【小学奥数题库系统】1-2-2-1 分数裂项.教师版

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分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结 (一) 用裂项法求1(1) n n +型分数求和 分析:因为111n n -+=11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++(n 为自然数) 所以有裂项公式:111(1)1 n n n n =-++ (二) 用裂项法求 1()n n k +型分数求和 分析:1() n n k +型。(n,k 均为自然数) 因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ (三) 用裂项法求() k n n k +型分数求和 分析: () k n n k +型(n,k 均为自然数) 11n n k -+=()()n k n n n k n n k +-++=() k n n k + 所以 () k n n k +=11n n k -+

(四) 用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析: 2()(2) k n n k n k ++(n,k 均为自然数) 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ (五) 用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析:1()(2)(3) n n k n k n k +++(n,k 均为自然数) 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ (六) 用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析:3()(2)(3) k n n k n k n k +++(n,k 均为自然数) 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法: 1.看分数分子是否为1; 2.是1时,裂项之后需要整体×首尾之差分之一; 3.不是1时不用再乘; 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。

奥数专题裂项法含答案

奥数专题一一裂项法(一) 同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化 成同分母分数后再计算。 (一)阅读思考 例如3 1 £,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的 乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式: 或—1 1 — n(n 1) n n 1 F 面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。 分析与解答: 上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变 为0,这一来问题解起来就十分方便了。 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其 中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。 例2.计算:1 — 1 … — 1 1 2 1 2 3 1 2 3 (100) 公式的变式 当n 分别取1, 2, 3,……,100时,就有 例3.设符号( )、< > 代表不同的自然数,问算式 - — 中这 两个符号所代表的数的数的积是多少? 即1 丄 n n 1 1 n(n 1) 【典型例题】 例1.计算: 1 1 1985 1986 1986 1987 1 1987 1988 1 1994 1995

分析与解:减法是加法的逆运算,£ 1 ~) —,与 前面提到的等式1—1 n n 1 n(n 石相联系, 便可找到一组解,即 1 42 另外一种方法 设n、x、y都是自然数,且y,当1 1 1 丄1-时,利用上面的变加为减的想n x y 法,得算式以丄。 nx y 这里-是个单位分数,所以 y n 一定大于零,假定 x n t 0,则x nt, 代入上式得」1,即y n(n t) y 又因为y是自然数,所以t 一定能整除n2,即t是n2的约数, 有n个t就有n个 y,这一来我们便得到一个比盘更广泛的等式, 即当x nt, 2 y丨n,七是n2的约数时, 定有- n 上面指出当x n t是n2的约数时,一定有-,这里 y 2 ,n 36,36共有1, 2, 3 当t 1 时, x 7 , y 42 当t 2 时, x 8, y 24 当t 3 时, x 9, y 18 当t 4 时, x 10 , y 15 当t 6 时, x 12 , y 10 当t 9 时, x 15 , y 10 n 6 ,4,6,9,12,18,36 九个约数。

小学奥数裂项公式汇总

小学奥数裂项公式汇总文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 b a ?1形式的,这里我们把较小的数写在前面,即 a < b ,那么有: (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即有: 二、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1) a b b a b b a a b a b a 11+=?+?=?+ (2)a b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2222 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,“先裂再碎,掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。裂和:抵消,或 凑整 三、整数裂项基本公式 (1))1()1(3 1)1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n (2) )1()1)(2(4 1)1()2(......543432321+--=?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(3 1)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(4 1)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=? 裂项求和部分基本公式 1.求和: 1 )1(1......541431321211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证:1 111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 2.求和:1 2)12)(12(1971751531311+=+-++?+?+?+?=n n n n S n

六年级奥数训练第五周——分数裂项

第五周分数裂项 专题简析: 前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法,下面再向同学们介绍怎样用拆分法(也叫裂项法、拆项法)进行分数的简便运算。 运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消,达到简化运算的目的。一般地, 形如1 a×(a+1)的分数可以拆成 1 a - 1 a+1 ;形如 1 a×(a+n) 的分数可以拆成 1 n ×( 1 a - 1 a+n ), 形如a+b a×b 的分数可以拆成 1 a + 1 b 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。

计算:11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 199×100 原式=(1-12 )+(12 -13 )+(13 -14 )+…..+ (199 -1100 ) =1-12 +12 -13 +13 -14 +…..+ 199 -1100 =1-1100 =99100 练习1 计算下面各题: 1. 14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×40 2. 110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +114×15 3. 12 +16 +112 +120 + 130 +142 4. 1-16 +142 +156 +172

