高三数学大题强化练专题利用正余弦定理解三角形中的几何量(长度角度面积周长等)

合集下载

正、余弦定理及解三角形高考数学之高频考点专题及解析

正、余弦定理及解三角形高考数学之高频考点专题考点1 利用正、余弦定理解三角形题组一利用正、余弦定理解三角形调研1 A B C △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知c o s s in 3b a C C =+.(1)求A ;(2)若a =2b c =,求A B C △的周长.调研2 如图,A B C △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,c o s c Bb=.(1)求角B 的大小;(2)点D 为边A B 上的一点,记B D C θ∠=,若ππ,2,25C D A D a θ<<===,求sin θ与b 的值.题组二与三角形面积有关的问题调研3 如图，在A B C △中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ．(1)求AD 的长； (2)求A B C △的面积．题组三三角形形状的判断调研4 A B C △中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且c o s s in a C C b c +=+.(1)求A ;(2)若2,a A B C =△试判断此三角形的形状.考点2 解三角形的实际应用题组解三角形的实际应用调研1 某新建的信号发射塔的高度为A B,且设计要求为:29米A B<<29.5米.为测量塔高是否符合要求,先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点,C D,测得60C D=米,∠=︒,40B D C∠=︒,75B C D并在点C处的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°,且1C E=米,则发射塔高A B=（）A．()41米 D．()21米 C．()41米+米 B．()21调研2 海中一小岛C的周围()8n m ile内有暗礁,海轮由西向东航行至A处测得小岛C位于北偏东75︒,航行8n m ile后,于B处测得小岛C在北偏东60︒(如图所示).(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.αα>)方向航行,求α的最小值.(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在B处改变航向为东偏南(0附:ta n 752︒=+.考点3 解三角形与其他知识的交汇问题题组一解三角形与三角恒等变换相结合调研1 在A B C △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,已知7,2c A B C =△2又tan tan A B +)tan tan 1.A B =-(1)求角C 的大小; (2)求a b +的值.题组二解三角形与平面向量相结合调研2 如图,在A B C △中,已知点D 在边B C 上,且0A D A C ⋅=,s in 3B A C ∠=A B =B D =(1)求A D 的长; (2)求co s C ．强化训练 1．已知A B C △中,,则（） A ．B ．C ．D ．2．在A B C △中,角的对边分别为,若,且,则（）A ．B ．C ．D ．3．在A B C △中,内角的对边分别为,若,则A B C △的面积为（）A ．3B ．C ．D ．4．如图,从气球上测得正前方的河流的两岸,的俯角分别为,,此时气球的高是,则河流的宽度等于（）A ．m B ．m C ．m D ．m5． A B C △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知A B C △的面积为4a=2,b =3,则s in aA（）A ．3B ．115C ．3D ．3或1156．在A B C △中,分别为内角的对边, 且,则（）A ．B ．C ．D ．7．在锐角A B C △中,角所对的边分别为若则角等于__________． 8．已知()co s17,co s 73A B =︒︒，()2co s 77,2co s13B C =︒︒,则A B C △的面积为__________.9．已知A B C △中,π2A =,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,点D 在边B C 上,1A D =,且B D =2,DC B AD ∠=2D A C ∠,则s in s in B C=__________．10．如图，为了测量河对岸A B 、两点之间的距离,观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A B 、;找到一个点D ,从点D 可以观察到点A C 、;找到一个点E ，从点E 可以观察到点B C 、.并测量得到一些数据:2C D =,C E =45D ∠=︒,105A C D ∠=︒,48.19A C B ∠=︒,75B C E ∠=︒,60E ∠=︒,则A B 、两点之间的距离为__________．(其中co s 48.19︒取近似值23)11．在A B C △中,,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,且()3c o s ,s in c o s c o s s in 05B A B c A B =--⋅=.(1)求边b 的值;(2)求A B C △的周长的最大值.12．在A B C △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2co s 2c B a b =+.(1)求角C ;(2)若A B C △的面积为2S =,求a b 的最小值.13．在A B C △中，设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量()co s ,sin A A =m ,向量)s in ,c o s ,2A A =-+=n m n .(1)求角A 的大小;(2)若b =且c =,求A B C △的面积.14．A B C △的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,且sin sin a A b B +=sin sin .c C B +(1)求角C ;(2)πin c o s 4A B ⎛⎫-+⎪⎝⎭的最大值.15．设()f x =π1inc o ss in .22222x x x⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (1)求()f x 的单调递增区间;(2)在A B C △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知π1,32f A a ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求A B C △面积的最大值.高考试题1．（2016新课标全国Ⅰ文科）A B C △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2c o s 3A =，则b=（）A ．BC ．2D ．32．（2017新课标全国Ⅰ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin co s )0B A C C +-=，a =2，c C =（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π33．（2017新课标全国Ⅲ文科）△A B C 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b c =3，则A =_________.4．（2015新课标全国Ⅱ文科）A B C △中，D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求s in s in B C∠∠ ；（II ）若60B A C ∠=,求B ∠.正、余弦定理及解三角形高考数学之高频考点专题及解析考点1 利用正、余弦定理解三角形题组一利用正、余弦定理解三角形调研1 A B C △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知c o s s in 3b a C C =+.(1)求A ;(2)若a =2b c =,求A B C △的周长.【解析】(1)c o s s in 3b a C C =+,,s in s in c o s in s in 3B AC A C ∴=+由正弦定理得,s in c o s c o s s in s in c o s s in s in 3A C A C A C A C ∴+=+,ta n A =即,()0πA ∈又，,∴π3A =.(2)22π,32c o s3b c b c =+-由余弦定理得,()233b c b c +-=即,2b c =又,3b c ∴+=,故3A B C +△的周长为调研2 如图,A B C △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,c o s c Bb=.(1)求角B 的大小;(2)点D 为边A B 上的一点,记B D C θ∠=,若ππ,2,25C D A D a θ<<===,求sin θ与b 的值.【解析】(1)c o s c Bb=,s in c o s s in C BB=,因为sin 0C >,所以s in ta n c o s 3B B B==,因为0πB <<,所以π6B =.(2)在B C D △中,因为sin sin sin C D B C a BB D Cθ==∠,所以25s in s in BB D C=∠,所以s in 5θ=,因为θ为钝角,所以A D C ∠为锐角,所以()c o s c o s π5A D C θ∠=-==,在A D C △中,由余弦定理,得2222c o s (π)54255b A D C D A D C D θ=+-⨯-=+-⨯=,所以b =☆技巧点拨☆利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ”；若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab等．题组二与三角形面积有关的问题调研3 如图，在A B C △中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ．(1)求AD 的长； (2)求A B C △的面积．【解析】(1) 在A B C △中，因为BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，所以BD ＝2x .在B C D △中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CD BD ＝52x. 在A C D △中，因为AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，所以cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝222525x x +-⨯⨯.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，25x ⨯⨯＝－52x，解得x ＝5.所以AD 的长为5.(2)由(1)求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2－25＝5 3. 所以cos ∠CBD ＝BC BD ＝32，从而sin ∠CBD ＝12.所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin∠CBA ＝12×15×53×12＝7534.题组三三角形形状的判断调研4 A B C △中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且c o s s in a C C b c +=+.(1)求A ;(2)若2,a A B C =△试判断此三角形的形状.【解析】(1)由正弦定理及c o s s in a C C b c +=+得,s in c o s in s in s in s in A C A C B C +=+，即()sin co s sin sin sin A C A C A C C +=++in s in c o s s in s in A C A C C ⇒-=,∵sin 0C >,()1c o s 1sin 302A A A -=⇒-︒=,∵0180A <<︒︒,∴3030150A ︒-︒<-<︒, ∴303060A A -=︒⇒=︒︒.(2)1s in 42S b c A b c ==⇒=,由余弦定理得:2222co s a b c b c A =+-=()23b c b c +-()241242b c b c b c ⇒=+-⇒+=⇒==, ∵60A =︒,∴60B C ==︒, 故A B C △是等边三角形.☆技巧点拨☆判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.考点2 解三角形的实际应用题组解三角形的实际应用调研1 某新建的信号发射塔的高度为A B ,且设计要求为:29米A B <<29.5米.为测量塔高是否符合要求,先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点,C D ,测得60B D C ∠=︒,75B C D ∠=︒,40C D =米,并在点C 处的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°,且1C E =米,则发射塔高A B =（）A ．()21+米B ．()21米C ．()41米D ．()41米【答案】A【解析】画出草图,如图所示,在B D C △中,45D B C ∠=︒,由正弦定理得s in 2s in B D C B C C D D B C∠=⨯=∠;在A E F △中,30A E F ∠=︒,所以ta n 302A F E F =︒=米,所以1(21)A B A F =+=米.选A ．☆技巧点拨☆高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．调研2 海中一小岛C的周围()8n m ile内有暗礁,海轮由西向东航行至A处测得小岛C位于北偏东75︒,航行8n m ile后,于B处测得小岛C在北偏东60︒(如图所示).(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在B处改变航向为东偏南(0αα>)方向航行,求α的最小值.附:ta n752︒=+.【解析】(1)如图1,过点作直线A B的垂线,交直线A B于点D.由已知得15,30,15A CB D AC B∠=︒∠=︒∠=︒,所以8n m ileA B B C==,所以在R t B C D△中,sinC D A B C B D=⋅∠=184n m ile2⨯=.又48<,所以海轮有触礁的危险.(2)如图2,延长C D至E,使()8n m ileC E=,故()12n m ileD E=,由(1)得m ile ta n 30C D B D ==︒,所以ta n 2D E D B E B D∠===-.因为ta n 752︒=+所以1ta n152︒==-即tan tan15D B E ∠=︒,所以15D B E ∠=︒. 故海轮应按东偏南15°的方向航行.☆技巧点拨☆解决此类问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．解题时应认真审题，结合图形去选择正、余弦定理，这是最重要的一步．考点3 解三角形与其他知识的交汇问题题组一解三角形与三角恒等变换相结合调研1 在A B C △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,已知7,2c A B C =△的面积为,2又tan tan A B +)tan tan 1.A B =-(1)求角C 的大小; (2)求a b +的值.【解析】(1)因为)tan tan tan tan 1,A B A B +=-所以()tan A B +=ta n ta n 1ta n ta n A B A B+=-又因为,,A B C 为A B C △的内角,所以2π,3A B +=所以π.3C =(2)由1s in 22A B C S a b C ==△及π,3C =得6,a b =又()2222221c o s 222a b c a ba b cC a b a b+--+-===,7,2c =所以11.2a b +=题组二解三角形与平面向量相结合调研2 如图,在A B C △中,已知点D 在边B C 上,且0A D A C ⋅=,s in 3B A C ∠=,A B =B D =(1)求A D 的长; (2)求co s C ．【解析】(1)因为0,A D A C ⋅=所以,A D A C ⊥所以πs in s in c o s ,2B A C B A D B A D ⎛⎫∠=+∠=∠⎪⎝⎭即c o s 3B A D ∠=．在A B D △中,由余弦定理,可知2222co s B D A B A D A B A D B A D =+-⋅⋅∠，即28150,A D A D -+=解得5,A D =或3A D =．因为,A B A D >所以3A D =． (2)在A B D △中,由正弦定理,可知,s in s in B D A B B A DA D B=∠∠又由c o s 3B A D ∠=可知1sin ,3B A D ∠=所以s in s in 3A B B A DA DB B D∠∠==．因为π,2A DB D AC C C ∠=∠+=+所以c o s 3C =强化训练 1．已知A B C △中,,则（） A ．B ．C ．D ．【答案】A2．在A B C △中,角的对边分别为,若,且,则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为,所以.因为,且,所以由余弦定理可知,,解得,即.故选B ． 3．在A B C △中,内角的对边分别为,若,则A B C △的面积为（）A ．3B ．C ．D ．【答案】C4．如图,从气球上测得正前方的河流的两岸,的俯角分别为,,此时气球的高是,则河流的宽度等于（）A ．m B ．m C ．m D ．m【答案】C【解析】如图，由题意得,,,所以,,所以.选C ．5． A B C △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知A B C △的面积为4a=2,b =3,则s in aA（）A ．3B ．15C ．3D ．3或15【答案】D6．在A B C △中,分别为内角的对边, 且,则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为,且,所以两式相减可得==,因为,所以,则2π3A =,此时,则b=c ,所以,故选B ．7．在锐角A B C △中,角所对的边分别为若则角等于__________．【答案】8．已知()co s17,co s 73A B =︒︒，()2co s 77,2co s13B C =︒︒,则A B C △的面积为__________.2【解析】由题意得1c A B ==,2a C B ==,·B C B A =2co s77co s172co s13co s73-︒︒-︒︒=()2co s77co s17sin 77sin17-︒︒+︒︒=()2co s 7717-︒-︒=1-;而·c o s B C B A A B C B B ==2co s B =1-,解得1c o s 2B =-,所以s in 2B =.所以A B C △的面积1s in 22S a c B ==.9．（2018届河南省中原名校高三上学期第五次联考）已知A B C △中,π2A =,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,点D 在边B C 上,1A D =,且B D =2,D C B A D ∠=2D A C ∠,则s in s in B C=__________．【答案】2【解析】由π2A =及2B A D D A C ∠=∠可得B A D ∠=π,3D A C ∠=π6,由2B D D C =,令,2D C x B D x ==则,因为1A D =,在A D C △中,由正弦定理可得1πs in s in6xC=,所以sin C =12x , 在A B D △中,πs in3s in 24B xx==,所以s in s in B C210．（2017-2018学年河南省漯河市高级中学高三上学期第四次模拟考试）如图，为了测量河对岸A B 、两点之间的距离,观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A B 、;找到一个点D ,从点D 可以观察到点A C 、;找到一个点E ，从点E 可以观察到点B C 、.并测量得到一些数据:2C D =,C E =45D ∠=︒,105A C D ∠=︒,48.19A C B ∠=︒,75B C E ∠=︒,60E ∠=︒,则A B 、两点之间的距离为__________．(其中co s 48.19︒取近似值23)11．在A B C △中,,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,且()3c o s ,s in c o s c o s s in 05B A B c A B =--⋅=.(1)求边b 的值;(2)求A B C △的周长的最大值. 【答案】(1) 1b =；1.【解析】(1)由()sin co s co s sin 0A B c A B --⋅=得sin co s co s sin sin A B A B c B +=. ∴sin sin C c B =,即s in s in C B c=.由正弦定理得sin sin B C bc=,故1b =.(2)由余弦定理得22262c o s 15a cb ac B a c +=+=+.∴()22161611552a c a c a c +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭,∴a c +≤.所以当a c =时, A B C △1+.12．在A B C △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2co s 2c B a b =+.(1)求角C ;(2)若A B C △的面积为2S =,求a b 的最小值.【答案】(1)2π3；(2) 12.13．在A B C △中，设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量()co s ,sin A A =m ,向量)s in ,c o s ,2A A =-+=n m n .(1)求角A 的大小;(2)若b =且c =,求A B C △的面积.【答案】(1) π4；(2)16.【解析】(1)2+m n =()()22c o s s in s in c o s A AA A +++=)4co s sin 4A A +-=+π4c o s 4A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,ππ44c o s 4,c o s 0,44A A ⎛⎫⎛⎫∴++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()0,πA ∈,∴ππ42A +=,则π4A =.(2)由余弦定理得2222co s a b c b c A =+-,即()222π2c o s4a =+-⨯,解得a =∴8c =,∴181622A B C S =⨯⨯=△.14．A B C △的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,且sin sin a A b B +=sin sin .c C B +(1)求角C ;(2)πin c o s 4A B ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值.【答案】(1)π4；(2) 2.15．设()fx =π1inc o ss in .22222x x x⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (1)求()f x 的单调递增区间;(2)在A B C △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知π1,32f A a ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求A B C △面积的最大值.【答案】(1) 2ππ2π,2π,33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；4高考试题1．（2016新课标全国Ⅰ文科）A B C △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2c o s 3A =，则b=（）A ．BC ．2D ．3 【答案】D【解析】由余弦定理得3222452⨯⨯⨯-+=b b ，解得3=b （31-=b 舍去），故选D.【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b .运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．（2017新课标全国Ⅰ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin co s )0B A C C +-=，a =2，c C =（）A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】B3．（2017新课标全国Ⅲ文科）△A B C的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b c=3，则A=_________.【答案】75°4．（2015新课标全国Ⅱ文科）A B C △中，D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求s in s in B C∠∠ ；（II ）若60B A C ∠=,求B ∠. 【解析】（I ）由正弦定理得sin sin A D B D BB A D=∠∠，s in s in A D D C CC A D=∠∠，因为A D 平分B A C ∠，2B D D C =，所以s in 1s in 2B DC CB D∠==∠.（II ）因为180(),60C B A C B B A C ∠=-∠+∠∠=，所以1s in s in ()s in (60)o s s in 22C B A C +B +B B B ∠=∠∠=∠=∠+∠.由（I ）知2sin sin B C ∠=∠，所以ta n 3B =∠，30B =∠.【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,如sin ()sin ,co s()co s A B C A B C +=+=-，ta n ()ta n A B C +=-就是常用的结论.另外，利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.。

