2018学年湘教版数学选修2-2当堂检测：4-5-4微积分基本定理
4.2 微积分基本定理 课件(北师大选修2-2)(2)
(2)∵(sin x＋ex)′＝cos x＋ex， ∴∫0 π(cos x＋ex)dx －
0 ＝(sin x＋ex)| －π＝1－e－π.
1 1 2 x ＋ ′＝2x－ 2， (3)∵ x x
1 1 1 22 ∫32x－ 2dx＝x2＋ | 3＝7＋ ＝ . ∴ 1 1
答案：1
8．已知 f(x)是一次函数，其图像过点(3,4)，且 f(x)dx＝1，
0
1
求 f(x)的解析式．
解：设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 4＝3a＋b， 又 f(x)dx＝
0
1 1
1 a 2 ax ＋bx |1＝ ＋b＝1， (ax＋b)dx＝ 2 0 2 0
2 ＝∫2x2dx＋∫22xdx＋∫13dx 1 1
x3 2 25 2 2 2 ＝ |1＋x |1＋3x |1＝ . 3 3
(2)∫π(sin x－cos x)dx 0 ＝∫πsin xdx－∫πcos xdx 0 0
π ＝(－cos x) |π－sin x |0 ＝2. 0
1 21 ∫2x＋ dx＝∫2xdx＋∫1 dx (3) 1 1
先画
出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．
[思路点拨 按
π π f(x)的分段标准，分成0，2 ，2，2，
[2,4]三段积分求和．
[精解详析]
图像如图．
4 0 4
f(x)dx＝
2 0
sin xdx＋
2 2
1dx＋
2
(x－1)dx
2 0
＝(－cos x)
＋x
2 2
1 4 2 ＋2x －x|2
(整理)学年高中数学16微积分基本定理学案选修2-2.
选修2-2 1.6 微积分基本定理一、选择题1．下列积分正确的是( )[答案] AA.214B.54 C.338D.218[答案] A[解析] ⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x 4d x＝13x 3| 2－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x －3| 2－2 ＝13(x 3－x －3)| 2－2 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫8－18－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－8＋18＝214.故应选A.3.⎠⎛1－1|x |d x 等于( )A.⎠⎛1－1x d xB.⎠⎛1－1d xC.⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d xD.⎠⎛0－1x d x ＋⎠⎛01(－x )d x[答案] C[解析] ∵|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x (x <0)∴⎠⎛1－1|x |d x ＝⎠⎛0－1|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x＝⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ，故应选C.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(0≤x <1)2－x (1≤x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.故应选C.5.⎠⎛ab f ′(3x )d x ＝( )A ．f (b )－f (a )B ．f (3b )－f (3a ) C.13[f (3b )－f (3a )]D ．3[f (3b )－f (3a )][答案] C[解析] ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤13f (3x )′＝f ′(3x ) ∴取F (x )＝13f (3x )，则⎠⎛abf ′(3x )d x ＝F (b )－F (a )＝13[f (3b )－f (3a )]．故应选C. 6.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223 C.233D.253[答案] C[解析] ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3| 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x | 32＝233.A ．－32B ．－12C.12D.32[答案] D[解析] ∵1－2sin2θ2＝cos θ8．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．cos xB ．sin xC ．－cos xD ．－sin x[答案] A[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x0＝sin x －sin0＝sin x .所以F ′(x )＝cos x ，故应选A. 9．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对[答案] C[解析] ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)| k 0＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0或1.10．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2| x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－3.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253∴最大值为0，最小值为－323. 二、填空题 11．计算定积分： ①⎠⎛1－1x 2d x ＝________②⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2x 2d x ＝________③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________ ④⎠⎛0－π2|sin x |d x ＝________[答案] 23；436；2；1[解析] ①⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 3| 1－1＝23.②⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x | 32＝436.③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.[答案] 1＋π213．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2dx ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 1S 阴＝13. 14．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题15．计算下列定积分： (1)⎠⎛052x d x ；(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ；(3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ；(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛052x d x ＝x 2| 50＝25－0＝25.(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛012x d x＝13x 3| 10－x 2| 10＝13－1＝－23. (3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403.(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－3x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2.16．计算下列定积分：[解析] (1)取F (x )＝12sin2x ，则F ′(x )＝cos2x＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32＝14(2－3)．(2)取F (x )＝x 22＋ln x ＋2x ，则F ′(x )＝x ＋1x＋2.