全等三角形的提高拓展题教师版

全等三角形的提高拓展题

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This manuscript was revised on November 28, 2020

全等三角形的提高拓展训练

知识点睛

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

例题精讲

板块一、截长补短

【例1】已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC

∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． 【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的

任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系

【变式拓展训练】

如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系

【例3】已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .

【例4】以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠． N

E B M A D _

F _E

_

D _C

_B _A _N

_C _D _E _B

_M

_A

【例5】如图所示，ABC ?是边长为1的正三角形，BDC ?是顶角为120?的等腰三角形，以

D 为顶点作一个60?的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ?的周长．

【例6】五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，

求证：AD 平分∠CDE 板块二、全等与角度 【例7】如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求

ABC ∠的度数.

【例

8】在等腰ABC ?中，AB AC =，顶角20A ∠=?，在边AB 上取点D ，使AD BC =，

求BDC ∠.

【例9】 如图所示，在ABC ?中，AC BC =，20C ∠=?，又M 在AC 上，N 在BC 上，且

满足50BAN ∠=?，60ABM ∠=?，求NMB ∠. 【例10】在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ?∠=，76ADB ?∠=，28BDC ?∠=

，求DBC ∠的度数.

【例11】如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ?∠=，36CAB ?∠=，48ABD ?∠=，

24DBC ?∠=，求ACD ∠的度数.

【例12】在正ABC ?内取一点D ，使DA DB =，在ABC ?外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，

且BE BA =，求BED ∠. 【例13】如图所示，在ABC ?中，44BAC BCA ?

∠=∠=，M 为ABC ?内一点，使得

30MCA ?∠=，16MAC ?∠=，求BMC ∠的度数. 全等三角形证明经典50题（含答案）

1.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD

延长AD 到E,使DE=AD,

则三角形ADC 全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

2.已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12

CD AB =

3.已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠∠2

证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。 所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。 所以 ∠EBF=∠BEF 。 又因为 ∠ABC=∠AED 。 所以 ∠ABE=∠AEB 。 所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，

D C B A

N

M D C B A

C

E D B A

D C B A

D

E

C

B

A N M C

B A

B

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

所以三角形ABF和三角形AEF全等。

所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF知：AD平分∠BAC，

AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

证明：

在AC上截取AE=AB，连接ED

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠BAD

又∵AE=AB，AD=AD

∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）

∴∠AED=∠B，DE=DB

∵AC=AB+BD

AC=AE+CE

∴CE=DE

∴∠C=∠EDC

∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C

∴∠B=2∠C

12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.

∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;

AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;

又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;

又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.

所以,BC=BF+FC=AB+CD.

13.已知：AB知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：

△AED是等腰三角形。

所以：AE=DE

而AB=CD

所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）

所以：△BEC是等腰三角形

所以：角B=角C.

是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）

因为PC

16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

P D A

C

B

A

B

A

C

D

F

2

1

E

C D

B

∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C ∠1=∠BAC/2=90-2∠C ∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE 交AC 于F

因为，∠1 =∠2，BE ⊥AE 所以，△ABF 是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE

∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE 17.已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC

作AG ∥BD 交DE 延长线于G

AGE 全等BDE

AG=BD=5 AGF ∽CDF AF=AG=5

所以DC=CF=2

18．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．

延长AD 至H 交BC 于H;BD=DC; 所以:

∠DBC=∠角DCB; ∠1=∠2;

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2; ∠ABC=∠ACB; 所以:AB=AC;

三角形ABD 全等于三角形ACD; ∠BAD=∠CAD;

AD 是等腰三角形的顶角平分线 所以: AD 垂直BC

19．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA

因为AOM 与MOB 都为直角三角形、共用OM ，且∠MOA=∠MOB 所以MA=MB

所以∠MAB=∠MBA

因为∠OAM=∠OBM=90度

所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA

20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连

线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 证明：

做BE 的延长线，与AP 相交于F 点，

F

A

E D C B

∵PA 27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。

三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所

以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90

度，BD垂直AC

28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一

点。求证：BF=CF

证明：在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴∠ADB=∠ADC

∴∠BDF=∠FDC

在△BDF与△FDC中

BD=DC

∠BDF=∠FDC

DF=DF

∴△FBD≌△FCD

∴BF=FC

29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。因为AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB

所以三角形ABE=三角形CDF

因为角DCB=角ABFAB=DC BF=CE

三角形ABF=三角形CDE

所以AF=DE

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB ∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

证：

∵AB平行CD（已知）

∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）

∵M在BC的中点（已知）

∴EM=FM（中点定义）

在△BME和△CMF中

BE=CF（已知）

∠B=∠C（已证）

EM=FM（已证）

O

E

D

C

B

A

F

E

D

C B

A

M

F

E

C

B

A

D

C B

A

F

D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

∴△BME 全等与△CMF （SAS ）

∴∠EMB=∠FMC （全等三角形的对应角相等）

∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E ，M ，F 在同一直线上

31．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．

证明： ∵AF=CE

∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF

∵BE 知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 连结BD ，得到等腰三角形ABD 和等腰三角形BDC ，由等腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：△ADE ≌△ABF

得AE=AF

33．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.

