人教版数学高二人教数学A版同步练习)～032导数的概念与运算
1032导数的概念与运算
1．函数y =(x +2a )(x －a )2的导数为（ ）
A ．2（x 2－a 2）
B .3(x 2+a 2)
C .3(x 2－a 2)
D .2(x 2+a 2)
2．y =ln [ln (lnx )]的导数为（ ）
A ．)ln(ln 1x x
B ．)ln(ln ln 1x x
C .)ln(ln ln 1x x x
D . )
ln(ln 1x 3．函数y =si n n xco s nx 的导数为（ ）
A ． n si n n －1xco s nx
B . n si n n xco s nx
C .n si n n xco s(n +1)x
D .n si n n －1xco s(n +1)x
4．若y =32x lg (1－co s2x )，则x y '为（ ）
A ．4·9x [2ln 3lg (1－co s2x )+lge ·co t x ]
B . 4·9x [2ln 3lg (1－co s2x )+lg 10·co t x ]
C . 2·9x [ln 3·lg (1－co s2x )+lge ·co t x ]
D . 以上皆非
5．已知f (x )=(5)f '为 ( )
A ．2710-
B . 2710
C .3
2128 D .以上皆非 6. （05湖北卷）在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 7. ( 05全国卷III )曲线32y x x =-在点（1，1）处的切线方程为
8．函数y =x
x sin 2
的导数为______. 9．函数y =
3
32++x x 在点x =3处的导数值为_____. 10．函数y =2x 2－3x +4－223x x +的导数为______. 11．函数y =)32(sin 2π
+x 的导数为______.
12．在受到制动后的七秒种内飞轮转过的角度（弧度）由函数=)(t ?4t －0.3t 2给出，求：
（1）t=2(秒)时，飞轮转过的角度；
（1） 飞轮停止旋转的时刻.
13．动点沿ox 轴的运动规律由x =10t+5t 2给出，式中t 表示时间（单位：s ）,x 表示距离（单位：m ），求在20≤t ≤20+△t 时间段内动点的平均速度，其中
①△t=1； ②△t=O .1； ③△t=0.01
当t=20时，运动的瞬时速度等于什么？
14．设2ln(1), 0()0, 01sin , 0x x f x x x x x
??+>?==???
同步练习 g3.1032
1—6、CCDCDD.
7、x+y-2=0. 8、2'
22sin cos .sin x x x x y x -= 9、1.6- 10、'234334.y x x x --=-+- 11、22sin(4).3x π+
12、（1）6.8 rad/s; (2)20().3
s 13、（1）215； 210.5； 210.05. （2）210. 14、221(0)
1'()0)sin 2sin .x x f x x x x x
x ?>?+??==???-??不存在（
2019-2020年高二数学导数与导函数的概念教案 苏教版
2019-2020年高二数学导数与导函数的概念教案 苏教版 教学目标： 1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义； 2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转 化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力 3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点： 1、导数的求解方法和过程； 2、导数符号的灵活运用 教学难点： 1、导数概念的理解； 2、导函数的理解、认识和运用 教学过程： 一、情境引入 在前面我们解决的问题： 1、求函数在点（2，4）处的切线斜率。 x x x f x f x y ?+=?-?+=??4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是，求时的瞬时速度。 t t t t v t t v t V o o o ?+=?-?+=??2)()(，故斜率为4 二、知识点讲解 上述两个函数和中，当()无限趋近于0时，()都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称在处可导，并称A 为在处的导数，记作或， 上述两个问题中：（1），（2） 三、几何意义：我们上述过程可以看出 在处的导数就是在处的切线斜率。 四、例题选讲 例1、求下列函数在相应位置的导数 （1）， （2）， （3）， 例2、函数满足，则当x 无限趋近于0时， （1） （2）
变式:设f(x)在x=x0处可导， 1.无限趋近于1，则=___________ （4）无限趋近于1，则=________________ （5）当△x无限趋近于0， x x x f x x f ? ?- - ? +) 2 ( ) 2 ( 0所对应的常数与的关系。 总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。 例3、若，求和 注意分析两者之间的区别。 例4：已知函数，求在处的切线。 导函数的概念涉及：的对于区间（,）上任意点处都可导，则在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为的导函数，记作。 五、小结与作业
人教新课标版数学高二 选修1-1练习 导数的运算法则
课时跟踪检测（十六） 导数的运算法则 层级一 学业水平达标 1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．－1 D ．0 解析：选A ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1. 2．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选D y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，∴y ′|x ＝1＝4. 3．曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋2 B ．y ＝2x －2 C ．y ＝x －1 D ．y ＝x ＋1 解析：选C ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴在点x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1. 4. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度 为( ) A.194 B.174 C.154 D.134 解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134 . 5．设曲线y ＝ax －ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选D y ′＝a －1，由题意得y ′|x ＝1＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 6．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3×12－1＝2.
