1,32)1(;1,52, 1,12)1(2 2 x x x x x x f x x x x x x f 七年级下册数学作业本答案2020（苏教版） 1、 =-0.5 =2 2、略 3、略 4、-1.50062×10^4 5、-0.00203 6、-1/(1+2a) -3/(2ab 2(x-y) 7、<-2.5 8、扩大5倍 选择题 ABC 12、 (1)=b/(a+b) (2)=3/(x-1) (3)=【(x-y)2/xy】× 【xy/(x+y)2】 = (x 2-2xy+y 2)/(x 2+2xy+y 2) (4)=(32x^7)/(9 y^3) 13、 x-12=2x+1 x=1 14、(1) x带入原式= (-2/5 – 2k)/-6/5k = 8/5 k=-5 (2)原式=x 2/(x 2+x) 当x=-1/2时，原式=-1 15、原式的倒数=3(x 2+1/x 2-1)=-9/4 16、原式=(a+ab+abc)÷(a+ab+abc)=1 17、设小李x，小王x+2。 60/(x+2)=48/x x=8 x+2=10 1、(1)右 4 下 5 下 5 右 4 点A′ 点B′ ∠C′ 线段B′C′ (2)相同距离 (3)相等相等相等 (4)形状 (5)距离 (6)略 2、图自己画啊 (1)一个定点这个定点 (2) 旋转中心相等相等相等 (3)大小形状 (4)略 3、图自己画 (1)180° 另一个图形两个图形这点两个图形成中心对称对称中心交点 (2)初始旋转中心旋转角0°<α<360° (3)180° 初始图形对称中心 (4)略 4、图自己画 (1)成轴对称直线 (2)相等相等相同不变 (3)两对对应点中点的垂线 (4)相互重合轴对称图形直线 (5)过圆心的直线无数边中点的中垂线 3 4 2 第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面； 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 . 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知 ，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ） 第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案： 一、填空题 1.点(),,M x y z 关于x 轴的对称点为1M (),,x y z --;关于x O y 平面的对称点为 2M (),,x y z -；关于原点的对称点为3M (),,x y z ---. 2. 平行于a ={1，1，1} 若向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行，λ为 15 . 3.已知两点() 1,2,41M 和()2,0,32M ，则向量21M M 在三个坐标轴上的投影分别是 –1 2- 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i - 、j 2- 、k , = 2 , 方向余弦 =αcos 21-、 =βcos 2 2-、=γcos 21 , 方向角=α 0120、 =β 0 135、 =γ 060, 与21M M 同方向的单位向量是??????--21,22,21 . 4. 已知两向量k j i a 1046+-=，k j i b 943-+=,则=+b a 2k j i 8412-+， =-b a 23k j i 482012+-,b a 23-在oz 轴上的投影为48 . 5．过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-++??=-??=-? 垂直的平面方程是340x y z --+= 二、选择题 1. 向量a 与b 的数量积?a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ?a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ． 2. 非零向量,a b 满足0?=a b ，则有（ C ）． A a ∥b ; B =λa b (λ为实数)； C ⊥a b ； D 0+=a b ． 3. 设a 与b 为非零向量，则0?=a b 是（ A ）． A a ∥b 的充要条件； B a ⊥b 的充要条件; C =a b 的充要条件； D a ∥b 的必要但不充分的条件． 初二年级下册数学课堂作业本答案 参考答案第1章平行线【1.1】1.∠4，∠4，∠2，∠5 2.2，1，3，BC 3.C4.∠2与∠3相等，∠3与∠5互补.理由略5.同位角是∠BFD 和∠DEC，同旁内角是∠AFD 和∠AED6.各4对.同位角有∠B 与∠GAD，∠B 与∠DCF，∠D 与∠HAB，∠D 与∠ECB;内错角有∠B 与∠BCE， ∠B 与∠HAB，∠D 与∠GAD，∠D 与∠DCF;同旁内角有∠B 与∠DAB， ∠B 与∠DCB，∠D 与∠DAB，∠D与∠DCB 【1.2(1)】1.(1)AB，CD (2)∠3，同位角相等，两直线平行 2.略3.AB∥CD，理由略 4.