高数第九章复习题答案
高等数学练习题第九章及答案
高等数学练习题第九章及答案练习9.1.11．观察一次打靶试验中击中的环数，若击中1环记为{1}，并设A={奇数环}， B={小于9环}，求Ω，A+B ，AB ，A +B ．【解】Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A+B ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ， AB={1,3,5,7} ，A +B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,10}．2．一位工人生产3件零件,设i A ＝{第i 个零件是不合格品}（1,2,3i =）.请用诸i A 表示如下事件:(1) 全是合格品; (2) 全是不合格品;(3) 恰好有一个零件是不合格品; (4) 至少有一个零件是不合格品.【解】(1) 123A A A ；(2) 123A A A ；(3) 123123123A A A A A A A A A ++；(4) 123A A A ++. 练习9.1.21．一个小停车场有20个停车位，现在有6辆车需停在该停车场，有多少种不同的停放方法？【解】620P =20⨯19⨯18⨯17⨯16⨯15＝27907200(种)2．学校举办一场十佳歌手赛，现从班上报名的15个同学中选取2个参加，共有多少种选法？【解】215151410521C ⨯==⨯(种) 3．10个螺丝钉中有3个是坏的，从中随机抽取4个，求： （1）恰好有两个是坏的概率； （2）4个全是好的概率．【解】设A ＝{恰好有两个是坏螺丝钉}，B ＝{ 4个全是好螺丝钉}，(1)因4221037210,63,A n C m C C ====所以3()10A m P A n ==；(2)又4735B m C ==，故1()6B m P B n ==．练习9.1.31．甲、乙两批种子发芽率分别是0.7和0.8，现从这两批种子中随机地各取一粒，求下列事件的概率：(1)两粒种子都发芽； (2)至少有一粒种子发芽.【解】设A ＝{甲的种子发芽}，B={乙的种子发芽}，由于两粒种子是独立地发芽，所以(1) ()()()P AB P A P B ==0.7⨯0.8=0.56；(2) ()()()()P A B P A P B P AB +=+-= 0.7＋0.8－0.56＝0.94．2．在200名学生中选修统计学的有137名，选修经济学的有50名，选修计算机的有124名．还知道，同时选修统计学与经济学的有33名，同时选修经济学与计算机的有29名同，同时选修统计学与计算机的有92名，三门课都选修的有18名．试求200名学生中在这三门课中至少选修一门的概率．【解】设A ＝{选修统计学}，B ＝{选修经济学}，C ＝{选修计算机}，则 D ＝{至少选修一门}=A+B+C ，所以()()()()()()()()P D P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+ ＝137200＋50200＋124200－33200－29200－92200＋18200＝78（＝0.875）． 3．某射手的命中率为0.95，他独自重复向目标射击5次，求他恰好命中4次的概率以及至少命中3次的概率.【解】恰好命中4次的概率44155(4)(0.95)(0.05)0.2036P C =≈；至少命中3次的概率555(3)(4)(5)P P P ++=332441550555(0.95)(0.05)(0.95)(0.05)(0.95)(0.05)C C C ++≈0.9987．练习9.2.11．已知随机变量X 只能取－1，0，1，2这四个值，其相应的概率依次为1232,,,2448c c c c，求常数c 的值．【解】 因11k k p ∞==∑，所以1232122448c c c c c+++=⇒=． 2．某银行举行有奖储蓄活动，现发行有奖储蓄券10万张，其中一等奖100张，二等奖500张，三等奖2000张，现任抽一张储蓄券，试求中奖等级X 的分布律．【解】若不中用{X =0}表示，其概率表示为{}00p P X ==， 根据题意X 为随机变量，其可能取值为0，1，2，3．{}1510010.00110p P X ====， {}2550020.00510p P X ====， {}35200030.0210p P X ====， {}001(0.0010.0050.02)0.974p P X ===-++=．则0k p ≥(0,1,23k =，)，且31k k p ==∑．故随机变量X 的分布律为3．某观众拨打电视台热线电话参与活动，已知拨通电话的概率为0.4%，求观众拨打300次至少拨通1次电话的概率．【解】{至少拨通1次电话}的对立事件是{拨通0次电话}所求概率为1－00300300(0.004)(0.996)C 1≈．（本题的结果可借助软件Excel 来求得）练习9.2.21．求0－1分布的分布函数．【解】由于0－1分布的分布律为：1{}(1)k k P X k p p -==-，0,1k =．当0x <时，(){}()0F x P X x P ==∅=≤；当01x <≤时，(){}{0}1F x P X x P X p ====-≤； 当x ≥1时，(){}{0}{1}11F x P Xx P X P X p p ===+==-+=．综合以上结果，则有00,()101,1 1.x F x p x x <⎧⎪=-<⎨⎪⎩，，≤，≥2．已知连续型随机变量X 的概率密度为()0kx x f x ≤≤⎧=⎨⎩，03, ，其它.求（1）系数k ；（2）{12}P X <≤．【解】（1） 由概率密度的性质，得32039()1022x kf x dx k xdx k +∞====-∞⎰⎰， 解得29k =， 所以2,03()90,x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它.（2） 221{12}193P X xdx <≤==⎰．.3．设~(0,1)X N ，查表求 (1) {}2P X ≤；(2) {}1P X >-；(3){}0.5P X <． 【解】(1) {2}(2)0.9772P X ≤=Φ=；(2) {1}1(1)(1)0.8413P X >-=-Φ-=Φ=；(3) {}0.5(0.5)(0.5)2(0.5)120.691510.383P X <=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=. 4．设2~(1,2)X N ，查表求 (1) {}1P X ≤；(2) {}3P X <．【解】（1）{}111()(0)0.52P X -≤=Φ=Φ=；（2）{}3{33}P X P X <=-<<3131()()22---=Φ-Φ (1)1(2)=Φ-+Φ＝0.8413－1＋0.9772＝0.8185．练习9.2.3某企业生产某种产品，生产出来后畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3．现有二种方案：（1）扩大工厂的规模，如果产品畅销可盈利700万元，滞销则亏损300万元；（2）不改变工厂规模，如果产品畅销可可盈利400万元，滞销则亏损100万元．试用决策矩阵表和决策树的方法选择一种最佳方案．【解】（1）用决策矩阵表的方法根据题意，建立如下损益矩阵表（单位：万元）从表可见，根据期望收益值最大的决策准则，选用扩大工厂规模的方案． （2）用决策树的方法由题意，画出对应的决策树如图所示.比较状态点B ，C ，显然扩大工厂规模的数学期望值大，即400＞250，点B 和决策点R 之间的方案枝所代表的方案即为所选的最优方案，点B 的期望值即为决策的效益期望值．最后将状态点C 剪掉，采用扩大工厂规模的方案．练习9.3.11、求满足{}0.05P U λ≥=的U 分布的临界值λ.【解】由0.05α=得，()10.97520.05λΦ=-=，查标准正态分布表得 1.96λ=.2、求满足{}0.01,P T λ≥=10n =的t 分布的临界值λ. 【解】根据0.01α=，19n -=，查t 分布临界值表得 3.25λ=.3、求满足{}2120.95P λχλ<<=，15n =的2χ分布的临界值12,λλ.【解】由已知114n -=，0.05α=.计算{}2110.9752P αχλ>=-=，查2χ分布临界值表得1 5.629λ=；计算{}220.0252P αχλ≥==，查2χ分布临界值表得226.119λ=.练习9.3.21．乳业有限公司生产的袋装牛奶是用自动包装机包装的．每袋牛奶净含量X 服从正态分布2(,)N μσ，今从一批装好的牛奶中随机地抽取8袋，测其牛奶的净含量（单位：ml ）如下：499.5，500，498.5，501.5，500.5，500.5，499.5，500.5.试估计这批牛奶净含量的均值μ与方差2σ．【解】499.5+500+498.5+501.5+500.5+500.5+499.5+500.5500.06258x ==，82221111()(500.0625)0.8169617n i i i i s x x x n ===-=-≈-∑∑， 所以2ˆˆ500.0625,0.81696μσ==． （本题的结果可借助软件Excel 来求得）2．已知某种电子元件的寿命服从正态分布2(,)N μσ，现随机抽取10个，测得各电子元件的寿命(单位：小时)如下：3100 3480 2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260试估计这种电子元件寿命的均值μ与方差2σ．【解】3100+3480+2520+3700+2520+3200+2800+3800+3020+3260314010x ==，102221111()(3140)198133.333319n i i i i s x x x n ===-=-≈-∑∑， 所以2ˆˆ3140,198133.333μσ==． （可利用软件Excel 帮助计算）练习9.3.31．设随机变量X 服从正态分布，即2~(,2.8)X N μ，已知一个容量为10的样本，其样本均值1500x =，求总体均值μ的置信区间（置信水平为0.95）.【解】根据题意2~(,2.8)X N μ，总体方差2σ已知，求总体均值μ的置信区间， （1）因10.95α-=，则0.05α=，查标准正态分布表得 1.96λ=； （2）由已知，1500x =，10n =， 2.8σ=，计算得1501.7355x =，1498.2645x =（3）所以μ的置信水平为95%的置信区间为(1498.2645,1501.7355).2．某保险公司要估计去年投保人的平均理赔额，随机地抽取25个投保人，得理赔均值为739.98元，标准差为312.70元，已知理赔额2~(,)X N μσ，试求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间．【解】根据题意知2~(,)X N μσ，总体方差2σ未知，求总体均值μ的置信区间， （1）因195%α-=，0.05α=，25n =，查t 分布临界值表得 2.064λ=； （2）由已知，739.98x =，312.70s =；计算区间端点值869.06256,x=610.80744x =（3）所以μ的置信水平为95%的置信区间为（610.80744，869.06256）.3.某超市连续统计了十二个月的销售额（单位：万元），得方差20.305s =，如果销售额2~(,)X N μσ，试求方差2σ的置信水平为95%的置信区间.【解】根据题意2~(,)X N μσ，总体均值μ未知，求总体方差2σ的置信区间， （1）因195%α-=，0.05α=，111n -=，查2χ分布临界值表得1 3.816λ=，221.92λ=； （2）由已知，20.305s =，计算区间端点值21(1)n s λ-＝0.8792，22(1)n s λ-＝0.1531；（3）所以2σ的置信水平为95%的置信区间为（0.1531，0.8792）.。
(整理)高等数学2第九章答案37700
另外,环境影响评价三个层次的意义，环境影响评价的资质管理、分类管理，建设项目环境影响评价的内容，规划环境影响评价文件的内容，环境价值的衡量还可能是将来考试的重点。
对于不同的评价单元，可根据评价的需要和单元特征选择不同的评价方法。证明:设 为曲面上任意一点
（3）安全现状评价。令
; ;
切平面方程：
D.可能造成轻度环境影响、不需要进行环境影响评价的建设项目，应当填报环境影响登记表切平面在三坐标轴上的截距分别为
A.国家根据建设项目影响环境的范围，对建设项目的环境影响评价实行分类管理所以截距和为
法向量 ，
由题意知 ，得
法线方程：
习题9-7方向导数与梯度
1.求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向导数。
2.求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向导数。
3.求函数 在球面 上点 处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数。
4.设 ，求 及 .
5.求函数 在点 处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。
5.设 ，而 ， 为可导函数，证明 .
6.设 ，其中 具有二阶导数，求 ， ， .
习题9-5隐函数的求导公式
1.设 ，求 .
2.设 ，求 及 .
3.设 具有连续偏导数，证明由方程 所确定的函数 满足 .
4.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：
（1） ，求 ， .
（2） ，求
解方程组两边分别对 求偏导数得
习题9-3全微分
1.求下列函数的全微Hale Waihona Puke ：（1） ；（2） .
（3） .