高中数学导数的概念综合测试题(含答案)-学习文档
高中数学导数的概念综合测试题(含答案) 选修2-2 1.1 第2课时导数的概念 一、选择题 1．函数在某一点的导数是() A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C [解析] 由定义，f(x0)是当x无限趋近于0时，yx无限趋近的常数，故应选C. 2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为() A．6 B．18 C．54 D．81 [答案] B [解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3， s＝s(t0＋t)－s(t0)＝3(3＋t)2－332 ＝18t＋3(t)2st＝18＋3t. 当t0时，st18，故应选B. 3．y＝x2在x＝1处的导数为() A．2x B．2
C．2＋x D．1 [答案] B [解析] ∵f(x)＝x2，x＝1， y＝f(1＋x)2－f(1)＝(1＋x)2－1＝2x＋(x)2 yx＝2＋x 当x0时，yx2 f(1)＝2，故应选B. 4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为() A．37 B．38 C．39 D．40 [答案] D [解析] ∵st＝4(5＋t)2－3－452＋3t＝40＋4t， s(5)＝limt0 st＝limt0 (40＋4t)＝40.故应选D. 5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是() A．y＝f(x0＋x)－f(x0)叫做函数值的增量 B.yx＝f(x0＋x)－f(x0)x叫做函数在x0到x0＋x之间的平均变化率 C．f(x)在x0处的导数记为y D．f(x)在x0处的导数记为f(x0) [答案] C
高中数学一轮复习 第1讲 导数的概念及其运算
第1讲 导数的概念及其运算 1.已知函数3 2 ()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.103 【答案】 D 【解析】 f′2 ()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643 a -=,=. 2.设y=-2e x sinx,则y′等于( ) A.-2e x cosx B.-2e x sinx C.2e x sinx D.-2e (x sinx+cosx) 【答案】 D 【解析】 ∵y=-2e x sinx, ∴y′=(-2e )x ′sinx+(-2e )(x sinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (x sinx+cosx). 3.已知3 270()x m f x mx m <,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( ) A.-9 B.-3 C.3 D.9 【答案】 B 【解析】 由于f′2 27()3x mx m =+,故f′27(1)183m m ≥-?+≥ -18 , 由m<0得2 27318318270m m m m +≥-?++≤?2 3(3)m +0≤,故m=-3. 4.设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.12 C.12 - D.-2 【答案】 D 【解析】 因为y′22(1) x -= ,-所以切线斜率k=y′|3 x ==1 2-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直, 故有()1k a ?-=-,因此12a k ==-. 5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 【答案】 B 【解析】 f′12()x =cos 22x ?+cosx=cos2x+cosx =2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-. 故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项.
