新北师大版九年级数学上册第一章《菱形的性质与判定》典型例题

合集下载

九年级上册(北师大版)数学课时练习：菱形的性质与判定(有答案)

九年级上册（北师大版）数学课时练习：菱形的性质与判定（有答案）菱形的性质与判定一．填空题（共10小题）1．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA=6，PB=8，PC=10，则菱形ABCD的面积等于．2．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则= ．3．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF、DE 交于点G，BF、CE交于点H．当▱ABCD满足，四边形EHFG是菱形．4．已知，如图，△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC=AB，请对△ABC添加一个条件：，使得四边形BCDE成为菱形．5．如图，A、B两点的坐标分别为（5，0）、（1，3），点C 是平面直角坐标系内一点．若以O、A、B、C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为．6．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）．7．如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形OE的长为（）A．6 B．5 C．2D．415．如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB 和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）A．35° B．45° C．50°D．55°16．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，NM=AN，ME⊥AD，NF⊥AB；若NF=2，则ME=（）A．2 B．3 C．4 D．5 17．如图，在菱形ABCD中，点E，点F为对角线BD的三等分点，过点E，点F与BD垂直的直线分别交AB，BC，AD，DC 于点M，N，P，Q，MF与PE交于点R，NF与EQ交于点S，已知四边形RESF的面积为5cm2，则菱形ABCD的面积是（）A．35cm2 B．40cm2 C．45cm2D．50cm218．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（）A．20° B．25° C．30°D．35°19．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA=，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm；②EB=1cm；③S菱形ABCD=15cm2A．3个 B．2个 C．1个 D．0个20．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（）A． cm B． cm C． cm D． cm 三．解答题（共4小题）21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．22．如图，在▱ABCD中，BD是对角线，且DB⊥BC，E、F分别为边AB、CD的中点．求证：四边形DEBF是菱形．23．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG 平分∠CAB，连接GE，GD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．24．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，AD=BD=DE，联结BE，∠ABC=∠DBE=72°；（1）联结CE，求证：CE=BE；（2）分别延长CE、AB交于点F，求证：四边形DBFE是菱形．参考答案一．填空题1．50+72．2．．3．AB⊥BC．4．AB=2BC．5．（﹣4，3）．6．②．7．AC⊥EF．8．AB=BC，或AC⊥BD．9．此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等．10．AD=AB．二．选择题11．D．12．A．13．D．14．D．15．C．16．C．17．C．18．C．19．A．20．B．三．解答题21．（1）证明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=4t，∴DF=2t，又∵AE=2t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t=2t，解得t=．∴当t=秒时，四边形AEFD为菱形．（2）①当∠DEF=90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°，∵∠A=60°，∴∠AED=30°，∴AD=AE=t，又AD=40﹣4t，即40﹣4t=t，解得t=8；②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A=60°，则∠ADE=30°，∴AD=2AE，即40﹣4t=4t，解得t=5．③若∠EF D=90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t=8或5秒时，△DEF为直角三角形．22．证明：∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF=DC，BE=AB，又∵在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∴DF∥BE，DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形，∵DB⊥BC，∴∠DBC=90°，∴△DBC为直角三角形，又∵F为边DC的中点，∴BF=DC=DF，又∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．23．解：（1）∵AF=FG，∴∠FAG=∠FGA，∵AG平分∠CAB，∴∠CAG=∠FGA，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG，∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，∵F是AD的中点，FG∥AE，∴H是ED的中点，∴FG是线段ED的垂直平分线，∴GE=GD，∠GDE=∠GED，∴∠CGE=∠GDE，∴△ECG≌△GHD；（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，∴GC=GP，而AG=AG，∴△CAG≌△PAG，∴AC=AP，由（1）可得EG=DG，∴Rt△ECG≌Rt△GPD，∴EC=PD，∴AD=AP+PD=AC+EC；（3）四边形AEGF是菱形，证明：∵∠B=30°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD，∴AE=AF=FG，由（1）得AE∥FG，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．24．证明：（1）∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=72°，∴∠A=180°﹣72°﹣72°=36°，∵AD=BD，∴∠1=∠A=36°，∴∠2=36°，∵∠DBE=72°，∴∠3=36°，∵BD=DE，∴∠DEB=∠DBE=72°，∴∠BOE=180°﹣∠3﹣∠DEB=72°，∴∠4=∠BOE﹣∠2=36°，∴∠2=∠4，∴DO=BO，∵∠2=36°，∠ACB=72°，∴∠BDC=180°﹣∠2﹣∠DCB=72°，∴BC=BD，∵BD=DE，∴BC=DE，∴DE﹣DO=BC﹣BO，∴CO=EO，∵∠7=∠8，∴∠5=∠==∠4=36°，∴∠5=∠3=36°，∴CE=BE；（2）∵∠4=∠1=36°，∴DE∥BF，∵∠2=∠5=36°，∴EF∥DB，∴四边形DEFB是平行四边形，∵DE=DB，∴四边形DBFE是菱形．。

