函数的右导数与导函数的右极限的关系
导数边界条件
导数边界条件在数学中，导数是描述函数斜率变化的概念，也是微积分中的重要概念之一。
导数在各种学科领域中都有广泛的应用，例如物理、工程学和金融学等。
与许多数学概念一样，导数也有一些边界条件，这些条件需要被严格遵守才能得到正确的导数值。
以下是有关导数边界条件的一些重要方面。
1.函数在边界处必须连续在求导数时，最关键的一步是计算函数的极限。
但是，如果函数在计算某个点的极限时不连续，则导数将不存在。
因此，函数在其定义域内必须是连续的，特别是在求导数时，其边界处需要满足这种连续性条件。
2.左导数和右导数必须相等当函数在某一点的左导数和右导数存在时，函数在该点处是可导的。
如果左导数和右导数不相等，则函数在该点处不可导。
因此，在边界条件中指定其左导数和右导数是相等的，是确保在该边界处求导数的正确方法。
3.函数不能发生跳跃如果函数在某个点处突然跳跃，则函数在该点处不可导，并且导数无法计算。
例如，函数f(x) = |x|在x = 0处发生跳跃，因为左导数和右导数不相等。
因此，函数应该是平滑的，不能有任何跳跃。
4.导数存在于可以趋于边界的函数上在一些情况下，一个函数可能存在一些特殊的边界条件，但是仍然可以计算导数。
例如，当函数在一个不可数集上时，可能会出现这种情况。
在这种情况下，导数的存在必须基于函数在该不可数集上的连续性及其在该不可数集上的极限。
总的来说，导数边界条件是确保计算导数时正确求解的关键因素。
这些条件要求函数在其定义域内必须是连续的，必须满足左导数和右导数相等的条件，并且不能发生跳跃。
在某些情况下，导数仍然可以存在于具有特殊边界条件的函数上，但这需要基于函数在该边界处的连续性及其在该边界处的极限。
因此，在进行复杂的求导操作时，必须牢记并严格遵守这些导数边界条件，以确保正确求导。
函数可导的条件及定义
函数可导的条件及定义
函数可导的条件：在函数在定义域中,函数在该点连续,左右两侧导数都存在并且相等。
函数可导的条件
1、函数在该点的去心邻域内有定义。
2、函数在该点处的左、右导数都存在。
3、左导数＝右导数
注：这与函数在某点处极限存在是类似的。
假如一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上到处可导呢？答案是否定的。
函数在定义域中一点可导需要肯定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。
这实际上是根据极限存在的一个充要条件（极限存在它的左右极限存在且相等）推导而来。
函数导数定义
假如函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f(x)
假如f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数。
若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个
点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y或者f′(x)。
函数f(x)在它的每一个可导点x。
处都对应着一个唯一确定的数值——导数值f′(x)，这个对应关系给出了一个定义在f(x)全体可导点的集合上的新函数，称为函数f(x)的导函数，记为f′(x)。
第二章 导数与极限 1
及 lim f ( x) = A, 得出: A > 0.
x→x0
ˆ 例如 在N (0, δ )内有 f ( x ) =| x |> 0,
但 lim | x |= A = 0.
x→0
说明: 定理4, 说明 定理 5, 6及推论所论极限 在自变量 的其它变化 及推论所论极限, 在自变量x的其它变化 趋势的情形下, →∞, →−∞, 趋势的情形下 即: x→x0−, x→x0+, x→∞ x→+∞, x→−∞ → → →∞ → ∞ →−∞ 都有类似的结论。 都有类似的结论。
y
y=|x|
| x|−|0| x lim+ = lim+ = 1, x →0 x→0 x x−0 | x |−|0| 故 lim 不存在 x →0 x − 0
所以函数 f ( x ) =| x | 在 x = 0 处不可导.
O
x
10
求取整函数f(x)=[x]在整数点 0=n处的左极限和右极限 在整数点x 处的左极限和右极限 处的左极限和右极限. 例10. 求取整函数 在整数点
x→n x→n
11
C. 自变量趋于无穷大时函数的极限 设函数f(x)在|x|≥a (a≥0)上有定义 如果存在常 上有定义, 定义 设函数 在 ≥ ≥ 上有定义 如果存在常 使对任意给定的正数ε 总存在正数 正数X, 数A, 使对任意给定的正数ε, 总存在正数 当 |x|>X, 有: |f(x)−A|<ε 成立 > − < 成立,
f ( x0 + 0) = A.