∴⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2d x＝F (3)－F (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋ln3＋6－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4＋ln2＋4＝92＋ln 32.(3)取F (x )＝32x 2－cos x ，则F ′(x )＝3x ＋sin x17．计算下列定积分： (1)⎠⎛0－4|x ＋2|d x ；(2)已知f (x )＝，求⎠⎛3－1f (x )d x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝|x ＋2|＝∴⎠⎛0－4|x ＋2|d x ＝－⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛0－2(x ＋2)d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | －2－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | 0－2＝2＋2＝4.(2)∵f (x )＝∴⎠⎛3－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x | 21 ＝12＋12＝1. 18．(1)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值；(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．[解析] (1)取F (x )＝23ax 3－12a 2x 2则F ′(x )＝2ax 2－a 2x ∴f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.(2)∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。
北师版数学选修2-2讲义：第4章 §2 微积分基本定理
§2 微积分基本定理1.了解微积分基本定理的含义.(难点)2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)[基础·初探]教材整理 微积分基本定理 阅读教材P 82～P 84，完成下列问题. 1.微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛a b f (x )dx ＝F (b )－F (a ).2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1) 图4-2-1(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图4-2-1(1)，则⎠⎛a b f (x )dx ＝S 上.(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图4-2-1(2)，则⎠⎛ab f (x )dx ＝－S 下.(2) (3)图4-2-1(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图4-2-1(3)，则⎠⎛a bf (x )dx ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛ab f (x )dx ＝0.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数.( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ 2.⎠⎛02π(－sin x )dx 等于( ) A.0 B.2 C.－2D.4【解析】 ⎠⎛02π(－sin x )dx ＝cos x ⎪⎪⎪2π0＝cos 2π－cos 0＝0.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测题(答案解析)
一、选择题1．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-2．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．23．已知1a xdx =⎰， 12b x dx =⎰， 1c xdx =⎰，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<4．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．83B ．73C ．53D ．435．曲线与两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．6．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-7．曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是（ ）A ．1B ．13C ．12D ．238．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ）A ．()11y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()121x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()11x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰9．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3B ．32ln 2+C ．223e -D ．e10．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．20sin xdx π=⎰（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．012．若函数31()log ()(01)(,0)3a f x x ax a a 且在区间=->≠-内单调递增，则实数a 的取值范围是( )． A ．2[,1)3B ．1[,1)3C ．1[,1)(1,3]3D ．(1,3]二、填空题13．定积分211dx x⎰的值等于________. 14．在直线0x =，1x =，0y =，1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =，1y e =+，e 1x y =+围成的区域内的概率为__________．15．已知曲线y =2y x =-，与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S =__________．16．定积分21d 1x x ⎰-的值为__________． 17．计算由曲线22,4y x y x ==-所围成的封闭图形的面积S =__________．18．0=⎰__________．19．)111dx -=⎰__________．20．计算(22x dx -⎰得__________．三、解答题21．函数()ln ,kf x x k R x=+∈．若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）．22．求曲线y x =，2y x =-，13y x =-所围成图形的面积．23．已知抛物线2:2C y x x =-+，在点(0,0)A ，(2,0)B 分别作抛物线的切线12,l l ．（1）求切线1l 和2l 的方程；（2）求抛物线C 与切线1l 和2l 所围成的面积S ．24．现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作DE OA 、CF OB 分别交弧AB 于点E 、F ，且BD AC =，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的养殖区域.已知1km OA =，2AOB π∠=，EOF θ∠=（02πθ<<）.（1）若区域Ⅱ的总面积为21km 4，求θ的值； （2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？25．设函数()32,0{,0xx x x f x axe x ->=≤，其中0a >.（1）若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点，求m 的取值范围； （2）若()f x a ≥-对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知函数()xe f x x=.（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标； （2）当a e ≤时，证明：当()0,x ∈+∞时，()()ln f x a x x ≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.2．