北师版数学九年级上册菱形的性质与判定牛老师

《第1章菱形的性质与判定》知己知彼，百战不殆。

《孙子兵法·谋攻》樱落学校曾泽平一、选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm3．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD 的周长为（）A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm4．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC5．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD 的长为（）A．2 B．3 C．D．27．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（）A．18 B．16 C．15 D．148．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A．20m B．25m C．30m D．35m9．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED 为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°10．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，DH等于（）A．B．C．5 D．4二、填空题11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为．12．如图，在菱形ABD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为．13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件使其成为菱形（只填一个即可）．14．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部是一个菱形，容易知道两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．16．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的面积为．17．在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为．18．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF= 60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是．三、解答题19．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．20．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．21．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．23．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC 与BD相交于点O，连接CD（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．24．如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．《第1章菱形的性质与判定》参考答案与试题解析一、选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【考点】菱形的性质；平行四边形的性质．【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案．【解答】解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．2．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE=AB．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB=24÷4=6cm，∵对角线AC、BD相交于O点，∴OB=OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=AB=×6=3cm．故选A．【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理和性质是解题的关键．3．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD 的周长为（）A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm【考点】菱形的判定与性质．【分析】可定四边形ABCD为菱形，连接AC、BD相交于点O，则可求得BD的长，在Rt △AOB中，利用勾股定理可求得AB的长，从而可求得四边形ABCD的周长．【解答】解：如图，连接AC、BD相交于点O，∵四边形ABCD的四边相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，S四边形ABCD=AC•BD，∴×24BD=120，解得BD=10cm，∴OA=12cm，OB=5cm，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB==13（cm），∴四边形ABCD的周长=4×13=52（cm），故选A．【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的面积分式是解题的关键，注意勾股定理的应用．4．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．【解答】解：A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时▱ABCD是菱形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D、∠BAC=∠DAC时，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=AC，∴▱ABCD是菱形．∴∠BAC=∠DAC．故命题正确．故选C．【点评】本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键．5．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm【考点】菱形的性质；三角形的角平分线、中线和高；勾股定理．【分析】首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连接AC可推出△ABC以及△ACD 为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股定理可求出AE的长继而求出周长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴BE=DF，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．连接AC，∵∠B=∠D=60°，∴△ABC与△ACD是等边三角形，∴AE⊥BC，AF⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合），∴∠BAE=∠DAF=30°，∴∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．∴AE=cm，∴周长是3cm．故选B．【点评】此题考查的知识点：菱形的性质、等边三角形的判定和三角形中位线定理．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD 的长为（）A．2 B．3 C．D．2【考点】菱形的性质．【分析】首先根据菱形的性质知AC垂直平分BD，再证出△ABC是正三角形，由三角函数求出BO，即可求出BD的长．【解答】解：∵四边形ABCD菱形，∴AC⊥BD，BD=2BO，∵∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAO=60°，∴BO=sin60°•AB=2×=，∴BD=2．故选：D．【点评】本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分，本题难度一般．7．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（）A．18 B．16 C．15 D．14【考点】菱形的性质；勾股定理．【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD 中，根据勾股定理可以求得AB的长，进而△ABD的周长．【解答】解：菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB=5，∴△ABD的周长等于5+5+6=16，故选B．【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．8．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A．20m B．25m C．30m D．35m【考点】菱形的性质．【专题】应用题．【分析】根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=2.5m，同理可证出AF=EF=2.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长．【解答】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=2.5（m），同理可证：AF=EF=2.5（m）∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），故选：C．【点评】此题考查了菱形的性质，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、菱形的性质和正六边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形．9．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED 为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【考点】菱形的判定；平移的性质．【分析】首先根据平移的性质得出AB CD，得出四边形ABCD为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选：B．【点评】此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出AB CD 是解题关键．10．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．4【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，∵S菱形ABCD=，∴，∴DH=，故选A．【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD=是解此题的关键．二、填空题11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为30 ．【考点】菱形的性质．【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，∴菱形ABCD的面积为： AC•BD=30．故答案为：30．【点评】此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．12．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为 6 ．【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】由菱形性质AC=CD=4，根据中垂线性质可得DN=AN，继而由△CND的周长是10可得CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∴AB=CD=4，∵MN垂直平分AD，∴DN=AN，∵△CND的周长是10，∴CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC=10，∴AC=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查菱形的性质和中垂线的性质，熟练掌握菱形的四边相等及中垂线上的点到线段两端的距离相等是关键．13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AC ⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC 使其成为菱形（只填一个即可）．【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．【专题】计算题；矩形菱形正方形．【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．【解答】解：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个适当的条件为：AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC使其成为菱形．故答案为：AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC【点评】此题考查了菱形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键．14．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是15 ．【考点】菱形的性质．【分析】当两张纸条如图所示放置时，菱形面积最大，然后根据勾股定理求出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式计算即可．【解答】解：如图，此时菱形ABCD的面积最大．设AB=x，EB=9﹣x，AE=3，则由勾股定理得到：32+（9﹣x）2=x2，解得 x=5，S最大=5×3=15；故答案为：15．【点评】本题考查了菱形的性质，难度较大，解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的面积最大和最小，然后根据图形列方程．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE==．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．16．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的面积为2．【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．【分析】根据EF是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理求的AC的长，然后根据菱形的面积公式求解．【解答】解：∵E、F分别是AD，CD边上的中点，即EF是△ACD的中位线，∴AC=2EF=2，则S菱形ABCD=AC•BD=×2×2=2．故答案是：2．【点评】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的面积公式，理解中位线定理求的AC 的长是关键．17．在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为45°或105°．【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质．【分析】如图当点E在BD右侧时，求出∠EBD，∠DBC即可解决问题，当点E在BD左侧时，求出∠DBE′即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD，∠A=∠C=30°，∠ABC=∠ADC=150°，∴∠DBA=∠DBC=75°，∵ED=EB，∠DEB=120°，∴∠EBD=∠EDB=30°，∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=105°，当点E′在BD右侧时，∵∠DBE′=30°，∴∠E′BC=∠DBC﹣∠DBE′=45°，∴∠EBC=105°或45°，故答案为105°或45°．【点评】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全面，属于中考常考题型．18．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF= 60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是3．【考点】菱形的性质．【分析】首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得△AEF是等边三角形，当AE⊥BC时得出△AEF的面积最小值即可．【解答】解：当AE⊥BC时，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，∴∠B=∠ACF=60°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，∴∠AEB=∠AFC，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∵当AE⊥BC时，AB=4，∴AE=，∴△AEF的面积最小值=，故答案为：．【点评】此题考查了菱形的性质，关键是根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质解答．三、解答题19．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE≌△CDF 即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【解答】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．21．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD即可．（2）先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定．【解答】证明；（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∴∠CEB=∠CBE．（2））∵△ABC≌△ABD，∴BC=BD，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∴CE=BD∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．【考点】菱形的判定；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质．【分析】（1）利用平行四边形的判定证明即可；（2）利用菱形的判定证明即可．【解答】证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定以及菱形的判定是解题关键．23．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC 与BD相交于点O，连接CD（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【考点】菱形的判定．【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA=180°，从而得到∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，得到答案∠AOD=90°；（2）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，=180°，∴∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，∴∠AOD=90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，∴AB=BC，AB=AD∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．24．如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的性质．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，∴菱形AECF的面积为2．【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．（1）用SAS证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．【素材积累】辛弃疾忧国忧民辛弃疾曾写《美芹十论》献给宋孝宗。