高一数学导数的概念
导数的概念 人教社·普通高级中学教科书（选修Ⅱ） 第三章第一节《导数的概念》（第三课时） 导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.《导数的概念》这一节内容，大致分成四个课时，我主要针对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正. 一、教材分析 1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效. 1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展. 1.3 教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表：
通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法. 1.4 重、难点剖析 重点：导数的概念的形成过程. 难点：对导数概念的理解. 为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f (x )在点x 0可导→f (x )在开区间（a ，b ）内可导→f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”.事实上：（1）f (x )在点x 0处的导数是这一点x 0 到x 0+△x 的变化率 x y ??的极限，是一个常数，区别于导函数. （2）f (x )的导数是对开区间内任意点x 而言，是x 到x +△x 的变化率x y ??的极 限,是f (x )在任意点的变化率，其中渗透了函数思想. （3）导函数就是导数！是特殊的函数：先定义f (x )在x 0处可导、再定义f (x )在开区间（a ，b ）内可导、最后定义f (x )在开区间的导函数. （4）y = f (x )在x 0处的导数就是导函数)(x f '在x =x 0处的函数值，表示为0|x x y ='这也是求f ′(x 0)的一种方法.初学者最难理解导数的概念，是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个关键词．．．．．的区别和联系，会出现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f (x )在点x 0可导”、“f (x )在
2021-2022年高二数学导数的概念的说课稿
2021-2022年高二数学导数的概念的说课稿 一、教材分析 导数的概念是高中新教材人教A版选修2-2第一章1.1.2的内容, 是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。 新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。 问题1 气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率 问题2 高台跳水的平均速度--→瞬时速度 根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点 二、教学目标 1、知识与技能： 通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。 2、过程与方法： ①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力 ②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法 3、情感、态度与价值观： 通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 三、重点、难点
?重点：导数概念的形成，导数内涵的理解 ?难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点 四、教学设想（具体如下表）
五、学法与教法 ?学法与教学用具 学法： （1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。（如问题2的处理） （2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。（如问题3的处理） （3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。（如例题的处理） 教学用具：电脑、多媒体、计算器 ?教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动——师生互动、共同探索。②导——教师指导、循序渐进 （1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲 （2）理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义 （3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识
高二数学导数的概念
高二数学导数的概念 导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.《导数的概念》这一节内容，大致分成四个课时，我主要针对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正. 一、教材分析 1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效. 1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展. 1.3 教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表： 表 表2. 知识迁移类比（导数像速度）
通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法. 1.4 重、难点剖析 重点：导数的概念的形成过程. 难点：对导数概念的理解. 为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f (x )在点x 0可导→f (x )在开区间（a ，b ）内可导→f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导 函数与导数是怎么统一的？”.事实上：（1）f (x )在点x 0处的导数是这一点x 0到x 0+△x 的变化率x y ??的极限，是一个常数，区别于导函数. （2）f (x )的导数是对开区间内任意点x 而言，是x 到x +△x 的变化率 x y ??的极限,是f (x )在任意点的变化率，其中渗透了函数思想. （3）导函数就是导数！是特殊的函数：先定义 f (x )在x 0处可导、再定义f (x )在开区间（a ，b ）内可导、最后定义f (x )在开区间的导函数. （4）y = f (x ) 在x 0处的导数就是导函数)(x f '在x =x 0处的函数值，表示为0|x x y ='这也是求f ′(x 0)的一种方法.初学者最难理解导数的概念，是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个关键词．．．．．的区别和联系，会出现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f (x )在点x 0可导”、“f (x )在开区间的导函数”和“导数”之间的联系，而要弄清这种联系的最好方法就是类比！用“速度与导数”进行类比.