已知，∠B，2，同位角相等，两直线平行5.a与 b平行.理由略6.DG∥BF.理由如下：由DG，BF 分别是∠ADE 和∠ABC 的角平分线，得∠ADG=12∠ADE，∠ABF= 12 ∠ABC，则∠ADG=∠ABF， 所以由同位角相等，两直线平行，得DG∥BF 【1.2(2)】1.(1)2，4，内错角相等，两直线平行 (2)1，3，内错 角相等，两直线平行2.D3.(1)a∥c，同位角相等，两直线平行 (2)b∥c，内错角相等，两直线平行(3)a∥b，因为∠1，∠2的对顶角 是同旁内角且互补，所以两直线平行4.平行.理由如下：由 ∠BCD=120°，∠CDE=30°，可得∠DEC=90°.所以 ∠DEC+∠ABC=180°，AB∥DE (同旁内角互补，两直线平 行)5.(1)180°;AD;BC(2)AB 与CD 不一定平行.若加上条件∠ACD=90°，或∠1+∠D=90°等都可说明AB∥CD6.AB∥CD.由已知可得 ∠ABD+∠BDC=180° 7.略 【1.3(1)】1.D 2.∠1=70°，∠2=70°，∠3=110°3.∠3=∠4.理 由如下：由∠1=∠2，得DE∥BC(同位角相等，两直线平行)，∴ ∠3=∠4(两直线平行，同位角相等)4.垂直的意义;已知;两直线平行， 同位角相等;305.β=44°. ∵ AB∥CD，∴ α=β6.(1)∠B=∠D (2) 由2x+15=65-3x解得x=10，所以∠1=35° 高等数学（下） 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接， 试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量 第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为2 2 cos = α，2 2 cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点. 高等数学基础 形成性考核册 专业：建筑 学号： 姓名：牛萌 河北广播电视大学开放教育学院 （请按照顺序打印，并左侧装订） 高等数学基础形考作业1： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ?? ?≥<-=0, 10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 第一章 答案 习题1.1 1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 5）× 6）× 7）× 8）× 2．1）不同；2）不同；3）相同；4）不同；5）不同； 3．1）],0[],4(ππ?--；2）? ?????±±=-π+π≠+∞-∞∈ 2,1,0,12),,(|k k x x x 且； 3）当]1,[21a a a -≤ 时，为,当φ时，为2 1 >a 。 4.1）13-=x y ；2）]2,2[,3arcsin 31-∈=x x y ；3）)1,0(,1log 2 ∈-=x x x y ； 4）? ??≤<-≤≤-+=10,1 1,1x x x x y . 5.? ??≠==1,01 ,1))((x x x g f ;1))((=x f g . 习题1.2~1.3 1． 1)(lim 0 =- →x f x ,1)(lim 0 =+ →x f x ,1)(lim 0 =→x f x ; 1)(lim 0 -=?- →x x ,1)(lim 0 =?- →x x ,)(lim 0 x x ?-→不存在. 2. 1)极限不存在；2）2 )1cot 1(arctan lim 0 π =+→x arc x x . 3. 略 习题1.4 1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 2.C ；D. 习题1.5 1.1)1；2） 21；3）21；4）21. 2. 1)41；2）)(21m n mn -；3）2 1 ；4）6. 3.1）0；2）1；3）0；4）1；5）不存在；6）1；7）0 习题1.6 1.1）1；2） 2 5 1+； 2.1）2 e ；2）4 -e 3.1）2；2） 32；3）2 2-；4）e ；5）e 1；6）2π. 《高等数学(下册)》第八章练习题 一、填空题 1、________________ )sin(==dz xy z 则， 设 2、设),cos(2y x z =,则=??)2,1(πx z 3、函数22)(6y x y x z ---=的极值点为 4、设xy e z =,则=dz 5、设y z ln z x =,则=?zx z 二、选择题 )2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+= 2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x ''、存在就是),(y x f 在该点连续的( )、 (a)充分条件, (b)必要条件, (c)充要条件, (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x y x y x f +=,则＝（）)1,1(-'x f 、 (A)，31 (B)，31- (C)，65 (D).6 5- 三、计算题 方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 132 ???