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 3．C解析：C【解析】因为1113212312000000111122,,|223333a xdx x b x dx x c x =========⎰⎰,所以b ac <<,故选C.4．A【解析】 试题分析：()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积()2238323S x dx =-=⎰.考点：1、切线方程；2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()22320328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰；第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.5．C解析：C 【解析】 试题分析：，当时，，当时，，所以确定备积区间，备积函数是所以，根据定积分的公式，故选．考点：1．定积分的定义；2．定积分的应用．6．C解析：C 【分析】先由微积分基本定理得到327S =，再由等比数列的求和公式以及通项公式，即可求出结果. 【详解】23312333133|2727003S x dx x a a a =⎰=⋅=∴++=，，即333227a a a q q ++=，解得1q =或1-2q =． 【点睛】本题主要考查定积分的就算，以及等比数列的公比，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式即可，属于常考题型.7．B解析：B由题意，可作出两个函数y x =与2yx 的图象，先求出两函数图象交点A 的坐标，根据图象确定出被积函数2 x x -与积分区间[0，1]，计算出定积分的值即可. 【详解】 作出如图的图象联立22 y x y x ⎧=⎨=⎩解得0 0x y =⎧⎨=⎩或1 1x y =⎧⎨=⎩，即点()11A ，， 所求面积为)13231202121133333S x x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰， 故选B. 【点睛】本题考点是定积分在求面积中的应用，考查了作图的能力及利用积分求面积，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算.8．C解析：C 【解析】如图，由直线y=x ，y=−x+1，及x 轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同，∵蓝色部分的面积()121S x x dx ⎡⎤=--⎣⎦⎰，即()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰.本题选择C 选项.9．A解析：A 【解析】如图所示，曲边四边形OABC 的面积为11121212ln 12(ln ln1)1232eedx x e x ⨯⨯+=+=+-=+=⎰.故选A.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．10．C解析：C 【分析】 由函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，得1122()cos 2f x dx xdx dx ππ--=+⎰⎰⎰，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据定积分的运算性质，可得1010100222()cos 2sin |2|123f x dx xdx dx x x πππ---=+=+=+=⎰⎰⎰，故选C ．【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记定积分的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．D解析：D 【分析】根据积分公式直接计算即可. 【详解】2200sin cos |cos 2cos0110xdx x πππ=-=-+=-+=⎰.故选：D. 【点睛】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，属于基础题.12．B解析：B 【解析】由题意得0y '≥1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭在区间恒成立，即210(3)ln x a a ≥-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭在区间恒成立， 当1a > 时2min (3)0a x a <⇒≤ ，舍；当01a << 时2min 111(3)3=1933a x a a ，>⇒≥⨯∴≤< ，选B.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.二、填空题13．ln2【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可【详解】故答案为：ln2【点睛】本题考查了定积分的计算关键是求出原函数属于基础题解析：ln 2【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可． 【详解】22111|2dx lnx ln x==⎰， 故答案为：ln2． 【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．14．【解析】由题意直线所围成的区域为一个长为高为的矩形所以其的面积为又由解得所以由所围成的区域的面积为所以概率为 解析：11e + 【解析】由题意，直线0,1,0,1x x y y e ====+所围成的区域为一个长为1，高为1e +的矩形，所以其的面积为1(1)1S e e =⨯+=+，又由11xy e y e =+⎧⎨=+⎩，解得11x y e =⎧⎨=+⎩， 所以由0,1,1x x y e y e ==+=+所围成的区域的面积为111100(11)()()|1xx x S e e dx e e dx ex e =+--=-=-=⎰⎰，所以概率为111S P S e ==+. 15．【解析】由题意得曲线与轴所围成的图形的面积为：解析：76【解析】由题意得，曲线2y y x ==-与x 轴所围成的图形的面积为：23122201121237(2)|(2)|232326S x dx x x x =+-=+-=+-=⎰. 16．【解析】根据定积分的定义知故填解析：23【解析】根据定积分的定义知，1231111112d |3333x x x --⎛⎫==--= ⎪⎝⎭⎰，故填23.17．18【解析】因为或所以应填答案解析：18 【解析】因为22224x y x y y x =⎧=⎧⇒⎨⎨=-=-⎩⎩或84x y =⎧⎨=⎩，所以2833228220202116564)|4)|618233S x dx x x x =++=+-+=-+=⎰⎰，应填答案18。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测卷(含答案解析)(2)
一、选择题1．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．22．若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =，则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x ：①()2cos F x x x =+， ()2sin f x x x =-；②()3sin F x x x =+， ()23cos f x x x =+，则以下说法不正确．．．的是（ ） A ．奇函数的导函数一定是偶函数 B ．偶函数的导函数一定是奇函数 C ．奇函数的原函数一定是偶函数 D ．偶函数的原函数一定是奇函数 3．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--，正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4．曲线xy e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 5．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．26．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-7．11)x dx -=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π 8．定积分()1e2xx dx -⎰的值为（ ）A ．e 2-B ．e 1-C ．eD ．e 1+9．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ） A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰10．