注意 : { x 0 < x − x0 < δ } = { x 0 < x − x0 < δ } U { x − δ < x − x0 < 0}
导数常见三角函数及常见极限图像验证
导数常见三角函数及常见极限图像验证导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
三角函数是数学中常见的函数之一，导数的概念也可以应用到三角函数中。
常见三角函数的导数常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
这些函数在不同的点处的导数具有特定的性质。
- 正弦函数的导数：正弦函数在任何一点处的导数等于该点处的余弦函数值。
即，对于任意实数x，有：$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$- 余弦函数的导数：余弦函数在任何一点处的导数等于该点处的负正弦函数值。
即，对于任意实数x，有：$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$- 正切函数的导数：正切函数在任何一点处的导数等于该点处的正切函数的平方加1。
即，对于任意实数x，有：$$\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x)$$常见极限图像的验证极限是数学中研究函数趋于某个值时的性质的重要工具。
常见的极限图像包括函数在某一点处的左极限、右极限以及函数在无穷远处的极限。
- 函数在某一点处的左极限：函数在某一点的左侧靠近该点时的极限值。
通过计算该点左侧的函数值逐渐趋近于该极限值，可以验证函数在该点处的左极限。
- 函数在某一点处的右极限：函数在某一点的右侧靠近该点时的极限值。
通过计算该点右侧的函数值逐渐趋近于该极限值，可以验证函数在该点处的右极限。
- 函数在无穷远处的极限：函数在自变量趋于无穷大或负无穷大时的极限值。
通过计算函数在不同自变量取值下的函数值逐渐趋近于该极限值，可以验证函数在无穷远处的极限。
以上是导数常见三角函数及常见极限图像验证的简要说明。
希望对您有所帮助！。
高二数学《导数》知识点总结
高二数学《导数》知识点总结广阔同学要想顺当通过高考，承受更好的高等教育，就要做好考试前的复习预备。
如下是我给大家整理的高二数学《导数》学问点总结，盼望对大家有所作用。
1、导数的定义：在点处的导数记作 .2. 导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①=f/(x0)表示过曲线=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。
V=s/(t) 表示即时速度。
a=v/(t) 表示加速度。
3.常见函数的导数公式: ① ;② ;③ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ;⑧。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数推断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,假如 ,那么为增函数;假如 ,那么为减函数;留意：假如已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数 ;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，假如左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;假如左负右正,那么函数在这个根处取得微小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根; ⅱ把根与区间端点函数值比拟,最大的为最大值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系亲密：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义学问点归纳吧!导数是微积分中的重要根底概念。
当函数=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δ与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a假如存在，a即为在x0处的导数，记作f(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点四周的变化率。
假如函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进展局部的线性靠近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是全部的函数都有导数，一个函数也不肯定在全部的点上都有导数。
导数极限定理
分为三种情况第一种情况：\lim_{x \rightarrow x_0}{f'(x)}=A ,即导函数的极限存在（1）f(x)在x0处不连续因为可导必连续，连续不一定可导，但是不连续一定不可导，可知：f'(x)在x=x0处没有定义，即导数不存在注：极限存在和函数值存在没有必然关系（2）f(x)在x0处连续那么有 f'(x_0)=\lim_{x \rightarrow
x_0}{}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0}f'(x_0)=A ，中间的变化过程是由洛必达得来的第二种情况:\lim_{x \rightarrow x_0}{f'(x)}=∞ ，即导函数的极限不存在那么分析方法同上，如果不连续，那么导数就不存在，如果连续，那么导数就等于∞第三种情况:\lim_{x \rightarrow x_0}{f'(x_0)} 不存在也不为∞那就是左导数和右导数不相等，参考见尖点y=|x|,在x=0处，导数就不存在：左导数不等于右导数例题：660-154
A:x在x0处，不一定有定义B：可导必连续C：体题干说的是导数的问题答案选D如果自己编写一个选项呢，要怎么编写如下：f(x)在x0处有定义，导数存在,f(x)在x0处连续，且导数的极限为a那么可得该点的导数值为a。
可导的条件
可导的条件
判断可导的三个条件：
1、函数在该点的去心邻域内有定义。
2、函数在该点处的左、右导数都存在。
3、左导数＝右导数，这与函数在某点处极限存在是类似的。
函数可导的充要条件：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。
函数可导与连续的关系定理：若函数f(x)在x0处可导，则必在点x0处连续。
函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。
可导的充要条件：以下3者成立：①左右导数存在且相等是可导的充分必要条件。
②可导必定连续。
③连续不一定可导。
所以，左右导数存在且相等就能保证该点是连续的。
仅有左右导数存在且该点连续不能保证可导：例如y=|x|在x=0点。
可导连续和极限存在的关系
可导连续和极限存在的关系在微积分中，可导性、连续性和极限的概念是非常重要的。
它们是解决微积分问题的基础，也是现代数学研究中的核心部分。
可导性、连续性和极限之间有着紧密的联系，它们是相互依存的。
本文将从定义、性质和示例等角度，探讨可导连续和极限存在之间的关系。
一、可导性、连续性和极限的定义1. 可导性即为导数存在，也就是说，如果函数f(x)在点x0处有定义，且它在这个点的右导数和左导数都存在，并且相等，那么称函数f(x)在x0处可导。