高二数学 导数的概念及其运算(一)学案
高二数学导数的概念及其运算（一）学案 （一） 一、学习目标：掌握导数的概念、导数的几何意义能利用导数概念求导,能利用几何意义求切线方程 二、知识梳理： 1、导数的概念： （1）平均变化率：函数从到的平均变化率用式子表达为， 简记为（2）瞬时变化率：一般的，函数在处的是（写出两种）（3）函数在处的导数： 导数与瞬时变化率的关系，导数的写法（4）用导数定义求导数的三步骤：第一步求增量，第二步平均变化率，第三步取极 限写结果（5）导函数的定义：公式为（只有一个） 2、导数的几何、物理意义(1)导数的几何意义就是曲线在点 处的、即k=、(2) 设s=s（t）是位移函数，则表示物体在t=t0时刻的____、(3)设v=v（t）是速度函数，则表示物体在t=t0时刻的____、 三、热身训练: 1、任一做直线运动的物体，其位移与时间的关系是，则物体的初速度是（用导数定义求解） 2、函数，在处的导数是 3、曲线y=在点（1，1）处切线的倾斜角=
4、已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 5、若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 6、若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是 四、例题分析例 1、用定义求在点x=10处的导数。神舟飞船发射后的一段时间内，第ts时的高度h（t）=5t3+30t2+45t+ 4、其中h的单位为m，t的单位是s、(1) 求第1s内的平均速度； (2) 求第ts末的瞬时速度（t）；(3) 经过多长时间飞船的速度达到75m／s?变式训练：动点沿ox 轴的运动规律由x=10t+5t2给出，式中t表示时间（单位：s）,x 表示距离（单位：m），求在20≤t≤20+△t时间段内动点的平均速度，其中①△t=1；②△t=O、1；③△t=0、01 当t=20时，运动的瞬时速度等于什么？例题2利用导数定义证明，并求过点的曲线的切线方程。变式拓展已知函数f（x）=x2-x在区间［1,t］上的平均变化率是2，求t的值、例3已知抛物线通过点，且在点处与直线相切，求的值。变式训练：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是例 3、（1）曲线：在点处的切线为在点处的切线为，求曲线的方程；（2）求曲线的过点的切线方程变式训练：曲线在点（1，1）处的切线方程为五巩固训练
北师大版数学高二-高中数学《导数的计算-基本初等函数的导数及导数的运算法则》教案3 选修2-2
高中数学《导数的计算-基本初等函数的导数及导数的运算法则》教案3 选修2-2 一、教学目标： 了解复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数. 二、教学重点： 掌握复合函数导数的求法 教学难点： 准确识别一个复合函数的复合过程以便准确应用求导法则进行求导. 三、教学过程： （一）复习引入 1. 几种常见函数的导数公式 (C )'＝0 (C 为常数)． (x n )'＝nx n －1 (n ∈Q)． ( sin x )'＝cos x ． ( cos x )'＝－ sin x ． 2．和（或差）的导数 (u ±v )'＝u '±v '． 3．积的导数 (uv )'＝u 'v ＋uv '． (Cu )'＝Cu ' ． 4．商的导数 ).0(2≠'-'='??? ??v v v u v u v u （二）讲授新课 1．复合函数： 如 y ＝(3x －2)2由二次函数y ＝u 2 和一次函数u ＝3x －2“复合”而成的．y ＝u 2 ＝(3x －2)2 ． 像y ＝(3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数． 练习：指出下列函数是怎样复合而成的． .)12(tan )4( ;)3cos 1()3( );11(sin )2( ;)1()1(33232+=+=-=-=x x y x y x y x y 复合函数的导数 一般地，设函数u ＝?(x )在点x 处有导数u'x ＝?'(x )，函数y ＝f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '(u ) ，则复合函数y ＝f (?(x )) 在点x 处也有导数，且 y'x ＝y'u ·u'x ． 或写作 f 'x (?(x ))＝f '(u ) ?'(x )． 复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数． 例1 求y ＝(3x －2)2的导数． 解：y'＝[(3x －2)2]' ＝(9x 2－12x ＋4)'＝18x －12． 法1 函数y ＝(3x －2)2又可以看成由y ＝u 2 ，u ＝3x －2复合而成，其中u 称为中间变量． 由于y'u ＝2u ，u'x ＝3， 因而 y'x ＝y'u ·u'x ＝2u ·3＝2u ·3＝2(3x －2)·3＝18x －12． 法2 y'x ＝y'u ·u'x 例2 求y ＝(2x ＋1)5的导数． 解：设y ＝u 5，u ＝2x ＋1， 则 y'x ＝y'u ·u'x ＝(u 5)'u ·(2x ＋1) 'x ＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4．
2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题3-1 导数的概念及运算、定积分
专题3.1 导数的概念及运算、定积分 【考情分析】 1.了解导数概念的实际背景； 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义； 3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1 x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数； 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数； 5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义； 6.了解微积分基本定理的含义。 【重点知识梳理】 知识点1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′（x ）＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 。 【特别提醒】函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。 (2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)。 【特别提醒】曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线。 (3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数。 (4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0。 知识点2．基本初等函数的导数公式
(完整word版)高二导数计算练习题(基础题)
一、基本初等函数的导数公式： （1）f(x)=C （C 为常数），则f ’(x)=_______ （2）f(x)=)(Q a x a ∈，则f ’(x)=_______ （3）f(x)=sinx ，则f ’(x)=_______ （4）f(x)=cosx ，则f ’(x)=_______ （5）f(x)=x a ，则f ’(x)=_______ （6）f(x)=x e ，则f ’(x)=_______ （7）f(x)=x a log ，则f ’(x)=_______ （8）f(x)=x ln ，则f ’(x)=_______ 二、导数的运算法则： 已知)(),(x g x f 的导数存在，则： （1）_______________])()([='±x g x f （2）__________________])()([='?x g x f （3）=']) ()([x g x f ____________________ 导数计算练习题 1、已知()2f x x =，则()3f '等于（ ） A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 2、()0f x =的导数是（ ） A ．0 B ．1 C ．不存在 D ．不确定 3、y 的导数是（ ） A ．23x B ．21 3 x C ．12 - D 4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、若()f x =()1f '等于（ ）