高中数学理科专题讲解高考大题专项(二)《三角函数与解三角形》教学课件

典例剖析
典例剖析
解题心得在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,可直接将等式两边的边化为角;也能利用余弦定理的变形如将角化为边.在三角形中利用三角变换求三角式的值时,要注意角的范围的限制.
典例剖析
解:(1)在△ABD中,∵∠DAC=75°,∠CAB=45°,∴∠DAB=120°.又∠DBA=30°,∴∠ADB=30°,∴△ABD为等腰三角形,∴AB=AD=50 m.由余弦定理可得BD2=502+502-2×50×50cos 120°=3×502,∴BD=50 m.△ABC中,∠CAB=45°,∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+75°=105°,∴∠ACB=30°,
典例剖析
2.三角恒等变换和解三角形的结合,一般有两种类型:一是先利用三角函数的平方关系、和角公式等求符合正弦定理、余弦定理中的边与角,再利用正弦定理、余弦定理求值;二是先利用正弦定理、余弦定理确定三角形的边与角,再代入到三角恒等变换中求值.具体解题步骤如下:第一步,利用正(余)弦定理进行边角转化;第二步,利用三角恒等变换求边与角;第三步,代入数据求值;第四步,查看关键点、易错点.3.解三角形的问题总体思路就是转化思想和消元,要注重正弦定理、余弦定理多种表达形式及公式的灵活应用.
典例剖析
典例剖析
典例剖析
1.在历年的高考试题中,三角中的解答题一般考查简单三角函数式的恒等变形、解三角形,有时也考查正弦定理、余弦定理的实际应用.特别是涉及解三角形的问题,经常出现的题型有:正弦定理、余弦定理与三角变换的综合;正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合;正弦定理、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合.把握住高考命题规律,有针对性的训练是提高成绩的有效措施.