九年级数学上册《第一章菱形的性质和判定的应用》同步练习题带答案-北师大版

九年级数学上册《第一章菱形的性质和判定的应用》同步练习题带答案-北师大版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）1.如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝6，则菱形ABCD 的面积是( )A．6 B．12 C．24 D．482.如图，在菱形ABCD中∠BAD＝120°，已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是( )A．25 B．20 C．15 D．103.如图，在▱ABCD中AB＝BC＝5，对角线BD＝6，则对角线AC的长为( )A．4 B．6 C．8 D．104.如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－3，0)，(2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是( )A．(4，5) B．(5，4)C．(4，4) D．(5，3)5.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB的同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是()A．AB平分∠CAD B．AB⊥CDC．CD平分∠ACB D．AB＝CD6．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为( )A．125B．185C．4 D．2457.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.若BF＝12，AB＝10，则AE的长为( )A．10 B．12 C．16 D．188.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，EF.若菱形ABCD 的面积为8，则△AEF的面积为( )A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9. 菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a－1)2＋b－4 ＝0，那么菱形的面积为_______．10. 如图，已知AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝40°，那么∠B＝_______．11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝_______.12. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠部分构成的四边形ABCD中，AB＝5，AC＝4，则BD的长为________．13．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为_______.14．在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰△BDE，则∠EBC的度数为_________．三．解答题（共6小题，44分）15．(6分) 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC 的中点，连接MN，PQ，请你探索MN与PQ的关系，并证明你的结论．16．(6分) 如图，已知菱形ABCD的周长为16 cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．17．(6分) 如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，在AD上截取AF＝BE.连接EF.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)请用无刻度的直尺在▱ABCD内找一点P，使∠APB＝90°(标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法)．18．(8分) 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．19．(8分) 如图，已知∠EAF，以顶点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交边AE，AF于点B，C，再分别以点B，C为圆心，线段AB的长为半径画弧交于点D，连接BD，CD，AD，BC.(1)求证：四边形ABDC是菱形；(2)若BC＝4，S菱形ABDC＝16，求AB的长．20．(10分) 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE.(1)求证：四边形AECD为菱形；(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．参考答案1-4CBCB 5-8DDCB9. 2 10. 100° 11. 24512. 221 13. 12 14. 45°或105°15. 解：MN与PQ互相垂直平分，证明如下：如图，连接PM，MQ，NP，NQ.在△DAB中，∵P，M分别是BD，AD的中点，∴PM＝12AB.16. 解：连接AC，BD，设AC与BD交于点O，由已知得AB＝4 cm，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形．∴BD＝4 cm，∴AO＝2 3 cm，AC＝4 3 cm，∴S菱形＝12AC·BD＝8 3 (cm2)17. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE.∵AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形．又∵BA ＝BE ，∴四边形ABEF 是菱形． (2)解：如图，点P 即为所求．18. 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B ＝∠D.又∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°.又∵BE ＝DF ，∴△AEB ≌△AFD ，∴AB ＝AD ，∴▱ABCD 是菱形(2)连接BD ，交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，∴AC ⊥BD ，AO ＝12 AC ＝3.又∵AB ＝5，∴BO ＝AB 2－AO 2＝4，∴BD ＝2BO ＝8，∴S 菱形ABCD ＝12 AC·BD ＝2419. 解：(1)证明：∵以∠EAF 的顶点A 为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE ，AF 于点B ，C ，∴AB ＝AC.又∵分别以点B ，C 为圆心，线段AB 的长为半径画弧交于点D ，∴BD ＝DC ＝AB ，∴AB ＝AC ＝BD ＝DC ，∴四边形ABDC 是菱形(2)设AD ，BC 交于点O ，∵四边形ABDC 是菱形，∴AO ＝DO ，BO ＝12 BC ＝2，S 菱形ABDC ＝12 AD·BC ＝12 ·4AD ＝16，∴AD ＝8，∴AO ＝12 AD ＝4，∴AB ＝AO 2＋BO 2 ＝42＋22 ＝2 5 20. 解：(1)∵E 为AB 中点，∴AB ＝2AE ＝2BE ，∵AB ＝2CD ，∴CD ＝AE ，又∵AB ∥CD ，∴四边形AECD 是平行四边形，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠EAC ，∵AB ∥CD ，∠DCA ＝∠CAB ，∴∠DCA ＝∠DAC ，∴AD ＝CD ，∴平行四边形AECD 是菱形(2)∵四边形AECD 是菱形，∠D ＝120°，∴AD ＝CD ＝CE ＝AE ＝2，∠D ＝120°＝∠AEC ，∴AE ＝CE ＝BE ，∠CEB ＝60°，∴∠CAE ＝30°＝∠ACE ，△CEB 是等边三角形，∴BE ＝BC ＝EC ＝2，∠B ＝60°，∴∠ACB ＝90°，∴AC ＝ 3 BC ＝2 3 ，∴S △ABC ＝12 AC·BC ＝12 ×23 ×2＝2 3。