20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，，，且()()10f f e =，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-11．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3- B ．4ln3+C ．4ln3-D ．32912．定积分()22xex dx +⎰的值为（ ）A ．1B ．2eC ．23e +D ．24e +二、填空题13．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.14．若二项式621x x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则21mx dx =⎰__________． 15．计算由曲线22,4y x y x ==-所围成的封闭图形的面积S =__________．16．设函数2()f x ax b =+（0a ≠），若300()3()f x dx f x =⎰，00x >，则0x =__________．17．计算()2224x x dx -+-⎰得__________．18．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．19．ππ(sin )d x x x -+=⎰________.20．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是__________． 三、解答题21．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．22．已知函数()21ln ,2f x x ax a R =-∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值. 23．已知函数()()322,f x x ax bx aa b =+++∈R .（1）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值； （2）若()4,a f x =-在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值. 24．如图，函数()sin()f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ，M 为QR 的中点，且M 的纵坐标为34-.（1）求()f x 的解析式；（2）求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积.25．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-. （1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间； （2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m ≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围.26．设函数()()1xf x ae x =+（其中 2.71828e =⋅⋅⋅），()22g x x bx =++，已知它们在0x =处有相同的切线.（1）求函数()f x ，()g x 的解析式； （2）若函数()f x 在[],1t t +上的最小值为22e-，求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 2．D解析：D【解析】由①,()()()(),,F x F x f x f x -=-=-∴B,C正确; 由②,()(),F x F x -=- ()(),f x f x -=∴A 正确,D 项,偶函数的原函数不一定是奇函数,比如()()233cos sin 1f x x x F x x x =+=++的原函数可以为,此时F(x)为非奇非偶函数,所以D错误,故选D.3．B解析：B 【解析】试题分析：阴影部分的面积()044sin cos (cos sin )|12S x x dx x x ππππ=-=--=+⎰ 由几何概型可知：向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是01+2=2ABCDS P S π=矩形 ，故选B ． 考点：几何概型．4．A解析：A 【解析】试题分析：'0x x y e y e x =∴=∴=时'11y k =∴=，直线方程为1y x =+，与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-，所以三角形面积为12考点：导数的几何意义及直线方程5．C解析：C 【解析】 由函数的图像可知，需满足或，所以点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，其面积为4.6．C解析：C 【分析】先由微积分基本定理得到327S =，再由等比数列的求和公式以及通项公式，即可求出结果. 【详解】23312333133|2727003S x dx x a a a =⎰=⋅=∴++=，，即333227a a a q q ++=，解得1q =或1-2q =．【点睛】本题主要考查定积分的就算，以及等比数列的公比，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式即可，属于常考题型.7．D解析：D 【解析】因1112221211111[1]1|12x x dx x dx x x dx -----+=-+=-⎰⎰⎰，故设sin ,[,]22x ππθθ=∈-，则122221221cos 211cos sin cos (2)2sin 2|442x dx d d d ππππππππθπθθθθθπθ-----+-====⨯+=⎰⎰⎰⎰，应选答案D 。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78542．已知)221a ex dx π-=⎰，若()201620121ax b b x b x -=++ 20162016b x ++（x R ∈），则12222b b + 201620162b ++的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．e3．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-24．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-5．曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．236．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是AB ．2C ．π23-D π37．设曲线e xy x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e--B ．2e 2e 4e-C ．2e e 14e--D ．2e 14e-8．由直线y= x - 4，曲线y =x 轴所围成的图形面积为（ ）A ．15B ．13C ．252D ．4039．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（ ）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．2311．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a < D ．01a <<或0a <12．已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=8，则t=（ ） A ．1B ．﹣2C ．﹣2或4D ．4二、填空题13．定积分121x x dx -⎰-=______.14．如图所示，直线y kx =分抛物线2y x x 与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k的值为__________．15．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为__________． 16．已知曲线y x =2y x =-，与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S =__________．17．已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________．18．