专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题(11大核心考点)-2024年高考数学二轮复习讲练测

则 = ．
5．（2021•浙江）在中，∠ = °， = ，是的中点， = ，则 = ；

∠ = ．

6．（2022•甲卷）已知中，点在边上，∠ = °， = ， = ．当取得最小值时，
，得 = 2或 =
∈ 0, ，得sin = 1
7
− 2（舍），
− cos 2
2
2
15
4
=
=

2sin⋅cos
3 15
．
4

3
3
= sin，所以 = 6cos．
在 △ 中，再由余弦定理得 cos =

所以 6 =
15
，
4
所以△ 的面积 = 1 sin = 1 × 3 × 2 ×
2
=
3

= 0, ∴ ∠ = ， =
2
2
3
7
1+4−2
7
，解得AD为
9
1
+
16
3

2
− )=
=
3
，cos∠
3
129
12
4
3 3
，sin∠ =
，
43
43
3
1
, sin∠ = ，
2
2
7 3
+ ∠) = 2 43，

cos∠ = −cos∠ = −
cos∠ = cos(

（2）在△ 中，由正弦定理得sin = sin ⇒ sin2 = sin ⇒
16+2 −9
2×4×
，解得 = 21．
2 + 2 − 2
2⋅

专题正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题

专题正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题【核心考点目录】核心考点一：倍长定比分线模型核心考点二：倍角定理核心考点三：角平分线模型核心考点四：隐圆问题核心考点五：正切比值与和差问题核心考点六：四边形定值和最值核心考点七：边角特殊，构建坐标系核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题核心考点九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范围【真题回归】1．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________．2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123123S S S B -+==．（1）求ABC 的面积；（2）若sin sin 3A C =，求b ．3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．（1）若2A B =，求C ；（2）证明：2222a b c =+4．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A BA B=++．（1）若23C π=，求B ；（2）求222a b c +的最小值．【方法技巧与总结】1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．【核心考点】核心考点一：倍长定比分线模型【规律方法】如图，若P 在边BC 上，且满足PC BP λ= ，AP m =，则延长AP 至D ，使PD AP λ=，连接CD ，易知AB ∥DC ，且DC c λ=，(1)AD AP λ=+．180BAC ACD ∠+∠=︒．【典型例题】例1．（2022·福建·厦门双十中学高三期中）如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若2AC = ，3AB = ，则||AP 的值为（）AB C D 例2．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.例3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）设a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，AD 为BC 边上的中线，c ＝1，23BAC π∠=，12sin cos sin sin sin 2c A B a A b B b C =-+．(1)求AD 的长度；(2)若E 为AB 上靠近B 的四等分点，G 为ABC 的重心，连接EG 并延长与AC 交于点F ，求AF 的长度．例4．（2022·广西柳州·高三阶段练习（文））已知2()sin cos f x x x x =+-()f x 的图象向右平移π0<<2ϕϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭单位后，得到()g x 的图象，且()g x 的图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称．(1)求ϕ；(2)若ABC 的角,,A B C 所对的边依次为,,a b c ，且182A g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，=1,=2b c ，若点D 为BC边靠近C 的三等分点，试求AD 的长度．例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，D 为BC 上靠近点C 的三等分点，且1AD CD ==．记ABC 的面积为S ．(1)若sin 2sin C B =，求S ；(2)求S 的取值范围．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 所对的边，且满足1cos 2c A b a =-，若P 为边AB 上靠近A 的三等分点，1CP =，求：（1）求C 的值；（2）求2+a b 的最大值．例7．（2022·全国·高三专题练习）在①ANBN=②AMN S =△，③AC AM =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，c =8，点M ，N 是BC 边上的两个三等分点，3BC BM =，___________，求AM 的长和ABC 外接圆半径.例8．（2022·湖北·高三期中）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()sin sin()a c A a B C -=-，b =(1)求角B ；(2)若AC 边上的点D 满足2CD DA = ，2213BD =，求ABC 的面积．核心考点二：倍角定理【规律方法】例9．（2022·广西·灵山县新洲中学高三阶段练习（文））在锐角ABC 中，角A B C ，，所对的边为a b c ，，，且()cos 1cos a B b A ⋅=+.(1)证明:2A B=(2)若2b =，求a 的取值范围.例10．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 是ABC 的面积,()222sin SB C a c +=-．(1)证明：A ＝2C ；(2)若a ＝2，且ABC 为锐角三角形，求b ＋2c 的取值范围．例11．（2022·福建龙岩·高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22sin sin sin sin B C A C -=．(1)证明：2B C =；(2)若A 是钝角，2a =，求ABC 面积的取值范围．例12．（2022·江苏·宝应中学高三阶段练习）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =；(2)求4cos a bb B+的最小值.例13．（2022·江苏连云港·高三期中）在ABC 中，AB ＝4，AC ＝3．(1)若1cos 4C =-，求ABC 的面积；(2)若A ＝2B ，求BC 的长．例14．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()22sin sin sin sin A B B A B -=+.(1)证明：2A B =.(2)求bc 的取值范围.核心考点三：角平分线模型【规律方法】斯库顿定理：如图，AD 是ABC △=上积一下积．【典型例题】例15．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）ABC 中，2AB =，1AC =，BD BC λ=，()0,1λ∈.(1)若120BAC ∠=︒，12λ=，求AD 的长度；(2)若AD 为角平分线，且1AD =，求ABC 的面积.例16．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）在锐角ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足cos cos cos c a bC A B+=+(1)求角C 的大小；(2)若c =A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围.例17．（2022·江苏泰州·高三期中）在①sin (cos cos )sin sin sin C a B b A a B a A b B +-=+；②22sin sin cos cos B A B B A A -=两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a b ¹，．(1)求角C 的大小；(2)若∠ACB 的角平分线CD 交线段AB 于点D ，且4,4CD BD AD ==，求△ABC 的面积．例18．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知向量),cos a x x =，()cos ,cos b x x =- ，函数()32f x a b =⋅+ ．(1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ACB 的角平分线交AB 于点D ，若()f C 恰好为函数()f x 的最大值，且此时()CD f C =，求3a ＋4b 的最小值．例19．（2022·河北·高三阶段练习）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中=4a ，=3b .(1)若点D 为AB 的中点且=2CD ，求ACB ∠的余弦值；(2)若ACB ∠的角平分线与AB 相交于点E ，当c CE ⨯取得最大值时，求CE 的长.例20．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅△ ；③tan tan tan A C A C +=这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．(1)求角B 的大小；(2)若角B 的内角平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．例21．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，内角A 的角平分线交边BC 于D 点，且4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=，则ABC 面积的最小值是（）A ．16B ．C ．64D ．核心考点四：隐圆问题【规律方法】若三角形中出现(1)b a λλ=>，且c 为定值，则点C 位于阿波罗尼斯圆上．【典型例题】例22．（2022·全国·高三专题练习（文））阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数()0,1λλλ>≠的动点的轨迹．已知在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin A B =，cos cos 3a B b A +=，则ABC 面积的最大值为（）A ．3B ．C ．6D ．例23．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为（）AB C ．43D ．53例24．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC的面积最大时，BC 的长为______.例25．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值λ（0,1λλ>≠）的动点的轨迹.已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 2sin ,A B =cos cos 2,a B b A +=则ABC 面积的最大值为__________．例26．（2022·全国·高三专题练习）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有ABC ∆，4,sin 2sin AC C A ==，则当ABC ∆的面积最大时，AC 边上的高为_______________.核心考点五：正切比值与和差问题【规律方法】例27．（2022·江苏南通·高三期中）在ABC 中，点D 在边BC 上，且AD BD =，记BDCDλ=.(1)当13λ=，π3ADB ∠=，求ABAC；(2)若tan 2tan BAC B ∠=，求λ的值.例28．（2022·河南焦作·高三期中（文））在锐角ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，2b =，且ABC 的面积2S =．(1)若4sin 5A =，求a ；(2)求tan B 的最大值．例29．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（理））已知在ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，且222b a c ac =+-，1b =(1)若()tan tan 1tan tan 3A C A C -=+，求边c 的值；(2)若2a c =，求ABC 的面积．例30．（2022·江西赣州·高三期中（理））在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)a c BA BC cCB CA -⋅=⋅．(1)求角B 的大小；(2)若tan tan 4tan tan B B A C+=，求sin sin AC 的值．例31．（2022·湖南·高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 满足22222a b c +=且90B ≠︒．(1)求证：tan 3tan C A =；(2)求111tan tan tan A B C++的最小值．例32．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222tan tan tan a b c A B Cλλ+=>（1）.(1)当,14A a π==，2λ=时，求c 的值；(2)判断ABC 的形状.例33．（2022·湖北·高三开学考试）在ABC 中，内角,,A B C 满足2222sin sin 2sin A B C +=.(1)求证：tan 3tan C A =；(2)求123tan tan tan A B C++最小值.例34．（2022·江苏南京·高三开学考试）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222222a b a b c c ab-+-=.(1)若4C π=，求A ，B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求2cos ab B的取值范围.例35．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量(,sin )m a b C =-u r，(,sin sin )n c A B =+r，(0)m n λλ=≠u rr，则1tan 24bC c+的最小值为（）A2B ．CD 例36．（2022·山西吕梁·ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22222a c b +=，则tan tan BC=______．例37．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若113tan tan sin B C bc A+=⋅，且()1sin sin 2C B A -=，则22c b -=__________．核心考点六：四边形定值和最值【规律方法】正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅，当且仅当四边形ABCD 四点共圆时，等号成立．【典型例题】例38．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））在四边形ABCD 中，2,3AB BC CD AD ====，则四边形ABCD 面积的最大值为______.例39．（2022·江苏无锡·高三期中）如图，在平面四边形ABCD 中，cos AB BD ABD =∠．(1)判断ABD △的形状并证明；(2)若AB =，BC =，12BC =，求四边形ABCD 的对角线AC 的最大值．例40．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在平面四边形ABCD 中，20AB AD ==，π3BAD ∠=，2π3BCD ∠=．(1)若5π12ABC ∠=，求BC 的长；(2)求四边形ABCD 周长的最大值．例41．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习）已知函数()((1sin cos 1sin cos f x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-⋅-⎣⎦⎣⎦.(1)求()f x 的最小正周期T 和单调递减区间；(2)四边形ABCD 内接于⊙O ，BD =2，锐角A 满足314A f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求四边形ABCD 面积S 的取值范围.例42．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）如图，在平面凹四边形ABCD 中，=2AB ，=3BC ，60B ∠=︒.(1)若sin sin AD A CD C =且=1AD ，求凹四边形ABCD 的面积；(2)若120ADC ∠=︒，求凹四边形ABCD 的面积的最小值.例43．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，()090BAD BCD θθ∠=∠=<<o o ，6AB BC +=.(1)若=2BC AB ，75θ= ，求对角线AC 的长；(2)当AD CD =，=3BC 时，求平面四边形ABCD 的面积的最大值及此时θ的值.例44．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设()()cos sin f x x x ϕ=--，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，已知03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小值；(2)已知凸四边形ABCD 中，()114,7AB AC AD f A ====，求ABCD 面积的最大值.核心考点七：边角特殊，构建坐标系【规律方法】利用坐标法求出轨迹方程【典型例题】例45．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2a +2228b c +=，则ABC △的面积的最大值为______．【解析】:方法1:如图，在ABC ∆中，以线段AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则,02c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02c B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(,)C x y ，得222c x y ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦222822c x y c ⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得222544x y c +=-，当ABC ∆面积最大时0x =，故12ABC S c ∆=⨯=285c =时，ABC ∆面积取得最大值为5.方法2:如图，设AD x =，BD y =，CD h =，由22228a b c ++=，得()()22222(h y h x x +++++2)8y =，即222222()8h x y x y ++++=，又2x y+222()(2x y x y ++ 当且仅当x y =时取等号)，所以2252()82h x y ++ ，又1()2ABC S x y h x ∆=+=+22y ⨯=⨯1)25x y ⎤+=⨯⎥⎦1)25y ⎤+⨯⨯⎥⎦2252()22h x y ++(当且仅当)x y+=时，等号成立，即h =，将h =与x y =代人222222()8h x y x y ++++=中，得x y =⎭.所以ABC ∆面积取得最大值为5.方法3:由三角形面积公式，得1sin 2ABC S ab C ∆=，即()222222211sin 1cos 44ABC S a b C a b C ∆==-，由22228a b c ++=，得22282a b c +=-，由余弦定理，得283cos 2c C ab-=，所以()222222211sin 1cos 44ABC S a b C a b C ∆==-=()22222222831831142416c c a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫-⎢⎥⋅-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()2222242835161616a b c c c +--=-+(当且仅当a b =时取等号)，当285c =时，42516c c -+，取得最大值45，即245ABC S ∆ ，所以ABC ∆面积的最大值为5(也可以用基本不等式求2ABCS ∆的最大值，即42516ABCc S∆=-+()2225165145165c c c -=⋅，所以ABC ∆面积的最大值为5).方法4:在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，由22228a b c ++=，得()222222cos 8a b a b ab C +++-=，即()22384cos a b ab C +=+，又222a b ab + ，所以84cos 6ab C ab + ，即(32cos )4ab C - ，故432cos ab C -，又1sin 2ABC S ab C ∆=，所以2sin 32cos ABC C S C ∆-，令2sin ()32cos xf x x=-，(0,)x π∈，得26cos 4()(32cos )x f x x -'=-，令06cos 40x -=，得02cos 3x =，即当02cos 3x =时，sin x 0ABC ∆面积的最大值为.例46．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b ==ABC △所在的平面内存在点M ，使得2223MA MB MC +==3，则ABC △的面积的最大值为______．【解析】:以AB 所在直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,0)A m -，(,0)B m ，(0,)C n ，(,)M x y ，0m >，0n >.由223MA MB +=，得2222()()3x m y x m y +++-+=，即22232x y m +=-①，又21MC =，故22()1x y n +-=②，其中①式可以看作以(0，0)的圆的轨迹方程，②式可以看作以(0,)n 为圆心，半径为1的圆的轨迹方程，由题意知两圆有公共点，即点M ，则11(3)n + ③，又a b ==，得223m n +=④，由③，④得223016m < ，因为ABC S mn ∆=，所以()22223ABCS m n m∆==-，2223924m m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当22316m =时，2ABC S ∆取得最大值575256，故BC S ∆核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题【规律方法】与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．【典型例题】例47．（2022·重庆一中高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足()22sin cos cos B A C B =-+.(1)证明：a ，b ，c 成等比数列；(2)若a c >且22252a cb +=，ABC ，求ABC 的周长.例48．（2022·山东聊城·高三期中）已知ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且2b a =，3c =．(1)若2π3C =，求ABC 的面积；(2)若2sin sin 1B A -=，求ABC 的周长．例49．（2022·山西·高三阶段练习）在①cos sin c A C =；②()(sin sin )()sin a b A B c C -+=；③3cos cos b A a B c +=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足___________．(1)求角A 的大小；(2)若D 为线段CB 延长线上的一点，且2,CB BD AD AC ===，求ABC 的面积．例50．（2022·云南云南·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(cos sin )b c A A =-.(1)求角C ；(2)若c =，D 为边BC ADC 的面积1S =且B A >，求AD 的长度.例51．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））如图，△ABC 中，点D 为边BC 上一点，且满足AD CDAB BC=．(1)证明：πBAC DAC ∠+∠=；(2)若AB ＝2，AC ＝1，BC =ABD 的面积．核心考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围【规律方法】对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．【典型例题】例52．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.例53．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知向量()cos ,sin a x x = ，),sin =b x x，函数()12=⋅- f x a b ．将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图像．(1)求函数()g x 的零点；(2)若锐角ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别是a ，b ，c ，且()1f A =，求b ca+的取值范围．例54．（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数()()πsin cos sin π2f x x x x x m ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭．(1)在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数m 的值唯一确定，并求出使函数()f x 在区间[]0,a 上最小值为12-时，a 的取值范围；条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一个对称中心为7π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的一条对称轴为π3x =．(2)若12m =-，在锐角ABC 中，若()1f A =，且能盖住ABC 的最小圆的面积为π，求+AB AC 的取值范围．例55．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin sin cos a A A B b B =+，且a b ¹．(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 面积的取值范围．例56．（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）在,ABC 中内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,.a b c 已知222cos 2sin sin 122A B A B -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(1)求角C 的大小.(2)若1c =，求ABC S 的最大值.例57．（2022·山东·日照市教育科学研究中心高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 满足3BD BC = ，且0AD AC ⋅= ．(1)若b ＝c ，求A 的值；(2)求B 的最大值．例58．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知()()22232cos b c b c a abc C -+-=．(1)求tan A ；(2)若b c +=ABC 面积的最大值．例59．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）在①πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②S CA =⋅ ；③tan (2)tan c A b c C =-.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.在ABC 中，内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，且满足___________(1)求A 的大小；(2)设ABC 的面积为D 在边BC 上，且2BD DC =，求AD 的最小值.。