北师大版九年级数学上册第一章 1 菱形的性质与判定课时精练

北师大版九年级数学上册第一章 1 菱形的性质与判定课时精练一、单选题1.如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是( )A. BD=CEB. DA=DEC. ∠EAC=90°D. ∠ABC=2∠E2.下列说法中，错误的是（）A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B. 四个角都相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D. 邻边相等的四边形是正方形3.如图，在直角坐标系中，有菱形，点的坐标是，双曲线经过点，且，则k的值为（）A. 40B. 48C. 64D. 804.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A. 2 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 3cm5.下列说法正确的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分且相等B. 矩形的对角线相等且互相平分C. 菱形的对角线互相垂直且相等D. 正方形的对角线是正方形的对称轴6.菱形两条对角线长为6和8，菱形的边长为a，面积为S，则下列正确的是（）A. a=5，S=24B. a=5，S=48C. a=6，S=24D. a=8，S=48二、填空题7.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是________（只填一个你认为正确的即可）．8.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC=12，BD=16，则OE的长为________。

9.如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC＝120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________．三、解答题10.已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．11.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．12.已知：如图，矩形中，对角线与交于点，，.连接，求证：.13.直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标依次为A（﹣1，0），B（a，b），C（﹣1，5），D（c，d）（1）当四边形ABCD是菱形时，求a，b，c，d应满足的条件；（2）四边形ABCD是正方形时，求a，c的值；（3）当点D在y轴上，且四边形ABCD是矩形时，求点D的坐标．四、综合题14.如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．（1）判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=8，cos∠BAC= ，求CB′的长．15.如图，是小清同学的数学笔记，任细阅读并完成任务：在平行四边形中，，求作菱形，使点E、点F分别在、边上．（尺规作图，保留作图痕迹）办法一：以点B为圆心，长为半径，画弧交于点E，再分别以点A、E为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接并延长交于点F，连接，则所得四边形是菱形．办法二：连接，分别以A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M、N两点；连接，分别与、、交于E、F、O三点；连接、．则四边形是菱形．任务：（1）填空：“办法一”中，判别四边形是菱形的数学依据是________；（2）在图2中，根据“办法二”的作图方法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（3）写出“办法二”的推理过程．答案一、单选题1. A2. D3. B4. B5. B6. A二、填空题7. AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD 8. 10 9.三、解答题10. 解：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，∵点E是AB的中点，∴OE＝AB，同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．11. ①证明：在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）；②解：∵在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°，由①得：△ABE≌△CBD，∴∠AEB=∠BDC，∵∠AEB为△AEC的外角，∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，则∠BDC=75°12. 证明：∵，，∴四边形OCED是平行四边形，∵矩形中，对角线与交于点，∴OD=OC，∴四边形OCED是菱形，∴.13. 解：（1）∵A（﹣1，0），C（﹣1，5），∴AC=5，OA=1，∵四边形ABCD是菱形∴对角线AC、BD互相垂直平分，∴b=d=，a+c=﹣2；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，∴c﹣a=5，又∵a+c=﹣2，∴c=，a=﹣；（3）如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°∵∠ECD+∠EDC=∠ADO+∠EDC=90°，∴∠ECD=∠ADO，又∵∠CED=∠DOA∴△CED∽△DOA，∴=，即=，解得：OD=即点D的坐标为（，0）或（，0）．四、综合题14. （1）解：四边形ACC′A′是菱形，理由如下：由平移的性质可得：AA'=CC'，且AA'∥CC'∴四边形ACC′A′是平行四边形，∵AA'∥CC'，∴∠AA'C=∠A'CB'，∵CD平分∠ACB'，∴∠ACA'=∠A'CB'，∴∠ACA'=∠AA'C，∴AA'=AC，∴平行四边形ACC′A′是菱形（2）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，∴cos∠BAC= ，∴AC=10，∴BC=由平移的性质可得：BC=B'C'=6，由（1）得四边形ACC′A′是菱形，∴AC=CC'=10，∴CB'=CC'﹣B'C'=10﹣6=415. （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形”或填“四条边都相等的四边形是菱形（2）解：如图，四边形为所求作的菱形．（3）证明：∵，，∴是的垂直平分线，（或由作图可知）∴，∵平行四边形∴∴在和中，∴，∴又∵∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．。