已知函数2()2ln f x x x =-，若方程()0f x m +=在1[,]e e 内有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围是__________． 19．如图，两曲线2y x =，2yx 围成图面积__________．20．()402sin cos x a x dx π-=⎰，则实数a =____________. 三、解答题21．设函数()()3223168f x x a x ax =-+++，其中a R ∈，已知()f x 在3x =处取得极值. （1）求()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.22．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围. 23．计算下列定积分. （1）1211e dx x +-⎰； （2）342x dx -+⎰.24．梯形ABCD 顶点B 、C 在以AD 为直径的圆上，AD =2米，(1)如图1，若电热丝由AB ，BC ，CD 这三部分组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；(2)如图2，若电热丝由弧,AB CD 和弦BC 这三部分组成，在弧,AB CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．25．为了净化广州水系，拟在小清河建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外壁建造单价为400元/m 2，中间两条隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与x 的函数关系式，并指出定义域；(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低，并求最低造价．26．已知函数()121f x x x a =+--+ （1）当0a =时，解不等式()0f x ≥；（2）若二次函数2814y x x =-+-的图象在函数()y f x = 的图象下方，求a 的取值范围·【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数 【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B 【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题2．A解析：A 【解析】因为22x -表示的是以原点为圆心、半径为2的上半圆的面积，即22πx -=，222221e d (e )|02x x x --==⎰，所以)221e d 2a x x π-==⎰，则()2016201212x b b x b x -=++ 20162016b x ++，令0x =，得01b =，令12x =，得1202022b b b =++ 201620162b ++，则12222b b + 2016201612b ++=-；故选A. 点睛：在处理二项展开式的系数问题要注意两个问题：一是要正确区分二项式系数和各项系数；二要根据具体问题合理赋值（常用赋值是1、-1、0）.3．C解析：C 【详解】233003|aat dt t a ==⎰，33(1)lg10,(0),1, 1.f f a a a ===∴==故选：C4．C解析：C 【分析】先由微积分基本定理得到327S =，再由等比数列的求和公式以及通项公式，即可求出结果. 【详解】23312333133|2727003S x dx x a a a =⎰=⋅=∴++=，，即333227a a a q q ++=，解得1q =或1-2q =．【点睛】本题主要考查定积分的就算，以及等比数列的公比，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式即可，属于常考题型.5．B解析：B 【分析】由题意，可作出两个函数y x =与2yx 的图象，先求出两函数图象交点A 的坐标，根据图象确定出被积函数2 x x -与积分区间[0，1]，计算出定积分的值即可. 【详解】 作出如图的图象联立22 y x y x ⎧=⎨=⎩解得0 0x y =⎧⎨=⎩或1 1x y =⎧⎨=⎩，即点()11A ，， 所求面积为)13231202121133333S x x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰， 故选B. 【点睛】本题考点是定积分在求面积中的应用，考查了作图的能力及利用积分求面积，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算.6．D解析：D 【解析】曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =的两个交点坐标分别为(π6,12),(5π6,12), 则封闭图形的面积为5π5π66ππ6611πsin cos |3223x dx x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 本题选择D 选项.点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()()0aaf x dx a ->⎰ ＝0.7．D解析：D 【详解】曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积()1211112x x S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰阴影=1e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定区域的面积22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==阴影=2e 14e-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.8．D解析：D 【详解】根据题意，画出如图所示：由直线4y x =-，，曲线y =x轴所围成的面积为：42881404)4)423x dx x x +⎰+=+-+=.故选D.9．B解析：B 【分析】根据定积分的运算，可得321()23f x x x =-，再利用导数求得()f x 的单调性和极值，检验端点值，即可得答案. 【详解】由题意，函数3232011()(4)2233xxf x t t dt t t x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰，则2()4(4)f x x x x x '=-=-，当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(4,5]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 又由7(1)3f -=-，(0)0f =，32(4)3f =-，25(5)3f =-， 所以函数()f x 的最大值为0，最小值为323-. 故选：B . 【点睛】本题考查定积分的运算，利用导数求函数的最值问题，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.10．D解析：D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BE ⊥平面ABCD ，2BE =，则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.11．C解析：C 【分析】利用积分求解出1m =；根据a 的符号和a -与1-之间的大小关系，结合二次函数确定导函数的符号，得到()f x 的单调性，符合在x a =-处()f x 左增右减时的a 的取值范围是满足题意的，从而得到所求范围. 【详解】11ln ln ln111ee dx x e x ==-=⎰，即1m = 则()()()1f x a x x a '=++当0a =或1a =时，()f x 不存在极值，不合题意 当0a <时(),1x ∈-∞-或(),x a ∈-+∞时，()0f x '<，此时()f x 单调递减 ()1,x a ∈--时，()0f x '>，此时()f x 单调递增则()f x 在x a =-处取得极大值，满足题意 当01a <<时(),1x ∈-∞-或(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增()1,x a ∈--时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a =-处取得极小值，不满足题意 当1a >时(),x a ∈-∞-或()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增 (),1x a ∈--时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a =-处取得极大值，满足题意 综上所述：1a >或0a < 【点睛】本题考查根据函数的极值点和极值求解参数的取值范围问题，关键是能够根据二次函数根的分布情况确定二次函数的图象，从而得到导函数的符号，确定原函数的单调性.12．