计算:12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50 原式=(22×4 +24×6 +26×8 +…..+ 248×50 )×12 =【(12 -14 )+(14 -16 )+(16 -18 )…..+ (148 -150 )】×12 =【12 -150 】×12 =625 练习2 计算下面各题: 1. 13×5 +15×7 +17×9 +…..+ 197×99 2. 11×4 +14×7 +17×10 +…..+ 197×100 3. 11×5 +15×9 +19×13 +…..+ 133×37 4. 14 +128 +170 +1130 +1208

奥数裂项法(含答案)

奥数裂项法 同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。 (一)阅读思考 例如1 3 1 4 1 12 -=,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积,把 这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式: 11 1 1 11 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n - += + + - + = +- + = + ()() ()() 即11 1 1 1 n n n n - + = + () 或 1 1 11 1 n n n n () + =- + 下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】 例1. 计算: 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19941995? + ? + ? ++ ? …… + ?+ ? + 1 19951996 1 19961997 1 1997 分析与解答: 1 19851986 1 1985 1 1986 1 19861987 1 1986 1 1987 1 19871988 1 1987 1 1988 1 19941995 1 1994 1 1995 ? =-? =-? =- ?=- …… 1 19951996 1 1995 1 1996 1 19961997 1 1996 1 1997 ? =- ? =- 上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了。

1 198519861 198619871 198719881 199519961 19961997 11997?+ ?+ ?++ ?+ ?+ … =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996 119971199711985 …… 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分 数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。 例2. 计算:1111211231 123100 +++++++ ++++…… 公式的变式 1122 1+++= ?-…n n n () 当n 分别取1,2,3,……,100时,就有 112121122 23 11232 34 112342 45 1121002 100101 = ?+=?++=?+++= ?+++= ?… 1111211231 12100212 223234299100 21001012112 1231341991001100101211212131314 199 1 100 1100 1101 211101 + ++ +++++++=?+?+?++?+ ?=??+?+?++?+ ?=?-+-+ -++ - + - =?- ……………()() ()

六年级奥数试题-分数裂项与分拆(教师版)

第十三讲 分数裂项与分拆 1. “裂差”型运算 将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。 ①对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 1a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111()a b b a a b =-?- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数,我们有: 1111[]()(2)2()()(2) n n k n k k n n k n k n k =-?+?+?+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-?+?+?+?+?++?+?+

③对于分子不是1的情况我们有:?? ? ??+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ??=- ?++?? ()()()()() 21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()() 31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ??=-??+++++?? ()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k k n n k n k n k n k n k ??=-??++++++++?? ()()() 221111212122121n n n n n ??=+- ?-+-+?? 2. 裂差型裂项的三大关键特征: ①分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 ②分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” ③分母上几个因数间的差是一个定值。 3.复杂整数裂项型运算 复杂整数裂项特点:从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘,再把所有的乘积相加。其巧解方法是:先把算式中最后一项向后延续一个数,再把算式中最前面一项向前伸展一个数,用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。 整数裂项口诀:等差数列数,依次取几个。所有积之和,裂项来求作。后延减前伸,差数除以N 。N 取什么值,两数相乘积。公差要乘以,因个加上一。 需要注意的是:按照公差向前伸展时,当伸展数小于0时,可以取负数,当然是积为负数,减负要加正。对于小学生,这时候通常是把第一项甩出来,按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。 此外,有些算式可以先通过变形,使之符合要求,再利用裂项求解。 4. “裂和”型运算

整数裂项,小学奥数整数裂项公式方法 讲解

整数裂项,小学奥数整数裂项公式方法讲解 在小学奥数中有一些非常长的整数算式,仅仅用一般的运算法 则满足不了计算要求,这时候我们要找式子中各乘式之间的规律, 把各乘式裂项,前后抵消,从而简化计算。规律和之前G老师讲过的分数裂项法十分类似。 先看一道整数裂项的经典例题: 【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100 分析:题中计算式共有99个乘法式子相加,如果一个一个计算下来,恐怕一个下午就过去了,G老师告诉同学们,遇见这种复杂的计算式,一定是有规律的,数学重点考查的是思维。 能不能想办法把乘法式子换成两个数的差,再让其中一些项抵 消掉,就像分数裂项的形式,最后只剩下头和尾呢? 1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3; 2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3; 3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3; ……