解 ，所求的全微分为
‘
（4）
解 ，
华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)
对弧长的曲线积分1、计算C，其中曲线C是y =02x a ≤≤的一段弧()0a >。
解：C 的参数方程为22cos 022cos sin x a y a θπθθθ⎧=≤≤⎨=⎩原式222202cos 4cos 4a a d a ππθθ===⎰⎰2、计算4433L x y ds ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰，其中L 星形线33cos ,sin x a t y a t ==在第一象限的弧02t π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭。
解：原式()47766244333200sin cos cos sin 3cos sin 36t ta t t a t tdt a a ππ⎡⎤-=+==⎢⎥⎣⎦⎰ 3、计算xyzds Γ⎰，其中Γ为折线ABC ，这里,,A B C 依次为点()()()0,0,0,1,2,3,1,4,3。
解：AB 段参数方程2013x t y t t z t=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，BC 段参数方程122013x y t t z =⎧⎪=+≤≤⎨⎪=⎩原式()11301212ABBCxyzds xyzds dt t dt =+=++⎰⎰⎰⎰11420012618t t ⎤⎡⎤=++=⎣⎦⎥⎦ 4、计算()22xy ds Γ+⎰，其中Γ为螺旋线cos ,sin ,x t t y t t z t ===上相应于t 从0到1的弧。
解：方法一 原式11t t ==⎰⎰)(()2111222000111222222t dt t t t dt ⎫'⎡=+=+-+⎣⎰⎰100t =-⎰⎰原式(100111ln 222t ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦⎰122=- 方法二、原式11tt ==⎰⎰)001112222t dt ===⎰⎰⎰2101112u +-=⎰(1101111222u ⎡=+--⎢⎣⎰⎰(10011ln 122u ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰(011ln 222=-+⎰原式(1ln 24= 方法三、原式11t t ==⎰⎰因为422234t t '==(22'==(()ln 1t '⎛⎫+=+=所以(11ln 42t t '⎫+=⎪⎭原式((11111ln ln 14222t ⎤==-++⎥⎦5、计算22Lx y ds +⎰，其中22:0L x y ax a +=>解：22cos x y ax r a θ+=⇒=，曲线L 的参数方程为2cos 22sin cos x a y a θππθθθ⎧=-≤≤⎨=⎩原式222202cos 2cos 2a ad a πππθθθ-===⎰⎰6、计算22x y Leds +⎰,其中L 为圆周222x y a +=，直线,0y x y ==在第一象限内所围成的扇形的边界。
高等数学-习题答案-方明亮-第九章
高等数学方明亮版第九章曲线积分与曲面积分习题详解习题9.11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A 到11(,)22B -之间的一段劣弧；解: L AB =的参数方程为：cos ,sin x y θθ==()42ππθ-≤≤，于是2422cos (sin )cos I d ππθθθθ-=-+⎰241cos (1)2d ππθθ-==+⎰．（2）(1)Lx y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解: L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)L x y ds ++⎰(1)OA x y ds=++⎰(1)ABx y ds +++⎰(1)BOx y ds +++⎰，由于OA :0y =，01x ≤≤，于是2222()()10dx dy ds dx dx dx dx dx=+=+=，故 103(1)(01)2x y ds x dx ++=++=⎰⎰OA ， 而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是2222()()1(1)2dx dy ds dx dx dx dx dx=+=+-=． 故10(1)[(1)1]222AB x y ds x x dx ++=+-+=⎰⎰，xyo(1,0)A (0,1)B xyoABC同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），ds dy ===，则 13(1)[01]2BO x y ds y dy ++=++=⎰⎰．综上所述33(1)322L x y ds -+=+=+⎰． （3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1L 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ=．于是22201cos222Lx y ds d πθθ+=⋅=⎰⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解 如图所示，2222 L AB BC CD x yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰⎰⎰． 线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt =，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==故31220020BC x yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t ===+)10(≤≤t ，则2220215ds dt dt =++=，故11220812(2)525)53CDx yzds t t dt t t dt =⋅⋅+⋅=+=⎰⎰⎰ 2 (2，所以2222 853L AB BC CDx yzds x yzds x yzds x yzds =++=⎰⎰⎰⎰．（5）2Lx ds ⎰，L 为球面2221x y z ++=与平面0x y z ++=的交线。
高等数学(同济第七版)第九章课后答案
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高等数学(经济类)课后习题及答案第九章多元函数微分
习题9-1（A ）1．求下列各函数的表达式： （1）设函数22),(y x y x f -=，求(,)f y x --，),(x x f -．解：(,)f y x --22)()(x y -+-=22x y -=，0)(),(22=--=-x x x x f ．（2）设函数)1(3-+=x f y z ，已知1=y 时，x z =，求)(x f 及z 的表达式．解：由1=y 时，x z =，有)1(13-+=x f x ，即，所以1)1()(3-+=x x f ；而1)1(3-+=-+=x y x f y z ．（3）设函数y y x y x f +-=1)1(),(2，求),(xy y x f +．解：2222))(()()(/1)/1()(),(y x y x y x yx y x y x x y x y y x x y y x f -=-+=+-+=+-+=+． （4）设函数xy y x y x f =+-),(，求),(y x f 的表达式． 解：（方法1）因为4)()(4)2(244),(222222y x y x y xy x y xy x xy y x y x f --+=+--++==+-，所以),(y x f 422x y -=．（方法2）令v y x u y x =+=-、，则22uv y v u x -=+=、，于是 422),()(22u v u v u v xy y x y x f v u f -=-+==+-=，，所以),(y x f 422x y -=．2．求下列各函数的定义域，并作定义域草图： （1）)ln(x y z -=； （2）221arcsin xy y z -+=；（3）221arcsin yx x x y z --+=； （4）41)16ln(2222-++--=y x y x z ．1]1)1[(1)1(333-+-=-=-x x x f解：（1）由0>-x y 且0≥x ，得定义域}0,),{(≥>=x x y y x D ．（2）由022>-x y 及1≤y ，有1≤<y x ，得定义域}1),{(≤<=y x y x D ．（3）由0100122>--≥≠≤y x x x xy、、、，有0122>≤<+x x y y x 、、，得定义域}0,,1),{(22≠≤<+=x x y y x y x D ．（4）由040162222≥-+>--y x y x 、，有16422<+≤y x ，或4222<+≤y x ，得定义域}42),{(22<+≤=y x y x D ．3．求下列极限：（1）(,)(1,1)2lim2x y x yx y →-+； （2）xxy a y x sin lim ),0(),(→；（3）22)0,0(),(1sinlim y x x y x +→； （4）2)1,0(),(2tan limxy xyy x →；（5）22(,)(1,1)sin()lim x y x y x y →--； （6）231lim )1,1(),(-+-→xy xy y x .解：（1）(,)(1,1)2121lim2213x y x y x y →--==-++．（2）(,)(0,)(,)(0,)sin limlim x y a x y a xy xya x x →→==．（3）因为221sinyx +有界，而0lim )0,0(),(=→x y x ，所以=+→22)0,0(),(1sinlim yx x y x 0．（4）2111211lim tan lim 212tan lim)1,0(),()1,0(),(2)1,0(),(=⨯⨯==→→→y xy xy xy xy y x y x y x ．（5）222222(,)(1,1)(,)(1,1)sin()()sin()limlim 21 2.x y x y x y x y x y x y x y →→-+-==⨯=-- （6）=++=-++-=-+-→→→)23(lim 1)23)(1(lim231lim)1,1(),()1,1(),()1,1(),(xy xy xy xy xy xy y x y x y x 4．4．证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)lim x y x yx y →-+； （2）242)0,0(),(lim y x y x y x +→．证明：（1）沿)1(-≠=k kx y 取极限，则k kkx x kx x y x y x x x kx y +-=+-=+-→→=11lim lim00，当k 取不同值时，该极限值不同，所以极限(,)(0,0)limx y x yx y →-+不存在．（2）沿0=y 取极限，00lim lim 024200==+→→=x x y y x yx ； 沿2x y =取极限，212lim lim 44024202==+→→=x x y x y x x x x y ． 由于2420242002lim lim y x y x y x y x x x y x y +≠+→=→=，所以极限242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在．习题9-1（B ）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为y x 、（单位：元），两个市场的销售量21Q Q 、各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是(2012000+=C )21Q Q +，试用y x 、表示该厂生产此产品的利润L ． 解：根据已知，设y a b Q x a b Q 222111-=-=、，由10=x 时，24001=Q ；12=x 时，20001=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，2000122400101111a b a b 得、2001=a44001=b ，于是x Q 20044001-=．由10=y 时，8502=Q ；12=y 时，7002=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，70012850102222a b a b 得、752=a16002=b ，于是y Q 7516002-=．两个市场销售该产品的收入为22217516002004400y y x x yQ xQ R -+-=+=， 该产品的成本(2012000+=C y x Q Q 15003200040008800012000)21-+-+=+y x 15004000132000--=． 根据利润等于收入减去成本，得)15004000132000(751600200440022y x y y x x L ----+-= 132000752003100840022---+=y x y x ．2．求下列极限：（1）y y x xy )11(lim ),2(),(++∞→； （2）22)0,0(),(1e lim 22yx y x y x +-+→； （3）4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→； （4）(,)lim x y →解：（1）==+=++∞→+∞→211),2(),(),2(),(e ])11[(lim )11(lim x xy y x y y x xyxy e ． （2）法1： 令t y x =+22，则当)00()(，，→y x 时，+→0t ，所以 =-=+-+→+→t y x t t y x y x 1e lim 1e lim 022)0,0(),(221． 法2：因为)00()(，，→y x 时，1e 22-+y x 与22y x +是等价无穷小，所以1lim 1e lim 2222)0,0(),(22)0,0(),(22=++=+-→+→y x y x y x y x y x y x ． （3）因为224424424422110yx y x y y x x y x y x +≤+++=++≤， 而00lim ),(),(=∞∞→y x ， 0)11(lim 22),(),(=+∞∞→y x y x ，根据“夹逼准则”得0lim 4422),(),(=++∞∞→yx y x y x ． （4）令θρθρsin cos ==y x 、，则当)00()(，，→y x 时，0→ρ（其中θ在区间)20[π，内任意变化），所以==+<≤→→θθρπθρsin cos lim lim20022)0,0(),(yx xy y x 0．3．证明极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．证明：沿0=y 取极限，00lim )(lim 202222200==-+→→=x x y y x y x x x y ；沿x y =取极限，11lim )(lim 0222220==-+→→=x x x y x y y x y x ．因此，极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002)(222222y x y x yx xy y x f ，，，，在点），（00处的连续性． 解：沿x y =取极限，由)00(11lim 2lim)(lim 0220，，f yx xyy x f x x x y x x y ≠==+=→→=→=，有 )00()(lim )0,0(),(，，f y x f y x ≠→，所以函数)(y x f ，在点），（00处不连续．习题9-2（A ）1. 求下列函数的偏导数：（1）2z xy =； （2）2cos sin()z xy x y =++；（3）z = （4）2ln(ln )z x y =+；（5）yz x=（0>x ）； （6）z = （7）22y x xyz +=； （8）arctanx yz x y+=-； （9）yx z u =； （10）zy x u )tan(22-=．解：（1）2z y x ∂=+∂2z xy y ∂=∂． （2）2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy y x y y xy x y x∂=-⋅++=-++∂， 2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy x x y x xy x y y∂=-⋅++=-++∂． （3）12z x x y ∂==∂+ 122z y x y ∂=⋅=∂+． （4）22122ln ln z x x x x y x y ∂=⋅=∂++，22111ln (ln )z y y x y y x y ∂=⋅=∂++． （5）x yxy xyx y xy x y xy x y xy y x z sin cos 21)(sin cos 2332+=-⋅-=∂∂， xyx y x yy x x x y xy x y xy x y z sin cos 211sin cos 2-=⋅-=∂∂． （6）)1(212)1(11xy xy yxy y xy x z --=--⋅--=∂∂，)1(212)1(11xy xy x xy x xy y z --=--⋅--=∂∂． （7）2/3223222222)(y x y y x y x x xy y x y xz+=++⋅-+=∂∂， 由变量y x 、的对称性，得2/3223)(y x x y z +==∂∂． （8）222211()1()()1()z x y x y yx y x x y x yx y∂⋅--⋅+-==+∂-++-， ()22221()1()1()1()x y x y z xx y y x y x y x y⋅---⋅+∂==+∂-++-． （9）z z yy z z x u y x y x ln 11ln =⋅=∂∂，z z y x y x z z y u y xy x ln )(ln 22-=-⋅=∂∂， yyx y xz yxz y x z u --==∂∂1．（10）zy x x z x y x x u )(sec 22)(sec 222222-=⋅-=∂∂， z y x y z y y x y u )(sec 2)2()(sec 222222--=-⋅-=∂∂，222)tan(z y x z u --=∂∂． 2. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与x 轴正向的夹角．解：z x ∂=∂，111112x x y y z x ====∂==∂， 用α表示曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与y 轴正向的夹角，则21tan =α，所以432621arctan '≈=α． 3. 设xy x y x z xsec)1(e 2-++=，求)0,1(x z 及)0,1(y z ．解：因为1e )0(-+=x x z x ，，所以=11d (1,0)(e 1)(e 1)d xx x x x z x x-=+-=+=e 1+，因为e )1(+=y y z ，，所以1)e (d d)0,1(0=+==y y y yz ．4. 求下列函数的高阶导数：（1）设13323+--=xy xy y x z ，求22223223,,,,z z z z zy x x y x y x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.解：xz ∂∂ ,33322y y y x --= y z ∂∂ ;9223x xy y x --=22x z ∂∂ ,62xy = 33xz ∂∂ ,62y = 22y z ∂∂ ;1823xy x -= y x z ∂∂∂2 ,19622--=y y x xy z ∂∂∂2 .19622--=y y x （2）设xy x z ln =，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和23yx z ∂∂∂； 解：1ln ln +=⋅+=∂∂xy xy y x xy x z ，yxxy x x y z =⋅=∂∂， x xy y x z 122==∂∂，222y x y z -=∂∂，y xy x y x z 12==∂∂∂，2231yy x z -=∂∂∂． 5. 验证：（1）设函数x yz u arctan =，证明0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ．证：因为2222)()/(1y x yzx y x y z x u +-=-⋅+=∂∂，22222)(y x xyz x u +=∂∂， 2221)/(1y x xzx x y z y u +=⋅+=∂∂，22222)(y x xyz y u +-=∂∂，x y z u arctan =∂∂，022=∂∂zu， 所以，00)()(222222222222=++-+=∂∂+∂∂+∂∂y x xyzy x xyz z u y u x u ． （2）设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证明：=∂∂xz ,1-y yx =∂∂y z ,ln x x yy z x x z y x ∂∂+∂∂ln 1 x x xyx y x yy ln ln 11+=-y y x x += .2z =原结论成立．习题9-2（B ）1．设一种商品的需求量Q 是其价格1p 及某相关商品价格2p 的函数，如果该函数存在偏导数，称Q p p Q E 111∂∂-=为需求对价格1p 的弹性、Qp p Q E 222∂∂-=为需求对价格2p 的交叉弹性．如果某种数码相机的销售量Q 与其价格1p 及彩色喷墨打印机的价格2p 有关，为 222110250120p p p Q --+=， 当501=p ，52=p 时，求需求对价格1p 的弹性、需求对价格2p 的交叉弹性． 