北师版九年级上册数学作业课件(BS) 第一章特殊平行四边形菱形的性质与判定第1课时菱形的性质

证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BPA＝ ∠DAE，∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE，∵∠ABF＝∠BPF， ∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝DA， ∴△ABF≌△DAE(ASA) (2)∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF，∴AF＝AE＋EF＝BF＋ EF，∴DE＝BF＋EF
9．(2020·锦州)如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点 P作PE⊥BC于点E.PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( ) B
A.4 B．254 C．6 D．458
10．(广州中考)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)， (－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是_____(－__5_，__4_)_____．
13．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD 于点E，连接EC. (1)求证：AE＝EC； (2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由
解： (1) 连接 AC.∵BD 是菱形 ABCD 的对角线， ∴ BD 垂直平分 AC ， ∴AE＝EC (2)点F在线段BC的中点．理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝ 60°.∵AE ＝ EC ， ∴ ∠ EAC ＝ ∠ ECA.∵∠CEF ＝ 60° ， ∴ ∠ EAC ＝ 30°，∴AF是△ABC的角平分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝ CF，∴点F在线段BC的中点
知识点二：菱形的边的性质 3．(贵阳中考)如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( A ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm

九年级数学上册第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的判别方法有哪些？素材北师大版(new)

菱形的判别方法有哪些？答案：对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边都相等的四边形是菱形;一组邻边相等的平行四边形是菱形。

【举一反三】典题:下列说中，正确的是( ）A、对角线垂直的四边形是菱形；B、两组邻边相等的四边形是菱形；C、一组对边平行且相等，对角线互相垂直的四边形是菱形；D、一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.思路导引:如图，对角线垂直的四边形不一定是菱形；两组邻边相等的四边形不一定是菱形;一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，所以A，B，D错误，C正确。

标准答案：C。

尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。

北师大版九年级数学上册九年级数学上册第一章1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质

第 1 页共 7 页北师大版九年级上册九年级上册第一章1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 1 . 如图，在菱形中，，，，分别为边，，上的点，且为的中点，连接交于点，，，若，则的长为（）

A．2 B．3 C． D．

2 . 菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是 A．6 B．8 C．12 D．24 3 . 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点且CD＝4，则OE等于（）

A．1 B．2 C．3 D．4 4 . 如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（）第 2 页共 7 页

A． B． C． D． 5 . 如图，为测量池塘边，两点的距离，嘉淇在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是点，，且米，则点，之间的距离为（）

A．30米 B．28米 C．24米 D．18米 6 . 关于菱形的性质，下列叙述不正确的是（） A．菱形的四条边都相等 B．菱形的四个角都相等 C．菱形的对角线互相垂直 D．菱形的对角线互相平分 7 . 如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，则菱形的边长AB等于（）

A．5 B．6 C． D．10 8 . 在菱形ABCD中，∠BAD=60°，则边AB=4，对角线AC长为（）

A．4 B．2 C．4 D．2 9 . 边长为2的菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A'、D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，CF的值为（）第 3 页共 7 页

A．4﹣2 B．2﹣2 C．﹣1 D．

二、填空题

10 . 在菱形中，其中一个内角为，且周长为，则较长对角线长为__________.

11 . 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，tanD＝，点E在BC上运动（不与B，C重合），将四边形AECD沿直线AE翻折后，点C落在C′处，点D′落在D处，C′D′与AB交于点F，当C′D'⊥AB时，CE长为

九年级数学上册第一章特殊平行四边形 1 菱形的性质

《菱形的性质与判定》例题精讲与同步练习【重点、难点】重点：1．菱形的概念。

有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。

2．菱形的性质：①菱形的四条边相等；②菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分菱形的一组对角；③菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半。