99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3; 规律是不是找着了? 原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5- 2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷3 =99x100x101÷3 =333300 整数裂项法就是将整数乘积化成两个乘积差的形式,这个差也 不是随便乘一个数,而是要根据题目中各项数字公差来确定的。 比如在例1中,1x2和2x3这两项,1与2,2与3的的差都是1,我们就在1x2这一项乘以(2+1),再减去(1-1)x1x2;2x3这一项,也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……这样就刚好可以前后项互相抵消,然后再除以后延与前伸的差[(3+1)-(2-1)]。 整数裂项法应用: 式中各项数字成等差数列,将各项后延一位,减去前伸一位, 再除以后延与前伸的差。 【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99

(完整word版)六年级奥数分数的速算与巧算

第一讲 分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容,分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项:是计算中需要发现规律、利用公式的过程,裂项与通项归纳是密不可分的,本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元:让学生能够掌握等量代换的概念,通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分:掌握循环小数与分数的互化,循环小数之间简单的加、减运算,涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题. 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数,将算式化简,但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算,使计算过程更加简便,而通项归纳法能将“形似”的复杂算式,用字母表示后化简为常见的一般形式. 知识点拨 一、裂项综合 (一)、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1 a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即: 1(1)(2)n n n ?+?+,1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的,我们有: 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 (二)、“裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1)11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? (2) 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用另一个量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,将复杂的式子化繁为简. 三、循环小数化分数

(完整word版)小学奥数之裂项

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如: (1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] (3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] (4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b) (5)n·n!=(n+1)!-n! 公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构) 1、分组法求数列的和:如an=2n+3n 2、错位相减法求和:如an=n·2^n 3、裂项法求和:如an=1/n(n+1) 4、倒序相加法求和:如an=n 5、求数列的最大、最小项的方法: ①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3 ②(an>0)如an= ③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=an^2+bn+c(a≠0) 6、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当a1>0,d<0时,满足{an}的项数m使得Sm取最大值. (2)当a1<0,d>0时,满足{an}的项数m使得Sm取最小值. 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 对于较长的复杂算式,单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的,那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是:把算式中的每一项裂变成两项的差,而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂变的前项(或后项)相互抵消,从而达到“以短制长”的目的。

奥数专题 裂项法 含答案

奥数专题——裂项法(一) 同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。 (一)阅读思考 例如1 3 1 4 1 12 -=,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的 乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式: 即11 1 1 1 n n n n - + = + () 或 1 1 11 1 n n n n () + =- + 下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】 例1. 计算: 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19941995? + ? + ? ++ ? …… 分析与解答: 上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了。 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。 例2. 计算:1 1 1 12 1 123 1 123100 + + + ++ ++ ++++ … … 公式的变式 当n分别取1,2,3,……,100时,就有 例3. 设符号()、< >代表不同的自然数,问算式1 6 11 =+ <> () 中这 两个符号所代表的数的数的积是多少?

分析与解:减法是加法的逆运算,16 11= + <> () 就变成16 11- = < > ( ) ,与 前面提到的等式11111n n n n -+=+()相联系,便可找到一组解,即16171 42 =+ 另外一种方法 设n x y 、、都是自然数,且x y ≠,当 111 n x y =+时,利用上面的变加为减的想法,得算式 x n nx y -=1。 这里1y 是个单位分数,所以x n -一定大于零,假定x n t -=>0,则x n t =+, 代入上式得 t n n t y ()+=1 ,即y n t n =+2。 又因为y 是自然数,所以t 一定能整除n 2,即t 是n 2的约数,有n 个t 就有n 个 y ,这一来我们便得到一个比 11111n n n n -+=+() 更广泛的等式,即当x n t =+,y n t n =+2,t 是n 2的约数时,一定有111n x y =+,即 上面指出当x n t =+,y n t n =+2,t 是n 2的约数时,一定有111 n x y =+,这里n n ==6362,,36共有1,2,3,4,6,9,12,18,36九个约数。 当t =1时,x =7,y =42 当t =2时,x =8,y =24 当t =3时,x =9,y =18 当t =4时,x =10,y =15 当t =6时,x =12,y =10 当t =9时,x =15,y =10