大题训练01 解三角形-2023年高考数学三轮复习课件(新高考专用)

A=1×3×2
2
2× 2=3,
2
所以△ABC 的面积为3或 3.
2
2.(2023·南京模拟)在平面四边形 ABCD 中,∠ABD=45°,AB=6,AD=3 2,对角线 AC 与 BD 交于点 E,且 AE=EC,DE=2BE. (1)求 BD 的长; (2)求 cos∠ADC 的值.
【解析】(1)在△ABD
,解得
sin
A=
1740.
6
4.在钝角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知1c−ossinAA=1c−ossinA+A+cossinBB.
(1)若 C=2π,求 sin A;
3
(2)求
2+
2
2
的取值范围.
【解析】(1)由已知得 cos A-sin Acos A+sin Bcos A=cos A-sin Acos A+cos B-sin Acos B,
B+ta3n
=3
C2
tan A+tan1 A
≥32×2
tan
A· 1
tan
A=3,
当且仅当 tan A= 1 ,即 tan A=1,A=π时取等号.
tan A
4
所以 1
tan
A+tan2
B+tan3
的最小值为
C
3.
6.(2023·湖南三湘联考)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,S 为
=31313.
所以 CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠DAC=50,即 CD=5 2,
所以 cos∠ADC=
2+ 2

新高考数学大题专项训练(一)解三角形(考点2 解三角形)(解析版)