A ．0 B ．13- C ．3 D ．13 7、函数()2 2423y x x =-+的导数是（ ） A ．()2823x x -+ B ．()2 216x -+ C ．()()282361x x x -+- D ．()()242361x x x -+- 8、求函数212y x =-在点1x =处的导数。 9、求下列各函数的导数 (1) 235y x x =-+ (2) 1y x =+(3) 222 2x y x =+ (4) 3 y = (5) 1)y = (6) (y x =+ (7) ()()y x a x b =--
2020-2021年高二数学导数的概念教案 上教版
2019-2020年高二数学导数的概念教案 上教版 教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。 教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课： 上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。 二、新授课： 1.设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 注：1.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。 3.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。
4.导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。 5.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。 6.在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成0 0000/)()(lim )()(lim )(0x x x f x f x x f x x f x f x x o x --=?-?+=→→?。 7.若极限不存在，则称函数在点处不可导。 8.若在可导，则曲线在点（）有切线存在。反之不然，若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。 一般地，，其中为常数。 特别地，。 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即 ＝＝x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 00 函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝。所以函数在处的导数也记作。 注：1.如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。
高中数学选修2-2导数的概念
导数的概念 教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。 教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课： 上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。 二、新授课： 1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。 3.x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率。 4.导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。 5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ?无关。 6.在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成0 0000/)()(lim )()(lim )(0x x x f x f x x f x x f x f x x o x --=?-?+=→→?。
人教版数学高二学案变化率问题导数的概念
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念. 2.掌握函数平均变化率的求法. 3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数. 知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念 设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子 f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 表 示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为Δy Δx . 2.求平均变化率 求函数y ＝f (x )在上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1) Δx . 思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？ 答案 (1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示：
y ＝f (x )在区间上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，????Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间上越“陡峭”，反之亦然. 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB . 知识点二 瞬时速度与瞬时变化率 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt . 物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率. 思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？ (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？ 答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它刻画函数值在某处变化的快慢. (2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率Δy Δx 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值. 知识点三 导数的概念 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x =，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 思考 (1)函数f (x )在x 0处的导数满足什么条件时存在？ (2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤是什么？ 答案 (1)函数f (x )在x 0处可导，是指Δx →0时，Δy Δx 有极限，如果Δy Δx 不存在极限，就说函数 在点x 0处无导数.