==x z x y 2、设),(y x z z =就是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数,F 具有一阶连续偏导数,且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求.,y z x z ???? 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,222z y x e u ++=而y x z sin 2=,求x u ??、 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线与法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。 一、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、( 本 大 题5分 ) 设L 由y =x 2及y =1所围成的区域D 的正向边界， 求 ?+++L dy y x x dx y x xy )()(2 4233 2、(本小题5分) 设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分??2 3 ),(10x x dy y x f dx 的积分次序。 3、(本小题5分) 设()f x 是以2π为周期的函数，当 x ∈-?? ?? ?ππ232, 时， ()f x x =。又设()S x 是()f x 的 以2π为周期的Fourier 级数之和函数。试写出()S x 在 []-ππ,内的表达式。 二、解答下列各题(本大题共7小题，总计42分) 1、(本小题6分) 设z=z(x,y)由方程x 2 +y 2 +z 2 =ln(y z )确定，求z z x y ,。 2、(本小题6分) 设z y xy x =++232 ()，求z z x y ,。 3、(本小题6分) 设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。 利用极坐标计算二次积分 5、(本小题6分) 求微分方程''-'+=y y y x e x 22的一个特解。 6、(本小题6分) 求幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛域。 7、(本小题6分) 求微分方程0)42()2(32=-+++dy y x y x dx y y 的通解。 三、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题7分) 求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面和法线方程 。 2、(本小题6分) 试求由x 2+y 2+z 2≤4与x 2+y 2≤3z 所确定的立体的体积。 四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 第八章空间解析几何与向量代数单元测试题参考答案： 一、填空题 1. 点M x, y, z关于x轴的对称点为M1 x, y, z ;关于xOy平面的对称点为M 2x, y, z ；关于原点的对称点为M3 x, y, z . 2. 平行于a ={1 ，1，1} 的单位向量为1 1,1,1 ；若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50} 3 平行，为1 . 5 3. 已知两点M1 4, 2,1 和 M 2 3,0,2 ，则向量M1M2在三个坐标轴上的投影分别是–1 2 、1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i 、 2 j 、 k , M1M 2 2 , 方向余弦cos 1 、 cos 2 、 cos 1 , 方向角1200 、 2 2 2 1350 、60 0 , 与M1M2 同方向的单位向量是 1 , 2 , 1 . 2 2 2 4. 已知两向量a 6i 4 j 10k ， b 3i 4 j 9k ,则 a 2b 12i 4 j 8k ， 3a 2b 12i 20 j 48k , 3a 2b 在oz轴上的投影为48 . x t 2 5．过点 M (1,2, 1) 且与直线y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4 0 z t 1 二、选择题 1.向量a与b的数量积 a b=（C）. A a rj 2.非零向量 A a ∥b b a ；B a rj a b ； C a rj a b ； D b rj a b．a, b 满足a b0 ，则有（C）． ; B a b (为实数)；C a b ；D a b0 ． 3.设 a 与b为非零向量，则a A a ∥b的充要条件； C a b 的充要条件；b0是（A）． B a ⊥b的充要条件; D a ∥b的必要但不充分的条件． 第七次作业 1.