数学上用下面公式表示：$f'(x_0)= \lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$2. 连续性函数f(x)在点x0处连续是指，如果在x0的任意一侧取一个足够小的区间[X,Y]，那么当x取值在这个区间范围内时，函数f(x)与函数f(x0)之间的差值不会大于一个足够小的正数，即：|f(x)-f(x0)|<$\epsilon$。
其中，$\epsilon$是一个任意给定的正数。
这个定义表述为：$\lim \limits_{x \to x_0} f(x)= f(x_0)$3. 极限设f(x)是定义在区间I中，除x=x0外，还在x0的某个邻域内有定义，则称f(x)当x趋向于x0时有极限L，表示为：$\lim \limits_{x \to x_0} f(x)= L$当且仅当满足：对于任意给定的正数$\epsilon$，存在另一个正数$\delta$，使得当0<|x-x0|<$\delta$时，就有|f(x)-L|<$\epsilon$。
此时称L为f(x)当x趋向于x0时的极限。
二、可导连续和极限存在之间的关系1. 可导函数必连续如果函数f(x)在点x0处可导，那么它在这个点也一定是连续的。
这种关系的直观理解是，如果一个函数在某个点处可导，那么它在点x0附近的表现应该是相对平滑的，因为导数定义的本质是函数在一个点处的变化率，可以理解为函数在该点处的斜率，这意味着函数在该点附近的变化应该是相对平坦的。
《导数与函数的极值、最值》 知识清单
《导数与函数的极值、最值》知识清单一、导数的概念导数是函数的变化率，它反映了函数在某一点处的瞬时变化情况。
如果函数 y ＝ f(x) 在点 x ＝ x₀处的导数存在，那么这个导数表示函数在 x₀点处的切线斜率。
对于函数 y ＝ f(x)，其在 x ＝ x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝lim(Δx → 0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率，物理意义可以是瞬时速度等。
二、函数的极值1、极值的定义设函数 f(x) 在点 x₀及其附近有定义，如果在 x₀附近的左侧 f'（x) ＞ 0 ，右侧 f'（x) ＜ 0 ，那么 f(x₀) 是极大值；如果在 x₀附近的左侧f'（x) ＜ 0 ，右侧 f'（x) ＞ 0 ，那么 f(x₀) 是极小值。
2、求极值的步骤（1）求导数 f'（x) ；（2）解方程 f'（x) ＝ 0 ，找出所有可能的极值点；（3）判断在每个极值点左右两侧导数的符号，确定是极大值还是极小值。
三、函数的最值1、最值的定义函数在某个区间上的最大值和最小值分别称为函数在该区间上的最值。
2、求最值的方法（1）如果函数在闭区间 a, b 上连续，那么先求出函数在开区间（a, b) 内的极值，再将极值与区间端点处的函数值 f(a) 、 f(b) 进行比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。
（2）如果函数在开区间内或无穷区间上，需要考虑函数的单调性、极限等情况来确定最值。
四、导数与函数单调性的关系设函数 y ＝ f(x) 在某个区间内可导，如果 f'（x) ＞ 0 ，则函数在该区间内单调递增；如果 f'（x) ＜ 0 ，则函数在该区间内单调递减。
五、利用导数求函数极值和最值的例子例 1：求函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 1 的极值。
解：首先求导数 f'（x) ＝ 3x² 6x ，令 f'（x) ＝ 0 ，即 3x² 6x ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2 。
第二章导数与微分
第二章导数与微分一、教学目的1.理解导数和微分的概念、导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的的关系.2.掌握导数、微分计算的各种方法，会求简单函数的高阶导数的计算. 二、教学重点1.导数的概念及几何意义.2.导数计算的各种方法 三、教学难点复合函数和隐函数的导数 四、课时安排 约16学时2.1 导数的概念◆2.1.1引例◆2.1.2导数的定义 ◆2.1.3求导数举例◆2.1.4 导数与左右导数的关系 ◆2.1.5导数的几何意义◆2.1.6函数的可导性与连续性的关系 ◆2.1.7内容小结2.1.1引例1．瞬时速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑到 0000()()s s f t f t v t t t t --==--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选得越短, 这个比值和动点在时刻t 0的速度越接近.令t -t 0→0, 取比值0)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即0)()(limt t t f t f v t t --=→我们把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的瞬时速度. 2． 产品总成本的变化率设某产品的总成本C 是产量q 的函数，即C ＝f （q ）.当产量0q 变为0q q +∆时，总成本相应的改变量为 00()()C f q q f q ∆=+∆-而产量由0q 变为0q q +∆时，总成本的平均变化率为00()()f q q f q C q q+∆-∆=∆∆ 当0q ∆→时，如果极限000()()limq f q q f q C q q∆→+∆-∆=∆∆存在，称此极限为产量为0q 的总成本的变化率，又称边际成本.2.1.2导数的定义定义2.1.1 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量∆x 时, 相应地函数y 取得增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0); 如果∆y 与∆x 之比当∆x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为)(0x f ',即 xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(limlim)(00000, 也可记为0|x x y =', 0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 h x f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→, 或 000)()(l i m )(0x x x f x f x f x x --='→. .如果极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.如果函数y =f (x )在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数f (x )在开区间I 内可导.定义2.1.2如果对任一x ∈I ,函数 f (x )都对应着的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y =f (x )的导函数, 记作 y ',)(x f ',dx dy , 或dxx df )(. f '(x 0)与f '(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即 0)()(0x x x f x f ='='.导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值.2.1.3求导数举例例1．求函数f (x )=C （C 为常数）的导数. 