高二数学选修2-2导数的计算(可编辑修改word版)
1 导数的计算 教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用一、用定义计算导数 问题1：如何求函数y =f (x) =c 的导数？ 2.求函数y =f (x) =x 的导数 3.函数y =f (x) =x2的导数 4.函数 y = 5.函数 y = f (x) =的导数 x 的导数 二 1.基本初等函数的导数公式表 函数导数 y =c y'= 0 y =f (x) =x n(n ∈Q*) y' =nx n-1 y = sin x y'= cos x y = cos x y'=-sin x y =f (x) =a x y'=a x? ln a (a > 0) y =f (x) =e x y'=e x f (x) = log a x f '(x) = 1 (a > 0且a ≠ 1) x l n a f (x) = ln x f ' (x) =1 x 分几类1、幂函数 2.三角函数 3 指数函数 4.对数函数 补充 f (x) =1 x f ' (x) =- 1 x2 x
x 2 x x ? ? = f (x ) (g (x ) ≠ 0) 2 ] g (x ) [ f ' (x )g (x ) - f (x )g ' (x ) = ? ? g (x ) ? ? ? f (x ) ?' 3、 1、 [ f (x ) ± g (x )]' = f ' (x ) ± g ' (x ) 2、[ f (x ) ? g (x )]' = f ' (x )g (x ) ± f (x )g ' (x ) 导数运算法则 f ( x ) = 1 f ' (x ) = 1 2 公式的应用 典型题一、求导数 例1、求下列函数的导数 A (1) y = x 5 (2) y = 5 (3) y = 1 (4) y = ln x (5) y = log 2 x (6) y = cos x 思考 求 f '(x ) 的方法有哪些？ 3. 导数的四则运算法则： 问题 x ? l n x 如何求？ 推论： [cf (x )]' = cf ' (x ) 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.。 常见错误： [ f (x ) ? g (x )]' = f ' (x )g ' (x ) ? f (x ) ?' ? g (x ) ? ' (g (x ) ≠ 0) g ' (x ) 典型题二、导数的四则运算法则 例题 3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
2019届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算学案理北师大版
§3.1 导数的概念及运算 1．导数与导函数的概念 ，那么这个值就是函数 平均变化率趋于一个固定的值时，如果0趋于x Δ，即0x 趋于1x 当(1)y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常 用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x1→x0 错误!＝错误!错误!. (2)如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝ lim Δx→0错误!，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数． 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜 ． )0x ′(f ＝k ，即k 率 3．基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)[错误!]′＝错误!(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))．其中u为中间变量．复合函数y＝f(φ(x))的导数为y x′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)． 知识拓展 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( ×) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ×) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ×) (4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( ×) 题组二教材改编 2．若f(x)＝x·e x，则f′(1)＝. 答案2e 解析∵f′(x)＝e x＋x e x，∴f′(1)＝2e.
高二数学导数的概念课后作业题
一、题组对点训练 对点练一 函数的平均变化率 1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2 解析：选C 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b ) 2－1 ＝a ＝3. 2．若函数f (x )＝－x 2 ＋10的图象上一点? ????32，314及邻近一点? ????32＋Δx ，314＋Δy ，则Δy Δx ＝ ( ) A ．3 B ．－3 C ．－3－(Δx )2 D ．－Δx －3 解析：选D ∵Δy ＝f ? ????32＋Δx －f ? ?? ??32＝－3Δx －(Δx )2 ， ∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx ) 2 Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝ 1 x 在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率． 解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝ 11＋Δx －1 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx ＝ －Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx ， ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx . 对点练二 求瞬时速度 4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3 －2表示，则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( ) A ．1 B ．3 C ．－1 D ．0 答案：B 5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝ s (t 0＋Δt )－s (t 0) Δt ＝(t 0＋Δt )3 －2－(t 3 0－2)Δt ＝3t 2 0Δt ＋3t 0(Δt )2 ＋(Δt )3 Δt ＝3t 2 0＋3t 0Δt ＋(Δt )2 .