函数3 2z xy u = 在点A )2,1,5(处沿到点B )14,4,9(的方向 → AB 上的方向导数为 。 解 填13 992 802,8)2,1,5(3 )2,1,5()2,1,5(32)2,1,5(====xyz u z y u y x {}12,3,4,603) 2,1,5(22 )2,1,5(====→AB T z xy u z ,13 12 cos ,133cos ,134cos ===γβα 则u 在点A 处沿→ AB 的方向导数为： 13 992131260133801348)2,1,5(=?+?+?=??T u 2.函数 ()2 2 2 ln z y x u -+=在点 M )1,1,1(-处的梯度 =M gradu 。 解 填{}2,2,2-- 2 22222222z y x z 2z u ,z y x y 2y u ,z y x x 2x u -+-=??-+=??-+=?? 2,2,2) 1,1,1()1,1,1()1,1,1(=??-=??=??∴---z u y u x u {}2,2,2-=∴M gradu 3.对二元函数(,)z f x y =而言（ ） 。 A.,x y f f 存在且连续，则(,)f x y 沿任一方向的方向导数存在； B. (,)f x y 的偏导数都存在，则(,)f x y 沿任一方向的方向导 数存在； C.沿任一方向的方向导数存在，则函数(,)f x y 必连续； D ．以上结论都不对。 解 填（A ） x y f f ，存在且连续f ?可微?沿任一方向的方向导数存在。 4.若函数(,,)u u x y z = 在点(,,)x y z 处的三个偏导数都存在 且不全为0，则向量,,u u u x y z ????????????的方向是函数u 在点 (,,)x y z 处的（ ） 。 A ．变化率最小的方向； B ．变化率最大的方向； C ．可能是变化率最小的方向，也可能是变化率最大的方向； D ．既不是变化率最小的方向，也不是变化率最大的方向。 解 填（B ） 第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案： 上册练习题 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt = -? ，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ()( , )(2)( )(1 =+=? x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且 设 （A ）2 2x （B ）2 2 2 x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 )31(lim . 6. , )(cos 的一个原函数 是已知 x f x x = ? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 22 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 121 2 2 11 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. . d ) 1(17 7x x x x ? +-求 六年级下数学课堂作业本答案 六年级下数学课堂作业本答案 一、填空题：(22分) 1、()÷24=38=24：()=()% 2、六年级数学下册数学期中考试卷：在2、 3、 4、6、9中选四个写出一个比例式：()。 3、在一个比例中，两个外项的积是12，其中一个内项是23，则另一个内项是()。 4、一瓶50克的盐水，盐与水的质量比是24∶1，盐有()克，将这瓶盐水搅拌均匀后平均分成两份，其中一份的含盐率是()%。 5、在一个比例式中，两个比的比值等于25，这个比例的两个内项分别是10以内相邻的两个质数，这个比例式是()。 6、总价一定，数量和单价成()比例，比例尺一定，图上距离和实际距离成()比例。 7、小圆半径是2厘米，大圆半径是3厘米，小圆与大圆周长的比是()，面积的比是()。 8、一件上衣七五折后售价是135元，这件上衣的原价是()元 9、六年级一班有50人参加数学考试，结果2人不达标，达标率是()%。 10、把一个棱长6cm的正方体木料削成一个最大的圆锥体,这个圆锥体的体积是()。 11、一个圆锥的体积是48立方厘米，高是8厘米，底面积是()平方厘米。 12、一辆车往返甲乙，去时用4小时，回来时，速度提高了17，回来时用()小时。 13、早上8时，小华在操场上量得1米长的竹竿的影长1.5米。同时，他还量得操场上旗杆的影长18米，操场上旗杆有()米。 14、纳税是每个公民应尽的义务。做服装生意的王叔叔上月营业额是6000元，如果按5%的税率缴纳营业税，王叔叔上月应缴营业 税()元? 15、如果甲数的4/5等于乙数的2/3，那么甲数：乙数=(：) 16、一圆柱，半径与高的比是4︰5，将这个圆柱的底面分成许 多相等的'小扇形，切开拼成一个近似长方体，长方体的长比宽多 8.56cm,这个圆柱的体积是()。 17、小亮练习投篮160次，命中率是60%，他有()次命中。 二、判断题：(5分) 1、圆的面积和半径成正比例。