解：由211250p p Q -=∂∂，22210p p Q--=∂∂， 有1111250Qp Q p p Q E =∂∂-=，Qp p Q p p Q E 222222210+=∂∂-=，当501=p ，52=p 时，50255050250120=--+=Q 需求对价格1p 的弹性：1.0250505015501121======Q p p p Qp E 、、，需求对价格2p 的交叉弹性：=+=====5052225502221210Q p p p Qp p E 、、2．2. 设22arcsiny x x z +=，求x z ∂∂，yz ∂∂.解： =∂∂xz '⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-xy x x y x x 2222211322222)(||y x y y y x +⋅+=.||22y x y += =∂∂yz'⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-yy x x y x x 2222211=y y x x 1sgn 22+-=. 3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=，，，，，x y x y y x yx y x f 0)(证明在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在．证：因为极限x xf x f x x ∆=∆-∆→∆→∆1lim )00()0(lim00，，不存在，极限yf y f y ∆-∆→∆)00()0(lim0，，xx ∆-=→∆1lim0不存在，所以在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在． 4. 设y x yx z -+=arctan ，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和y x z ∂∂∂2．解：2222)()()()(11y x yy x y x y x y x y x xz+-=-+---++=∂∂，22222)(2y x xy x z +=∂∂， 2222)()()()(11y x xy x y x y x yx y x yz +=-++--++=∂∂，22222)(2y x xy y z +-=∂∂， 22222222222(2)()()z x y y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++．5. 设函数222ln z y x u ++=，证明2222222221z y x z u y u x u ++=∂∂+∂∂+∂∂．证明：将函数改写为)ln(21222z y x u ++=，则 222z y x xx u ++=∂∂，2222222222222222)()(2z y x x z y z y x x x z y x x u ++-+=++⋅-++=∂∂， 由变量的对称性，有222222222)(z y x y z x y u ++-+=∂∂，222222222)(z y x z y x z u ++-+=∂∂，所以2222222222222222222)()()()(z y x z y x y z x x z y z u y u x u ++-++-++-+=∂∂+∂∂+∂∂ 22222222221)(zy x z y x z y x ++=++++=． 习题9-3（A ）1．求下列函数的全微分：（1）1sin()z x y=+； （2）22z x y =+； （3）xyz e =； （4）yxz tanln =； （5）22y x z u +=； （6）ln(32)u x y z =-+.解：（1）因为1cos()z x x y ∂=+∂，221111cos()()cos()z x x y y y y y ∂=+⋅-=-+∂，所以2211111d cos()d cos()d cos()(d d )z x x x y x x y y y y y y=+-+=+⋅-．（2）因为2z xyx ∂=+∂，2z x y ∂=+∂22(dz xydx x dy =++． （3）因为x yx yx z e 2-=∂∂，x yxy z e 1=∂∂，所以 )d d (e 1d e 1d e d 22x y y x xy x x x y z x yx yx y-=+-=．（4）因为2122cot sec cs c z x x x x y y y y y ∂=⋅=∂，22222cot sec ()csc z x x x x x y y y y y y ∂=⋅-=-∂， 所以)d d (2csc 2d 2csc 2d 2csc 2d 22y x x y y xyy y x y x x y x y z -⋅=-=（5）因为z xz x u y x ln 222+=∂∂，z yz y u y x ln 222+=∂∂，12222)(-++=∂∂y x z y x zu ，所以z z y x y z yz x z xz u y xy xy xd )(d ln 2d ln 2d 122222222-+++++⋅+⋅=]d )d d (ln 2[2222z zy x y y x x z zy x +++⋅=+．（6）因为132u x x y z ∂=∂-+，332u y x y z ∂-=∂-+，232u z x y z∂=∂-+，所以 d 3d 2d d 3d 2d d 32323232x y z x y zu x y z x y z x y z x y z--+=++=-+-+-+-+．2.求函数zxyu )(=在点)1,2,1(-处的全微分．解:).ln()( ,1)( ),()(121x y x y y u x x y z y u xy x y z x u z z z ⋅=∂∂⋅=∂∂-⋅=∂∂-- 在点)1,2,1(-处，分别有.2ln 21,41 ,21)1,2,1()1,2,1()1,2,1(=∂∂-=∂∂=∂∂---zuyu xu因此，我们有.2ln 21d 41 21dz y dx dz +-=3.求函数)41ln(22y x z -+=当1=x ，2=y 时的全微分．解 因为22418y x x x z -+=∂∂，22412y x yy z -+-=∂∂，821=∂∂==y x xz ，421-=∂∂==y x yz ，所以y x z d 4d 8d )2,1(-=，4.求函数xy e z =在点()2,1处当2.0,1.0=∆=∆y x 时的全微分．解 由于,2,,,212212e yz e xz xe y z ye x z y x y x xy xy =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂====所以，当2.0,1.0=∆=∆y x 时，函数xye z =在点（2，1）处的全微分为.5.02.021.0222e e e dz =⋅+⋅=习题9-3（B ）1. 计算()2.021.04的近似值．解： 设函数(,)yz f x y x ==．显然，要计算的值是函数在 1.04, 2.02x y ==时的函数值()1.04,2.02.f取1,2,0.04,0.02.x y x y ==∆=∆=因为 ,),(1-=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f y y =(1,2)1,f =(1,2)2,x f =(1,2)0,y f =所以 由公式得 2.02(1.04)120.0400.02 1.08≈+⨯+⨯=． 2．计算3397.102.1+的近似值． 解：考虑函数33y x z +=，取03.002.02100-=∆=∆==y x y x 、、、，而33223yx x z x +='，33223yx y z y +='，3)21(=，z 、2/1)21(='，x z 、2)21(='，y z ，则)(97.102.10033y y x x z ∆+∆+=+，y y x z x y x z y x z y x ∆'+∆'+≈)()()(000000，，，95.206.001.03)03.0(202.05.03=-+=-⨯+⨯+=．3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,),(2222222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(O 点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数),(y x f 的可微性．解：因为00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x x xf x f ，，，00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x y yf y f ，，，所以在)0,0(O 点处函数)(y x f ，的两个偏导数都存在，且0)10(0)00(==，、，y x f f ．再讨论可微性，函数在)0,0(O 处的全增量用z ∆表示，则222)()()()00()00(y x yx z y f x f z y x ∆+∆∆⋅∆=∆=∆-∆-∆，，，记22)()(y x ∆+∆=ρ，则2/3222)0,0(),(0])()[()(lim )00()00(limy x yx yf x f z y x y x ∆+∆∆∆=∆-∆-∆→∆∆→ρρ，，不存在（沿0=∆x 取极限，其值为0；沿x y ∆=∆取极限，其值为22/1），所以函数)(y x f ，在)0,0(O 点处不可微．进而得偏导（函）数在)0,0(O 点处不连续（若偏导（函）数在)0,0(O 点处连续，根据可微的充分条件，则函数在点)0,0(O 可微，与函数不可微矛盾）．习题9-4（A ）1.求下列函数的全导数： （1）设函数 32,sin ,t v t u ez vu ===-，求dtdz ； （2）设函数t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =，求全导数dtdz ； （3）设函数y x z cos 2=而)(x y y =是x 的可微函数，求xzd d ． 解：（1）dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂==)6(cos 3)2(cos 22sin 2223t t e t e t e t t v u vu -=⋅-+---. （2）tzdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=t t u ve t cos sin +-= t t e t e t t cos sin cos +-=.cos )sin (cos t t t e t+-= （3）=⋅-=∂∂+∂∂=xy y x y x x y y z x z x z d d sin cos 2d d d d 222cos sin ().x y x y y x '-⋅ 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）设函数v uz e =，而y x u +=，y x v -=，求x z ∂∂和yz∂∂； （2）设函数122)(++=xy y x z ，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：（1）1e 1e 12⋅-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v uv uvu v x v v z x u u z x z =-=v uv u v e 2yx yx y x y -+--e )(22， 21e 1e (1)u uv vz z u z v u y u y v y vv ∂∂∂∂∂=+=⋅-⋅-∂∂∂∂∂2+e u v v u v ==22e ()x yx y x x y +--， （2）这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令122+=+=xy v y x u 、，则vu z ==⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-y u u x vu xv v z x u u z x z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x y y x xy x y x xy ++++++，=⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-x u u y vu y v v z y u u z y z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x x yx xy y y x xy ++++++． 3. 求下列函数的一阶偏导数（其中函数f 具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）(e )xyx z f y=，； （2）)(22y x xy f z -=，；（3）)(22y x xf z +=； （4）(,,)u f x xy xyz =． 解：（1）121e xy z f f y x y ∂''=⋅+⋅=∂121e xyf y f y''+， 122()e xy z x f f x y y ∂''=⋅-+⋅=∂122e xy xf x f y''-+． （2）212122f x f y x f y f xz '+'=⋅'+⋅'=∂∂，21212)2(f y f x y f x f y z'-'=-⋅'+⋅'=∂∂．（3）=+⋅'+=∂∂2222yx xf x f x z f y x x f '++222，12y z xf y ⨯∂'==∂f yx xy '+22．（4）1231231uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂， 123230uf f x f xz xf xzf y∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂， 123300uf f f xy xyf z∂''''=⋅+⋅+⋅=∂． 4. 设函数)(22y x f y z -=，其中)(u f 是可微函数，证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂． 证：因为)()(22)()(2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅--'-=∂∂， )()(2)(1)()2()()(222222222222222y x f y x f y y x f y x f y y x f y y x f y z --'+-=--⋅-'--=∂∂， 所以222222222222112()12().()()()z z yf x y yf x y x x y y f x y yf x y f x y ''∂∂--+=-++∂∂---2222)(yzy x f y y =-=． 5.设函数)(x y xyf z =，其中)(u f 是可微函数，证明z yz y x z x2=∂∂+∂∂． 证：因为)()()()()(22x yf x y x y yf xy x y f xy x y yf x z '-=-⋅'+=∂∂，)()(1)()(xyf y x y xf x x y f xy x y xf y z '+=⋅'+=∂∂，所以 z xy xyf x y f y x y xyf x y f y x y xyf y z y x z x2)(2)()()()(22=='++'-=∂∂+∂∂． 6.利用全微分形式的不变性求函数)cos(222z y x eu zy +++=+ 的全微分．解 令=+=w z y v ,222z y x ++，由一阶全微分形式的不变性，我们有dw w dv e dw wudv v u du v )sin (-+=∂∂+∂∂=， 注意到w v ,又都是z y x ,,的函数，并且,v vdv dy dz dy dz y z∂∂=+=+∂∂ 222.w w w dw dx dy dz xdx ydy zdz x y z∂∂∂=++=++∂∂∂ 将它们带入上式，得.)]sin(2[ )]sin(2[)sin(2 )(2)sin()( )sin (222222222222dz z y x z e dyz y x y edx z y x x zdz ydy xdx z y x dz dy e dww dv e du z y zy z y v ++-+++-+++-=++⋅++-+=-+=+++习题9-4（B ）1.求下列函数的二阶偏导数（其中函数f 具有二阶连续偏导数）： （1）),(y x xy f z +=； （2）)(22y x x f z +=，；解：（1）21f f y xz '+'=∂∂，21f f x y z'+'=∂∂，221211222211211222)()(f f y f y f f y f f y y xz ''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211222211211222)()(f f x f x f f x f f x x yz''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211122211211122)()()(f f y x f xy f f f x f f x y f xy zy x z ''+''++''+'=''+''+''+''+'=∂∂∂=∂∂∂． （2）212f x f xz '+'=∂∂，221220f y f y f y z'='+⋅'=∂∂，2221211222212121122442)2(22)2(f x f x f f f x f x f f x f xz''+''+''+'=''+''+'+''+''=∂∂， 2222222122242)20(22f y f f y f y f yz''+'=''+⋅''+'=∂∂， 221222212242)2(2f xy f y f x f y xy zy x z ''+''=''+''=∂∂∂=∂∂∂． 2. 设函数)(3x yxy f x z ，=，其中函数)(v u f ，有二阶连续偏导数，求yx z y z y z ∂∂∂∂∂∂∂222、、．解：2214213)1(f x f x f xf x x y z '+'='+'=∂∂， 24253111221*********11()()2z x xf f x xf f x f x f xf y x x∂''''''''''''''=+++=++∂， )(2)(422221221221141322f x yf y x f x f x y f y x f x x y z y x z ''-''+'+''-''+'=∂∂∂=∂∂∂ 2211421324f y f y x f x f x ''-''+'+'=． 3.设),(y x f z =有连续的一阶偏导数，且θθsin ,cos r y r x ==.求θ∂∂∂∂zr z ,，并证明 .)()()(1)(22222y z x z z r r z ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂θ解 由链式法则，得cos sin ,sin cos .z z x z y z z r x r y r x yz z x z y z z r r x y x yθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂于是有222)(1)(θ∂∂+∂∂z r r z 222)cos sin (1)sin (cos y zr x z r r y z x z ∂∂⋅+∂∂⋅-+∂∂⋅+∂∂⋅=θθθθ.)()(22yz x z ∂∂+∂∂=习题9-5（A ）1.若函数)(x y y =分别由下列方程确定，分别求xy d d ： （1）1cos y x y =+； （2）yx y e 2+=； （3）xyy x arctan ln22=+；解 （1）法1：设()1cos F x y y x y =--，，则cos 1sin x y F y F x y =-=+、， 所以d cos .d 1sin x y F y y x F x y=-=+ 法2：方程1cos y x y =+两边同时对x 求导，有d d cos sin d d y yy x y x x=-，解得d cos d 1sin y yx x y=+． （2）方程yx y e 2+=两边同时对x 求导，有xy x y yy d d e 1d d 2+=，解得yy x y e 21d d -=． （3）令()221(,)arctanln arctan ,2y yF x y x y x x==+- 则 ,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +-= y x F F dx dy -= .xy yx -+-= 2. 设()y y x =由方程 1yy xe =+所确定的隐函数，求 202.x d ydx=解 令 (.)1; 1yyy dy e F x y xe y dx xe =+-=--， 当0x =时01y =+，此时x dy e dx==，所以222(1)()(1)yy y y y y dy dy e xe e e xe d ydx dx dx xe --+=--，222022(01)(0)2(01)x d y e e e e dx =--+=-=-. 3.设函数y x z =，而函数)(x y y =由方程yy x e +=确定，求全导数xz d d ． 解：方程yy x e +=两边同时对x 求导，有x y x y y d d e d d 1+=，得yx y e 11d d +=， =+=∂∂+∂∂=-x y x x yx x y y z x z x z yy d d ln d d d d 1y y y x x yx e1ln 1++-． 4. 若函数),(y x z z =分别由下列方程确定，求x z ∂∂及yz∂∂． （1）21z y xz -=； （2）xyz z y x 2222=-+； （3）22)sin(xyz xyz =； （4）yz z x ln =． 解：（1）法1：设1)(2--=xz y z z y x F ，，，则x yz F z F z F z y x -==-=22、、，所以xyz z F F y z x yz z F F x z z y z x --=-=∂∂-=-=∂∂222，． 