解: hx f h x f x f h )()(lim)(0-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即 (C ) '=0.例2. 求xx f 1)(=的导数.解:h x h x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→2001)(1lim )(lim x x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→. 例3. 求x x f =)(的导数.解: hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00l i m )()(l i m )(xx h x x h x h h h h 211lim )(lim00=++=++=→→. 例4．求函数f (x )=x n (n 为正整数)在x =a 处的导数. 解: f '(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n -1+ax n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1)=na n -1. 把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n -1,即 (x n )'=nx n -1.一般地, 有(x μ)'=μx μ-1 , 其中μ为常数. 例5．求函数f (x )=sin x 的导数. 解: f '(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim 0hh x h h +⋅=→x h hhx h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )'=cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x . 例6．求函数f (x )= a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: f '(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h a a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim 0t t a a t x +→a a ea x a xln log 1==. 即 '()ln x xa a a =特别地有 (e x )=e x .例7．求函数f (x )=log a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: hx h x h x f h x f x f a ah h log )(log lim )()(lim)(00-+=-+='→→ h xa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ax e x a ln 1log 1==. 即 ax x a ln 1)(log =' . :特殊地 xx 1)(l n='. 2.1.4 导数与左右导数的关系:定义2.1.3如果极限hx f h x f h )()(lim 000-+-→存在, 则称此极限值为函数在x 0的左导数.即 f (x )在0x 的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='-→-;如果极限hx f h x f h )()(lim 000-++→存在, 则称此极限值为函数在x 0的右导数.即f (x )在0x 的右导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='+→+.定理2.1 函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f '-(x 0) 和右导数f '+(x 0)都存在且相等.即: A x f =')(0⇔A x f x f ='='+-)()(00. 如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '+(a ) 和左导数f '-(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导.例8．求函数f (x )=|x |在x =0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h h f h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h , 因为f '-(0)≠ f '+(0), 所以函数f (x )=|x |在x =0处不可导.2.1.5导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)在几何上表示曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即 f '(x 0)=tan α , 其中α是切线的倾角.如果y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y =f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x =x 0为极限位置, 即曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x =x 0.由直线的点斜式方程, 可知曲线y =f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为 y -y 0=f '(x 0)(x -x 0).过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y =f (x )在点M 处的法线.如果 f '(x 0)≠0, 法线的斜率为)(10x f '-, 从而法线方程为 )()(1000x x x f y y -'-=-.例9. 求等边双曲线x y 1=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解: 21x y -=', 所求切线及法线的斜率分别为4)1(2121-=-==x x k , 41112=-=k k .所求切线方程为)21(42--=-x y , 即4x +y -4=0.所求法线方程为)1(12-=-x y , 即2x -8y +15=0.例10. 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程.解 设切点的横坐标为x 0, 则切线的斜率为 0212302323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为)(230000x x x x x y -=-.根据题意, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(2340000x x x x -=--,解方程得x 0=4.于是所求切线的方程为 )4(42344-=-x y , 即3x -y -4=0.2.1.6函数的可导性与连续性的关系如果函数y =f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续.另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例11． 