高中数学知识点课本回归

高中数学课本回归（1）

第一章、集合

一、基础知识（理解去记）

定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，

}

0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。 便于理解：B A ⊆包含两个意思：①A 与B 相等 、②A 是B 的真子集 定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集，

}.

{B x A x x B A ∈∈=或

定义5 补集，若}

,{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 集合

}

,,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合

}

,,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞

定义7 空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

补充知识点 对集合中元素三大性质的理解 （1）确定性

集合中的元素，必须是确定的．对于集合A 和元素a ，要么a A ∈，要么a A ∉，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合．

（2）互异性

对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由a ，2

a 组成一个集合，则a 的取值不能是0或1． （3）无序性

集合中的元素的次序无先后之分．如：由1

23，，组成一个集合，也可以写成132，，组成一个集合，它们都表示同一个集合．

帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题 （1）注意a 与{}a 的区别．a 是集合{}a 的一个元素，而{}a 是含有一个元素a 的集合，二者的关系

是

{}

a a ∈．

（2）注意∅与

{}0的区别．∅是不含任何元素的集合，而{}0是含有元素0的集合．

（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或

{

}R 来表示实数集R 这一类错误，因为这

里“大括号”已包含了“所有”的意思．

用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：

集合{()

x y y =，中的元素是()x

y ，，这个集合表示二元方程y =

或者理解为曲

线y =

集合{x y =中的元素是x

，这个集合表示函数y =x 的取值范围；

集合{y y =中的元素是y

，这个集合表示函数y =

y 的取值范围；

集合

{y =中的元素只有一个（方程y =

，它是用列举法表示的单元素集合．

（4）常见题型方法：当集合中有n 个元素时，有2n 个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子

集。

集合穿针 转化引线（最新） 一、集合与常用逻辑用语

3.若2

:3840:(1)(2)0p x x q x x -+>+->，，则p ⌝是q ⌝的（ ）．

（A ）充分条件

（B ）必要条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件

4. 若k ∈R ，则“3k >”是“方程22

1

33x y k k -=-+表示双曲线”的（ ）．

（A）充分条件（B）必要条件

（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件二、集合与函数

5.已知集合

2

{2}{2}

P y y x x Q x y x x

==-+∈==-+∈

R R

，，，

，那么

P Q等于（）．

（A）（0，2），（1，1）（B）｛（0，2），（1，1）｝

（C）｛1，2｝（D）{2} y y≤

第二章、函数

一、基础知识（理解去记）

定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。

定义2 函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A, y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函

数y=3x-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.

定义4 函数的性质。

（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2∈I并且x1< x2，总有f(x1)f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。

（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。

定义5 如果实数aa}记作开区间（a, +∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].

定义6 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；

（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；

（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；

（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；

（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；

（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；

（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。

一、基础知识（初中知识必会）1．二次函数：当≠

a0时，c

bx

ax

x

f+

+

=2

)

(称为关于x的二次函数，其对称轴为直线

a

b

x

2

-

=，

另外配方可得

a

b

ac

a

b

x

a

x

f

4

4

)

2

(

)

(

2

2

-

+

+

=。

2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。

3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1x2}和{x|x1

2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=a

b

2

-

,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x a

b

2

-

≠

}和空集∅，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。

3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和∅.f(x)图象与x轴无公共点。

当a<0时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=a

b

ac

4

42

-

,若a<0，则当x=x0=a

b

2

-

时，f(x)取最大值f(x0)=a

b

ac

4

42

-

.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0n时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。

定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

一定注意：“p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。

定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。

一定注意：原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。

一定注意：反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3 如果命题“若p则q”为真，则记为p⇒q否则记作p≠q.在命题“若p则q”中，如果已知p⇒q,则p是q的充分条件；如果q⇒p，则称p是q的必要条件；如果p⇒q但q不⇒p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不⇒q但p⇒q，则p称为q的必要非充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件。