专项一解三角形考点2 解三角形大题拆解技巧【母题】(2020年全国Ⅱ卷)△ABC 中,sin 2A-sin 2B-sin 2C=sin Bsin C. (1)求A;(2)若BC=3,求△ABC 周长的最大值.【拆解1】△ABC 中,已知sin 2A-sin 2B-sin 2C=sin B sin C,求A. 【解析】由正弦定理可得BC 2-AC 2-AB 2=AC·AB, ∴cos A=AC 2+AB 2-BC 22AC ·AB=-12,∵A∈(0,π),∴A=2π3.【拆解2】若BC=3,A=2π3,求证(AC+AB)2-AC·AB=9.【解析】由余弦定理得BC 2=AC 2+AB 2-2AC·ABcosA ∴AC 2+AB 2+AC·AB=9,即(AC+AB)2-AC·AB=9.【拆解3】已知BC=3,且(AC+AB)2-AC·AB=9,求△ABC 周长的最大值. 【解析】∵AC·AB≤（AC+AB 2）2(当且仅当AC=AB 时取等号),∴9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-AC+AB22=34(AC+AB)2,解得AC+AB≤2√3(当且仅当AC=AB时取等号),∴△ABC的周长L=AC+AB+BC≤3+2√3,∴△ABC周长的最大值为3+2√3.小做变式训练△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,√3c=b(sin A+√3cos A).(1)求B;(2)若b=3,求△ABC周长最大时,△ABC的面积.【拆解1】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,√3c=b(sin A+√3cos A),求B.【解析】∵√3c=b(sin A+√3cos A),∴√3sin C=sin B·(sin A+√3cos A),∴√3sin(A+B)=sin Bsin A+√3sin Bcos A,∴√3sin Acos B+√3sin Bcos A=sin Bsin A+√3sin Bcos A,∵A∈(0,π),∴sin A≠0,∴√3cos B=sin B,∴tan B=√3, ∵0<B<π,∴B=π3.【拆解2】已知B=π3,若b=3,求△ABC 周长的最大值.【解析】∵cos B=a 2+c 2-b 22ac,B=π3,∴12=a 2+c 2-b 22ac,∴b 2=a 2+c 2-ac,∴9=(a+c)2-3ac,∴9≥(a+c)2-3a+c 22=(a+c )24,当且仅当a=c=3时等号成立, a+c 的最大值为6, ∴周长的最大值为9.【拆解3】已知条件不变,求△ABC 周长最大时,△ABC 的面积. 【解析】当a=c=3时,a+c 取得最大值,即周长取得最大值, 此时S △ABC =12×3×3×sin π3=9√34.通法技巧归纳1.三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有关定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形的性质求解即可.2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解,已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化. (2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,0<A<π,b-c<a<b+c,三角形中大边对大角等.突破实战训练<基础过关>1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=√3sin(A+B)+1.2sin2A+B2(1)求角C的大小;(2)若a=√3,c=1,求△ABC的面积.【解析】(1)在△ABC中,A+B+C=π,即A+B=π-C,所以sin(A+B)=sin C,因为2sin 2A+B 2=√3sin(A+B)+1,所以2sin 2π-C 2=√3sin C+1,可得2cos 2C2=√3sin C+1,所以1+cos C=√3sin C+1,即cos C=√3sin C,所以tan C=√33, 因为C∈(0,π),所以C=π6.(2)由正弦定理可得asinA =csinC,因为a=√3,c=1,所以sin A=√32,因为a>c 且A∈(0,π),所以A=π3或A=2π3,所以B=π2或B=π6, 当B=π2时,S △ABC =12acsin B=√32;当B=π6时,S △ABC =12acsin B=√34.2.在①2asin C=ctan A;②2acos B=2c -b;③2cos 2B+C2=cos 2A+1这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知________. (1)求A 的值;(2)若△ABC 的面积为√34,周长为5,求a 的值.【解析】选①.(1)已知2asin C=ctan A,利用正弦定理得2sin Asin C=sin C·sinAcosA,因为0<A<π,0<C<π,所以sin A≠0,sin C≠0,整理得cos A=12,由于0<A<π,所以A=π3.(2)由S △ABC =12bcsin A=√34bc=√34,解得bc=1.由于a+b+c=5,所以a=5-(b+c),利用余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A=b 2+c 2-bc=(5-a)2-3,解得a=115.选②.(1)已知2acos B=2c-b,利用余弦定理得2a·a 2+c 2-b 22ac=2c-b,整理得b 2+c 2-a 2=bc=2bccos A,化简得cos A=12,由于0<A<π,所以A=π3.(2)由S △ABC =12bcsin A=√34bc=√34,解得bc=1.由于a+b+c=5,所以a=5-(b+c),利用余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A=b 2+c 2-bc=(5-a)2-3, 解得a=115.选③.(1)已知2cos 2B+C 2=cos 2A+1,整理得cos(B+C)+1=2cos 2A,所以2cos 2A+cos A-1=0,解得cos A=12或cos A=-1(舍去),由于0<A<π,所以A=π3.(2)由S △ABC =12bcsin A=√34bc=√34,解得bc=1.由于a+b+c=5,所以a=5-(b+c),利用余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A=b 2+c 2-bc=(5-a)2-3,解得a=115.3. 已知函数f(x)=4cos xsin(x-π3)+√3.(1)求函数f(x)在区间[π4,π2]上的值域.(2)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若角C 为锐角,f(C)=√3,且c=2,求△ABC 面积的最大值. 【解析】(1)f(x)=4cos xsin(x-π3)+√3=4cos x(sin xcos π3-cos xsin π3)+√3=4cos x(12sin x-√32cos x)+√3=2sin xcos x-2√3cos 2x+√3 =sin 2x-√3cos 2x=2sin(2x-π3),由π4≤x≤π2,得π6≤2x -π3≤2π3,∴12≤sin (2x-π3)≤1,∴函数f(x)的值域为[1,2].(2)由f(C)=√3,得sin(2C-π3)=√32,∵C 为锐角,∴2C -π3=π3,∴C=π3.∵c=2,∴由余弦定理得a 2+b 2-ab=4,∵a 2+b 2≥2ab,∴4=a 2+b 2-ab≥ab(当且仅当a=b 时等号成立).∴S △ABC =12absin C=√34ab≤√3,当a=b=2,即△ABC 为正三角形时,△ABC 的面积有最大值,最大值为√3.4.已知函数f(x)=λsin(ωx+φ)(λ>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示,A 为图象与x 轴的交点,B,C 分别为图象的最高点和最低点,在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,△ABC 的面积S=√34(a 2+c 2-b 2).(1)求角B 的大小;(2)若b=√3,点B 的坐标为(13,λ),求f(x)的最小正周期及φ的值.【解析】(1)∵S=√34(a 2+c 2-b 2),∴由余弦定理得S=√32accos B, 又S=12acsin B,∴√32accos B=12acsin B,即tan B=√3,∵B∈(0,π),∴B=π3.(2)由题意得,a=2c,b=√3,B=π3,∴由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accos B,得4c 2+c 2-4c 2cos π3=3,解得c=1,设边BC 与x 轴的交点为D,则△ABD 为正三角形, ∴λ=√32且AD=1,∴函数f(x)的最小正周期为2,∴ω=2π2=π,∴f(x)=√32sin(πx+φ),又点B (13,√32)在函数f(x)的图象上,∴f (13)=√32,即√32sin (π3+φ)=√32,即sin (π3+φ)=1,∴π3+φ=π2+2kπ,k∈Z,即φ=π6+2kπ,k∈Z,又0<φ<π2,∴φ=π6.<能力拔高>7.已知在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足bc=1,a 2-bc=(b-c)2.(1)求sin B+sin C 的最大值; (2)若cos Bcos C=14,求b+c 的值.【解析】(1)∵a 2-bc=b 2+c 2-2bc, ∴b 2+c 2-a 2=bc, ∴cos A=b 2+c 2-a 22bc=bc2bc =12,∴A=π3,∴B+C=2π3,∴sin B+sin C=sin B+sin (2π3-B)=sin B+sin2π3cos B-cos2π3sin B=√32cos B+32sin B =√3(12cosB +√32sinB) =√3sin (B +π6),当B=π3时,sin B+sin C 取得最大值,最大值为√3.(2)由(1)可得cos A=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C=12.∵cos Bcos C=14,∴sin Bsin C=34.∴bc4R2=34. ∵bc=1,∴R=√33,∴由正弦定理可得a=2R·sin A,即a=1, ∴(b+c)2-2bc-1=bc,即(b+c)2=4, 解得b+c=2.6. 已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且a(1+cos B)=b(2-cos A).(1)求角B 的最大值.(2)若B 取(1)中最大值,a>1,c=b+12,当△ABC 的周长最小时,求a 的值.【解析】(1)∵a(1+cos B)=b(2-cos A),∴a (1+a 2+c 2-b 22ac )=b(2-b 2+c 2-a 22bc ),∴2b=a+c,∴cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-(a+c 2) 22ac =38×a 2+c 2ac -14. 又∵a 2+c 2≥2ac,∴a 2+c 2ac ≥2,即cos B=38×a 2+c 2ac -14≥12(当且仅当a=c 时取等号). 又∵B∈(0,π),∴B 的最大值为π3. (2)由(1)可知B=π3,c=b+12, 则b 2=a 2+c 2-2accos B=a 2+(b+12)2-a(b+12).又a>1, ∴b=a 2-a 2+14a -1.记△ABC 的周长为l,则l=a+b+c=2×a 2-a 2+14a -1+a+12 =3(a-1)+32(a -1)+92≥2√3(a -1)·32(a -1)+92=92+3√2. 当且仅当3(a-1)=32(a -1),即a=1+√22时取等号,∴当△ABC 的周长最小时,a 的值为1+√22. <拓展延伸>7.如图,△BCD 为等腰三角形,点A,E 在△BCD 外,且DE=8,若∠BCD=∠BAE=2π3,BC=2√3. (1)从以下三个条件中任选一个,求BE 的长度.①∠CDE=2π3;②cos∠DBE=35;③锐角△DBE 的面积为12√3. (2)在你所选的(1)的条件下,求BA+AE 的最大值.【解析】(1)选择①∠CDE=2π3, 在△BCD 中,由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC·CDcos∠BCD=36, ∴BD=6,又BC=CD,∴∠CBD=∠CDB=π6,∵∠CDE=2π3, ∴∠BDE=π2, 在Rt△BDE 中,BE=√BD 2+DE 2=√36+64=10.选择②cos∠DBE=3,5在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=36,解得BD=6.由BD=6,DE=8,在△BDE中,利用余弦定理可得DE2=BD2+BE2-(舍去).2BD·BEcos∠DBE,解得BE=10或BE=-145选择③锐角△DBE的面积为12√3,在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=36,×6×8×sin∠BDE=12√3,∴BD=6,又DE=8,S△BDE=12∴∠BDE=π,3在△BDE中,利用余弦定理得BE2=BD2+DE2-2BD·DEcos∠BDE,解得BE=√52=2√13.(2)若选择①和②,解答如下:在△BAE中,∠BAE=2π,BE=10.3由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AEcos∠BAE,即100=AB2+AE2+AB·AE,故(AB+AE)2-100=AB·AE≤(AB+AE2)2,即34(AB+AE)2≤100,∴AB+AE≤20√33,当且仅当AB=AE时等号成立,∴BA+AE的最大值为20√33.若选择③,解答如下:在△BAE中,∠BAE=2π3,BE=2√13.由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AEcos∠BAE,即52=AB2+AE2+AB·AE,故(AB+AE)2-52=AB·AE≤(AB+AE2)2,即34(AB+AE)2≤52,∴AB+AE≤4√393,当且仅当AB=AE时等号成立,∴BA+AE的最大值为4√393.8.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos C+ccos B=2acos A.(1)求角A的值;(2)若△ABC的周长为3,求实数a的最小值.【解析】(1)由已知条件及正弦定理得sin Bcos C+cos Bsin C=2sin AcosA,即sin(B+C)=2sin Acos A,∵sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,∴cos A=12. 又A∈(0,π),∴A=π3. (2)cos A=12=b 2+c 2-a 22bc =(b+c )2-2bc -a 22bc ,化简得3bc=(b+c)2-a 2.①∵a+b+c=3,∴a=3-(b+c),代入①式得3bc=6(b+c)-9.∵bc≤(b+c 2)2,∴6(b+c)-9≤34(b+c)2, 即(b+c)2-8(b+c)+12≥0,解得b+c≤2或b+c≥6(舍去),当且仅当b=c=1时等号成立,∴a=3-(b+c)≥1,即实数a 的最小值为1,此时b=c=1.。