函数3)(x x f =在区间(-∞, +∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 这是因为函数在点x =0处导数为无穷大h f h f h )0()0(lim-+→+∞=-=→hh h 0lim 30. 2.1.7内容小结1.引例2.导数的定义3.求导数举例4.导数与左右导数的关系5.导数的几何意义6.函数的可导性与连续性的关系2.2 函数的求导法则◆2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则 ◆2.2.2反函数的求导法则 ◆2.2.3复合函数的求导法则 ◆2.2.4求导法则与导数公式 ◆2.2.5 隐函数的导数 ◆2.2.6 对数求导法◆2.2.7参数方程所确定的函数的导数 ◆2.2.8内容小结2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则定理2.2 如果函数u =u (x )及v =v (x )在点x 可导, 则它们的和、差、积、商(分母不为零)都在点x 具可导, 并且[u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ;[u (x )⋅v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x );)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡.定理2.2中的函数的和、差、积的求导法则可推广到有限多个可导函数的情形. 在函数的积的求导法则中, 如果v =C (C 为常数), 则有 (Cu )'=Cu '. 例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-(5x 2)'+(3x )'-(7)'= 2 (x 3)'- 5( x 2)'+ 3( x )' =2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3.例2. 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2 (πf '.解: x x x x x f sin 43)2 (sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,443)2 (2-='ππf .例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.解: y '=(e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4．y =tan x , 求y '.解:xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=.即 (tan x )'=sec 2x .例5．y =sec x , 求y '.解: x x x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='x x2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x )'=sec x tan x .类似的,可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,(csc x )'=-csc x cot x .2.2.2反函数的求导法则定理2.3如果函数x =f (y )在某区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 那么它的反函数y =f -1(x )在对应区间I x ={x |x =f (y ), y ∈I y }内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydx dx dy 1=.即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例6．设x =sin y , ]2 ,2 [ππ-∈y 为直接函数, 则y =arcsin x 是它的反函数. 函数x =sin y 在开区间)2 ,2 (ππ-内单调、可导, 且 (sin y )'=cos y >0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-1, 1)内有 2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='='. 即(a r c s i nx '=类似地有: 211)(arccos x x --='.例7．设x =tan y , )2 ,2 (ππ-∈y 为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数x =tan y在区间)2 ,2 (ππ-内单调、可导, 且 (tan y )'=sec 2 y ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞)内有 22211t a n 11s e c 1)(t a n 1)(a r c t a n xy y y x +=+=='='. 类似地有: 211)cot arc (xx +-='.例8.设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且 (a y )'=a y ln a ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有 ax a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log =='='. 2.2.3复合函数的求导法则定理2.4如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为 )()(x g u f dx dy '⋅'=或dx du du dydx dy ⋅=. 例9. 3x e y =, 求dxdy . 解： 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此32233x u e x x e dxdu du dy dx dy =⋅=⋅=. 例10. 212sinx x y +=, 求dx dy .解： 函数212sinx x y +=是由y =sin u , 212x x u +=复合而成的, 因此2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +⋅+-=+-+⋅=⋅=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量,而直接写出结果.例11．lnsin x , 求dxdy . 解:)(sin sin 1)sin (ln '⋅='=x xx dx dy x x x cot cos sin 1=⋅=. 例12．3221x y -=, 求dxdy . 解:)21()21(31])21[(2322312'-⋅-='-=-x x x dx dy 322)21(34x x --=. 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =ϕ(v ), v =ψ(x ),则dxdv dv du du dy dx du du dy dx dy ⋅⋅=⋅=. 例13．y =lncos(e x ), 求dxdy . 解:])[cos()cos(1])cos([ln '⋅='=x x x e e e dx dy)tan()()]sin([)cos(1x x x x x e e e e e -='⋅-⋅=.例14．xe y 1sin =, 求dxdy . 