法2：方程21z y xz -=两边对x 求导，有20z zyzz x x x∂∂--=∂∂，得x yz z x z -=∂∂2， 方程21z y xz -=两边对y 求导，有022=∂∂-+∂∂y z x z y z yz ，得xyz z y z --=∂∂22．（以下都按方法2作）（2）方程xyz z y x 2222=-+两边同时对x 求导，有xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂-2222，得 xyz yzx x z +-=∂∂， 方程xyz z y x 2222=-+两边同时对y 求导，有yzxy xz y z zy ∂∂+=∂∂-2222，得 xy z xz y y z +-=∂∂（或由变量y x 、的对称性，得xyz xzy y z +-=∂∂）．（3）方程22)sin(xyz xyz =两边对x 求导，有xz xyz yz x z xyz yz xyz ∂∂+=∂∂+⋅2)2()cos(222， 即0)2](1)[cos(22=∂∂+-x z xyzyz xyz ，而01)cos(2≠-xyz ，所以022=∂∂+xzxyz yz ，得x z xyz yz x z 222-=-=∂∂，由变量y x 、对称性有yzy z 2-=∂∂． （4）方程yzz x ln =改写为)ln (ln y z z x -=， 方程)ln (ln y z z x -=两边对x 求导，有x zz x x z z z y z x z ∂∂+=∂∂+∂∂=)1(1ln 1，得zx z x z +=∂∂，方程)ln (ln y z z x -=两边对y 求导，有)11(ln 0y y z z z y z y z -∂∂+∂∂=，得)(2z x y z y z +=∂∂． 5.设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解： 令,4),,(222z z y x z y x F -++=则 ,2x F x = ,42-=z F z,2zx F F x z z x -=-=∂∂222(2)(2)z z xz x x z ∂-+∂∂=∂- 2)2(2)2(z z xx z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=6.若函数),(z y x x =，),(z x y y =，),(y x z z =都是由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数，其中),,(z y x F 有一阶连续非零的偏导数，证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x ． 证：因为zx y z x y F F x zF F z y F F y x -=∂∂-=∂∂-=∂∂、、，所以1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x ． 7.若z 是,x y 的函数，并由 222()zx y z yf y ++=确定，求,z z x y∂∂∂∂.解：令 222(,,)()z F x y z x y z yf y =++-22()+()12()2()x y z F x z z zF y f f y y y z zF z yf z f y y y='=-''=-=-，，，因此，2212()()2x zF z x x z z x F z yf f zy y y∂=-=-=∂''-⋅-，2()()()2()().1()()2y zz z z z z zy f yf y f f F z y y y y y y z z y F z yf f zy y y ''----+∂=-=-=∂''-22-习题9-5（B ）1.设函数xyz u e =，而函数)(x y y =、)(x z z =分别由方程xyy e =及z xz e =确定，求全导数xud d ． 解：方程xyy e =两边同时对x 求导，有)d d ()d d (e d d xy x y y x y x y x y xy+=+=，得xy y x y -=1d d 2， 方程z xz e =两边同时对x 求导，有x z xz x z x z xz z d d d d e d d ==+，得xxz zx z -=d d ，所以 xxz z xy xy y xz yz x z z u x y y u x u x u xyz xyzxyz -+-+=∂∂+∂∂+∂∂=e 1e e d d d d d d 2 )11(e2-+-+=z yzxy z xy yz xyz．2．设函数32yz x u =，而),(y x z z =由方程xyz z y x 3222=++确定，求)1,1,1(xu ∂∂．解：方程xyz z y x 3222=++两边同时对x 求导，有)(322xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂+，用1=x 、11==z y 、代入，有 (1,1,1)(1,1,1)223(1)zz xx∂∂+=+∂∂，得1)1,1,1(-=∂∂xz ．于是x z yz x xyz x u ∂∂+=∂∂22232，所以13232)1,1,1()1,1,1(-=-=∂∂+=∂∂xzxu ．3．设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy ∂∂. 解： 令,z y x u ++= ,xyz v = 则 ),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得xz∂∂ )1(x z f u ∂∂+⋅= ),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得xz ∂∂ ,1v u vu xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得)1(0+∂∂⋅=yx f u ),(y xyz xz f v ∂∂+⋅+整理得yx ∂∂ ,v u vuyzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得)1(1+∂∂⋅=z y f u ),(zyxz xy f v ∂∂+⋅+ 整理得zy ∂∂ .1v u vu xzf f xyf f +--=4.若函数),(y x z z =由方程133=-xyz z 确定，求yx z∂∂∂2．解：方程133=-xyz z 两边对x 求导，有0)(332=∂∂+-∂∂xz xy yz x z z，得xy z yz x z -=∂∂2，由变量y x 、的对称性，得xyz xzy z -=∂∂2．法１：等式0)(2=∂∂+-∂∂xzxy yz x z z两边同时对y 求导，有 0)(2222=∂∂∂+∂∂+∂∂+-∂∂∂+∂∂∂∂yx z xy x z x y z y z y x z z x z y z z， 即2222242222222)()2()(2)(xy z y x xyz z z xy z xyz z xy z yz x xy z xz y z y x z xy z ---=---+-+=∂∂∂- 所以=∂∂∂y x z 2322224)()2(xy z y x xyz z z ---． 法２：)(22xyz yz y y x z -∂∂=∂∂∂ 322224222)()2()()2())((xy z y x xyz z z xy z x yz z yz xy z y z y z ---=--∂∂--∂∂+=．5.设 (,)F u v 具有连续的偏导数，方程 [(),()]0F a x z b y z --=（其中,a b 是非零常数）确定z 是,x y 的隐函数，且0aFu bFv +≠，求z zx y∂∂+∂∂. 解：令 (),()u a x z v b y z =-=-因此,x u u z u v u vF aF aF zx F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+y v v z u v u vF bF bF zy F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+，1u v u v u vaF bF z z x y aF bF aF bF ∂∂+=+=∂∂++. 6. 求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数： （1）⎩⎨⎧=++=++，，41222z y x z y x 求x y d d 和xzd d ． （2）⎩⎨⎧-=+=，，v u y v u x uu cos e sin e 求x v y u x u ∂∂∂∂∂∂、、及y v∂∂．解：（1）方程组⎩⎨⎧=++=++41222z y x z y x ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++，，0d d 2d d 220d d d d 1x z z x y y x x zx y 消去xz d d ，有0)d d 1(d d =+-+x y z x y y x ，得z y x z x y --=d d ，而z y yx x y x z --=--=d d 1d d ．（2）方程组⎩⎨⎧-=+=vu y v u x uu cos e sin e ，两边同时对x 求导， 有⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=)2(.sin cos e 0)1(cos sin e 1x vv u v x u x u x v v u v x u x u u u ，（1）sin v ⨯-（2）cos v ⨯，有xux u v v v u∂∂+∂∂-=)cos (sin e sin ， 得)cos (sin e 1sin v v vx u u -+=∂∂，再代入到（2）之中得)]cos (sin e 1[e cos v v u v x v uu -+-=∂∂． 方程组⎩⎨⎧-=+=v u y v u x u u cos e sin e ，两边同时对y 求导，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=.sin cos e 1cos sin e 0y vv u v y u y u y v v u v y u y u u u ， 与前面解法类似，得)cos (sin e 1cos v v vy u u -+-=∂∂，)]cos (sin e 1[e in v v u v s y v u u -++=∂∂．习题9-6（A ）1.求下列函数的极值：（1）222),(y x x y x f --=； （2）x y x y x y x f 936),(2233+++-=； （3）)2(e ),(2y y x y x f x++=； （4）2/322)(1),(y x y x f +-=．解：（1）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎩⎨⎧=-==-=，，，，02)(022)(y y x f x y x f y x 得唯一驻点)01(，．2)01(0)01(02)01(-====<-==，、，、，yy xy xx f C f B f A ，042>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)01(，是函数的极大值点，极大值为1)0,1(=f ，该函数无极小值．（2）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++=，，，，063)(09123)(22y y y x f x x y x f y x 即⎩⎨⎧=-=++，，0)2(0)3)(1(y y x x 得函数的所有驻点是)23()03()21()01(4321，、，、，、，----P P P P ． 66)(0)(126)(+-====+==y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx ，、，、，，对上述诸点列表判定：所以函数的极大值为4)2,3(=-f ，极小值为4)0,1(-=-f ．（3）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=，，，，0)22(e )(0)21(e )(2y y x f y y x y x f xyx x 得唯一驻点(01)-，．x yy x xy x xx y x f y y x f y y x y x f e 2)()22(e )()22(e )(2=+=+++=，、，、，， 01>=A 、0=B 、2=C ，022>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)10(-，是函数的极小值点，极小值1)1,0(-=-f ，该函数无极大值．（4）定义域为全平面，函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=，，，，03)(03)(2222y x y y x f y x x y x f y x 得唯一驻点)00(，．由于在)00(，点处函数的二阶偏导数不存在，不能用定理8.2判定，为此根据极值的定义，当022≠+y x （即非)00(，点）时)00(1)(1),(2/322，f y x y x f =<+-=，所以点)00(，是该函数的极大值点，极大值为1)0,0(=f ，该函数无极小值． 2.求函数 5020(0,0)z xy x y x y=++>> 的极值． 解： 由 22500200z y xx z x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解出 52.x y ⎧⎨=⎩＝，222232310040, 1, z z z x y x x y y∂∂∂===∂∂∂∂ 在点(5,2)处，233100404130, 0552AC B A -=⋅-=>=>所以函数在(5,2)处由极小值 (5.2)30z=.3.求曲面 21 (0)z xy z -=>上到原点距离最近的点．解：设 222F,,,(1)x y z x y z z xy λλ+++--2()=，则 2202022010Fx y x F y x y F z z z z xy λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎨⎪∂=+=⎪∂⎪⎪--=⎩，解出 0011.x y z λ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩，，， 因为(0,0,1)是 2222d x y z =++在0z >时的唯一驻点，由题意可知在0z >的曲面上存在与原点距离最小的点，所以(0,0,1)即为所求的点． 4. 将正数12分成三个正数z y x ,,之和 使得z y x u 23=为最大. 解 令 )12(),,(23-+++=z y x z y x z y x F λ,则223323020012x y z F x y z F x yz F x y x y z λλλ'⎧=+=⎪'=+=⎪⎨'=+=⎪⎪++=⎩，，，，解得唯一驻点)2,4,6(， 故最大值为.691224623max =⋅⋅=u5. 用面积为12（m 2）铁板做一个长方体无盖水箱，问如何设计容积最大？解 设水箱的长、宽、高分别为z y x 、、，体积为V ，则目标函数为xyz V =（，0>x ，0>y 0>z ），附加条件是1222=++yz xz xy ． 设)1222()(-+++=yz xz xy xyz z y x L λ，，（000>>>z y x ，，），由(2)0(2)02()02212x yz L yz y z L xz x z L xy x y xy xz yz λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩，，，，得唯一可能极值点12===z y x 、， 根据实际意义，当长方体表面积一定是其体积有最大值，所以当长、宽都为2（m ），高为1（m ）时无盖长方体水箱容积最大(此时体积为4（m 3）)． 6.在斜边长为l 的直角三角形中，求周长最大的三角形及其周长．解：设两直角边长分别为y x 、，三角形周长为L ，则目标函数是l y x L ++=（00>>y x ，），附加条件为222l y x =+．设)()(222l y x l y x y x F -++++=λ，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=，，，222021021l y x y F x F y x λλ在00>>y x ，时得唯一可能极值点2l y x ==，由实际意义，斜边长为一定的直角三角形中，周长有最大值，所以当两直角边长都为2l （即等腰直角三角形）时，其周长最大，且最大周长为l )21(+．7.有一宽为24cm 的长方形铁板，把它折起来做成一断面为等腰梯形的水槽．问怎么折才能使断面的面积最大．解 设折起来的边长为xcm ，倾角为α（图8-17），那么梯形的下底长为242x -，上底长为2422cos x x α-+，高为sin x α，所以断面的面积为1[(2422cos )242]sin 2=-++-⋅A x x x x αα，即2224sin 2sin cos sin (012,0)2A x x x x πααααα=-+<<<≤.为求其最大值，我们先来解方程组222224sin 4sin 2sin cos 0,24cos 2cos +(sin cos )0.x A x x A x x x ααααααααα=-+=⎧⎨=--=⎩ 由于sin 0,0x α≠≠，将上述方程组两边约分，得122cos 0,24cos 2cos cos 20.=-+=⎧⎨=-+=⎩x A x x A x x ααααα 解这个方程组，得,8().3x cm πα==根据题意，断面面积的最大值一定存在，又由A 的定义，0,12;0.x α≠≠因此最大值点只可能在区域的内部或开边界2πα=上取到．但当2πα=时，2242A x x =-的最大值为72．因此，该函数的最大值只能在区域的内点处取得，而它只有一个稳定点，因此可以断定(8,)=483723A π>是其最大值．即将铁板折起8cm ，并使其与水平线成3π角时所得断面面积最大．24242x-ax a。
高中数学第九章统计考点总结(带答案)
高中数学第九章统计考点总结单选题1、m个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c．若将这m个数据均扩大到原来的2倍得到一组新数据，则下列关于这组新数据的说法正确的是（）A．平均数为a B．中位数为2b C．标准差为√2c D．方差为2c答案：B分析：m个x1,x2,⋯,x n数据的平均数为a，中位数为b，方差为c．若将这m个数据均扩大到原来的2倍得到一组新数据2x1,2x2,⋯,2x n，根据平均数、中位数、方差、标准差的定义进行判断即可.m个x1,x2,⋯,x n数据的平均数为a，中位数为b，方差为c．若将这m个数据均扩大到原来的2倍得到一组新数据2x1,2x2,⋯,2x n，则由于平均数为所有数之和除以m，故平均数变为2a，故A错；中位数为这组数从小到大排列后中间的那个数或中间两数和的平均数，由于每个数都变为原来2倍，所以中位数也变为原来的2倍，即2b，故B对；方差描述的是这组数的波动情况，x1,x2,⋯,x n的方差为c，则2x1,2x2,⋯,2x n的方差为22c=4c，标准差为√22c=2c，故C,D错；故选：B小提示：熟悉平均数、中位数、方差、标准差的概念，特别是一组数据扩大某个倍数或增加某个数值的情况下，平均数、中位数、方差、标准差的变化.2、为了庆祝中国共产党成立100周年，某学校组织了一次“学党史、强信念、跟党走”主题竞赛活动.活动要求把该学校教师按年龄分为35岁以下，35−45岁，45岁及其以上三个大组.用分层抽样的方法从三个大组中抽取一个容量为10的样本，组成答题团队，已知35−45岁组中每位教师被抽到的概率为1，则该学校共有教师24（）人A．120B．180C．240D．无法确定答案：C分析：根据抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等可得答案.因为在抽样过程中，每位教师被抽到的概率都相等，所以该学校共有教师10÷124=240人.故选：C.3、某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生1100人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生900人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高一年级学生人数为（）A．18B．20C．22D．30答案：C分析：求出高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生之比，然后可得答案.该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生之比为1100:1000:900=11:10:9所以抽取的高一年级学生人数为60×1111+10+9=22故选：C4、关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y)；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数a；最后再根据统计数a估计π的值，那么可以估计π的值约为（）A．4am B．a+2mC．a+2mmD．4a+2mm答案：D解析：由试验结果知m对0～1之间的均匀随机数x,y，满足{0<x<10<y<1，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．解：根据题意知，m名同学取m对都小于1的正实数对(x,y)，即{0<x<10<y<1，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数x,y 能与1构成钝角三角形三边，则有{x 2+y 2<1x +y >10<x <10<y <1，其面积S =π4−12；则有am =π4−12，解得π=4a+2m m故选：D ．小提示：本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 5、下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A ．了解某一品牌家具的甲醛含量，选择普查B ．了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查C ．