正弦、余弦定理解三角形(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学(新高考通用)

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题01正弦、余弦定理解三角形

目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标六、高考真题衔接

1.正弦定理

RCcBbA

sinsinsin.（其中R为ABC外接圆的半径）

2sin,2sin,2sin;aRAbRBcRC（边化角）sin,sin,sin;222

abcABC

RRR（角化边）

用法：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素.

2.余弦定理：222

222222

cos,2

cos.2

bcaA

acbB

abcC















222222222

2cos,2cos,2cos.

abcbcAbacacBcababC







一、梳理必备知识用法：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；⑵已知三角形三边，求其它元素.3.三角形面积公式：

BacAbcCabSABCsin21sin21sin

=

2++

为三角形ABC的内切圆半径

4.三角形内角和定理：在△ABC中，有()ABCCAB222CAB222()CAB

【常用结论】①在ABC中，sinsin;abABAB

②sin2sin2,.2ABABAB则或

③在三角函数．．．．中，sinsinABAB不成立。但在三角形．．．中，sinsinABAB成立

一、判断题1．在ABC中，若::1:2:3ABC，则::1:2:3abc．()

【答案】错误【分析】通过内角和180°和三角的比例关系可求出三角，再结合正弦定理得到边的比例关系【详解】解：在ABC中，::1:2:3ABC，由三角形内角和为180°知30A，60B，90C，∴由正弦定理得::sin:sin:sinsin30:sin60:sin901:3:2abcABC，故答案为：错误2．在ABC中，sinsinabABAB．()【答案】正确【分析】利用三角形中大边对大角和正弦定理判断即可.【详解】当ab时，由大边对大角，得AB，当AB时，由大角对大边，得ab，所以由正弦定理得sinsinAB，反之也成立，所以在ABC中，sinsinabABAB

高中数学正余弦定理大题题型总结

高中数学正余弦定理大题题型总结正弦定理和余弦定理是高中数学中常见的重要定理，用于解决与三角形相关的问题。

以下是对高中数学正余弦定理大题题型的总结。

1. 解决三角形边长题目描述：已知三角形的一个角和两个边的长度，求第三边的长度。

解决方法：可以利用正弦定理或余弦定理来解决这类问题。

根据已知信息，可以列出对应的定理公式，代入已知量，并解方程得到未知边长的值。

2. 解决三角形内角题目描述：已知三角形的三个边长，求其中一个角的大小。

解决方法：可以利用余弦定理来解决这类问题。

根据已知信息，可以列出定理公式，代入已知量，并解方程得到角的大小。

3. 解决三角形面积题目描述：已知三角形的两边和夹角，求三角形的面积。

解决方法：可以利用正弦定理来解决这类问题。

根据已知信息，求出夹角的正弦值，然后代入三角形面积公式，计算得到面积。

4. 判断三角形形状题目描述：已知三角形的三个角度，判断其形状。

解决方法：可以利用余弦定理来解决这类问题。

根据已知信息，计算出三个边的长度，然后通过边长间的关系来判断三角形的形状，如等边三角形、等腰三角形或一般三角形。

5. 解决三角形的外接圆和内切圆问题题目描述：已知三角形的三个边长或三个角度，求其外接圆和内切圆的半径。

解决方法：可以利用数学性质和公式来解决这类问题。

对于外接圆，可以利用正弦定理或余弦定理计算三角形的边长，然后利用三角形外接圆半径公式求解。

对于内切圆，可以利用三角形的面积公式和海伦公式来求解。

总结来说，高中数学的正余弦定理大题题型主要涉及解决三角形边长、内外角度、面积以及形状等问题。

熟悉并掌握正余弦定理的应用方法，能够帮助解决这类问题，并提高数学解题的能力。

重难点12 解三角形-2023年高考数学(热点重点难点)专练(全国通用)(解析版)

重难点12 解三角形1．正弦定理(1)定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R （其中R 为△ABC 的外接圆半径）。

(2)运用方法适用情形：两角A ，B 及其对边a ，b (知三求一)。

列方程：a sin A ＝bsin B 。

(3)变形：a ＝2R sin_A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C 等等。

2．余弦定理(1)定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C 。

(2)运用方法适用情形：三边a ，b ，c ，任一内角A (知三求一)。

列方程：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 或cos A ＝b 2＋c 2－a22bc 。