解: )1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '⋅⋅='⋅='=x x e x e e dx dy x x x x e x x 1cos 11sin 2⋅⋅-=. 例15.设x >0, 证明幂函数的导数公式(x μ)'=μ x μ-1.解： 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ⋅(μ ln x )'= e μ ln x ⋅μ x -1=μ x μ-1.2.2.4求导法则与导数公式 1．基本初等函数的导数:(1) (C )'=0, (2) (x μ)'=μ x μ-1, (3) (sin x )'=cos x , (4) (cos x )'=-sin x , (5) (tan x )'=sec 2x , (6) (cot x )'=-csc 2x , (7) (sec x )'=sec x ⋅tan x , (8) (csc x )'=-csc x ⋅cot x , (9) (a x )'=a x ln a , (10) (e x )'=e x ,(11) a x x a ln 1)(log =',(12) xx 1)(ln =',(13) 211)(arcsin x x -=', . (14) 211)(arccos x x --=' (15) 211)(arctan x x +=',(16) 211)cot arc (xx +-='.2．函数的和、差、积、商的求导法则 设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则(1)(u ±v )'=u '±v ', (2)(C u )'=C u ', (3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ',(4)2)(v v u v u v u '-'='.3．反函数的求导法则设x =f (y )在区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 则它的反函数y =f -1(x )在I x =f (I y )内也可导, 并且)(1])([1y f x f ='-. 或dydx dx dy 1=.4．复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为dxdudu dy dx dy ⋅=或y '(x )=f '(u )⋅g '(x ). 例16. y =sin nx ⋅sin n x (n 为常数), 求y '. 解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ⋅ (sin n x )'= n cos nx ⋅sin n x +sin nx ⋅ n ⋅ sin n -1 x ⋅(sin x )'= n cos nx ⋅sin n x +n sin n -1 x ⋅ cos x =n sin n -1 x ⋅ sin(n +1)x .2.2.5 隐函数的导数定义2.2.1形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y =sin x , y =ln x +e x 是显函数的例子. 定义2.2.2 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数. 例17求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y )'+(xy )'-(e )'=(0)', 即 e y ⋅ y '+y +xy '=0, 从而 y ex yy +-='(x +e y ≠0). 在上式两边对x 求导过程中，在遇到含有y 项时，应视y 是x 的函数，利用复合函数的求导法则.例18求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0. 解: 把方程两边分别对x 求导数得5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y .因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y . 例19 求椭圆122=+y x 在)323 ,2(处的切线方程.解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得0928='⋅+y y x . 将x =2, 323=y , 代入上式得 03141='⋅+y ,于是 k =y '|x =243-=. 所求的切线方程为)2(43323--=-x y , 即03843=-+y x .2.2.6 对数求导法:这种方法是先在y =f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数. 设y =f (x ), 两边取对数, 得 ln y = ln f (x ),两边对x 求导, 得 ])([ln 1'='x f y y,y '= f (x )⋅[ln f (x )]'.对数求导法适用于求幂指函数y =[u (x )]v (x )的导数及多因子之积和商的导数. 例20求y =x sin x (x >0)的导数.解法一: 两边取对数, 得 ln y =sin x ⋅ ln x ,上式两边对x 求导, 得 x x x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=',于是 )1sin ln (cos x x x x y y ⋅+⋅=')sin ln (cos sin xx x x x x +⋅=.解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:y =x sin x =e sin x ·ln x, )sin ln (cos )ln (sin sin ln sin x x x x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅.例21求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数.解: 先在两边取对数(假定x >4), 得ln y 21=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)],上式两边对x 求导, 得 )41312111(211-----+-='x x x x y y ,于是 )41312111(2-----+-='x x x x yy .当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 当2<x <3时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果.注: 严格来说, 本题应分x >4, x <1, 2<x <3三种情况讨论, 但结果都是一样的.2.2.7参数方程所确定的函数的导数定理2.5 设x =ϕ(t )具有单调连续反函数t =ϕ-1(x ), 且此反函数能与函数y =ψ(t )构成复合函数y =ψ[ϕ-1(x ) ], 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则 )()(1t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=, 即 )()(t t dx dy ϕψ''=或dt dx dt dydx dy =. 例1 设⎩⎨⎧+=-=)1ln(arctan 2t y tt x ，求1=t dx dy . 