3．菱形的判定定理：①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

难点：运用菱形的性质定理和判定定理解相关问题。

【讲一讲】几何：例1：已知：在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，求证：AE=AF。

分析：由菱形的性质可以知道AB=AD=BC=CD，又E、F分别为中点，则BE=DF。

另有∠B=∠D，这样通过全等三角形可以求证AE=AF证明：∵ABCD为菱形，∴AB=ADBC=CD∠B=∠D∵E、F分别为BC、CD的中点∴BE=DF∵在△ABE与△ADF中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF BE D B AD AB ∴△ABE≌△ADF ∴AE=AF例2：已知：矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F 。

求证：四边形AFCE 是菱形。

分析：由EF 为AC 的垂直平分线有AE=EC ，AF=FC ，若证AFCE 为菱形，只须证AE=FC ，通过已知ABCD 为矩形，利用矩形的性质可以证明△AOE 与△COF 全等。

从而得到AE=CF 。

证明：∵ABCD 为矩形， ∴AD∥BC ∴∠1=∠2。

∵EF 为AC 的垂直平分线 ∴AO=CO在△AOE 与△COF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠4321CO AO ∴△AOE≌△COF ∴AE=FC ∵ABCD 为矩形， ∴AD∥BC 即AE∥FC∴四边形AFCE 为平行四边形 ∵EF 是AC 的垂直平分线 ∴EF⊥AC∴AFCE为菱形。

例3：已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的角平分线交AC于D，AH⊥BC 于H，交BD于E，DF⊥BC于F。