小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即b a ?1形式的,这里我们把较小的数写在前面,即 a <b ,那么有: )11(11 b a a b b a --=? (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即有: ???? ?? +?+-+?=+?+?)2()1(1)1(1 21)2()1(1 n n n n n n n ???? ?? +?+?+-+?+?=+?+?+?)3()2()1(1 )2()1(1 31)3()2()1(1n n n n n n n n n n 二、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1) a b b a b b a a b a b a 1 1+=?+?=?+ (2)a b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2 2 22 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,“先裂再碎,掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。裂和:抵消,或 凑整 三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31 )1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n

(2) )1()1)(2(4 1)1()2(......543432321+--= ?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(3 1)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1( (4) )2)(1()1(4 1)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=? 裂项求和部分基本公式 1.求和: 1 )1(1......541431321211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证:1 111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 2.求和:12)12)(12(1971751531311+=+-++?+?+?+?= n n n n S n 证:1 2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-= n n n n n S n 3.求和:13)13)(23(11071741411+=+-++?+?+?= n n n n S n 证:)1 31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n

奥数裂项法(含答案)

— 奥数裂项法 同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。 (一)阅读思考 例如1 3 1 4 1 12 -=,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积, 把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式: 11 1 1 11 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n - += + + - + = +- + = + ()() ()() : 即11 1 1 1 n n n n - + = + () 或 1 1 11 1 n n n n () + =- + 下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】 例1. 计算: 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19941995? + ? + ? ++ ? …… + ?+ ? + 1 19951996 1 19961997 1 1997 分析与解答:" 1 19851986 1 1985 1 1986 1 19861987 1 1986 1 1987 1 19871988 1 1987 1 1988 1 19941995 1 1994 1 1995 ? =-? =-? =- ?=- …… 1 19951996 1 1995 1 1996 1 19961997 1 1996 1 1997 ? =-? =-

上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了。 11985198611986198711987198811995199611996199711997 ?+?+?++?+?+… =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985 …… 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。 例2. 计算:1111211231123100 + ++++++++++…… : 公式的变式 11221+++=?-…n n n () 当n 分别取1,2,3,……,100时,就有 11212 112223 1123234 11234245 1121002100101 =?+=?++=?+++=?+++=? (111121123112100) 2122232342991002100101 21121231341991001100101 211212131314199110011001101 211101++++++++++=?+?+?++?+?=??+?+?++?+?=?-+-+-++-+-=?-……………()()()

小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式 、分数“裂差”型运算 1 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 —形式的,这里我们把较小的数写在前面, a b 即a v b ,那么有: 1 111、 ( ) a b baa b (2) 对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即有: 1 1 1 1 n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1) (n 2) 1 1 1 1 n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3) 、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: 裂和型运算与裂差型运算的对比: (1) a b a b ] 1 abababba (2) b 2 a 2 b 2 a b a b a b b a

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,“先裂再碎,掐头去尾”

分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。裂和:抵消,或凑整三、整数裂项基本公式 1 (n 1) n (n 1)n(n 1) 3 ⑵ 1 2 3 2 3 4 3 4 5 (n 2) (n 1) n 1 -(n 2)( n 1)n(n 1 ) 4 ⑶n(n 1) 2 n(n 1)(n 2) Bn 3 1)n(n 1) n(n 1) r 2 n ⑷n(n 1)( n 2) 1 n(n 4 1)(n 2)(n 3) ^(n 4 1)n(n 1)( n 2) ⑸n n! (n 1)! n! 裂项求和部分基本公式 1.求和:S n 1 1 1 1 1 n 1 2 2 3 3 4 4 5 n(n 1) n 1 证 :S n 1 (1 2) 1 1 1 1 1 1 (2 1)(3 2 (1 1) 1 1 1 n ( )1 ' n n 1 n 1 n 1 2.求和:S n 1 3 3 5 5 7 7 9 (2n 1)( 2 n 1) 2n 1

六年级奥数第三讲:分数计算技巧--分数裂项(二)

六年级奥数第三讲:分数运算技巧--分数裂项(二) 【专题精析】 在计算分子相同、分母为三个连续自然数乘积的一列分数求和时,根据裂项公式?? ????????)2()1(1)1(121211++-+=)+()+(n n n n n n n ,将每个加数分解成个分数之差,使前一个数的减数与后一个数的被减数能够抵消,达到化繁为简的目的。 多个分母的裂项和上讲所讲的分母裂项一样,只不过分母变多了,要特别注意的是,多分母裂项,每次只能“降一阶”,比如分母有四项,那么裂项后变成两个三分母的项,然后再依次抵消。 基本公式: ))2()(1)(1(21)2()(1k n k n k n n k k n k n n +?+-+??=+?+? 例如:4321??+5431??+……+21 20191?? 840 6921 2013212121201201915414314313212121 20120191215414312143132121=?-??=?-?+??+?-?+?-??=?-??+??+?-??+?-??=)())()()()( 练习:(1) 5049481543143213211??+??+??+??+?? (2) 10982765265425432??+??+??+??+??