解：t t t t dt dx dt dydx dy 21111222=+-+== ∴21==t dx dy 例2求椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解:t ab t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-='=. 所求切线的斜率为ab dx dyt -==4π. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 224sin 0b b y ==π. 切线方程为)22(22a x a b b y --=-, 即 bx +ay 2-ab =0.2.2.8内容小结1.函数的和、差、积、商的求导法则2.反函数的求导法则3.复合函数的求导法则4.求导法则与导数公式5.隐函数的导数6.对数求导法7.参数方程所确定的函数的导数2.3 高阶导数◆2.3.1 高阶导数◆2.3.2 内容小结定义2.3.1如果函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 则称y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或22dx y d , 即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]' , )(22dxdy dx d dx y d =. 相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , nn dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也称函数f (x )为 n 阶可导. 如果函数f (x )在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内一定具有所有低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.例1．y =ax +b , 求y ''.解: y '=a , y ''=0.例2．s =sin ω t , 求s ''.解: s '=ω cos ω t , s ''= cos ω t -ω 2sin ω t .例3．验证: 函数22x x y -=是方程y 3y ''+1=0的解.证明: 因为22212222x x x x x x y --=--=', 22222222)1(2x x x x xx x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32321)2(1yx x -=--=, 所以y 3y ''+1=0.例4．求函数y =e x 的n 阶导数.解：y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x ,一般地, 可得 y ( n )=e x , 即 (e x )(n )=e x .例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数.解: y =sin x ,)2s i n (c o s π+=='x x y , )22s i n ()2 2 s i n ()2 c o s (ππππ⋅+=++=+=''x x x y , )23s i n ()2 2 2s i n ()2 2c o s (ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y , )24sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y , 一般地, 我们有)2sin()(π⋅+=n x y n , 即)2 sin()(sin )(π⋅+=n x x n .同理, 可得 )2c o s ()(c o s )(π⋅+=n x x n .例6．求幂函数y =x μ (μ是任意常数)的n 阶导数公式.解: y '=μx μ-1,y ''=μ(μ-1)x μ-2,y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4,依次类推, 可得y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n ,即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n .当μ=n 时, 得到(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n ! .而 (x n )( n +1)=0 .2.3.2 内容小结高阶导数2.4 函数的微分◆2.4.1微分的定义◆2.4.2微分的几何意义◆2.4.3基本初等函数的微分公式与微分运算法则◆2.4.4微分在近似计算中的应用◆2.4.5内容小结2.4.1微分的定义定义2.4.1 设函数y =f (x )在某区间内有定义, x 0及x 0+∆x 在这区间内, 如果函数的增量 ∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)可表示为∆y =A ∆x +o (∆x ), 其中A 是不依赖于∆x 的常数, 那么称函数y =f (x )在点x 0是可微, 而A ∆x 叫做函数y =f (x )在点x 0相应于自变量增量∆x 的微分, 记作 dy , 即 dy =A ∆x .定理2.6 （函数可微的条件）: 函数f (x )在点x 0可微的充分必要条件是函数f (x )在点x 0可导, 且当函数f (x )在点x 0可微时, 其微分一定是dy =f '(x 0)∆x . .函数y =f (x )在任意点x 的微分, 称为函数的微分, 记作dy 或 d f (x ), 即dy =f '(x )∆x ,例1 求函数y =x 2在x =1和x =3处的微分.解 函数y =x 2在x =1处的微分为 1=x dy =(x 2)'|x =1∆x =2∆x ;函数y =x 2在x =3处的微分为 3=x dy =(x 2)'|x =3∆x =6∆x .例2．求函数 y =x 3当x =2, ∆x =0. 02时的微分.解: 先求函数在任意点x 的微分 dy =(x 3)'∆x =3x 2∆x .再求函数当x =2, ∆x =0. 02时的微分dy |x =2, ∆x =0.02 =3x 2| x =2, ∆x =0.02 =3⨯22⨯0.02=0.24.自变量的微分:因为当y =x 时, dy =dx =(x )'∆x =∆x , 所以通常把自变量x 的增量∆x 称为自变量的微分, 记作dx , 即dx =∆x . 于是函数y =f (x )的微分又可记作dy =f '(x )dx . 从而有 )(x f dxdy '=. 亦即, 函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫做“微商”. 2.4.2微分的几何意义当∆y 是曲线y =f (x )上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|∆x |很小时, |∆y -dy |比|∆x |小得多. 因此在点M 的邻近, 我们可以用切线段来近似代替曲线段.2.4.3基本初等函数的微分公式与微分运算法则1. 