了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查D ．了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查 答案：D分析：根据抽样调查和普查的定义，逐个选项判断调查方式是否合理即可.对于A ，了解某一品牌家具的甲醛含量，选择抽样调查更符合经济效益，所以，A 错误； 对于B ，了解神舟飞船的设备零件的质量情况，安全是最重要的，应该采取普查，所以，B 错误； 对于C ，了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择抽样调查更符合经济效益，所以，C 错误； 对于D ，了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查比较符合经济效益，所以，D 正确. 故选：D6、某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下：/(kW ⋅ℎ)范围为（ ）A ．(160,176]B ．(176,215]C ．(176,230]D ．(230,+∞) 答案：C分析：利用百分位数的含义结合条件即得.∵约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，∴由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量/(kW⋅ℎ)范围为(176,230].故选：C.7、某射击运动员6次的训练成绩分别为：88,91,89,88,86,85，则这6次成绩的第70百分位数为（）A．89B．89.5C．90D．90.5答案：A分析：先将数据按从小到大的顺序排列，计算6×70%=4.2不是整数，则所求的是从小到大排列的第5位数6次考试数学成绩从小到大为:85,86,88,88,89,91,6×70%=4.2，∴这名学生6次训练成绩的第70百分位数为89 .故选：A8、某大品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间[5,25]（单位：百万元）内，将其分成5组：[5,9)，[9,13)，[13,17)，[17,21)，[21,25]，并整理得到如下的频率分布直方图，据此估计其全部销售员工中销售额在区间[9,13)内的人数为（）A．16B．22C．64D．88答案：C分析：先由各组的频率和为1，求出a，从而可求得区间[9,13)的频率，进而可求出在区间[9,13)内的人数由题意得，4(0.02+a+0.09+0.03+0.03)=1，解得a=0.08，所以销售额在区间[9,13)内的频率为0.32，所以全部销售员工中销售额在区间[9,13)内的人数为200×0.32=64，故选：C多选题9、如图所示的两个扇形统计图分别统计了某地2010年和2020年小学生参加课外兴趣班的情况，已知2020年当地小学生参加课外兴趣班的总人数是2010年当地小学生参加课外兴趣班的总人数的4倍，则下列说法正确的是（）A．2020年参加音乐兴趣班的小学生人数是2010年参加音乐兴趣班的小学生人数的4倍B．这10年间，参加编程兴趣班的小学生人数变化最大C．2020年参加美术兴趣班的小学生人数少于2010年参加美术兴趣班的小学生人数D．相对于2010年，2020年参加不同课外兴趣班的小学生人数更平均答案：ABD分析：设2010年参加课外兴趣班的小学生总人数为a，则2020年参加课外兴趣班的小学生总人数是4a，根据扇形统计图中的比例计算，并逐项检验，即可得到结果.设2010年参加课外兴趣班的小学生总人数为a，则2020年参加课外兴趣班的小学生总人数是4a；由统计图可知，2010年参加音乐兴趣班的小学生人数是a×21%=0.21a，2020年参加音乐兴趣班的小学生人数是4a×21%=0.84a，故A正确.这10年间参加编程兴趣班的小学生人数变化量为4a×32%−a×5%=1.23a，这10年间参加语言表演的小学生人数变化量为4a×20%−a×14%=0.66a，这10年间参加音乐的小学生人数变化量为4a×21%−a×21%=0.63a，这10年间参加美术的小学生人数变化量为4a×27%−a×60%=0.48a，所以这10年间参加编程兴趣班的小学生人数变化量最大，故B正确.2020年参加美术兴趣班的小学生人数为4a×27%=1.08a，2010年参加美术兴趣班的小学生人数为a×60%=0.6a，1.08a>0.6a，故C不正确，根据扇形统计图中的比例分布，可知D正确．故选：ABD10、我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力.2017年~2021年某市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示.根据下面图表，下列说法一定正确的是（）A．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民B．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大C．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大D．2021年该市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升答案：BCD分析：根据表中数据逐一判断即可.由增长率高，得不出收入高，即A错误；由表中数据，可知城镇居民相关数据极差较大，即B正确；由表中数据，可知农村居民相关数据中位数较大，即C正确；由表中数据，可知增长率为正，即D正确.故选：BCD11、（多选题）下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（）A．甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B．甲同学的成绩的中位数在115到120之间C．甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D．甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数答案：BD解析：根据频数分布表中的数据，对选项中的命题进行分析，判断正误即可．解：对于A，甲同学的成绩的平均数种x甲≤15(105+120×2+130+140)=123，乙同学的成绩的平均数x乙≥15(105+115+125+135+145)=125，故A错误；由题图甲知，B正确；对于C，由题图知，甲同学的成绩的极差介于(30,40)之间，乙同学的成绩的极差介于(35,45)之间，所以甲同学的成绩的极差也可能大于乙同学的成绩的极差，故C错误；对于D，甲同学的成绩的中位数在115~120之间，乙同学的成绩的中位数在125~130之间，所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数，故D正确.故选:BD.小提示：本题考查了频数分布与应用问题，是基础题．12、某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：103km）.A类轮胎：94，96，99，99，105，107.B类轮胎：95，95，98，99，104，109.根据以上数据，下列说法错误的是（）A．A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数B．A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差C．A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数D．A类轮胎的性能更加稳定答案：ABC分析：A.众数为出现次数最多的数；B.极差为最大数减最小的数；C.求出平均数比较大小即可；D.求出方差，方差越小的稳定性更强.A类轮胎行驶的最远里程的众数为99，B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，A错误.A类轮胎行驶的最远里程的极差为13，B类轮胎行驶的最远里程的极差为14，B错误.=100，A类轮胎行驶的最远里程的平均数为100+−6−4−1−1+5+76=100，C错误.B类轮胎行驶的最远里程的平均数为100+−5−5−2−1+4+96A类轮胎行驶的最远里程的方差为(94−100)2+(96−100)2+(99−100)2×2+(105−100)2+(107−100)26=643，B类轮胎行驶的最远里程的方差为(95−100)2×2+(98−100)2+(99−100)2+(104−100)2+(109−100)26=763>643，故A类轮胎的性能更加稳定，D正确.13、某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）A．这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有100人B．估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时C．估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时D．估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时答案：BCD分析：对于A：直接利用频率分布直方图的数据进行计算，即可判断；对于B：根据众数的定义进行判断；对于C：直接利用频率分布直方图的数据进行计算，即可判断；对于D：直接利用频率分布直方图的数据，按照平均数的定义进行计算，即可判断.对于A：从频率分布直方图，可以得到0.10×2×1000=200，即这1000名高中学生每天的平均学习时间为6~8小时的人数有200人，故A错误；对于B：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，故B正确；对于C：由频率分布直方图可以得到，设抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为k小时，则有：0.05×2+0.01×2+0.25×(k−8)=0.6，解得：k=9.2，即抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时，故C正确；对于D：由频率分布直方图可以得到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的平均值为0.05×2×5+ 0.10×2×7+0.25×2×9+0.10×2×11=8.6小时，由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为8.6小时，故D正确；故选：BCD填空题14、一组样本数据的频率直方图如图所示，试估计此样本数据的50百分位数为________．答案：1009分析：设第50百分位数为a，根据频率分布直方图可得0.4+(a−10)×0.09=0.5，解方程即可求解.，设第50百分位数为a，则0.02×4+0.08×4+(a−10)×0.09=50100解得a=100.9.所以答案是：100915、数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位数为________.答案：28把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得：12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35，因为有12个数据，所以12×70%＝8.4，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数28.16、若已知30个数x1,x2,⋯,x30的平均数为6，方差为9；现从原30个数中剔除x1,x2,⋯,x10这10个数，且剔除的这10个数的平均数为8，方差为5，则剩余的20个数x11,x12,⋯,x30的方差为___________.答案：8分析：根据方差定义结合已知条件分析求解由题意得x1+x2+⋯+x30=6×30=180，x12+x22+⋯+x302=9×30+30×62=1350，x1+x2+⋯+x10=8×10=80，x12+x22+⋯+x102=5×10+10×82=690，=5，所以剩余的20个数的平均数为180−8020x112+x122+⋯+x302=1350−690=660，=8，所以剩余的20个数的方差为660−20×2520所以答案是：8解答题17、某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：（2）如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P (注：60分及60分以上为及格)；（3）试估计这次数学测验的年级平均分．答案：（1）a=10；b=0.05；c=100；（2）P=0.81；（3）73分．解析：（1）根据频率和为1即可得b=0.05，根据频率与频数关系即可得a=10，c=100；（2）根据题意，抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人，故P=0.81；（3）根据平均数的计算公式计算即可.解：(1)由题意可得，b=1−(0.015+0.125+0.5+0.31)=0.05，a=200×0.05=10，c=200×0.5=100(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人．=0.81.所以P=162200=73，(3)这次数学测验样本的平均分为x=16×3+32.1×10+55×25+74×100+88×62200所以这次数学测验的年级平均分大约为73分．18、一个农技站为了考查某种大麦穗生长的分布情况，在一块试验田里抽取了100株麦穗，量得长度如下(单位：cm)：6 .5 6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.65 .8 5.5 6.0 6.5 5.1 6.5 5.3 5.9 5.5 5.86 .2 5.4 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.56 .8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.0 7.0 6.46 .4 5.8 5.9 5.7 6.8 6.6 6.0 6.4 5.7 7.46 .0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.65 .3 6.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.05 .6 6.2 6.1 5.3 6.2 6.8 6.6 4.7 5.7 5.75 .8 5.3 7.0 6.0 6.0 5.9 5.4 6.0 5.2 6.06 .3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3根据上面的数据列出频率分布表，绘制出频率分布直方图，并估计在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm之间的麦穗所占的百分比.答案：分布表见解析，直方图见解析，41%分析：首先计算出极差，从而确定组距，再决定分点，最后统计频数，列出频率分布表，画出频率分布直方图，由频率分布表可得试验田里长度在5.75～6.35 cm之间的麦穗所占的百分比.解：（1）计算极差：7.4－4.0＝3.4.（2）决定组距与组数：≈11.3，需分为12组，组数合适，所以取组距为0.3，组数为12.若取组距为0.3，因为3.40.3（3）决定分点：使分点比数据多一位小数，并且把第1小组的起点稍微减小一点，那么所分的12个小组可以是3.95～4.25，4.25～4.55，4.55～4.85，…，7.25～7.55.（4）列频率分布表：.从表中看到，样本数据落在5.75～6.35之间的频率是0.28＋0.13＝0.41，于是可以估计，在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm之间的麦穗约占41%.小提示：本题考查绘制频率分布表及频率分布直方图及其应用，属于基础题.。
《高等数学》同济第六版 第9章答案
1 得C = 0 ， 9 1 1 故所求的特解为: y = x ln x − x 3 9
代入初始条件 y (1) = − 11．求下列微分方程的通解 （1） y′′ − 4 y′ + 3 y = 0 （3） y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 解： （1）特征方程为 （2） y′′ − 4 y′ = 0 （4） y′′ − 4 y′ + 5 y = 0
x )dy = 0 y
解： （1）原方程可化为: 3
dy x 2 y = + , 这是齐次方程. dx y 2 x
设u
=
y dy du ,由 y = xu 得 =u + x⋅ dx dx x
3u 2 1 du = dx 代入原方程并分离变量得： 3 x 1 − 2u
两边积分得： −
3
1 ln 1 − 2u 3 = ln x + ln C1 2 1 C 3 ，即 1 − 2u = 2 ， 2 2 C1 x x
3 3 ⎤ ∫ y dy ⎡ y − ∫ y dy x=e dy + C ⎥ ⎢∫ − e ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦
y 1 1 y2 = y 3 ( ∫ − ⋅ 3 dy + C ) = y 3 ( + C ) = Cy 3 + 2 2 y 2y
10．求微分方程 xy′ + 2 y = x ln x 满足 y (1) = − 解：原方程化为 将 P ( x) =
有⎨
⎧ C1 = 0 解得 C1 = 0, C2 = 1 . C + 2 C = 1 ⎩ 2 1
写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程．
4
（1）曲线在点 ( x, y ) 处的切线斜率等于该点横坐标的 5 倍. (2) 曲线在点 ( x, y ) 处的切线斜率等于该点横坐标与纵坐标乘积的倒数. 答案．(1) y ′ = 5 x (2) y ′ =
大学高数下册试题及答案第9章
大学高数下册试题及答案第9章第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解：可以分解为及2．，其中为星形线在第一象限内的弧．解：为原式3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．解：4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．解：为5．计算，其中L：．解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分从而作业14对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；解：为原式(2)，其中是从点到点的一段直线；解：是原式(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；解：是原式(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线到点O(0,0),再沿某轴到点B(2,0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；原式2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．解：3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：(1)在平面内沿直线从点到点；(2)沿抛物线从点到点．解：（1）（2）作业15格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12．(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．解：L加上构成区域边界的负向3．计算,其中为椭圆正向一周．解：原式4．计算曲线积分其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．解：令则，原式5．计算,其中为（1）圆周（按反时针方向）；解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式（2）闭曲线（按反时针方向）．解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式（3）．解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则从而，（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式可取（3）解：可取折线作曲线积分9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分：(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；解：为，原式（2）,其中为球面．解：为两块，原式2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．解：为两块，，原式（或由，而积分微元反号推出）3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解：为两块，原式4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．解：作业17对坐标的曲面积分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：原式=2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．解：原式=3．计算其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。
高数二重积分习题解答