又因为AC 是公共边，所以AAS==>三角形ADC 全等于三角形ABC.

所以BC 等于DC ，角3等于角4,EC=EC 三角形DEC 全等于三角形BEC 所以∠5=∠6

34．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．

因为D,C 在AF 上且AD=CF 所以AC=DF

又因为AB 平行DE ，BC 平行EF

所以角A+角EDF ，角BCA=角F （两直线平行，内错角相等）

然后SSA （角角边）三角形全等

35．已知：如图，AB =AC ，BDAC ，CEAB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：

BE =CD ．

证明：因为 AB=AC ， 所以 ∠EBC=∠DCB

D B

C A F

E 654

32

1

E D C

B

A

A

C B D

E

F

因为 BD ⊥AC ，CE ⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边)

则有 三角形EBC 全等于三角形DCB 所以 BE ＝CD

36、

如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。

求证：DE =DF ． AAS 证△ＡＤＥ≌△ADF

37.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长

角C=角E=90度

角B=角EAD=90度-角BAC

BC=AE △ABC ≌△DAE AD=AB=5

38．如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。求证：MB=MC 证明∵AB=AC

∴△ABC 是等腰三角形 ∴∠B=∠C

又∵ME=MF ，△BEM 和△CEM 是直角三角形 ∴△BEM 全等于△CEM

∴MB=MC

40．在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点

C ，且MN A

D ⊥于D ，MN B

E ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=；

(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. （1）证明：∵∠ACB=90°， （2）∴∠ACD+∠BCE=90°， （3）而AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，

（4）∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°， （5）∴∠ACD=∠CBE ．

A

E

B F D

C

B

E C M F

E

（6）在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，

（7）∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），

（8）∴AD=CE，DC=BE，

（9）∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CE-CD=AD-BE；

41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求

证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

（1）证明;因为AE垂直AB

（2）所以角EAB=角EAC+角CAB=90度

（3）因为AF垂直AC

（4）所以角CAF=角CAB+角BAF=90度

（5）所以角EAC=角BAF

（6）因为AE=AB AF=AC

（7）所以三角形EAC和三角形FAB全等

（8）所以EC=BF

（9）角ECA=角F

（10）(2)延长FB与EC的延长线交于点G

（11）因为角ECA=角F(已证）

（12）所以角G=角CAF

（13）因为角CAF=90度

（14）所以EC垂直BF

42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

证明：

（1）

∵BE⊥AC，CF⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN

∵BM=AC，CN=AB

∴△ABM≌△NAC

∴AM=AN

A

E

B

M

C

F

∵△ABM≌△NAC

∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠BAN=90°

∴∠BAM+∠BAN=90°

即∠MAN=90°

∴AM⊥AN

43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF

连接BF、CE，

证明△ABF全等于△DEC（SAS），

然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF

从而求得BC平行于EF

44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗请说明理由

在AB上取点N ,使得AN=AC

∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形

EAN

所以∠ANE=∠ACE

又AC平行BD

所以∠ACE+∠BDE=180

而∠ANE+∠ENB=180

所以∠ENB=∠BDE

∠NBE=∠EBN

BE为公共边,

所以三角形EBN全等三角形EBD

所以BD=BN

所以AB=AN+BN=AC+BD

45、（10分）如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

证明：

∵AD是中线

∴BD=CD

∵DF=DE，∠BDE=∠CDF

∴△BDE≌△CDF

∴∠BED=∠CFD

∴BE‖CF

46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，

F是垂足，DE BF

．

求证：AB CD

∥．

证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠DEC=∠AFB=90°，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

∴∠C=∠A，

∴AB∥CD．

47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

A

D

E

C

B

F

.

34

2

1

D

C

B

A

48、 (10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.

结论：CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。

证明：

过D作AE平行线与AC交于F，连接FB

由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且△DFB为等

腰三角形。

RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°

∵DF先证明△ABC≌△BDC 的出角ABC=角DCB 在证明△ABE≌△DCE

得出AE=DE

A

C

E

D

B A

B E C

D

50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C 作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

证明：作CG平分∠ACB交AD于G

∵∠ACB=90°

∴∠ACG= ∠DCG=45°

∵∠ACB=90° AC=BC

∴∠B=∠BAC=45°

∴∠B=∠DCG=∠ACG

∵CF⊥AD

∴∠ACF+∠DCF=90°

∵∠ACF+∠CAF=90°

∴∠CAF=∠DCF

∵ AC=CB ∠ACG=∠B ∴△ACG≌△CBE

∴CG=BE

∵∠DCG=∠B CD=BD ∴△CDG ≌△BDE

∴∠ADC=∠BDE A B

C

D

E

F

图9