很多时候,等差数列求和和分数裂项是可以相互转换,再进行计算的。 比如: ,就转换成了分数裂项。 例如: 51 6451 13145115014131451 5045444342 50 50122441223312=-?=-+??+-?=?+??+?+?=?++??+?++?+=)()()()()( 练习: 36 211432113211211+??+++??+++++++++ 【基础练习】 1、3212??+4322??+5432??+……+40 39382??。 2、21+322?+4323??+54324???+654325????+7654326?????。 )()(5 14125422441143211-?=?=?+=+++50 ....43212.......543212432123212+++++++++++++++++

小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即b a ?1形式的,这里我们把较小的数写在前面,即 a < b ,那么有: (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即有: 二、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1) a b b a b b a a b a b a 1 1 +=?+?=?+ (2)a b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2 2 2 2 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,“先裂再碎,掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。裂和:抵消,或 凑整 三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31 )1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n (2) )1()1)(2(41 )1()2(......543432321+--=?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(31 )2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(41 )3)(2)(1(41 )2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=? 裂项求和部分基本公式 1.求和: 1)1(1 (541) 431 321 211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证:111 1)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n

六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.学生版

第一讲:分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容,分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项:是计算中需要发现规律、利用公式的过程,裂项与通项归纳是密不可分的,本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找 通项进行解题的能力 2、 换元:让学生能够掌握等量代换的概念,通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分:掌握循环小数与分数的互化,循环小数之间简单的加、减运算,涉及循环小数与分数的主要利 用运算定律进行简算的问题. 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数,将算式化简,但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算,使计算过程更加简便,而通项归纳法能将“形似”的复杂算式,用字母表示后化简为常见的一般形式. 知识点拨 一、裂项综合 (一)、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即: 1(1)(2)n n n ?+?+,1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的,我们有: 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 (二)、“裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1)11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? (2)2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用另一个量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,将复杂的式子化繁为简.

奥数裂项

第一讲 裂 项 法(一) 同学们知道,在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。 例如 ,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用 的等式: 1111(1)(1)11(1)(1) n n n n n n n n n n n n n n +-=-++++-==++ 即1111(1) n n n n -=++ 或 111(1)1n n n n =-++ 下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。 【例1】. 计算: 11119951996199619971997 +++?? 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。 【课堂随练】 求 111 (101111125960) +++???的和。 【例2】. 计算: 【例3】. 请在( )、< >里填上适当的自然数,使得算式 成立

【例4】. 【课堂随练】计算 11111 577991111131315 ++++ ????? 【例5】. 计算: 裂项法(一)练习 1. 1111 1223344950 ++++ ???? =_________; 2. 计算: 3. 1111 133******** ++++ ???? =_________;

4. 求和: 5. 求和: 裂项法(二) 【例1】求 2222 ...... 1335579799 ++++ ???? 的和 【例2】计算: 4444 ...... 135357939597959799 ++++ ???????? 【例3】计算: 333 ...... 1234234517181920 +++ ????????? 【例4】 9998971 12323434599100101 ++++ ???????? =_________;

(完整word版)六年级奥数-分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 1a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即: 1(1)(2)n n n ?+?+,1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的,我们有: 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: 分数裂项计算 教学目标 知识点拨

六年级奥数分数巧算学生版

分数的速算与巧算 1、 裂项:是计算中需要发现规律、利用公式的过程,裂项与通项归纳是密不可分的,本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元:让学生能够掌握等量代换的概念,通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分:掌握循环小数与分数的互化,循环小数之间简单的加、减运算,涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题. 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数,将算式化简,但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算,使计算过程更加简便,而通项归纳法能将“形似”的复杂算式,用字母表示后化简为常见的一般形式. 知识点拨 一、裂项综合 (一)、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1 a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即: 1(1)(2)n n n ?+?+,1 (1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的,我们有: 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 (二)、“裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1)11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? (2) 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。

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