第9章 重积分及其应用1．用二重积分表示下列立体的体积：(1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥；(2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体解答：(1) 222d ,{(,)|}DV x y D x y x y R ==+≤；(2) 2222(2)d d ,{(,)|1}DV x y x y D x y x y =--=+≤⎰⎰所属章节：第九章第一节 难度：一级2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：(1)Dσ，其中D 为222x y a +≤；(2)(Db σ-⎰⎰，其中D 为222,0x y a b a +≤>>解答：(1)32π3Da σ=；(2)232(ππ3Db a b a σ=-⎰⎰所属章节：第九章第一节 难度：一级3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ． 解答：(,)d DQ x y μσ=⎰⎰所属章节：第九章第一节 难度：一级4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy 平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：d Dp g x ρσ=⎰⎰所属章节：第九章第一节 难度：一级5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小(1)21()d DI x y σ=+⎰⎰与32()d DI x y σ=+⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域；(2)1ln(1)d DI x y σ=++⎰⎰与222ln(1)d DI x y σ=++⎰⎰，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1；(3)21sin ()d DI x y σ=+⎰⎰与22()d DI x y σ=+⎰⎰，其中D 是任一平面有界闭区域；(4)1e d xy DI σ=⎰⎰与22e d xy DI σ=⎰⎰，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1；解答：(1) 在区域D 部，1x y +<，所以I 1>I 2；(2)在区域D 部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3)由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1<I 2； (4) 在区域D 部，0xy <，故2xy xy e e >，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节 难度：一级6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值(1) d ,{(,)|04,08}ln(4)DI D x y x y x y σ==≤≤≤≤++⎰⎰；(2) 2222π3πsin()d ,(,)44DI x y D x y x y σ⎧⎫=+=≤+≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰；(3) 221d ,{(,)|||||1}100cos cos DI D x y x y x yσ==+≤++⎰⎰； (4) 22221e d ,(,)4xy DI D x y x y σ+⎧⎫==+≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰解答：(1)由于{(,)|04,08}D x y x y =≤≤≤≤的面积为32，在其中111ln16ln(4)ln 4x y ≤≤++，而等号不恒成立，故816ln 2ln 2I <<；(2)由于22π3π(,)44D x y x y ⎧⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭的面积为212π，在其中22sin()12x y ≤+≤，而等号不恒成立，故22π42I <<； (3) 由于{(,)|||||1}D x y x y =+≤的面积为2，在其中22111102100100cos cos x y ≤≤++，而等号不恒成立，故115150I <<； 注：原题有误？还是原参考答案有误？如将{(,)|||||1}D x y x y =+≤改为{(,)|||||10}D x y x y =+≤，则区域面积为200，结论为100251I << (4)由于221(,)4D x y x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭的面积为14π，在其中12241sin()x y e ≤+≤，而等号不恒成立，故14ππe44I <<． 所属章节：第九章第一节 难度：二级7．设f (x ，y )是连续函数，试求极限：22221lim (,)d πr x y r f x y r σ+→+≤⎰⎰解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得22222011lim (,)lim (,)lim (,)(0,0)r r r x y r f x y d f f f r r σξησξηππ+++→→→+≤=⋅==⎰⎰．所属章节：第九章第一节 难度：二级8．设f (x ，y )在有界闭区域D 上非负连续，证明： (1) 若f (x ，y )不恒为零，则(,)d 0Df x y σ>⎰⎰；(2) 若(,)d 0Df x y σ=⎰⎰，则f (x ，y )≡0解答：(1) 若f (x ，y )不恒为零，则存在00(,)x y D ∈，00(,)0f x y >，利用连续函数的保号性，存在00(,)x y 的一个邻域1D D ⊂，在其上恒有(,)0f x y >，于是1(,)d 0D f x y σ>⎰⎰，而1(,)d 0D D f x y σ-≥⎰⎰，所以11(,)d (,)d (,)d 0DD D D f x y f x y f x y σσσ-=+>⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 假若f (x ，y )不恒为零，则由上题知(,)d 0Df x y σ>⎰⎰，矛盾，故f (x ，y )≡0．所属章节：第九章第一节 难度：二级9．计算下列二重积分： (1) πsin d ,(,)12,02Dx y D x y x y σ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰； (2) {}22(e )d ,(,)11,01x y Dxy D x y x y σ++=-≤≤≤≤⎰⎰； (3){}2e d ,(,)01,01xy Dxy D x y x y σ=≤≤≤≤⎰⎰；(4) 22πsin()d ,(,)0,022Dx y xy D x y x y σ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰； (5){}2222d ,(,)2,2Dx D x y xy x y x σ=+≥+≤⎰⎰解答：(1)222113sin d sin 2Dx y dx x ydy xdx πσ===⎰⎰⎰⎰⎰； (2)22111112222221111(1)(e)d ()(1)22x yx yx yxD e xydx xy edy dx edy e e dx eσ+++----+=+==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (3)2211101d )(1)122xy xyx Dexye dx xye dy e dx σ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰； (4)2222222201sin()d sin()(cos 4)216D xy xy dx x y xy dy x x x dx πππσ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；(5)11112Dxd dy πσ--===⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：一级10．画出下列各题中给出的区域D ，并将二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰化为两种次序不同的二次积分：(1) D 由曲线y =ln x ，直线x =2及x 轴所围成； (2) D 由抛物线y =x 2与直线2x +y =3所围成； (3) D 由y =0及y =sin x (0≤x ≤π)所围成； (4) D 由曲线y =x 3，y =x 所围成；(5) D 由直线y =0，y =1，y =x ，y =x –2所围成 解答：本题图略，建议画出 (1)2ln ln 2210(,)(,)y x edx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰；(2)231321931(,)(,)(,)y xxdx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰⎰；(3)sin 1arcsin 000arcsin (,)(,)xyydx f x y dy dy f x y dx ππ-=⎰⎰⎰⎰；(4)3301111(,)(,)(,)(,)x xyxxydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx --+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D 由曲线y =x 3，y =x 所围成”改为“D 由曲线3,1,1y x y x ===-所围成”，则答案为原参考答案3111111d (,)d d (,)d xx f x y y y f x y x ---=⎰⎰⎰；(5)1213112122d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d x y x yx f x y y x f x y y x f x y y y f x y x +-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：一级11．计算下列二重积分： (1)22d Dx yσ⎰⎰，D 由曲线x =2，y =x ，xy =1所围成； (2)cos()d d Dx x y x y +⎰⎰，D 由点(0，0)，(π，0)，(π，π)为顶点的三角形区域；(3)Dσ⎰⎰，D由抛物线y =y =x 2围成；(4)d d Dxy x y ⎰⎰，D 由抛物线y 2=x 与直线y =x –2所围成；(5)sin d Dx y σ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰，D 由直线y =x ，y =2和曲线x =y 3所围成 解答：(1) 22223122119()4x x Dx x d dx dy x x dx y y σ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；(2)0003cos()cos()(sin 2sin )2xDx x y dxdy dx x x y dy x x x x dx ππ+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰；(3)2711440026()355xD dx x x dx σ==-=⎰⎰⎰⎰； (4)22222411145(44)28y y Dxydxdy dy xydx y y y y dx +--==++-=⎰⎰⎰⎰⎰；(5) 3222113cos1sin1sin 4sin()sin()(cos1cos )2y y Dx x d dy dx y y y dy y y σ+-==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：二级12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f (x ，y )在积分区域上连续)：(1) 1d (,)d yy f x y x ⎰；(2) 2122001d (,)d d (,)d x xx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰；(3)2122d (,)d yy y f x y x --⎰⎰；(4)20d (,)d x f x y y ⎰；(5) 101d (,)d x x f x y y -⎰(6)1320d (,)d y y f x y x -⎰解答：本题图略，建议画出 (1)21(,)xx dx f x y dy ⎰⎰；(2)120(,)y dy f x y dx -⎰；(3) 1 4 2 01(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰；(4) 11 1 20 01 1 0(,)(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx ++⎰⎰⎰⎰⎰；(5)01110(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +-+⎰⎰⎰；(6)2313201(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：一级13．计算下列二次积分：(1) 1/3110d yy x ⎰⎰；(2) 23211d ed y x x y --⎰⎰；(3) ππ220sin d d yxy x x⎰⎰； (4) 2220d 2sin()d xx y xy y ⎰⎰；(5)π12arcsin d cos yy x ⎰⎰；(6)24212ππd d d d 22xx x x y x y y y+⎰⎰解答：(1)1/1111000016x y dy dx x ===⎰⎰⎰⎰⎰； (2) 222322124110001(1)2y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e +-----===-⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 22220000sin sin sin 1x y xx dy dx dx dy xdx x xππππ===⎰⎰⎰⎰⎰； (4) 222222202sin()2sin()[22cos()]4sin 4y xdx y xy dy dy y xy dx y y y dy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰；(5)1sin 2220arcsin 0cos cos sin cos xydy dx x πππ==⎰⎰⎰⎰⎰3222011(1cos )1)33x π=-+=； (6)22422231211284sincos2222xy yxxxdx dy dx dy dy dx y ydy yyyπππππππ++==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：二级14．利用积分区域的对称性和被积函数关于x 或y 的奇偶性，计算下列二重积分： (1)222||d ,:Dxy D x y R σ+≤⎰⎰；(2) 2322(tan 4)d d ,:4Dx x y x y D x y +++≤⎰⎰； (3) 2222(1)arcsin d ,:()Dyx x D x R y R Rσ++-+≤⎰⎰； (4)(||||)d d ,:||||1Dx y x y D x y ++≤⎰⎰解答：(1) 设2221:,0,0D x y R x y +≤≥≥，则14320||4||4sin cos 2RDD R xy d xy d d r dr πσσθθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (2)23(tan 4)416DDx x y dxdy dxdy π++==⎰⎰⎰⎰； (3) 由于积分区域关于x 对称，被积函数是关于y 的奇函数，故2(1)arcsind 0Dyx x Rσ++=⎰⎰； (4) 设1:1,0,0D x y x y +≤≥≥，则11104(||||)2||883xDDD x y dxdy x dxdy xdxdy dx xdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节 难度：二级15．利用极坐标化二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰为二次积分，其中积分区域D 为：(1) 22:,(0)D x y ax a +≤>； (2) 22:14D x y ≤+≤； (3) :01,01D x y x ≤≤≤≤-； (4) 22:2()D x y x y +≤+ (5) 22:24D x x y ≤+≤ 解答：(1)πcos 2π02d (cos ,sin )d a f r r r r θθθθ-⎰⎰；(2) 2π21d (cos ,sin )d f r r r r θθθ⎰⎰；(3) π12cos sin 0d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+⎰⎰；(4)3π2(cos sin )4π04d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+-⎰⎰；(5)π3π2222ππ2cos 022d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d f r r r r f r r r r θθθθθθθ-+⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：一级16．利用极坐标计算下列二重积分：(1) 22d ,:Dx y D x y Rx +≤；(2) 22222222()d d ,:()()Dx y x y D x y a x y ++≤-⎰⎰； (3) 22arctand d ,:14,0,Dyx y D x y y y x x≤+≤≥≤⎰⎰； (4)2222d d ,:2,2Dx x y D x y x y x +≥+≤⎰⎰；(5) arctan22,:14,yxDD x y x y σ≤+≤≤≤(6)22()d d Dx y x y +⎰⎰，D ：第一象限中由圆22222,4x y y x y y +=+=及直线,x y ==所围成． 解答：(1)cos 33322022114d (1sin )()333R Dx y d R d R ππθππθθθπ--==-=-⎰⎰⎰；(2)22342444()4cos 28Dx y dxdy d dr ad a πππθθθ+===⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 224013arctan d d 64Dy x y d rdr x ππθθ==⎰⎰⎰⎰；(4)2cos 2444448cos (cos cos )332Dxdxdy d r dr d ππθπππθθθθθ--==-=⎰⎰⎰⎰；注：本小题与第9大题第（5）小题相同．(5)arctan 233414yx Dd e dr e e πππθπσθ==-⎰⎰；(6)4sin 2234332sin 6615()d d 60sin (28Dx y x y d r dr d ππθππθθθθπ+===+⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节 难度：二级17．设r ，θ为极坐标，在下列积分换积分次序： (1) πcos 2π02d (,)d (0)a f r r a θθθ->⎰⎰；(2) π200d (,)d (0)f r r a θθ>⎰⎰；(3) 0d (,)d (02π)af r r a θθθ<<⎰⎰；(4)π4cos 0d (,)d (0)a f r r a θθθ>⎰⎰；解答：(1)arccosarccosd (,)d r aa ra r f r θθ-⎰⎰；(2) 2222πarcsin 210arcsin 2d (,)d r aa r ar f r θθ⎰⎰；(3) 0d (,)d aa rr f r θθ⎰⎰；(4)ππ44arccosd (,)d d (,)d aa rr f r r f r θθθθ+⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：一级18．计算下列二次积分：(1) 221d d xy x y +⎰；(2) 0d d yyy x x；(3) 20d x y ⎰；(4)1223/201d )d x x x y y --+⎰．解答：(1)22211221(1)24x y r e e dx dy d e rdr d πππθθ+--===⎰⎰⎰⎰；(2)21242000011264yy dy dx d rdr d x ππθθθθπ===⎰⎰⎰；(3)22cos 232200816cos 39dx d r dr d ππθθθθ===⎰⎰⎰⎰；(4)11223/22221010sin cos )(sin cos 1)22xdx x y dy d r dr d ππθθπθθθθ---++==+-=-⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第二节 难度：二级19．计算下列二重积分： (1) 22max(,)e d d ,:{(,)|01,01}x y Dx y D x y x y ≤≤≤≤⎰⎰；(2) 2222|4|d d ,:{(,)|9}Dx y x y D x y x y +-+≤⎰⎰； (3)ππ|cos()|d d ,:{(,)|0,0}22Dx y x y D x y x y +≤≤≤≤⎰⎰；(4)d ,:{(,)|11,02}Dx y D x y x y -≤≤≤≤．