(3)变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A 等等。

3．三角形面积公式(1)正弦定理推论：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 。

(2)其他常用公式方法：S ＝12底×高；S ＝12×C ×r (C 为周长，r 为内切圆半径)等等。

4.判断三角形的形状主要从两个角度考虑（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。

（2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论。

无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，避免漏掉一些可能情况。

解题时注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制。

5.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”（1）先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；（2）再活用正、余弦定理对边、角进行互化.2023年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题；若考解答题，主要放在第17题位置，为中档题，若为选（填）题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题.（建议用时：40分钟）一、单选题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A = 3π，a 3b = 1，则c =（） A 31 B 3C ．1 D ．2【答案】D【解析】解法一：（余弦定理）由2222cos a b c bc A =+-得： 223121cos13c c c c π=+-⨯⨯=+-，220c c ∴--=，2c ∴=或1-（舍).解法二：（正弦定理）由sin sin a b A B=，得：31sin sin 3B π=，1sin 2B ∴=， b a <，6B π∴=，从而2C π=，2224c a b ∴=+=，2c ∴=.故选：D2．在△ABC 中，cos C =3，AC =4，BC =3，则cos B =（） A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ 2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.3．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23,2AB CD AB BD BC BD ===，则sin C 的值为（）A 3B 6C 3D ．无解【答案】D【解析】3,23,2AB CD AB BD CD BD ==∴=22222234534cos 12?832?22BD BD BD BC DC BD C DC BC BD BD+-+-∴===>⨯，无解.故选D.．ABC 的内角，ABC 的面积为32，则b =（）A 13+ B ．13C 23+D ．23【答案】B 【解析】a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，平方得22242a c b ac +=-，又ABC 的面积为32，且30B =︒，故由1113sin sin 302242S ac B ac ac ==︒==，得6ac =，222412a c b ∴+=-，由余弦定理得22222241243cos 22642a cb b b b B ac +----====⨯，解得2423b =+，又b 为边长，13b ∴=+，故选B .5．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D ，G ，F 在水平线DH 上，CD 和EF 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG =1，表高CD =EF =2，后表却行FH =3，表距DF =61.则塔高AB =（）A ．60米B ．61米C ．62米D ．63米【答案】D【解析】解：根据题意，CDG ABG ∽△△，EFH ABH ∽，所以22,1643AB AB BD BD ==++，解得63AB =．故选：D.6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则22sin sin sin B A A -的值为（） A ．19B ．13C ．1D ．72【答案】D【解析】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=,故297212142b a ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 8．在中，若，则的形状是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定.【答案】A【解析】由条件结合正弦定理，得，再由余弦定理，得，所以三角形是钝角三角形，故选A.9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B的值为（）． A ．6πB ．3πC ．6π或56π D ．3π或23π 【答案】D 【解析】解：()222tan 3ac b B ac +-=，()2223cos 22sin ac b B acB+-∴=，即3cos cos 2sin B B B =， 3sin cos 02B B ⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭且tan B 有意义即2B π≠， 3sin 2B ∴=，在ABC 中，B 为3π或23π，故选：D ．10．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos 2c B A b =，则tan A 等于（） A ．3 B ．13-C ．3或13-D ．-3或13【答案】A 【解析】222sin cos tan 222a b c CC C ab +-==⇒=，4C π∴>，2sin sin sin a b cR A B C===， 2sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=， 22sin()sin 22A CB ∴+=⇒=，4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A.11．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（）A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π）【答案】C【解析】由于222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，根据正弦定理可知222a b c bc +-≤，故2221cos 22b c a A bc +-=≥．又(0,)A π∈，则A 的范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.故本题正确答案为C.ABC 的三个内角()()31cos sin m n A A =-=，，，．若 m n ⊥，且 cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为 A ．ππ63，B ．2ππ36， C ．ππ36，D ．ππ33，【答案】C【解析】由m n ⊥可得0m n = 即3cos sin 0A A -= 所以角3A π=，因为cos cos sin a B b A c C +=二、填空题13．在△ABC 中，105A ∠=︒，45C ∠=︒，AB =BC 等于______．．记ABC 的内角则b =________． ABCS=12，cos ac B ∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥，3AB =，1AC =，由勾股定理得222BC AB AC =+=，同理得6BD =，6BF BD ∴==，在ACE △中，1AC =，3AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos301321312CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，6BF =，1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯. 故答案为：14-.在ABC 中，点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9【解析】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线定义和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，即111a c +=，因此11444(4)()5529,c a c aa c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.故答案为：9.［方法二］：角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式由三角形内角平分线性质得向量式a cBD BA BC a c a c=+++．因为1BD =，所以2222212()a c ac BA BC BA BC a c a c a c ⎛⎫⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，化简得1ac a c =+，即ac a c =+，亦即(1)(1)1a c --=，所以44(1)(1)5524(1)(1)9a c a c a c +=-+-+≥+--=，当且仅当4(1)1a c -=-，即3,32a c ==时取等号．［方法三］：解析法＋基本不等式如图5，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设(,0)C a ，1313,,,2222D A c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为A ，D ，C 三点共线，则AD CD k k =，即333222111222c c a -=---，则有a c ac +=，所以111a c+=．下同方法一．［方法四］：角平分线定理＋基本不等式在BDC 中，22π12cos13CD a a a a =+-=+-，同理21AD c c =+-．根据内角平分线性质定理知CD BC AD AB =，即2211a a a cc c +-=+-，两边平方，并利用比例性质得2211a a c c -=-，整理得()()0a c a c ac -+-=，当a c =时，可解得2,410a c a c ==+=．当a c ac +=时，下同方法一．［方法五］：正弦定理＋基本不等式在ABD △与BCD △中，由正弦定理得11,sin 60sin sin 60sin AD CD A C==︒︒．在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin120sin60sin60a b AD CD AD CDA B +===+︒︒︒．所以11sin sin sin a A A C =+，由正弦定理得111a a a c==+，即ac a c =+，下同方法一．［方法六］：相似＋基本不等式如图6，作AE BC ∥，交BD 的延长线于E ．易得ABE 为正三角形，则,1AE c DE c ==-．由ADE CDB ∽，得AE DEBC BD =，即11c c a -=，从而a c ac +=．下同方法一．三、解答题17．在ABC 中，5cos 13A =-，3cos 5B =． (1)求sinC 的值．(2)设5BC =，求ABC 的面积．【答案】(1)1665；(2)83【解析】（1）5cos 13A =-，3cos 5B =，()0,A π∈，()0,B π∈，12sin 13A ∴=，4sin 5B =，()()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A Bπ∴=-+=+=+123541613513565=⨯-⨯=. （2）由正弦定理得：45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⋅===； 1113168sin 5223653ABCSAC BC C ∴=⋅=⨯⨯⨯=. 18．在ABC 中，2cos c b B =，3C =．（1）求B ∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：2c b =；条件②：ABC的周长为4+条件③：ABC）2cos c b =2332π=，23C π=，，解得6B π=；①：由正弦定理结合（矛盾，故这样的ABC 不存在；6π=，设ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2sin6R π=22sin 3R π=则周长a b +解得2R =，则ABC S =则由余弦定理可得2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

专题02 运用正余弦定理解决三角形问题(解析版)