D解析：D 【解析】∵（x 2﹣2x ）′=2x ﹣2，∴若20(22)(2)0tt x dx x x -=-⎰ =t 2﹣2t=8，又t ＞0，解得t=4．选D.二、填空题13．1【分析】将定积分根据绝对值里的正负分为两部分利用定积分公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算意在考查学生的计算能力和转化能力解析：1 【分析】将定积分根据绝对值里的正负分为两部分，利用定积分公式计算得到答案. 【详解】()()112223203211010111113232x x dx x x dx x x dx x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎰-=⎰--⎰-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51166⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 故答案为：1. 【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.14．【分析】根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标再根据定积分求两部分的面积列出等式求解即可【详解】联立或由图易得由题设得即即化简得解得故答案为：【点睛】本题主要考查了定积分的运用需要根据题意求到交界处的解析：1【分析】根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标,再根据定积分求两部分的面积,列出等式求解即可. 【详解】联立2y x x y kx⎧=-⇒⎨=⎩ 0x =或1x k =-.由图易得1,11x k k由题设得()()11220012k x x kx dx x x dx ---=-⎰⎰, 即232123*********||232223k x x kx x x -⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即()()()232111*********k k k k -----= 化简得()3112k -=. 解得3412k =-. 故答案为：3412-【点睛】 本题主要考查了定积分的运用,需要根据题意求到交界处的点横坐标,再根据定积分的几何意义列式求解即可.属于中档题.15．【分析】转化为定积分求解【详解】如图：曲线与直线及所围成的封闭图形的为曲边形因为曲线与直线及的交点分别为且所以由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为【点睛】本题考查定积分的意义及计算 解析：12ln 22-【分析】转化为定积分求解.【详解】如图：, 曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的为曲边形ABC , 因为ABC ABCD ACD S S S =- , 曲线2y x=与直线1y =x -及1x =的交点分别为(1,2)，(2,1) 且212ABCD S dx x =⎰，21(1)ACD S x dx =-⎰， 所以，()22222111121(1)2ln 2ABC S dx x dx x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰ ()221112ln 22ln122112ln 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由曲线2y x =与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为12ln 22-. 【点睛】本题考查定积分的意义及计算. 16．【解析】由题意得曲线与轴所围成的图形的面积为： 解析：76【解析】由题意得，曲线,2y x y x ==-与x 轴所围成的图形的面积为： 231222010121237(2)|(2)|232326S xdx x dx x x x =+-=+-=+-=⎰. 17．【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填 解析：90,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】2()32f x tx x -'=+，由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根，即2320tx x -+=在()0,+∞有两个不等根，所以302980t t ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩，解得908t <<，填90,8⎛⎫ ⎪⎝⎭ 18．【解析】当时在为增函数当时在为减函数当时有极大值也为最大值又因此本题正确答案是:解析：21(1,2]e +． 【解析】 2(1)(1)'()x x f x x-+=, ∴当1[,1)x e∈时, '()0f x >,()f x 在1[,1)e 为增函数, 当(1,)x e ∈时, '()0f x <,()f x 在(1,)e 为减函数,∴当1x =时, ()f x 有极大值,也为最大值, (1)1f =-,又2211()2,()2f f e e e e=--=-, 2121m e --≤-<-, 2112m e ∴<≤+. 因此，本题正确答案是: 21(1,2]e +. 19．【解析】试题分析：作出如图的图象联立解得或即点所求面积为：考点：定积分解析：13【解析】试题分析：作出如图的图象，联立，解得或，即点，所求面积为： .考点：定积分.20．【分析】直接根据定积分的运算法则再分别计算定积分解得的值【详解】根据定积分的运算法则所以解得故答案为【点睛】本题主要考查了定积分的求解涉及正弦函数和余弦函数的定积分和积分运算法则的应用属于基础题 2【分析】直接根据定积分的运算法则，()444000 sin cos sin cos πππx a x dx xdx a xdx -=-⎰⎰⎰，再分别计算定积分，解得a 的值．【详解】根据定积分的运算法则，()444000 sin cos sin cos πππx a x dx xdx a xdx -=-⎰⎰⎰4400222sin 1222cosxa x a ππ=--⋅=--=- 所以210=，解得2a = 2【点睛】本题主要考查了定积分的求解，涉及正弦函数和余弦函数的定积分和积分运算法则的应用，属于基础题．三、解答题21．(1)16y =；(2)单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3.【解析】试题分析：(1)由题意首先求得3a =，然后利用导函数与原函数切线的关系可得()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程是16y =；(2)结合(1)中求得的函数解析式结合导函数的符号可得函数的单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3.试题（1） ∵()()3223168f x x a x ax =-+++， ∴()()26616f x x a x a =+'-+. ∵()f x 在3x =处取得极值，∴()()36961360f a a =⨯-+⨯+='，解得 3a =. ∴()262418f x x x =-+'，()1624180f =-+='，又()116f =. ∴()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程为：16y =.（2）由（1)可得()262418f x x x =-+' ()()631x x =--. 令()0f x '=，得1x =或3x =.当x 发生变化时，则()f x 与()f x '的变化情况如表，由上表可知，()f x 的单调增区间为：()(),1,3,-∞+∞；单调递减区间为：()1,3. 22．(Ⅰ)3a=-,2b =-；(Ⅱ)[]4,16-；(Ⅲ)1234t ≤≤ 【解析】试题分析：(Ⅰ)由导函数研究原函数切线的方法得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得3a =-,2b =-；(Ⅱ)将不等式恒成立的问题分类讨论可得实数t 的取值范围是1234t ≤≤+ 试题（Ⅰ）()232f x x ax '=+ ∴()1323f a =+=-' ∴3a =- ∴()323f x x x =-因为()113f b =-= ∴2b =- （Ⅱ）由（Ⅰ）得()323f x x x =- ∴()236f x x x '=- 令()0f x '= 解得120,2x x ==()()()()14,00,24,416f f f f -=-==-=∴()f x 的值域是[]4,16-（Ⅲ）因为[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立∴()22160tx t x -++≥在[]1,4上恒成立，令()()2216h x tx t x =-++ 对称轴为1t x t +=因为0t >∴11t x t +=> ∴()21441240t t t t +⎧<⎪⎨⎪∆=+-≤⎩或()()144168160t t h t t +⎧≥⎪⎨⎪=-++≥⎩ 解得：t 的取值范围为1234t ≤≤+. 