初中数学北师大版九年级上学期_第一章_1_菱形的性质与判定

初中数学北师大版九年级上学期第一章 1 菱形的性质与判定一、单选题（共6题；共12分）1. 菱形不具备的性质是（）A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等2. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断▱ABCD是菱形的为( )A.AO=COB.AO=BOC.∠AOB=∠BOCD.∠BAD=∠ABC3. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为( )A.125B.185C.4D.2454. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是(8, 2)，D 点坐标是(0, 2)，点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（）A.2√5B.8C.8√5D.125. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若周长为20，BD=8，则AC的长是()A.3B.4C.5D.66. 如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AD、BC上，且AM=CN，连接MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28∘，则∠OBC的度数为()A.28∘B.56∘C.62∘D.72∘二、填空题（共3题；共3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：________，使▱ABCD是菱形．已知菱形的边长为4，一个内角为60∘，则菱形较短的对角线长为________．如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120∘．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），AP+PD的最小值为________．则线段12三、解答题（共4题；共20分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AD、OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE．求证：四边形AOBE为菱形．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE= DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE=BF．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.如图，菱形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接EA、EC，求证：∠BAE＝∠BCE．四、综合题（共2题；共20分）如图，在四边形ABCD中，AB // DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=√5，OE=2，求线段CE的长．如图AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F.（1）求证：四边形AEDF是菱形.（2）若AF＝13，AD＝24.求四边形AEDF的面积.参考答案与试题解析初中数学北师大版九年级上学期第一章 1 菱形的性质与判定一、单选题（共6题；共12分）1.【答案】D【考点】菱形的性质【解析】根据菱形的性质即可——判断得出答案．【解答】解：A、是轴对称图形，故正确，但不符合题意；B、是中心对称图形，故正确，但不符合题意；C、对角线互相垂直，故正确，但不符合题意；D、对角线不一定相等，故不正确，符合题意．故答案为：D．2.【答案】C【考点】矩形的判定菱形的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：A、∵ABCD是平行四边形，∴AO=CO恒成立，故该选项错误；B、∵ABCD是平行四边形，∴AO=12AC，BO=12BD.∵AO=BO，∴AC=BD，∴ABCD是矩形，故该选项错误；C、∵∠AOB=∠BOC，∠AOB+∠BOC=180∘，∴∠AOB=∠BOC=90∘，∴AC⊥BD.∵ABCD是平行四边形，∴ABCD是菱形，故该选项正确；D、∵ABCD是平行四边形，∴∠BAD+∠ABC=180∘.∵∠BAD=∠ABC，∴∠BAD=∠ABC=90∘，∵ABCD是平行四边形，∴ABCD是矩形，故该选项错误.故选C.3.【答案】D【考点】菱形的性质勾股定理【解析】由在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长．【解答】解：记AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，OA=12AC=3，BD=2OB.∵AB=5，∴OB=√AB2−OA2=4，∴BD=2OB=8.∵S菱形ABCD =AB⋅DE=12AC⋅BD，∴DE=12AC⋅BDAB =12×6×85=245．故选D.4.【答案】C【考点】菱形的性质坐标与图形性质勾股定理【解析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE=CE = 12AC，BE=DE = 12BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD=2，求出DE=4，AD=2√5，即可得出答案．【解答】解：连接AC，BD交于点E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，AE=CE=12AC，BE=DE=12BD，∵点B的坐标为(8,2)，点D的坐标为(0,2)，∴OD=2，BD=8，∴AE=OD=2，DE=4，∴AD=√22+42=2√5，∴菱形的周=4AD=8√5.故选C．5.【答案】D【考点】菱形的性质勾股定理【解析】本题主要考查棱线的性质和勾股定理．【解答】解：∵ 周长为20，∴ AB=20÷4=5，∵ BD=8，∴ BO=4，∵ AO⊥BO，∴ AO=√25−16=3，∴ AC=6．故选D．6.【答案】C【考点】菱形的性质全等三角形的性质等腰三角形的判定与性质【解析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO=△CNO，可得40=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．【设加2】解：四边形ABCD为菱形，．ABICD，AB=BC∴∠MAO=∠NCO,∠AMO=∠CNO在△AMO和△CNO中，{∠MAO=∠CO AM=CN∠AMO=∠CNO△AMO≅△CNO(ASA)AO=COAB=BCBO⊥AC∠BOC=90∘∠DAC=28∘∠BCA=∠DAC=28∘20BC=90∘−28∘=62∘故选：c．【解答】此题暂无解答二、填空题（共3题；共3分）【答案】AD=DC（答案不唯一）【考点】平行四边形的性质菱形的判定【解析】根据菱形的定义得出答案即可．【解答】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴当AD=DC，▱ABCD为菱形.故答案为：AD=DC.【答案】4【考点】菱形的性质等边三角形的性质与判定菱形的面积【解析】菱形的对角线相互垂直平分，且平分每个角，对角线把菱形分成4个相等的直角三角形，60∘所对的是短的对角线，则短的对角线为l=2×4sin30∘=4【解答】菱形的对角线把菱形分成4个大小相等的直角三角形，且平分每个内角，由小角对小边，短的对角线为I=2×4sin30∘=4故本题答案应填4．【答案】2√3【考点】含30度角的直角三角形垂线段最短等边三角形的性质与判定菱形的性质【解析】作PE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，由菱形的性质可得∠DAC＝∠CAB，AB＝BC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得PE=12AP，AF=12AD＝2，DF=√3AF＝2√3，可得12AP+PD＝PE+DP，则点D，点P，点E三点共线且垂直AB时，PE+DP的值最小，即可求线段12AP+PD的最小值．【解答】如图，作PE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，∵四边形ABCD是菱形∴∠DAC＝∠CAB，AB＝BC，且∠B＝120∘∴∠CAB＝30∘∴PE=12AP，∠DAF＝60∘∴∠FDA＝30∘，且DF⊥AB∴AF=12AD＝2，DF=√3AF＝2√3∵12AP+PD＝PE+DP∴当点D，点P，点E三点共线且垂直AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF，∴线段12AP+PD的最小值为2√3三、解答题（共4题；共20分）【答案】详见解析【考点】菱形的判定矩形的性质平行四边形的性质【解析】先证明四边形AOBE是平行四边形，再证明AB⊥OE即可．【解答】解：四边形ABCD是矩形，DO=BO四边形ADOE是平行四边形，∴ AE//DQ,AE=DO,AD//OEAE//BO,AE=BO…四边形AOBE是平行四边形．∵ AD⊥AB,AD//OEAB⊥OE…四边形AOBE是菱形．【答案】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∵CE=DF，∴BE=CF.在△AEB与△BFC中，{AB=BC,∠ABE=∠BCF, BE=CF,∴△AEB≅△BFC(SAS)，∴AE=BF．【考点】全等三角形的性质与判定正方形的性质【解析】根据矩形的性质可证明△AEB≅△BFC(SAS)，然后根据全等三角形的判定即可求出答案．【解答】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∵CE=DF，∴BE=CF.在△AEB与△BFC中，{AB=BC,∠ABE=∠BCF, BE=CF,∴△AEB≅△BFC(SAS)，∴AE=BF．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，∵BE=DF∴△ABE≅△ADF．∴AE=CF【考点】菱形的性质【解析】由菱形性质得AB=AD,∠B=∠D，根据全等三角形判定SA；可得△ABE≅AD，由全等三角形性质即可得证．【解答】此题暂无解答【答案】详见解析【考点】菱形的性质矩形的性质全等三角形的性质与判定【解析】先根据四边形ABCD是菱形证出BA=BC∠ABE=∠CBE，又因为BE=BB，所以△ABE≅△CBE，最后全等三角形对应角相等求出∠BAE=∠BCE【解答】证明：…四边形ABCD是菱形，BA=BC∠ABE=∠CBEBE=BE△ABE≅△CBE(SAS)加BAE=∠BCE四、综合题（共2题；共20分）【答案】(1)证明∵AB // CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB // CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；(2)解：过点O作OF⊥CE交于点F，如图所示，∵ ∠OFC=∠ABC=90∘，∴ OF // AE.∵ O为AC中点，∴ OF为△AEC的的中位线，进而得到△OEF≅△OCF，∴ OC=OE=2，即OA=2.，在直角三角形AOB中，cos∠OAB=2√55则sin∠OAB=√5.5在直角三角形ACE中，CE=AC⋅sin∠OAB=4√5.5【考点】全等三角形的性质与判定解直角三角形菱形的判定与性质菱形的性质三角形中位线定理平行线的判定与性质角平分线的定义【解析】（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】(1)证明∵AB // CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB // CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；(2)解：过点O作OF⊥CE交于点F，如图所示，∵ ∠OFC=∠ABC=90∘，∴ OF // AE.∴ OF为△AEC的的中位线，∴ CF=FE，进而得到△OEF≅△OCF，∴ OC=OE=2，即OA=2.在直角三角形AOB中，cos∠OAB=2√55，则sin∠OAB=√55.在直角三角形ACE中，CE=AC⋅sin∠OAB=4√55.【答案】证明：∵AB // DF，AC // DE，∴四边形AEDF是平行四边形.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC.又∵AC // DE，∴∠ADE＝∠DAC.∴∠ADE＝∠BAD.∴EA＝ED.∴四边形AEDF是菱形.解：连接EF交AD于点O.∵四边形AEDF是菱形，∴EF＝2FO.∴AO＝12AD=12.∵AD⊥EF.在Rt△AOF中，由勾股定理得OF＝√AF2−AO2=√132−122=5.∴OE＝OF＝5.∴四边形AEDF的面积＝12AD×OF+12AD×OE=12×24×5+12×24×5=120.【考点】菱形的判定与性质【解析】（1）先证明四边形AEDF是平行四边形．再证明∠ADE=∠BAD.可得加A=ED.则结论得证；（2）连接EF交AD于点O．求出OE=OF=5，则四边形AEDF的面积可求出．【解答】此题暂无解答。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