专题02 运用正余弦定理解决三角形问题一,题型选讲题型一正余弦定理在三角形中的运用正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题,在三角形中要恰当的选择正余弦定理,但是许多题目中往往给出多边形,因此,要咋爱多边形中恰当的选择三角形,就要根据题目所给的条件,标出边和角,合理的选择三角形,尽量选择边和角都比较多的条件的三角形,然后运用正余弦定理解决.例1,(2017徐州,连云港,宿迁三检)如图,在ABC △中,已知点D 在边AB 上,3AD DB =,4cos 5A =,5cos 13ACB ∠=,13BC =． (1)求cos B 的值； (2)求CD 的长．解析：(1)在ABC △中,4cos 5A =,(0,π)A ∈, 所以2243sin 1cos 1()55A A =-=-=．同理可得,12sin 13ACB ∠=．所以cos cos[π()]cos()B A ACB A ACB =-+∠=-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠AB C D312451651351365=⨯-⨯=． (2)在ABC △中,由正弦定理得,1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=．又3AD DB =,所以154BD AB ==．在BCD △中,由余弦定理得,CD ===例2,(2017年苏北四市模拟)如图,在四边形ABCD 中,已知AB ＝13,AC ＝10,AD ＝5,CD ＝65,AB →·AC →＝50.(1) 求cos ∠BAC 的值； (2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．解析： (1) 因为AB →·AC →＝||A B→||A C →cos ∠BAC ,所以cos ∠BAC ＝AB →·AC→||A B →||A C →＝5013×10＝513. (2) 在△ADC 中,AC ＝10,AD ＝5,CD ＝65.由余弦定理,得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35.因为∠CAD ∈(0,π),所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. (3) 由(1)知,cos ∠BAC ＝513.因为∠BAC ∈(0,π),所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213. 从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.题型二运用正余弦定理解决边角问题正余弦定理主要是解决三角形的边角问题,在解三角形时要分析三角形中的边角关系,要合理的使用正,余弦定理,要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理,就要抓住这两个定理的使用条件. 例3,(2019年江苏卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．(1)若a =3c ,b B =23,求c 的值； (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值．【解析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程,解方程可得边长c 的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值,然后由诱导公式可得sin()2B π+的值.(1)因为23,3a cb B ===,由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得23=,即213c =.所以c =(2)因为sin cos 2A Ba b =, 由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而cos B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭题型三,运用正余弦定理研究三角形中有关的范围无论是在利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,还是利用三角恒等式消元的过程中都需要有较强的目标意识．本题通过不同角度的消元将问题转化为利用基本不等式求最值的问题进行解决．由目标式的结构则容易联想利用斜三角形中的恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C 将问题作进一步处理例4,(2019无锡期末)在锐角三角形 ABC 中,已知2sin 2A ＋ sin 2B ＝ 2sin 2C,则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．【答案】132解法1：因为 2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C,所以由正弦定理可得2a 2＋b 2＝2c 2由余弦定理及正弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝b 24ab ＝b 4a ＝sin B4sin A又因为sin B ＝sin ＝sin (A ＋C)＝sin A cos C ＋cos A sin C 所以cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C 4sin A ＝c os C 4＋sin C 4tan C可得tan C ＝3tan A,代入tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C 得tan B ＝4tan A3tan 2A －1 所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝1tan A ＋3tan 2A －14tan A ＋13tan A ＝3tan A 4＋1312tan A因为A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以tan A>0,所以3tan A 4＋1312tan A ≥23tan A 4×1312tan A ＝132当且仅当3tan A 4＝1312tan A ,即tan A ＝133时取“＝”．所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132. 解法2：过点B 作BD⊥AC 于D,设AD ＝x,DC ＝y,BD ＝h,则tan A ＝h x ,tan C ＝h y.同解法1可得tan C ＝3tan A,tan B ＝4tan A 3tan 2A －1 则h y ＝3h x 即x ＝3y,tanB ＝4h x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫h x 2－1＝4hx3h 2－x 2 所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝x h ＋3h 2－x 24hx ＋y h ＝3y h ＋3h 2－9y 212hy ＋y h ＝13y 4h ＋h 4y ≥132当且仅当13y 4h ＝h4y 即y ＝13y 时取“＝”．所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132.题型四,正余弦定理与向量的结合三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支,内容繁杂,且平面向量与三角函数交汇点较多,向量的平行,垂直,夹角,数量积等知识都可以与三角函数进行交汇．不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,都会出现交汇问题中的难点,对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”,再利用三角函数的相关知识进行求例5,(2019无锡期末)在 △ABC 中,设 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知向量 m ＝ (a ,sin C －sin B ),n ＝(b ＋c ,sin A ＋sin B ),且m ∥n .(1)求角 C 的大小；(2)若 c ＝ 3, 求 △ABC 的周长的取值范围．(1)由m ∥n 及m ＝(a ,sin A － sin B ),n ＝(b ＋c ,sin A ＋sin B ) 得a (sin A ＋sin B )－(b ＋c )(sin C －sin B )＝0,(2分)由正弦定理,得：a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R ＋b 2R －(b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R －b2R ＝0,所以a 2＋ab －(c 2－b 2)＝0,得c 2＝a 2＋b 2＋ab , 由余弦定理,得c 2＝a 2＋b 2－2ab co C ,所以a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ,所以ab ＝－2ab cos C ,(5分)因为ab >0,所以cos C ＝－12,又因为C ∈(0,π),所以C ＝2π3.(7分)(2)在△ABC 中,由余弦定理,得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 所以a 2＋b 2－2ab cos 2π3＝9,即(a ＋b )2－ab ＝9.(9分)所以ab ＝(a ＋b )2－9≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,所以3（a ＋b ）24≤9,即(a ＋b )2≤12,所以a ＋b ≤23,(12分)又因为a ＋b >c ,所以6<a ＋b ＋c ≤23＋3,即周长l 满足6<l ≤3＋23, 所以△ABC 周长的取值范围是(6,3＋23]．(14分) 二,达标训练1,(2019苏州三市,苏北四市二调)在△ABC 中,已知C ＝120°,sin B ＝2sin A,且△ABC 的面积为23,则AB 的长为________．【答案】 27【解析】设角A,B,C 的对边分别为a,b,c.因为sin B ＝2 sin A,由正弦定理得b ＝2a,因为△ABC 的面积为23,所以S ＝12ab sin 120°＝32a 2＝23,解得a ＝2,所以b ＝4,则AB ＝c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－2×2×4cos 120°＝27.2,(2019南京学情调研)已知△ABC 的面积为315,且AC －AB ＝2,cos A ＝－14,则BC 的长为________．【答案】 8【解析】在△ABC 中,cos A ＝－14,所以sin A ＝1－cos 2A ＝154,由S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc×154＝315得bc ＝24,由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c)2＋2bc －2bc cos A ＝22＋48＋12＝64,即a ＝8. 3,(2017南京,盐城一模) 在△ABC 中,已知AB ＝3,C ＝π3,则CA →·CB →的最大值为________．【答案】32【解析】因为AB ＝3,C ＝π3,设角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ,所以由余弦定理得3＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ≥ab ,当且仅当a ＝b ＝3时等号成立,又CA →·CB →＝ab cos C ＝12ab ,所以当a ＝b ＝3时,(CA →·CB →)max ＝32.4,(2016盐城三模) 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若△ABC 为锐角三角形,且满足b 2－a 2＝ac ,则1tan A －1tan B的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫1，233【解析】思路分析思路一,根据题意可知,本题可以从“解三角形和三角恒等变换”角度切入,又因已知锐角和边的关系,而所求为正切值,故把条件化为角的正弦和余弦来处理即可；思路二,本题所求为正切值,故可以构造直角三角形,用边的关系处理．解法1 原式可化为1tan A －1tan B ＝cos A sin A －cos B sin B ＝sin B cos A －cos B sin A sin A sin B ＝sin (B －A )sin A sin B.由b 2－a 2＝ac 得,b 2＝a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ,即a ＝c －2a cos B ,也就是sin A ＝sin C －2sin A cos B ,即sin A ＝sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝sin(B －A ),由于△ABC 为锐角三角形,所以有A ＝B －A ,即B ＝2A ,故1tan A －1tan B ＝1sin B ,在锐角三角形ABC 中易知,π3<B <π2,32<sin B <1,故1tan A －1tan B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233.解法2 根据题意,作CD ⊥AB ,垂足为点D ,画出示意图．因为b 2－a 2＝AD 2－BD 2＝(AD ＋BD )(AD －BD )＝c (AD －BD )＝ac ,所以AD －BD ＝a ,而AD ＋BD ＝c ,所以BD ＝c －a2,则c >a ,即ca>1,在锐角三角形ABC 中有b 2＋a 2>c 2,则a 2＋a 2＋ac >c 2,即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－c a－2<0,解得－1<c a <2,因此,1<c a <2.而1tan A －1tan B ＝AD －BD CD＝a a 2－⎝⎛⎭⎪⎫c －a 22＝11－14⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233.5,(2016徐州,连云港,宿迁三检)如图,在梯形ABCD 中,已知AD ∥BC ,AD ＝1,BD ＝210,∠CAD ＝π4,tan∠ADC＝－2.(1) 求CD 的长； (2) 求△BCD 的面积．解析： (1)因为tan∠ADC ＝－2,且∠ADC ∈(0,π),所以sin∠ADC ＝255,cos∠ADC ＝－55.所以sin∠ACD ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－∠ADC －π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫∠ADC ＋π4＝sin∠ADC ·cos π4＋cos∠ADC ·sin π4＝1010,(6分) 在△ADC 中,由正弦定理得CD ＝AD ·sin∠DACsin∠ACD＝ 5(2) 因为AD ∥BC, 所以cos∠BCD ＝－cos∠ADC ＝55,sin∠BCD ＝sin∠ADC ＝255在△BDC 中,由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos∠BCD ,得BC 2－2BC －35＝0,解得BC ＝7, (12分)所以S △BCD ＝12BC ·CD ·sin∠BCD ＝12×7×5×255＝7.6,(2019镇江期末)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B.(1) 求cos B 的值；(2)若|CA →－CB →|＝2,△ABC 的面积为22,求边b.规范解答 (1) 由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C,C cos B ＋b cos C ＝3a cos B,得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos B,(3分)则有3sin A cos B ＝sin (B ＋C)＝sin (π－A)＝sin A.(5分) 又A∈(0,π),则sin A>0,(6分) 则cos B ＝13.(7分)(2) 因为B∈(0,π),则sin B>0,sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.(9分) 因为|CA →－CB →|＝|BA →|＝2,(10分)所以S ＝12ac sin B ＝12a×2×223＝22,得a ＝3.(12分)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋4－2×3×2×13＝9,则b ＝3.(14分)7,(2018常州期末)已知△ABC 中,a,b,c 分别为三个内角A,B,C 的对边,且3b sin C ＝c cos B ＋c.(1) 求角B 的大小； (2) 若b 2＝ac,求1tan A ＋1tan C的值．规范解答 (1) 由已知及正弦定理得3sin B sin C ＝cos B sin C ＋sin C.在△ABC 中,sin C>0,所以3sin B－cos B ＝1,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12.又B∈(0,π),故－π6<B －π6<5π6,所以B －π6＝π6,所以B ＝π3.(6分)(2) 因为b 2＝ac,由正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C, 故1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋sin A cos C sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin A sin C ＝sin （π－B ）sin A sin C ＝sin Bsin A sin C , 所以1tan A ＋1tan C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝132＝233.(14分) 8,(2016扬州期末)已知函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx (ω>0)的周期为π.(1) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,求函数f (x )的值域；(2) 已知△ABC 的内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若f(A2)＝3,且a ＝4,b ＋c ＝5,求△ABC 的面积．规范解答 (1) f (x )＝32(1＋cos2ωx )＋12sin2ωx ＝sin2ωx ＋π3＋32.(2分) 因为f (x )的周期为π,且ω>0,所以2π2ω＝π,解得ω＝1.所以f (x )＝sin2x ＋π3＋32.(4分)又0≤x ≤π2,得π3≤2x ＋π3≤43π,－32≤sin2x ＋π3≤1,0≤sin2x ＋π3＋32≤32＋1,即函数y ＝f (x )在x ∈0,π2上的值域为0,32＋1.(7分)(2) 因为f A 2＝3,所以sin A ＋π3＝32.由A ∈(0,π),知π3<A ＋π3<43π,解得A ＋π3＝23π,所以A ＝π3.(9分)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,即16＝b 2＋c 2－bc . 所以16＝(b ＋c )2－3bc ,因为b ＋c ＝5,所以bc ＝3.(12分) 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝334.(14分)。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2020届高考数学大题狂练
第二篇三角函数与三角形专题01利用正余弦定理解三角形中的几何量（长度，角度，面积，周长等）
1．在ABC中，内角A， B， C的对边分别为a， b， c，且sincos0aBbA．
(1)求角A的大小；

(2)若2a， 1b，求ABC的面积．

【答案】(1) 34A；(2) 314.


sinsincos0BAA
， sin0B

sincos0AA
，


0,A

4
A
.

(2)由2a， 1b， 34A及余弦定理，得2210cc，

得622c，
131sin24ABCSbcA

.

2．如图, ABC是等边三角形,点D在边BC的延长线上,且2,7BCCDAD
（Ⅰ）求sinsinCADD的值;
（Ⅱ）求CD的长.
【答案】（Ⅰ）sin1sin2CADD；（Ⅱ）1CD.

（Ⅱ）设
CDx
,则2,3,BCxBDx

因为ABD中, 7,2,,3ADABxB
由余弦定理可得:
222
2cosADABBDABBDB

即2274923,xxxx解得: 1,1xCD
3．如图， ,,abc分别为ABC中角,,ABC的对边， 1,cos37ABCADC， 8,2cCD.

（1）求a的值；
（2）求ADC的外接圆的半径R.

【答案】(1) 5a;(2) 49324.
【解析】试题分析：（1）根据条件求得sinBAD，在ABD中，由正弦定理得sinsincBADBDADB即可得
解；
（2）在ABC中，由余弦定理解得b，在ADC中， 12sinbRADC即可得解.
试题解析：
（1）∵1cos7ADC,∴43sinsin7ADCADB,
∴4311333sinsin727214BADADCABC,
在ABD中，由正弦定理得sin3sincBADBDADB，∴325a.
（2）在ABC中， 222cos7bacacABC.
在ADC中， 14932sin24bRADC.
4．ABC中,内角,,ABC所对的边分别为,,abc,已知ABC的面积为315,2,bc 1cos.4A
（1）求a的值;
（2）求sinAB的值.

【答案】（1）8；（2）158

因为2222cos,abcbcA可得8.a
（2）因为在三角形中,所以sinsin.ABC

由正弦定理得: ,sinsinacAC解得15sin.8C所以sinAB的值为15.8
5．如图，在ABC中， D为AB边上一点，且DADC，已知4B， 1BC.