23．（1）1；（2）292 【分析】（1）直接根据微积分基本定理，即可得到本题答案；（2）由题，得323442|2|(2)(2)x dx x dx x dx ----+=--++⎰⎰⎰，再根据微积分基本定理，即可得到本题答案.【详解】（1）11221ln(1)ln ln111e e dx x e x ++=-=-=-⎰； （2）323442|2|(2)(2)x dx x dx x dx ----+=--++⎰⎰⎰222112242232x x x x -⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪-⎝⎝⎭-⎭ 2529222=+=. 【点睛】 本题主要考查利用微积分基本定理求定积分.24．（1）应设计BC 长为74米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为92单位．（2）应设计BC 长为3米，电热丝辐射的总热量最大．【解析】试题分析：（1）取角为自变量: 设∠AOB ＝θ，分别表示AB ，BC ，CD,根据题意得函数4cos θ+4 sin 2θ,利用二倍角余弦公式得关于sin 2θ二次函数 ,根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值（2）取角为自变量: 设∠AOB ＝θ，利用弧长公式表示,AB CD ,得函数2θ＋4cos θ,利用导数求函数单调性,并确定最值试题解：(1)设∠AOB ＝θ，θ∈(0，)则AB ＝2sin ，BC ＝2cos θ，总热量单位f(θ) ＝4cosθ+4 sin＝－8(sin)2＋4 sin＋4，当sin＝，此时BC＝2cosθ＝ (米)，总热量最大 (单位) ．答：应设计BC长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为单位． (2)总热量单位g(θ)＝2θ＋4cosθ，θ∈(0，)令g'(θ)＝0，即2－4sinθ＝0，θ＝，增区间（0，），减区间（，）当θ＝，g(θ)最大，此时BC＝2cosθ＝ (米)答：应设计BC长为米，电热丝辐射的总热量最大．25．(1) y＝800x＋259200x＋16 000，252≤x≤16.(2) 当长为16 m，宽为12.5 m时，总造价y最低，为45 000元．【解析】试题分析：（1）先求面积，再乘以对应价格，求和得总造价，根据长、宽都不能超过16 m要求确定定义域（2）利用导数可得函数为定义域上单调减函数，再根据单调性求最小值试题解：(1)矩形平面图的两边长分别为x m， m，根据题意，得解得≤x≤16.y＝×400＋×248＋16 000＝800x＋＋16 000，≤x≤16.(2)y′＝800－，当≤x≤16时，y′＜0，函数在上为减函数，所以当长为16 m，宽为12.5 m时，总造价y最低，为45 000元．26．（1）1{x|x3}3≤≤；（2）13a4>．【解析】【分析】()1a0=时，将不等式移项平方分解因式可解得；()2根据题意，只需要考虑x1>时，两函数的图象位置关系，利用抛物线的切线与抛物线的位置关系做．【详解】() 1当a 0=时，不等式()f x 0≥化为：x 12x 10+--≥， 移项得x 12x 1+≥-，平方分解因式得()()3x 1x 30--≤， 解得1x 33≤≤，解集为1{x |x 3}3≤≤． ()2化简得()x 3a,x 1f x 3x 1a,1x 1x 3a,x 1-+≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪-++>⎩，根据题意，只需要考虑x 1>时，两函数的图象位置关系，当x 1>时，()f x x 3a =-++，由2y x 8x 14=-+-得y'2x 8=-+，设二次函数与直线y x 3a =-++的切点为()00x ,y ，则02x 81-+=-，解得09x 2=，所以07y 4=， 代入()f x x 3a =-++，解得13a 4=， 所以a 的取值范围是13a 4>． 【点睛】 本题主要考查了含绝对值不等式的解法，以及导数的几何意义的应用问题，其中解答中熟记含绝对值不等式的求解方法，合理分类是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．。
4.2 微积分基本定理 课件(北师大选修2-2)(2)
第 四 章
§2
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1 2 已知函数f(x)＝x，F(x)＝ x . 2 问题1：f(x) 和F(x)有何关系？
提示：F′(x)＝f(x)．
问题2：利用定积分的几何意义求 xdx的值． 3 2 ∫1xdx＝ . 提示： 2
2 1
x
x
3
3
[一点通]
应用微积分基本定理求定积分时，首先
要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先
估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程 中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x)的导 函数F′(x)＝f(x)为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用 微积分基本定理求出结果．
数与定积分之间有什么联系？
提示： f(x)dx＝F(b)－F(a), 其中 F′(x)＝f(x)．
b a
微积分基本定理 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)， 则有
∫bfxdx＝ F(b)－F(a) a
定理中的式子称为 牛顿—莱布尼茨公式 ，通常称
F(x)是f(x)的一个 原函数 ．
问题3：求F(2)－F(1)的值．
1 1 3 2 2 提示：F(2)－F(1)＝ ×2 － ×1 ＝ . 2 2 2
问题4：你得出什么结论？
提示： f(x)dx＝F(2)－F(1)，且 F′(x)＝f(x)．
问题 5：由 f(x)dx 与 F(2)－F(1)之间的关系，你认为导
1
2
2 1
[2,4]三段积分求和．
[精解详析]
图像如图．
4 0 4
2017-2018学年湘教版数学选修2-2当堂检测：4-2-3导数的运算法则
4．2.3 导数的运算法则1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．函数y ＝cos x 1－x的导数是 ( )A.－sin x ＋x sin x (1－x )2 B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2 C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2 D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2 ＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2. 3．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为 ( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2 答案 A解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2，∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案ln 2－1解析设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴12＝1x0，∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b，∴b＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.。
数学课件：4-5-14-5-2曲边梯形的面积 计算变力所做的功
规律方法 本题为变力做功问题，与解决曲 边梯形面积方式是一样的，都是对某一函数 实行相同结构的数学运算．
ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪演练2 物体在力F的作用下从静止开始运动，力F的大小 (N)与位移s(m)的关系是：F＝13s＋1，求物体运动5 m的过程中 力F所做的功W(J)． 解 (1)化整为零，插入等分点． 将区间[0,5]n等分，得Δs＝5n，si＝5ni.