《菱形的性质与判定》典型例题
例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE AB, AB a,求:
I# E 日
（1） ABC的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积.
例2 已知：如图，在菱形ABCD中，CE AB于E,CF AD于F.
求证：AE AF.
例3已知：如图，菱形ABCD中，E, F分别是BC, CD上的一点, EAF 60 , BAE 18 ,求CEF 的度数.
例4 如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且AD DF .
求证：GH垂直平分CF.
如图，0IABCD中，AD 2AB , E、F在直线CD上，且
DE CD
求证: BE AF .
B
H
E D
如图，在RtzXABC中，ACB 90 , E为AB的中点，四边形BCDE 是平行四边形.
求证：AC与DE互相垂直平分
例1分析(1)由E为AB的中点，DE AB,可知DE是AB的垂直平分线，从而AD
DB ,且AD AB ,则ABD是等边三角形，从而菱形中各角都可以
求出.(2)而AC BD,AO OC,利用勾股定理可以求出 AC. (3)由菱形的对
角线互相垂直，可知S -AC BD.
2
解(1)连结BD, :四边形ABCD是菱形，「. AD AB.
E是AB 的中点，且DE AB,「. AD DB.
ABD是等边三角形，DBC也是等边三角形.
・•• ABC 60 2 120 .
(2) :四边形ABCD是菱形，「. AC与BD互相垂直平分，
_ 1 1 1
OB -BD - AB -a.
2 2 2
OA J AB2OB2j'a2 (la)2舟a, .. AC 2AO 73a.
, 2 2
厂
(3)菱形ABCD 的面积 S 1AC BD 1J3a a —a2. 2 2 2
说明：本题中的菱形有一个内角是60。

的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点.
例2 分析要证明AE AF ,可以先证明BE DF ,而根据菱形的有关性质不难证明BCE DCF ,从而可以证得本题的结论.
证明 :四边形ABCD是菱形，「. BC CD, B D ,且
BEC DFC 90 ,「. BCE DCF ,「. BE DF , AB AD , 「•AB BE AD DF ,
•. AE AF.
例3解答：连结AC.
二.四边形ABCD为菱形，
「• B D 60 , AB BC CD AD .
・•・ ABC与CDA为等边三角形.
• .AB AC, B ACD BAC 60
v EAF 60 ,
「•BAE CAF
「•ABE ACF
・•. AE AF
V EAF 60 , EAF为等边三角形.
「•AEF 60
v AEC B BAE AEF CEF ,
• .60 18 60 CEF
「•CEF 18
说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC,证
ABE ACF
例4 分析由已知条件可证明四边形BGDH是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH垂直平分CF .
证明：:四边形ABCD、BEDF都是长方形
DE//BF , AB//CD , DFH BCD 90 , AD BC
•♦・四边形BGDH是平行四边形
v AD DF ,DF BC
在△ DFH和^ BCH中
DFH BCH
DHF BHC DF BC
•.△DFH BCH .. DH BH , HF HC
.•・四边形BGDH是平行四边形
••・四边形BGDH是菱形
•・GH 平分BHD 「.GH 平分FHC v HF HC
「•GH垂直平分FC .
例5 分析要证BE AF ,关键是要证明四边形ABHG是菱形，然后利用菱形的性质证明结论.
证明二.四边形ABCD是平行四边形
AB//CD , AB CD, AG//BH ,「• 1 E
v CD ED ,「. AB ED
1 E
在z\ABG 和AEDG 中 2 3
AB ED
ABG^A DEG 「AG GD
V AD 2AB AG AB
同理：AB BH 「. AG BH
v AG//BH
••・四边形ABHG是平行四边形
v AB BH 「.四边形ABHG是菱形
AF BE .
例6分析要证明AC与DE互相垂直平分，只要证明四边形ADCE是菱形.所以要连结AD
证明二.在Rt^ABC中，E为AB的中点
「•AE CE BE
.•・四边形BCDE是平行四边形
• .CD〃AB, CD BE
CD//AE ,
•♦・四边形ABCE是平行四边形
v AE EC 「•口ADCE是菱形「•AC与DE互相垂直平分.。