高中数学回归课本(集合)

回归课本(二)集合、简易逻辑

一.考试内容：集合.子集.补集.交集.并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 二.考试要求：

(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的

意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.

(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.

【注意】近年的高考题中，集合的考查通常以两种方式出现：①考查集合的概念、集合的关系、集合的运算；②在考查其他部分内容时涉及到集合的知识.很少有正面考查逻辑的内容.逻辑与充要条件的知识往往是和其他知识结合起来考查.

三.基础回顾:

1. 元素与集合的关系

U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式

();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I .

3.包含关系

A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆

U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U

4.容斥原理

()()card A B cardA cardB card A B =+-U I

()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-U U I

()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+I I I I I

5．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n

–1个；非

空子集有2n

–1个；非空的真子集有2n

–2个. 6.真值表

7.

8.

9.充要条件

（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.

（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

四.基本方法和数学思想

1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；

2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；

3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是

命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；

4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；

5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系"A B B A "⇒⇔⇒判断，

对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；

6.（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集（非空子集）个数为2n －1； （2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆Y I

（3）;)(,)(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I Y I I Y ==

五.典型高考题

1.（全国卷Ⅰ）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且

I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是( ) （A ）Φ=⋃⋂

）（321S S S C I

（B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） （C ）Φ=⋂⋂）

321S C S C S C I I I

（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）

2．（福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = 。

3.（浙江卷）设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的

直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 ( )

(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题

4. 以下同个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零

常数，||||PA PB k -=u u u r u u u r

，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上

一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),

2

OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r

则动点P 的轨迹为椭圆；③方程22520x x -+=的两根可分别作为

椭圆和双曲线的离心率；④双曲线

221259x y -=与椭圆2

2135

x y +=有相同的焦点.

其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 5.（04年湖北卷.文16理15）设A 、B 为两个集合。下列四个命题：

①A B ⊂≠⇔对任意A x ∈，有B x ∉； ②A B ⊂≠⇔A ∩B =φ；

③A B ⊂≠⇔A B ⊃≠； ④A B ⊂≠⇔存在A x ∈，使得B x ∉。其中真命题的序号是________。

（把符合要求的命题序号都填上）

6.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。那么p 是q 成立的（）.

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

7. 命题p ：若a 、b ∈R ，则||||1a b +>|是||1a b +>的充要条件. 命题q ：

函数y =(,1][3,)-∞-+∞U . 则（）.

A.“p 或q ”为假

B. “p 且q ”为真

C. p 真q 假

D. p 假q 真 8. （湖北卷）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 9. （04年上海卷.文理19

）记函数()f x =A , g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1) 的定义域为B. (1) 求A ；(2) 若B A ⊆, 求实数a 的取值范围.