基本初等函数的微分公式导数公式: 微分公式:(x μ)'=μ x μ-1 d (x μ)=μ x μ-1d x(sin x )'=cos x d (sin x )=cos x d x(cos x )'=-sin x d (cos x )=-sin x d x(tan x )'=sec 2 x d (tan x )=sec 2x d x(cot x )'=-csc 2x d (cot x )=-csc 2x d x(sec x )'=sec x tan x d (sec x )=sec x tan x d x(csc x )'=-csc x cot x d (csc x )=-csc x cot x d x(a x )'=a x ln a d (a x )=a x ln a d x(e x )=e x d (e x )=e x d xax x a ln 1)(log =' dx a x x d a ln 1)(log = x x 1)(ln =' dx xx d 1)(ln = 211)(arcsin x x -=' dx x x d 211)(arcsin -= 211)(arccos x x --=' dx x x d 211)(arccos --=211)(arctan xx +=' dx x x d 211)(arctan += 211)cot arc (xx +-=' dx x x d 211)cot arc (+-= 2. 函数和、差、积、商的微分法则求导法则: 微分法则:(u ±v )'=u '± v ' d (u ±v )=du ±dv(Cu )'=Cu ' d (Cu )=Cdu(u ⋅v )'= u 'v +uv ' d (u ⋅v )=vdu +udv)0()(2≠'-'='v v v u v u v u )0()(2≠-=v dx v udv vdu v u d 乘积的微分法则证明:根据函数微分的表达式, 有d (uv )=(uv )'dx .再根据乘积的求导法则, 有(uv )'=u 'v +uv '.于是 d (uv )=(u 'v +uv ')dx =u 'vdx +uv 'dx .由于u 'dx =du , v 'dx =dv , 所以d (uv )=vdu +udv .3. 复合函数的微分法则设y =f (u )及u =ϕ(x )都可导, 则复合函数y =f [ϕ(x )]的微分为dy =y 'x dx =f '(u )ϕ'(x )dx .于由ϕ'(x )dx =du , 所以, 复合函数y =f [ϕ(x )]的微分公式也可以写成dy =f '(u )du 或 dy =y 'u du .由上式可见, 无论u 是自变量还是中间变量函数的微分形式dy =f '(u )du 保持不变. 这一性质称为微分形式不变性.例3．y =sin(2x +1), 求dy .解: 把2x +1看成中间变量u , 则dy =d (sin u )=cos udu =cos(2x +1)d (2x +1)=cos(2x +1)⋅2dx =2cos(2x +1)dx .运算熟练后，在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量.例4.)1ln(2x e y +=, 求dy .解: )1(11)1ln(222x x x e d e e d dy ++=+= xdx e x d e x x x x 21)(122222⋅⋅=⋅=dx e xe x x 2212+=. 例5．y =e 1-3x cos x , 求dy .解: 应用积的微分法则, 得dy =d (e 1-3x cos x )=cos xd (e 1-3x )+e 1-3x d (cos x )=(cos x )e 1-3x (-3dx )+e 1-3x (-sin xdx )=-e 1-3x (3cos x +sin x )dx .例6．在括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d ( )=xdx ;(2) d ( )=cos ω t dt .解: (1)因为d (x 2)=2xdx , 所以)21()(2122x d x d xdx ==, 即xdx x d =)21(2. 一般地, 有xdx C x d =+)21(2(C 为任意常数). (2)因为d (sin ω t )=ω cos ω tdt , 所以 ) sin 1() (sin 1 cos t d t d tdt ωωωωω==. 所以 tdt C t d cos ) sin 1(ωωω=+(C 为任意常数). 2.4.4微分在近似计算中的应用如果函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x )≠0, 且|∆x |很小时, 我们有∆y ≈dy =f '(x 0)∆x ,∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)≈dy =f '(x 0)∆x ,f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x .若令x =x 0+∆x , 即∆x =x -x 0, 那么又有 f (x )≈ f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0).特别当x 0=0时, 有 f (x )≈ f (0)+f '(0)x .这些都是近似计算公式.例7．有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)?解: 已知球体体积为334R V π=, R 0=1cm , ∆R =0. 01cm . 镀层的体积为∆V =V (R 0+∆R )-V (R 0)≈V '(R 0)∆R =4πR 02∆R =4⨯3. 14⨯12 ⨯0. 01=0. 13(cm 3). 于是镀每只球需用的铜约为 0. 13 ⨯8. 9 =1. 16(g ).例8．利用微分计算sin 30︒30'的近似值.解: 已知30︒30'3606 ππ+=, 6 0π=x , 360π=∆x . sin 30︒30'=sin(x 0+∆x )≈sin x 0+∆x cos x 03606 cos 6 sin πππ⋅+= 5076.03602321=⋅+=π. 即 sin 30︒30'≈0. 5076.常用的近似公式（假定|x |是较小的数值）: (1)x nx n 111+≈+; (2)sin x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(3)tan x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(4)e x ≈1+x ;(5)ln(1+x )≈x .例9．计算05.1的近似值.解: 已知 x nx n 111+≈+, 故025.105.021105.0105.1=⨯+≈+=. 直接开方的结果是02470.105.1=.2.4.5内容小结1.微分的定义2.微分的几何意义3.基本初等函数的微分公式与微分运算法则4.微分在近似计算中的应用。
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函数的右导数与导函数的右极限的关系
函数的右导数与导函数的右极限之间存在着密切的关系。
右导数是指在函数右端（x点右边）的切线斜率，而右极限是指在函数右端无限接近x点时，函数与x轴围成的所有区域的极限值。
也就是说，右极限是函数的右侧无限接近x点形成的函数的极限，而右导数是指函数在x点右边的切线斜率。
就函数的右导数和导函数的右极限而言，右极限是右导数的一种特殊情况，即当曲线在无限靠近某一点时右导数会等于右极限。
因此可以说，右极限是右导数的本质，即右极限是由右导数的特点所确定的。
也就是说，右导数是用来确定右极限的，它被称为右极限的引导因子。
在实际应用中，右极限的概念常常用来判断函数的右端的行为。
也就是说，右极限的计算是用来描述函数在x点右侧无限接近的行为的。
由于右极限的极限值是由右导数确定的，因此右导数也常常被用来评估函数右端的行为。
总之，右导数与导函数的右极限之间存在着紧密的联系，右导数是右极限的一种特殊情况，右极限的极限值是由右导数来确定的，也就是说右极限是右导数的本质，因此右导数也常常被用来评估函数右端的行为。