() 2、如果圆锥的体积是圆柱体积的，那么它们一定等底等高。() 3、如果一个比例的两个内项互为倒数，那么它的两个外项也互 为倒数。() 4、圆锥体的体积一定，它的底面积与高成反比例。() 5、吨等于40%吨。() 三、选择题：(7分) 1、将一个圆锥的底面直径扩大到原来的3倍,要使体积不变，高要缩小到原来的()。A.B.C.D. 2、两个正方形的边长的比是1∶3，那么，这两个正方形的面积 比是()。 A1∶3B3∶1C1∶9D9∶1 习题8.1 1. 解 2. 解 3.解 4.解设 则 5. 解 A: Ⅴ B : Ⅳ C: Ⅶ D : Ⅲ 6. A点在XOY 面上，点 B在 YOZ 面上， C点在 Z轴上，点D 在Y轴上。 7. (1) A点关于 xOy 平面的对称点是（2，-3，1） B点关于 xOy 平面的对称点是（a，b，-c） A点关于 yOz 平面的对称点是（-2，-3，1） B点关于 xOy 平面的对称点是（-a，b，c） A点关于 xOz 平面的对称点是（2，3，-1） B点关于 xOz 平面的对称点是（a，-b，c） A点关于x轴、y轴、z轴的对称点分别是（2,3,1）（-2，-3,1）（-2,3，-1） B点关于 x轴、y轴、z轴的对称点分别是（a,-b,-c) (-a,b,-c) (-a,-b,c) A点关于原点的对称点为（-2,3-1） B点关于原点的对称点为（-a,-b,-c) 8. 9.解 所以△M1M2M3为等腰三角形。 10.解 11. 解 12. 解 13. 解 14. 解 15. 解（1） 16. 解 17. 解 18 解 19. 解 习题8.2 1. 解（1） （2） （3） 2. 解（1）（2）（3） (4) (5) 3. 解 4. 解 5. 解 6. 解利用向量积的几何意义 7. 解（1） （2） 8. 解 (1) (2) (3) 10. 解（1） （2） 13. 解 习题8.3 1. 解 2. 解 3. 解（1）（2） 4~8见课本P317 9. 10. 解习题 8.4 1. 解 2. 解（1）平面中表示点（-6，-8），空间中表示一条直线； （2）平面中表示点（2,0），空间中表示一条直线； （3）平面中表示点（1,0），（0,1），空间中表示两条直线； 3. 解 4. （1）解 （2）解 （3） 解 5. （1）解 （2） 解 6. 解由参数方程得于是 于是得到在xOy坐标面上的投影为 在xOz坐标面上的投影为 在xOz坐标面上的投影为 第一学期高等数学(一)作业（八） 三、计算下列定积分 班级： 姓名： 学号： 1、x x x d ) 1(1 21 4 ? +. 一、填空题 1、定积分=+? x x x d 4120 . 2、设 )(x f 连续，且? -+=x a t t x f x F d )()(，则=')(x F . 3、设0>b ，且?=b x x x 0 1d e ，则常数=b . 4、设 a x x m =? d c o s 2 π0 （m 为正整数），则=+? x x x m d )(sin 2π0 2 . 5、=+?-x x x d e 11 12 .（提示:利用[]x x f x f x x f a a a d )()(d )(0 ??-+=-）. 二、单项选择题 1、设 ???<≥=1 ,01 ,ln )(x x x x f ，且?-=x t t f x F 1 d )()(，则=)2(F . (A) 12ln 2+； (B) 12ln 2-； (C) 21-； (D) 2 1 . 2、定积分()=++?-112 23d 1cos x x x x x . （A ）0； （B ）31； （C ）3 2 ； （D ）1. 3、设 x x f e )13(=+，则定积分=? -72 d )(x x f . (A))e e (31 2 --； (B) )e e (1 2 --； (C) )e e (3 112 --； (D) )e e (27--. 4、设 ? =1 22d )(x x f ，且1d )()(1 ='?x x f x f x ，则=)1(f . （A ） 3； （B ）2； （C ）2或2-； （D ）3或3-. 5、反常积分 =? ∞+-0 d e x x x n ，其中n 为正整数. (A) n ； (B) !n ； (C) 1； (D) ∞+. 2、x x x d ) ln 2(1 e 1 2 ? +. 3、? --2π2 π3d cos cos x x x . 4、 {} x x d ,1max 22 2? -.高等数学作业上-1 (答案)
七年级下册数学作业本答案2020(苏教版)
(完整)同济版高等数学下册练习题(附答案)
大学高等数学上习题(附答案)
高数下典型习题及参考答案
高等数学同济大学第六版 第八章 单元练习题 参考答案
初二年级下册数学课堂作业本答案
高等数学(下)课后习题答案
高等数学作业集答案第八章
《高等数学基础》作业
高数作业本答案(上册)
《高等数学》第八章练习题及答案
高等数学下册复习题及答案
高等数学同济大学第六版第八章单元练习题参考答案.doc
高数下册第十一章第七次作业答案
(完整版)高数答案(下)习题册答案第六版下册同济大学数学系编
高数上册练习题
六年级下数学课堂作业本答案
南京工程学院高等数学第八章习题答案
高等数学上册作业1-8有答案