解答：(1)222211max(,)1xyx y x y De dxdy dx e dy dy e dx e =+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2)22232222221|4|(4)(4)2Dx y dxdy d r rdr d r rdr ππθθπ+-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (3)222202|cos()|cos()cos()2xxDx y dxdy dx x y dy dx x y dy ππππππ--+=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4)211152223x xDdx dx π=+=+⎰⎰⎰⎰ 所属章节：第九章第二节 难度：三级20．选择适当坐标计算下列各题： (1)22d Dx yσ⎰⎰，其中D 是由双曲线xy =1与直线y =x ，x =2围成；(2) Dσ，其中22{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥； (3) 22()d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是直线y =x ，y =x +a ，y =a ，y =3a (a >0)围成； (4)d d Dxy x y ⎰⎰，其中2222{(,)|0,1,2}D x y y xy x y x =≥+≥+≤．解答：(1) 22223122119()4x x Dx x d dx dy x x dx y y σ==-=⎰⎰⎰⎰⎰；注：本小题与第11大题第（1）小题重复．(2)2220(2)28D Dx d d y ππππσσθ-===⎰⎰⎰⎰⎰； (3)3222220()()14a xx aDx y dxdy dy x y dx a ++=+=⎰⎰⎰⎰；(4)2cos 353301019sin cos (4cos sin sin cos )416Dxydxdy d r dr d ππθθθθθθθθθ==-=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：二级21．用适当的变量变换，计算下列二重积分： (1) 22sin(94)d d Dx y x y +⎰⎰，中D 是椭圆形闭区域22941x y +≤位于第一象限的部分； (2)22d d Dx y x y ⎰⎰，D 是由双曲线xy =1，xy =2与直线x =y ，x =4y 所围成的在第一象限的闭区域； (3) 2222()d d Dx y x y a b +⎰⎰，D 是椭圆形闭区域22221x y a b +≤；(4) e d d x yDx y +⎰⎰，D 是闭区域|x |+|y |≤1； (5)32()cos ()d d Dx y x y x y +-⎰⎰，其中D 是以(π，0)，(3π，2π)，(2π，3π)，(0，π)为顶点的平行四边形； 参考答案：(1)π(1cos1)24-(提示：作变换11cos ,sin 32x r y r θθ==)； (2) 7ln 23(提示：作变换,yxy u v x ==)；(3) 1π2ab (提示：作变换cos ,sin x ar y br θθ==)；(4) 1e e --(提示：作变换,x y u x y v +=-=)； (5) 78π5(提示：作变换,x y u x y v +=-=)解答：(1) 作变换11cos ,sin 32x r y r θθ==，则16J r =，12222001sin(94)d d sin (1cos1)624Dx y x y d r rdr ππθ+=⋅=-⎰⎰⎰⎰； (2) 作变换,y xy u v x ==，则12J v=， 2122211417d d ln 223Dx y x y du u dv v ==⎰⎰⎰⎰；(3) 作变换cos ,sin x ar y br θθ==，则J abr =，2221322001()d d 2Dx y x y d abr dr ab a b πθπ+==⎰⎰⎰⎰； (4) 作变换,x y u x y v +=-=，则12J =， 111111e d d 2x y uDx y du e dv e e +---==-⎰⎰⎰⎰； (5) 作变换,x y u x y v +=-=，则12J =52323251()cos ()d d cos 392Dx y x y x y du u v dv πππππ+-=⋅=⎰⎰⎰⎰． （原参考答案有误？） 所属章节：第九章第二节 难度：三级22．利用二重积分求下列平面区域的面积： (1) D 由曲线e ,e x x y y -==及x =1围成； (2)D 由曲线y =x +1，y 2= –x –1围成； (3)D 由双纽线22222()4()x y x y +=-围成； (4) {(cos ,sin )|24sin }D r r r θθθ=≤≤； (5) 1{(cos ,sin )|1cos }2D r r r θθθ=≤≤+； (6) D 由曲线2223()2(0)x y ax a +=>围成；(7)D 由曲线y =x 3，y =4x 3，x =y 3，x =4y 3所围成的第一象限部分参考答案：(1)1e e 2-+-；(2)16；(3)4；(4)4π3+；(5)5π6+(6)25π8a ；(7)18解答：(1)1110()2xx e x x eDA dxdy dx dy e e dx e e ---===-=+-⎰⎰⎰⎰⎰；(2)201021111()6y y DA dxdy dy dx y y dx -----===--=⎰⎰⎰⎰⎰； (3)双纽线22222()4()x y x y +=-用极坐标表示24cos2r θ=，44048cos24DA dxdy d d ππθθθ====⎰⎰⎰⎰⎰；(4)4sin 222662(48cos2)DA dxdy d rdr d ππθππθθθ===-=⎰⎰⎰⎰⎰4π3+； (5)221cos 331252(4cos cos2)2DA dxdy d rdr d ππθθθθθ+===++=⎰⎰⎰⎰⎰5π68+； (6)曲线2223()2(0)x y ax a +=>用极坐标表示32cos r a θ=，32cos 262224cos a DA dxdy d rdr ad ππθθθθ====⎰⎰⎰⎰⎰25π8a ； (7)4sin 222662(48cos2)DA dxdy d rdr d ππθππθθθ===-=⎰⎰⎰⎰⎰18？所属章节：第九章第二节 难度：二级23．利用二重积分求下列各题中的立体Ω的体积：(1)Ω为第一象限中由圆柱面y 2+z 2=4与平面x =2y ，x =0，z =0所围成；（注：象限应为卦限？） (2)Ω由平面y =0，z =0，y =x 及6x +2y +3z =6围成；(3)22{(,,)|1x y z x y z Ω=+≤≤； (4)222{(,,)|1,11x y z x y z z Ω=+≤+-≤≤；参考答案：(1)163；(2)14；(3)7π6；(4)8π3解答：(1)2221623DV dy ====⎰⎰⎰； (2)21(22)34DV x y dxdy =--=⎰⎰；(3)2122207[(1()](1)6DV x y dxdy d r rdr ππθ=-+=+=⎰⎰⎰⎰；(4)22822423xyD V d rdr πππθπ=⋅-=-=⎰所属章节：第九章第二节 难度：二级24．设f (x )在[0，1]上连续，D 由点(0，0)、(1，0)、(0，1)为顶点的三角形区域，证明：1()d ()d Df x y uf u u σ+=⎰⎰⎰解答：将二重积分化为二次积分，再用积分变换u =x +y ，然后交换积分顺序111111()d ()()()()d xu xDf x y dx f x y dy dx f u du du f u dx uf u u σ-+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级25．设f (x )连续，证明：221()d d (x y f x y x y f u u +≤+=⎰⎰解答：作变量变换11(),()22x u v y u v =-=+，则12J =，22221211()()()(22x y u v f x y dxdy f u dudv f u dv f u +≤+≤+===⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级26．设f (x )在[a ，b ]上连续，证明：()22()d ()()d bbaaf x xb a f x x ≤-⎰⎰解答：设区域{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则2(())()()()()bbbb b aaaaaf x dx f x dx f x dx f x dx f y dy =⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰()()Df x f y dxdy =⎰⎰2222()()11()()222DD Df x f y dxdy f x dxdy f y dxdy +≤=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰222()()()()bbbaaaDf x dxdy dx f x dy b a f x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级27．设f (x )在[a ，b ]上连续，f (x )>0，证明：21()d d ()()bba af x x x b a f x ≥-⎰⎰解答：设区域{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则11()()()()()()bbb b aaa a D f x f x dx dx f x dx dy dxdy f x f y f y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，11()()()()()()b bb b a aa a Df y f x dx dx f y dy dx dxdy f x f x f x ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以211()()()()()()2()()bbaaD Df x f x f x dx dx dxdy dxdy b a f x f y f y =+≥=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节 难度：三级28．在曲线族y =c (1–x 2)(c>0)中试选一条曲线，使这条曲线和它在(–1，0)及(1，0)两点处的法线所围成的图形面积最小 解答：曲线在(1，0)处的法线为1122y x c c=-，由对称性知所围图形面积为 21(1)1102241232c x x c cA dx dy c c --==+⎰⎰， 令0dAdc=，得唯一驻点4c =（负值舍去）又由于该实际问题的最小值存在，故当c =所属章节：第九章第二节 难度：三级29．设f (x )是连续函数，区域D 由y =x 3，y =1，x = –1围成，计算二重积分22[1()]d d Dx yf x y x y ++⎰⎰ 解答：将D 分成两块，记为{}{}3312(,)1,(,),10D x y x y D x y x y x x =≤≤≤=≤≤--≤≤，则由函数的奇偶性与积分区域的对称性得12222222[1()][1()][1()]DD D x yf x y dxdy x yf x y dxdy x yf x y dxdy ++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 321225x D xdxdy dx xdy --===-⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级30．设f (x )、g (x )在[0，1]上连续且都是单调减少的，试证：111()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ≥⎰⎰⎰解答：设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则111()()()()()()()()DDI f x g x dx f x dx g x dx f x g x dxdy f x g y dxdy =-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[()()]Df xg x g y dxdy =-⎰⎰，类似地有()[()()]DI f y g y g x dxdy =-⎰⎰，两式相加，并利用条件f (x )、g (x )在[0，1]上连续且都是单调减少的，就有2[()()][()()]0DI f x f y g x g y dxdy =--≥⎰⎰，所以0I ≥，即111()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ≥⎰⎰⎰．所属章节：第九章第二节 难度：三级31．设f (x )在[0，1]上连续，并设1()d f x x A =⎰，求11d ()()d xx f x f y y ⎰⎰解答：设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则11110()()()()()()y xxdx f x f y dy dy f x f y dx dx f x f y dy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1110001[()()()()]2x x dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰112001()()()()2Df x f y dxdy f x dx f y dy A ==⋅=⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第二节 难度：三级32．至少利用三种不同的积分次序计算三重积分2()d x yz v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω=[0，2]×[–3，0]×[–1，1]解答：212222220313()()2616x yz dv dx dy x yz dz dx x dy x dx Ω---+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，类似0212231()()16x yz dv dy dx x yz dz Ω--+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1222130()()16x yz dv dz dy x yz dx Ω--+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第三节 难度：一级33．将三重积分(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰化为累次积分(三次积分)，其中积分区域Ω分别是：(1)2222:,0x y z R z Ω++≤≥；(2)Ω由x 2+y 2=4，z =0，z =x +y +10所围成； (3)22222:2,x y z z x y Ω++≤≥+(4)Ω：由双曲抛物面z =xy 及平面x +y –1=0，z =0所围成的闭区域解答：(1)d (,,)d RRx y f x y z z -⎰；(2)21020d (,,)d x y x y f x y z z ++-⎰⎰；(3)2211d (,,)d x y x y f x y z z -+⎰；(4)110d d (,,)d xxy x y f x y z z -⎰⎰⎰双曲抛物面所属章节：第九章第三节难度：二级34．计算下列三重积分：(1)d y v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是在平面z =x +2y 下放，xOy 平面上由y =x 2、y =0及x =1围成的平面区域上方的立体； (2) e d x y zv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是在平面x +y +z =1与三个坐标面围成；(3)sin()d d d x y z x y z Ω+⎰⎰⎰，其中 π{(,,)|0}2x y z x z y Ω=≤≤≤≤- (4)d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是第一象限中由曲面y 2+z 2=9与平面x =0、y =3x 和z =0所围成的空间立体；(5) 222d d d 1xyz x y z x y zΩ+++⎰⎰⎰，其中222{(,,)|0,0,1}x y z x z x y z Ω=≥≥++≤； (6)d d d x x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由抛物面x =4y 2+4z 2与平面x =4围成 参考答案：(1)528；(2)e 12-；(3)π142-；(4)278；(5)0；(6)16π3解答：(1)528； (2)e12-； (3)π142-； (4)278；(5)0； (6)16π3所属章节：第九章第三节 难度：二级35．用截面法(先算二重积分后算单积分)解下列三重积分问题：(1) 计算三重积分sin d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面z =和平面z =π围成；(2) 设Ω是由单叶双曲面x 2+y 2–z 2=R 2和平面z =0，z =H 围成，试求其体积；(3) 已知物体Ω的底面是xOy 平面上的区域222{(,)|}D x y x y R =+≤，当垂直于x 轴的平面与Ω相交时，截得的都是正三角形，物体的体密度函数为(,,)1xx y z Rρ=+，试求其质量； (4)试求立体2222(,,)1x y x y z z a b Ω⎧⎫=+≤≤⎨⎬⎩⎭的形心坐标参考答案：(1)π2–4π；(2)231ππ3R H H +；3；(4)20,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭解答：(1)230sin d sin sin 4zD z v zdz dxdy z z dz ππΩπππ==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；与原参考答案不同(2)2223001()3zH H D V dv dz dxdy R z dz R H H πππΩ===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(3)223(,,)(1)(1))xRR R R D x x m x y z dv dx dydz R x dx R R ρ--Ω==+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4)由对称性，0x y ==，110012zD V dv dz dxdy abzdz ab ππΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1120011123zD z zdv zdz dxdy abz dz V V V πΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即所求形心坐标为20,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．所属章节：第九章第三节 难度：二级36．利用柱面坐标计算下列三重积分：(1)22()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中22{(,,)|4,12}x y z x y z Ω=+≤-≤≤；(2)32()d d d x xy x y z Ω+⎰⎰⎰，其中Ω由柱面x 2+(y –1)2=1及平面z =0，z =2所围成；(3)v Ω⎰⎰⎰，其中22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--；(4)d d d y x y z Ω⎰⎰⎰，其中22{(,,)|14,02}x y z y z x z Ω=≤+≤≤≤+；(5)d xy v Ω⎰⎰⎰，其中Ω为z ≥0上平面y =0、y =z 及柱面x 2+z 2=1围成解答：(1)2222222301()d 2324x y v d rdr r dz r dr πΩθππ-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 由于被积函数、积分区域关于x 为奇，故32()d d d 0x xy x y z Ω+=⎰⎰⎰；(3) 223932403242(9)5r v d rdr rdz r r dr πΩπθπ-==-=⎰⎰⎰⎰； (4) d d d 0y x y z Ω=⎰⎰⎰； (5)d 0xy v Ω=⎰⎰⎰ 所属章节：第九章第四节 难度：三级37．利用球面坐标计算下列三重积分：(1) v Ω⎰⎰⎰，其中2222:x y z a Ω++≤；(2)2222()e d x y z x v Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是第一象限中球面2221x y z ++=与球面2224x y z ++=之间的部分；卦限？ (3)2d y v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是单位球体在第五象限部分；(4) 222222sin(1)d 1x y z v x y z Ω++++++⎰⎰⎰，其中Ω是0z ≤≤；(5)v Ω，其中Ω是锥面π6ϕ=上方与上半球面ρ=2所围立体 解答：(1)22220sin 44(22)8aar r a v d d e r dr r e dr e a a ππΩθϕϕπππ===-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2)222242()22201ed sin cos sin x y z r x v d d re r dr ππΩθϕϕθϕ++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰161622200cos sin 416e e e e d d ππθθϕϕπ--==⎰⎰；(3) 1222222322000221d sin sin sin sin sin 530y v d d r r dr d d ππππππΩπθϕϕθϕθθϕϕ=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 222321222222000ln(1)d ln(1)sin cos 11z x y z r v d d r dr x y z r ππΩθϕϕϕ+++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 220112(ln 2ln 2)sin cos 24d ππϕϕϕ=--⎰2(4ln 22ln 2)4π=--；(5)223660sin 8sin 4(2v d d r dr d πππΩθϕϕπϕϕπ===⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第四节 难度：三级38．将下列三次积分化为柱面坐标或球面坐标下的三次积分，再计算积分值，并画出积分区域图：(1)222212223/21d ()d x y x yx y x y z ---++⎰⎰；(2)2210d d x y y x z +⎰；(3)330d x y z -⎰；(4)32220d )d y x x y z z ++⎰；参考答案：(1)8π35；(2)196；(3)243π5；(4)1)π5- 解答：本题图略 (1) 用柱面坐标，222222122121223/234618d ()d 4()35x y r x y rx y x y z d rdr r dz r r dr πθππ----++==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (2) 用柱面坐标，2221122200011d d sin cos sin cos 4896rx y r y x z d rdr r dz d ππθθθθθθ+===⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 用球面坐标，323422300243243d sin cos sin 255x y z d d r dr d πππθϕϕϕπϕϕπ-===⎰⎰⎰⎰⎰；(4) 用球面坐标，322242401)d )d sin 5y x x y z z d d dr ππθϕϕπ++==⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第九章第四节 难度：三级39．选择适当坐标计算下列三重积分： (1) 2d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω由柱面x 2+y 2=8，椭圆锥面z =及平面z =0所围成； (2) ()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中{(,,)|11x y z z Ω=≤≤+； (3) d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω由曲面22222222,()z x y x y x y =++=-及平面z =0所围成；(4)2221d v x y z Ω⎫⎪++⎭⎰⎰⎰，其中Ω由曲面222222,33z x y z x y =+=+及平面z =1所围成； (5)2d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球体2222x y z R ++≤与2222x y z Rz ++≤的公共部分 解答：(1) 用柱面坐标，22202d 16(1sin )48z v d zdz d ππΩθθθπ==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 用柱面坐标，21101()d (sin cos )0x y v d rdr dz πΩθθθ+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；(3) 用柱面坐标，2142041d 238r z v d zdz ππΩθ-==⎰⎰⎰⎰⎰； (4) 用球面坐标，1224cos 222200611d []sin v d d r r dr x y z r ππϕπΩθϕϕ⎫=+⋅⎪++⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(ln 3ln 2)27π-=+-； (5) 用柱面坐标，两球面的公共部分在xOy 面上的投影222)23(R y x ≤+，在柱面坐标下积分区域可表示为2222 ,230 ,20 :ρρρπθ-≤≤--≤≤≤≤ΩR R z R R R ，所以2220R z dv d d dz πθρρΩ=⎰⎰⎰⎰5230322232248059])()[(312R d R R R R πρρρρπ=----=⎰．注：本题也可用截面法来计算，分上下两部分，222202d zzR RR D D z v dz z dxdy dz z dxdy Ω=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222202(2)()R RR z Rz z dz z R z dz ππ=-+-⎰⎰5551475940480480R R R πππ=+=． 所属章节：第九章第四节 难度：三级40．利用三重积分求所给立体Ω的体积： (1) Ω由柱面x =y 2和平面z =0及x +z =1围成的立体； (2) Ω由抛物面z =x 2+y 2和z =18–x 2–y 2围成的立体；(3) Ω为圆柱体r ≤a cos θ被球心在原点、半径为a 的球所割下的部分 解答：(1) 1311122008(22)15xV dv dx dz x x dz -Ω===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （2）222318081r rV dv d rdr dz πθπ-Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰;（3）cos 3332200424(1sin )(34)39a V dv d rdr a d a ππθθθθπΩ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.所属章节：第九章第四节 难度：二级41．设Ω是Oxyz 坐标系中体积为V =5的有界闭区域，Ω*为Ω在变换u =4x +4y +8z ，v =2x +7y +4z ，w =x +4y +3z下的有界闭区域，试求Ω*的体积V *解答：在变换u =4x +4y +8z ，v =2x +7y +4z ，w =x +4y +3z 下，448(,,)27420(,,)143u v w x y z ∂==∂，所以V *=20 V =100． 所属章节：第九章第四节 难度：二级42．计算三重积分222222d d x y z a b c x y z ++≤⎰⎰⎰解答：作变换sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρϕθρϕθρϕ===，则2sin J abc ρϕ=，22222222008d d sin 9x y z a b c x y z abc d d d abc ππθϕρϕρπ++≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第四节 难度：三级43．计算三重积分2222222()()()()d d d x a y b z c R I x y z x y z -+-+-≤=++⎰⎰⎰解答：作变换sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρϕθρϕθρϕ=+=+=+，则2sin J ρϕ=，222220(2sin cos 2sin sin 2cos )sin RI d d a b c a b c d ππθϕρϕθρϕθρϕρϕρ=+++++⎰⎰⎰5322244()53R R a b c ππ=+++． 所属章节：第九章第四节 难度：三级44．计算平面6x +3y +2z =12在第一象限中的部分的面积 参考答案：14解答：平面方程3632z x y =--，:6312,0,0D x y x y +≤≥≥，投影面积4， 72dA d σ=，7741422DA d σ==⨯=⎰⎰． 所属章节：第九章第五节难度：二级45．求球面2222x y z a ++=含在圆柱面22x y ax +=部的曲面面积解答：由对称性，设z =22:,0D x y ax y +≤≥，则dA =，cos 220442(2)a DA d a πθθπ===-⎰⎰⎰⎰．所属章节：第九章第五节 难度：二级46．计算旋转抛物面2z =x 2+y 2被柱面(x 2+y 2)2= x 2–y 2所截下部分的曲面面积解答：柱面投影曲线方程化为r =dA σθ==，442093DA d πππθθ-===-⎰． 所属章节：第九章第五节 难度：二级47．求双曲抛物面z =y 2–x 2夹在圆柱面x 2+y 2=1和x 2+y 2=4之间部分的曲面面积 解答：曲面方程22z y x =-，投影区域为圆环域22:14D x y ≤+≤，dA σθ==，2016DA d ππθθ===⎰⎰．所属章节：第九章第五节 难度：二级48．计算由球面22223(0)x y z a z ++=>和旋转抛物面222(0)x y az a +=>所围成立体的表面积 参考答案：216π3a解答：上半曲面方程z =投影区域为圆环域222:2D x y a +≤，dA σθ==，22102(3DA d a πθθπ===⎰；类似，下半曲面面积，2220012)3DA d a πθθπ===⎰；所以所求总的曲面面积为21216π3A A a +=． 所属章节：第九章第五节 难度：二级49．求由圆柱面229x y +=、平面4y +3z =12和4y –3z =12所围成立体的表面积解答：该立体表面可分成两块来计算面积，一块为上下底，在两个平面上，由于对称，只计算上底面积1A ，另一块为侧面，面积记为2A ，整个立体的表面积122A A A =+． 先计算1A ，由于对应曲面方程为443z y =-，40,3z z x y ∂∂==-∂∂，xy D 为投影区域，53dA d σ==，所以15591533xyxy D D A dA d σππ===⋅=⎰⎰⎰⎰，再计算2A，由于对应曲面方程之一为y =0,y y z x ∂∂==∂∂，xz D为投影区域，dA σ==，所以38232248xzD A dA dx π-===⎰⎰⎰⎰，于是，总面积为122304878A A A πππ=+=+=．所属章节：第九章第五节 难度：三级50．设两个圆柱半径相等，轴相互垂直，求它们所围立体的表面积解答：设两个圆柱面的方程为222222,x y R x z R +=+=，由对称性，只要计算出立体在第一卦限部分上面部分面积1A ，再乘以16即可，由于z dA ===，所以121016161616RD A A dx R ====⎰．所属章节：第九章第五节 难度：二级51．设平面薄片所占的闭区域D 是由直线x +y =2，y =x 和x 轴所围成，它的面密度ρ(x )=x 2+y 2，求该薄片的质量解答：122204(,)()3y yDm x y dxdy dy x y dx ρ-==+=⎰⎰⎰⎰所属章节：第九章第五节 难度：二级52．求占有下列区域D 的平面薄片的质量与重心(质心)：(1)D 是以(0，0)，(2，1)，(0，3)为顶点的三角形区域，ρ(x ，y )=x +y ； (2)D 是第一象限中由抛物线y =x 2与直线y =1围成的区域，ρ(x ，y )=xy ； (3)D 由心脏线r =1+sin θ所围成的区域，ρ(x ，y )=2； (4)22{(,)|(1)1},(,)|1|D x y x y x y y y ρ=+-≤=+- 解答：(1)23102(,)()6xxDm x y dxdy dx x y dy ρ-==+=⎰⎰⎰⎰，23210211(,)3()46D x x dx x xy d x x x y dxdy m y ρ-===+⎰⎰⎰⎰， 23210211(,)3()26D x x dx xy y d y y x y dxdy m y ρ-=+==⎰⎰⎰⎰，即所求平面薄片的质量为6，质心坐标为33(,)42；(2)211150011(,)()26xDm x y dxdy dx xydy x x dx ρ===-=⎰⎰⎰⎰⎰， 2111226004163((),)7x D dx x ydy x x x x y dxd m x x y d ρ=-===⎰⎰⎰⎰⎰，211201(,63)4D x dx y y x y dxd y m xy y d ρ===⎰⎰⎰⎰， 即所求平面薄片的质量、质心坐标分别为16m =、43(,)74； (3)1sin 22202(,)44(1sin )3Dm x y dxdy d rdr d ππθπρθθθπ+-===+=⎰⎰⎰⎰⎰，由对称性知，1(,)0Dx x x y dxdy m ρ==⎰⎰，。
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第九章 复习题答案一、填空题1. 22{(,)02}x y x x y x y x <≤+<≤且。
2. y y x +-1)1(2 。
2*. 2xy 。
3.0 。
3*.___3_____ 。
4.223z y e z - 。
4*.___1_______ 。
4**. 22sin()y y x x - 。
5.1ln ln yz yz yzyzx dx zx xdy yx xdz -++ 。
5*. 11d d x y x y+。
5**. d d xy xy ye x xe y + 。
5***. 11d d x y x y -+ 。
5****.1d ln d y yyx x x x y -+ 。
5*****. y x d 3d 3-- 。
5******. 22d -d 55x y 。
5*******123d d d x y z x y z ++ 。
6. -3 。
7. 42x y π++=+。
7* 8350x y z ++-= 。
7**2/31/2449144x y z ---==-。
8. 114261x y z ---==-。
8*. 624=-+z y x 。
8**. 40x y z +-= 。
8***. 022=--+z y x 。
8***.)21,21,21(- 9. =);,,(λz y x F 22222()(1)z x y z yyx x z λμ++++-+++-。
10. {1，2，13} 。
10*. 。
10**. 11(,1,)22。
11. 0 。
11*。
12. （0，0） ，（2，0） 。
13.（0，0） 。
二、选择题1. D 1*.C 1**.C 1**B .1****. D 1***** D 1*****. B2. B2*. C2**. C 2***. D 2****. D 3. D 4. B 4*. D 5. A 5*. C 6. C7. A 8. B *8 D 9. D三、计算题1. 解 两边同时对x 求偏导得2z xz z x -=zz x， （4分） =x z zx z+（7分） 1解：u x∂∂=)2()2sin(x z z y x ∂∂+⋅++-，对方程320z y x z x --=两边关于x 求偏导，得22213z xz x yz x∂+=∂-，当1,0,1x y z ===时，所以10sin(21)(21)sin 3.x y ux==∂=-+⋅-=-∂1** 解：⎪⎭⎫⎝⎛+=+dx dy e dx du y x 1 )'2( 令 ()x y y y x F --=s i n 21, )'3( 则yF F dx dy yx cos 2111-=-= )'6(则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+y e dx du yx cos 21111 )'7(1***.解：d d d d (d d d )010(1)d d 1z y x z y x z y xz y xz y xz y x e x xe z y x e xez x y xe------------++--=∴+≠=-++当时，d 1****.解：视)(z x x =,)(z y y =,方程组两边关于z 求导,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++02d d 2d d 201d d d d z z y y zx x zyz x , 解得 y x z y z x --=d d , yx xz z y --=d d .2. 解： 122x z f yf ''=+ )'4(111221222()()xy z f xf f xfy f '''''''''=++++ 1112222(2)f x y f x y f f '''''''=++++ )'7( 2**.解：u x ∂∂==1f '(,y x z y )y1………………..4’2u x y ∂∂∂=(11f ''(-2y x )+12f ''z 1)y 1+1f ' (-21y)…………….8’2***.解1221'()',u y f f x x z ∂=-+∂211121221111()()u y f f f x y x x x x z∂'''''=⋅⋅-+⋅-+⋅⋅∂∂111213211""'.y f f f x xz x =-+-2****. .解 x z ='1f +'2yf （4分）xy z =''11f -+''12xf +y (''21f -+''22xf )+'2f=1112222()f x y f xyf f '''''''-+-++ （7分）2*****. 解：,12'2'1f y xf x z +=∂∂22122221222222223211212()()z x x x x x f f f f f f x y y y y y y y y∂''''''''''=⋅⋅--+⋅-=---∂∂ 2******.解：12zyf f x∂''=+∂ 2'""""'"""1111221221112212()()zy xxxyx y x yfffffffff∂=++++=++++∂∂2&.12212222122222 2(1) 2zf g yg x z f g x g xy g x y f xg xyg g ∂'''=++∂∂''''''=⋅-+++∂∂''''''=-+++解： 2&&3.解：令F=23zz e xy -+- ………………………………………………………1’ 则 ={F x,F y,F z}|021），，（={2y,2x,1-ze }|)0,2,1(={4,2,0}//(2,1,0)……………..7’切平面方程为： 2（x-1）+1(y-2)=0 或 2x+y=4……………………………………..8’3*解 设球面上一点为（000,,z y x ），则202020z y x ++=9（*）（1分）令F （x,y,z ）=222z y x ++-9,则)2,2,2(000z y x n =-//),,(000z y x （3分） 切平面为0x （x-0x ）+0y (y-0y )+0z (z-0z )=0, 因与2x+y-2z=0 平行，故0x /2=0y /1=0z /（-2） ，即0x =20y ， 0z =-20y （5分）代入（*）得0y =±1，所求切点为±（2，1，-2） （7分）3** 解{4,1,1}{1,1,1}{0,5,5}n =--⨯=--，故所求平面方程为 (3)0y z -++=即30y z -+=。
3***4解：054304{'''=+-=-z y x y ,在(1,2,1)处，'y ＝４，'z ＝１３／５，所以切线方向为 }{13,20,55941，在(1,2,1)处，,1'''===z y x u u u所以59438)1,2,1(=∂∂l u ．4* 解：记z y x w -+=2, 则)1ln(2w w u ++=, 由 1='x w ,2='y w ,1-='z w ,2=Aw,得 2221111ww w w w w wx u xx+'='⋅++++=∂∂, 51=∂∂A x u ； 21w w y u y +'=∂∂, 52=∂∂A y u ；21ww z u z+'=∂∂, 51-=∂∂Az u ， 因为 3=l ， 所以单位化得 {}1,2,2310-=l ，故 55)112221(531-=⨯-⨯-⨯=∂∂Alu5四、应用题1.解：则可取(,,),a b c n =因而在（a,b,c)上切平面方程为()()()0x a y b z c -+-+-=或1++=.............................3'故截距之积方程为f = 条件1++=.............5'令F=λabc+则0010a b c F bc F ac F ab F λ⎧'==⎪⎪⎪'=+=⎪⎨⎪'==⎪⎪⎪'==⎩解知，a=b=c=1/9, 而 切点为（1/9,1/9,1/9）.........................................8' 此时，f max =1/271* 解： 设切点为（x ，y ，z ），则切平面方程为12()2()()02x X x y Y y z Z z -+-+-=而（x ，y ，z ）满足22214z x y ++=，所以切平面方程为1222,2xX yY zZ ++=化为截距式为11/1/4/X Y Zx y z ++=，即截距分别为1/x ，1/y ，4/z ，因此要求2221116f xyz=++在约束条件22214z x y ++=下的最小值。
设拉格朗日函数2222221116(1)4z F x y x y z λ=+++++- 令3'2203'22013'320222214F x x x F y y y F z z z z x y λλλ-=-+=-=-+=-=-+=++=⎧⎪⎨⎪⎩，解得唯一驻点1,2x y z ===因驻点唯一，故所求点为11(,22。
1**解：设),,(z y x 为椭球面上的一点，则椭球面在该点处的法向量为n →=222222{,,}x y z a b c ，切平面方程为222222()()()0xy z X x Y y Z z a b c -+-+-=，整理得222222222222222,xy z x y z X Y Z a b c a b c++=++，因为),,(z y x 在椭球面上，所以上面方程可写为2222222,x y z X Y Z a b c ++=，即1///222=++z Z y Y x X c b a 。