2016届广东高考数学理科步步高二轮专题复习课件3.1三角函数的图象与性质

专题三 三角函数与平面向量
第 1讲
三角函数的图象与性质
主干知识梳理
热点分类突破
真题与押题
1.以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、
对称性、周期性.
考 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性 情 解 质、角的求值 ,重点考查分析、处理问题的能力 , 读
是高考的必考点．
3
主干知识梳理
1．三角函数定义、同角关系与诱导公式
纵坐标变为原来的A倍 y＝sin(ωx＋φ) —————————→ 横坐标不变
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
热点分类突破 热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角 三角函数的基本关系 热点二 热点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式 三角函数的性质
热点一
三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ .各象限角的三角函数
y 值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． x 2 2
(2)同角关系：sin α＋cos α＝1， (3)诱导公式：在 符号看象限”． ＝tan α.
＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变， sin α
数f(x)的解析式，再将 得 到 的 f(x) 中 的 “x” 换成“x－ ”即可．
π 6
3T 11π π 2π 解析 由图知，A＝1， ＝ － ，故 T＝π＝ ， 4 12 6 ω 所以ω＝2，又函数图象过点( π，1)，代入解析式中， 6 π π π 得 sin( ＋φ)＝1，又|φ|< ，故 φ＝ . 3 2 6 π π 则 f(x)＝sin(2x＋ )向右平移 后， 6 6 π π π 得到 y＝sin[2(x－ )＋ )＝sin(2x－ )，选 D. 6 6 6
3.三角函数的两种常见变换
向左φ>0或向右φ<0 (1)y＝sin x——————————→ 平移|φ|个单位
y＝sin(x＋φ)
纵坐标变为原来的A倍 y＝sin(ωx＋φ) —————————→ 横坐标不变
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
(2)y＝sin x
向左φ>0或向右φ<0 y＝sin ωx————————— → φ 平移| |个单位 ω
)
函数的定义．
解析
设Q点的坐标为(x，y)，
2π 1 2π 3 则 x＝cos ＝－ ，y＝sin ＝ . 3 2 3 2
1 3 ∴Q 点的坐标为(－ ， )． 2 2
答案 A
(2)已知角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重 π cos ＋αsin－π－α 2 合，终边上一点 P(－4,3)，则 的值 11π 9π cos －αsin ＋α 2 2 为________．
思维启迪 利用三角函数定义和诱导公式．
－sin α· sin α 解析 原式＝ ＝tan α. －sin α· cos α
根据三角函数的定义，
y 3 得 tan α＝ ＝－ ， 4 x
3 ∴原式＝－ . 4
3 答案 － 4
(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天 轮、水车等 )，常常借助三角函数的定义求解．应用
3 π cos π －cos 4 4 解析 tan θ＝ ＝ ＝－1， 3 π sin π sin 4 4
3π 3π 又 sin >0，cos <0， 4 4
所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，
7π 所以 θ＝ . 4
答案 D
热点二Biblioteka 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式
例 2 (1)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0， π ω>0，|φ|< )的部分图象如图所示，则将 2 π y＝f(x)的图象向右平移 个单位后，得到 6 思维启迪 先根据图象确定函 的图象解析式为( ) A．y＝sin 2x 2π C．y＝sin(2x＋ ) 3 B．y＝cos 2x π D．y＝sin(2x－ ) 6
kπ 2
cos α
2．三角函数的图象及常用性质
函
数 图 象
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
π π 在[－π＋2kπ， 在[－ ＋2kπ， ＋2kπ] π 2 2 2kπ] 在(－ ＋kπ, 单 2 (k∈Z)上单调递增；在 (k∈Z)上单调递 π 调 增；在[2kπ,π＋ ＋ kπ)(k∈Z) π 3π 2 性 [ ＋2kπ， ＋2kπ] 2kπ](k∈Z) 2 2 上单调递增 上单调递减 (k∈Z)上单调递减 对称中心：(kπ， π 0) 对称中心： ( 2 对 对称中心： (k∈Z)； ＋kπ，0)(k∈Z)； 称 ( kπ ，0) π＝ ＋ 对称轴：x＝kπ 对称轴：x 2∈Z) 性 (k 2 kπ (k∈Z) (k∈Z)
2 2
例 1 (1)点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x ＋y ＝1 逆时针 2π 方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为( 3 1 3 A．(－ ， ) 2 2 1 3 C．(－ ，－ ) 2 2 3 1 B．(－ ，－ ) 2 2 3 1 D．(－ ， ) 2 2
思维启迪 准确把握三角
3 2 18 2 ＝2cos α＝2×－ ＝ . 25 5
18 答案 25
(2) 已知点
P sin
3π 3π ，cos 落在角 θ 的终边上，且 4 4 )
θ∈[0,2π)，则 θ 的值为( π A. 4 5π C. 4 3π B. 4 7π D. 4
3 4 sin 2α＋cos 2α＋1 ＝________. － ， ，则 5 5 1＋tan α
解析
由三角函数定义，得 cos α＝－
2
3 4 ，sin α＝ ， 5 5
2sin αcos α＋2cos α 2cos αsin α＋cos α ∴原式＝ ＝ sin α sin α＋cos α 1＋ cos α cos α
定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终
边上点的位置无关．
思 (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的 维 符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一 升 华 定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁
为简等．
变式训练1
(1)如图，以 Ox 为始边作角 α(0<α<π)，终 边与单位圆相交于点 P，已知点 P 的坐标为