例1 求由直线x＝1，x＝2和y＝0及曲线y＝ x3围成的曲边梯形的面积．
解 (1)化整为零，插入等分点．
把求面积的曲边梯形ABCD分割成n
个小曲边梯形，用分点n＋n 1，n＋n 2，
…n＋nn－1把区间[1,2]等分成n个小区
间[1，
n＋1 n
]，[
n＋1 n
，
n＋2 n
]，…，[
n＋i－1 n
间长Δx＝
1 n
为其邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面
积，可以近似地表示为：
ΔSi≈(ξi)3·Δx＝(n＋ni－1)3·1n(i＝1,2,3，…，n)．
(3)积零成整，精益求精．
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的
近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的
＋[1＋2＋…＋(n－1)]
8 n2
＋n·2n
＝
n83·16n(n－1)(2n－1)＋n82·12n(n－1)＋2
＝43(1－1n)(2－1n)＋4(1－1n)＋2.
(4)当n趋近于无穷大时，1n→0，所以S→236. 所以由直线x＝0，x＝2，y＝0与二次曲线f(x)＝x2＋2x＋1所围 成的曲边梯形的面积为236.
近似值，即
n
4.2 微积分基本定理 课件(北师大选修2-2)(2)
问题3：求F(2)－F(1)的值．
1 1 3 2 2 提示：F(2)－F(1)＝ ×2 － ×1 ＝ . 2 2 2
问题4：你得出什么结论？
提示： f(x)dx＝F(2)－F(1)，且 F′(x)＝f(x)．
问题 5：由 f(x)dx 与 F(2)－F(1)之间的关系，你认为导
1
2
2 1
(2)∵(sin x＋ex)′＝cos x＋ex， ∴∫0 π(cos x＋ex)dx －
0 ＝(sin x＋ex)| －π＝1－e－π.
1 1 2 x ＋ ′＝2x－ 2， (3)∵ x x
1 1 1 22 ∫32x－ 2dx＝x2＋ | 3＝7＋ ＝ . ∴ 1 1
1 1. xdx＝________.
e 1
1 解析： xdx＝ln e－ln 1＝1.
e 1
答案： 1
2．求下列函数的定积分： (1)∫2(x2＋2x＋3)dx； 1 (2)∫π(sin x－cos x)dx； 0 1 ∫2x＋ dx. (3) 1
x
解：(1)∫2(x2＋2x＋3)dx 1
[一点通]
(1)分段函数在区间[a，b]上的定积分
可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的
分段标准进行．
(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然 后求解．
4 4.∫－2|x|dx＝________.
1 2 1 24 4 0 解析：∫－2|x|dx＝∫0xdx＋∫－2(－x)dx＝ x |0＋－ x
[例1]
计算下列各定积分：
(1)∫1(2x＋3)dx； 0 (2)∫0 π(cos x＋ex)dx； － 1 ∫3(2x－ 2)dx. (3) 1 x
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4．5.4 微积分基本定理
1． (1＋cos x)dx等于
( )
A．π B．2 C．π－2 D．π＋2
答案 D
解析 ∵(x＋sin x)′＝1＋cos x，
＝π2＋sinπ2－－π2＋sin－π2＝π＋2.
2．若1a2x＋1xdx＝3＋ln 2，则a值是
( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 1a2x＋1xdx＝1a2xdx＋1a1xdx＝x2|a1＋
ln x a1＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，解得a＝2.
3.02x2－23xdx＝________.
答案 43
解析 02x2－23xdx＝02x2dx－0223xdx
＝x3320－x2320＝83－43＝43.
4．已知f(x)＝ 4x－2π，0≤x≤π2，cos x，π2
取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.
1．求定积分一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为
被积函数对应图形在某几个区间上定积分之和，而是在x轴下方图形面积要取定积分相反数．